Montage : Translation de fréquence, application à l’analyse spectrale.
MASTER FESupPA
François Bailly, Valentin Marcel
8 avril 2014
1 Motivations et Théorie
1.1 Introduction
Supposons vouloir transmettre trois signaux (S1, S2 et S3), via un canal de transmission et dont les allures spectrales schématiques en bande de base sont représentées sur la Figure 1. Il va de soi que les transmettre tels quels entraînerait à la réception un problème de séparation de sources non trivial, afin de remonter à l’information contenue dans chacun des signaux (exemple de la réception radio et du canal Hertzien). L’idée de la translation de fréquence est de séparer à l’émission ces trois signaux dans le domaine fréquentiel (autour de f0, f1 et f2, Figure 1) afin qu’ils puissent être reçus de manière distincte, après un filtrage adapté. D’autres arguments viennent justifier cette pratique : il y a fort à parier que la canal utilisé pour la transmission soit à bande passante limitée B, et que les signaux en bande de base soient hors de cette bande passante. La nécessité de les "décaler" en fréquence afin qu’ils puissent transiter au travers du canal est alors claire. Enfin, des considérations vis à vis du bruit permettent de valider l’idée de la translation de fréquence et apportent une information quantitative quant au choix des fréquences porteusesf0, f1etf2. En effet, dans une hypothèse raisonnable d’additivité du bruit, l’analyse de sa densité spectrale de puissance nous informe qu’aux basses fréquences l’importance du bruit peut être critique (Flicker Noise), et qu’elle n’est pas constante (décroissance en 1
f). Aux plus hautes fréquences (≈ MHz), on observe un plancher de bruit, localement qualifiable de bruit blanc, et de puissance moindre. Ce lieu fréquentiel parait être un bon compromis pour le choix des fréquences autours desquelles l’information peut être transmise.
Figure1 – Schéma d’une chaîne de transmission
1.2 Principe de la translation de fréquence
Les propriétés de la transformée de Fourier stipulent que le produit de signaux temporels conduit à la création d’un signal dont le spectre est égal au produit de convolution des spectres des signaux multipliés. Le caractère neutre de l’impulsion de Dirac vis à vis de l’opération de convolution nous invite à multiplier le signal contenant l’information par une sinusoïde.
2 Réalisation d’un analyseur de spectre
2.1 Motivations
Les signaux et les systèmes peuvent être caractérisés de manière équivalente dans les domaines fréquentiel et temporel.
Toutefois, l’une ou l’autre représentation peut s’avérer plus adéquate pour mettre en évidence un paramètre donné. Cette dualité bien connue se retrouve dans les appareils de mesure : l’analyseur de spectre est au fréquentiel ce que l’oscillo- scope est au temporel. Il existe deux grandes familles d’analyseurs de spectre principalement justifiées par les gammes de fréquences à analyser.
Pour les basses fréquences (jusqu’à la centaine de kHz), les analyseurs de spectre à balayage, lents et coûteux ainsi que les analyseurs à batteries de filtres commutés, réservés à certaines applications précises (audio), ont laissé la place aux analyseurs numériques à FFT notamment. Concernant les hautes fréquences (jusqu’à la dizaine de GHz), on retrouve les analyseurs de spectre analogiques à balayage. Leur fonctionnement repose sur le principe de la translation de fréquence.
2.2 Principe
Figure2 – Schéma de principe d’un analyseur de spectre
Le fonctionnement d’un analyseur de spectre à balayage se base sur le principe de l’hétérodyne. La première étape consiste à faire "glisser" le signal à analyser en fréquence (en multipliant par un signal dont la fréquence augmente avec le temps), puis à le faire passer dans un filtre passe-bande très sélectif (filtre céramique). Une fois le signal filtré autour de la composante à analyser, on mesure une image de la puissance de la composante isolée (ou bande de composantes) via le bloc détecteur de puissance. Après un éventuel bloc d’amplification, la dernière étape qui concerne l’utilisateur consiste à visualiser l’analyse spectrale ainsi effectuée. Pour ce faire, plusieurs solutions s’offrent à nous :
— Régler l’oscilloscope en mode XY, en observant sur la voie 1 la rampe correspondant à l’évolution en fréquence du signal multipliant l’entrée et sur la voie 2 la sortie du détecteur de puissance.
— Régler l’oscilloscope en mode temporel classique, en observant la sortie du détecteur de puissance pour un signal multipliant l’entrée variant logarithmiquement en fréquence.
2.3 Réalisation des blocs, choix des composants
2.3.1 Translation en fréquence
On utilise pour cela un multiplieur large bande (ref. AD734) de bande passante 5 MHz, de gain 101 dans la bande passante.
Le constructeur spécifie que ce composant est à faible distorsion (<80 dBc), ce qui est appréciable pour notre utilisation car on espère avoir en sortie du multiplieur :
s(t) = 1
10·e1(t)·e2(t) En considérant des entrées sinusoïdales de fréquences f1 etf2 :
s(t) = A1A2
20 ·[sin(2π(f1−f2)t) +sin(2π(f1+f2)t)]
Ceci est valable en régime linéaire et on peut vérifier le fonctionnement du composant avec des entrées de faible amplitude pour rester dans ce régime de fonctionnement :
Figure3 – Multiplieur AD734 en régime linéaire
Pour deux signaux d’entrée sinusoïdaux de fréquences respectives 100 et 300 kHz et d’amplitude 2 Vpp, la fonction FFT de l’oscilloscope sur le signal de sortie du multiplieur traduit le bon fonctionnement du composant utilisé, avec une raie à 200 kHz et une seconde à 400 kHz.
Examinons à présent les limites du composant :
Figure4 – Multiplieur AD734 en régime non linéaire
Pour les mêmes signaux en entrée mais d’amplitude 5 Vpp, la fonction FFT de l’oscilloscope sur la sortie du multiplieur nous indique l’apparition d’harmoniques, qui sont bien d’amplitudes inférieures aux deux raies qui prouvent la fonction attendue du composant. Ces harmoniques traduisent le fait que la fonction réalisée par le multiplieur en présence de signaux trop puissants n’est plus une simple multiplication. Malgré le caractère filtrant de notre montage (cf. filtre céramique) il faut garder à l’esprit la non linéarité mise en évidence ici pour expliquer des phénomènes observés par la suite. D’autre part, pourquoi ne pas travailler avec des signaux limitant le caractère non linéaire de l’AD734 ? La réponse provient des différentes atténuations que va subir le signal à travers les blocs, qui nécessitent une puissance d’entrée non négligeable pour avoir une sortie significative.
Une fois cette fonction réalisée, il faut générer un signal sinusoïdal de fréquence variable sur une des entrées du multiplieur pour faire "glisser" l’autre signal (à analyser) en fréquence. Pour générer ce signal, on peut classiquement utiliser un VCO contrôlé en tension par une rampe (cf. schéma de principe de l’analyseur). Puisque ce type de translation en fréquence
conserve le spectre du signal incident, une fréquence fixef0(celle du filtre passe-bande) verra passer la somme des deux fréquences (ou la différence) :
f0=f1+f2
Avec f1 la fréquence du signal en sortie du VCO, qui augmente selon une rampe et doncf2 qui diminue en décrivant le spectre du signal à analyser :
Figure5 – Principe fréquentiel du multiplieur 2.3.2 Filtrage
Le bloc de filtrage sert à fixer la fréquencef0introduite précédemment, qui correspond à la fréquence autour de laquelle on analysera nos signaux. Une remarque vient naturellement quant à ce choix : pourquoi ne pas décaler la fréquence centrale du filtre plutôt que d’opérer la translation fréquentielle introduite plus haut ? C’est la qualité du filtre à réaliser qui va fixer notre choix : on préfère réaliser un filtre performant (très sélectif) à fréquence fixe, et décaler le signal à analyser, plutôt que des bancs de filtres analogiques (coûteux, moins performants). Il faut donc constituer un filtre passe- bande et l’on sent dans une première approche qualitative que la sélectivité du filtre jouera sur la résolution de notre analyseur de spectre. Pour ce faire, plusieurs solutions s’offrent à nous : filtres passifs, filtres actifs... Nous choisirons dans un premier temps un filtre céramique (ref. SFU455A), appréciable pour son facteur de qualité (Q≈200) et qui de plus est couramment utilisé dans ce type d’application. Le filtre en question présente une fréquence de résonance de l’ordre de 455 kHz, mais nous possédons un moyen de réglage fin via une capacité à placer sur le composant :
Figure 6 – Filtre céramique SFU455A
Ainsi, pour différentes valeurs de capacités, on obtient les différentes réponses en fréquence du filtre :
Figure7 – Réponse en fréquence du filtre céramique pour différentes valeurs de capacités
Pour notre application on prendraC= 10pF pour améliorer la sélectivité du filtre. On remarque au passage son gain à f0= 457kHz qui est de l’ordre de−15dB, d’où les considérations du paragraphe précédent sur la puissance des signaux d’entrée à injecter dans le circuit.
2.3.3 Détecteur de puissance
En sortie du filtre que l’on va supposer parfait pour une première étude qualitative, le signal est une sinusoïde pure à f0 = 457 kHz, dont la puissance (l’amplitude) dépend de la puissance de la composante du signal d’entrée située à f =f0−f1, à l’instant où la sinusoïde en sortie du VCO est précisément àf1. Il y a donc deux dynamiques distinctes qui sont respectivement celle de la variation de la rampe du signal de commande du VCO et celle de la fréquence sélectionnée par le passe-bande. Pour avoir une image de la puissance véhiculée par le signal en sortie de filtre, il faut que notre détecteur de puissance soit insensible aux variations à 457 kHz du signal, afin qu’il détecte sa valeur crête. D’autre part, pour qu’il détecte les variations d’amplitude du spectre analysé, il doit laisser passer les variations à la fréquences de balayage. Un montage classique de détecteur de crête permet de remplir cette fonction :
Figure8 – Détecteur de crête
D’après les considérations précédentes, on dispose d’une fourchette pour dimensionner la valeur du filtre passe bas nécessaire à la détection de la puissance de la fréquence à analyser à un instant donné. Pour une fréquence de balayage maximale de 20 Hz, on prend :
20< fC 457000⇒ 1
457000RC < 1 20 C= 10nF et R= 50kΩconviennent.
2.3.4 Amplificateur logarithmique
Afin de se rapprocher des fonctions réalisées par un analyseur de spectre à balayage classique, un affichage de la puissance des composantes spectrales en décibels peut être intéressant. Pour obtenir ce résultat à une constante près, il faut effectuer analogiquement l’opération logarithme. Un montage simple permet de comprendre le principe de réalisation d’un tel circuit :
Figure 9 – Principe de l’amplification logarithmique
VD=−V s
ID=ISAT
e
−VS
VT −1
≈ISAT
e
−VS
VT
Avec VT = 25mV à25˚C, tension thermodynamique.
VE=RISAT
e
−VS
VT
⇔ln(VE) =ln(RISAT)−VS
VT
VS =−VT ·ln VE
RISAT
On paie la simplicité de ce montage en examinant les termes de l’expression établie : ISAT et VT dépendent de la température, et l’échauffement naturel des composants du circuit entraine une dérive de la tension de sortie ce qui n’est pas tolérable pour effectuer des mesures (absence de référence).
A la place d’utiliser une diode, on préfère utiliser un transistor. En effet, la qualité de sa caractéristique courant tension est bien souvent meilleure que celle de la diode. On obtient alors le montage suivant :
Figure10 – Amplification logarithmique à transistor.
C’est un montage à base commune. On a de la même façon que pour la diode : VS =−VT ·ln
VE RISAT
On note sur ce schéma la présence d’une résistance de sortie RC. Si on supprime cette résistance on peut observer des instabilités dues au gain en tension du transistor. En effet la boucle de rétroaction de l’amplificateur réalisé ne doit pas trop amplifier le signal de sortie ramené à la borne inverseuse de l’AOP via le transistor. Si le gain en tension est supérieur à 1, alors l’amplificateur devient instable et l’on observe des oscillations du signal de sortie ; on a alors réalisé un oscillateur.
Le gain en tension dans la boucle de rétroaction vaut :
B=gmRC
Or gm = IC0
UT
, le gain en tension vaut ainsi B= Ve− UT
. Aussi, lorsque Ve est trop élevé le montage devient instable.
C’est afin de s’affranchir de ce problème que l’on ajoute la résistance RC en sortie de l’AOP qui permet de réaliser un diviseur de tension et de diviser le gain pargmRC ce qui nous donne un gain unitaire.
Ce montage étant toujours très sensible à la température, on devrait utiliser un montage différentiel avec un transistor ayant les mêmes caractéristiques que celui utilisé dans l’amplificateur logarithmique qui permettrait de compenser les variations de la tensions de sortie.
Fort heureusement, un tel composant existe en intégré : l’amplificateur logarithmique 4127JG. Nous détaillerons néan- moins les possibilités d’utilisation qu’il offre.
Figure11 – Amplificateur logarithmique 4127 Son schéma électronique simplifié est le suivant :
Figure 12 – Montage simplifié de l’amplificateur logarithmique 4127
En entrée, on repère le montage en ampli-log avec l’aop et le transistor. L’entrée est directement le courant IS et peut être positive ou négative (on a alors un montage inverseur de courant. On peut régler un courant de référenceIRà l’aide d’une résistanceR1qui va nous permettre d’ajuster l’échelle logarithmique en sortie que l’on choisira arbitrairement. Un étage amplificateur de gain pur nous permettra enfin de régler la gamme de variation du signal de sortie E0 en faisant varier une résistanceR2.
La fonction réalisée est donc la suivante :
E0=Alog10 IS
IR
oùA= 1 0.434
RT +R2
RT
VT avecRT = 520Ω.
La datasheet de l’amplificateur précise la valeur max de courant en entrée :1mA. Après les différents blocs assemblés, la tension maximum en entrée de l’ampli est de l’ordre de2V, on choisira une résistanceRC= 100kΩpour avoir un courant max de10µAen entrée de l’ampli-log et rester en deçà des spécifications du constructeur. Voici la marche à suivre pour ajuster les valeurs de sorties :
— On applique à l’entrée du montage complet un signal de référence (une sinusoïde d’amplitude 1V dans notre cas, choisie arbitrairement) qui fixera le 0 de notre échelle en dB. On doit ensuite choisir une résistance réglable R1
entre les pattes 22 et 23. Pour calculer son ordre de grandeur on a IREF ≈ 15−U(520+Rzener
1). On choisira R1 de l’ordre de 4,5MΩ, on choisira donc 4 résistances 1MΩ en série avec un potentiomètre P2 de 1MΩque l’on règlera de manière à avoir l’amplitude du fondamental en sortie de 0V (équivalent 0dB).
— On règle ensuite la gamme de variation du signal de sortie (on veut par exemple une amplitude en sortie de 1V pour le fondamental d’amplitude π4, d’un signal carré d’amplitude 1V. Ainsi, on a à peu près 1V→1dB. On a donc une échelle en dBV, Pour cela on règle l’amplificateur de tension par la valeur deR2. On prendra un potentiomètre de100kΩ.
— On pourra affiner les réglages si besoin en répétant les points précédents.
Cet amplificateur logarithmique nous permet de visualiser beaucoup d’harmoniques du signal dont l’amplitude serait complètement effacée en l’échelle linéaire. On peut, de plus, régler la gamme et l’échelle grâce aux potentiomètres P1 et P2 ce qui nous permet d’adapter l’affichage avec le signal que l’on veut observer.
3 Caractérisation de l’appareil réalisé
L’utilisation de l’appareil ainsi réalisé laisse apparaître certaines limitations qui étaient prévisibles par la théorie. Une fois le filtre choisi, le seul moyen de réglage de notre analyse réside dans les paramètres du balayage fréquentiel du signal du VCO (fréquences minimales et maximales, vitesse de balayage...).
3.1 Phénomène de repliement de spectre
On peut mettre en évidence deux causes de repliement de spectre :
— En réglant mal la plage de balayage de la fréquence du signal en sortie de VCO, on peut faire en sorte qu’à deux instants distincts (t1et t2) dans une période de balayage on ait :
f0=f1(t1) +f2, puis,f0=|f1(t2)−f2|avec f2 fixée.
On observe alors deux images de la fréquence f2, ce qui correspond en fait à une représentation bilatérale de la transformée de Fourier. En réglant astucieusement la plage de balayage, on peut remédier à cette limite.
— Dans le cadre de l’analyse de signaux à spectres étendus (voire infinis), on peut être contraints à choisir la plage de fréquences en sortie du VCO de telle sorte qu’une partie du spectre du signal à analyser passe dans le filtre via la somme des fréquences (f0=f1+f2) et qu’une autre partie, plus haute en fréquence, y passe via la différence (f0 =|f1−f2|, cf. Figure 10). On obtient alors une visualisation désordonnée de la répartition fréquentielle des composantes du signal à analyser. On ne peut compenser cette limitation par un réglage de la plage de balayage : c’est le rôle du filtre anti-repliement.
Figure13 – Schématisation des deux causes de repliement
3.2 Filtre anti repliement
La solution classique pour s’affranchir du problème observé consiste à filtrer la partie du signal qui est sujette au repliement, et ce avant l’analyse. Notons que cela à pour effet de limiter la fréquence maximale d’utilisation de notre appareil, car toute fréquence supérieure à la fréquence de coupure du filtre passe-bas qui va être mis en œuvre ne pourra être observée.
Nous proposons de câbler un filtre passe-bas du second ordre via une cellule de Sallen-Key. Exemple de fonctionnement sur le signal carré :
Figure14 – Observation du spectre replié d’un signal carré à 100 KHz En insérant le filtre anti repliement dans notre montage, on obtient :
Figure15 – Observation du spectre filtré d’un signal carré à 100 KHz
3.3 Performances
Résolution en régime quasi statique : limitée par l’acuité de la résonance du filtre passe bande.
⇒Mise en évidence en changeant la technologie du filtre passe-bande (ex. circuit bouchon RLC classique, Q ≈50).
Vitesse de balayage et influence sur la résolution : dynamique limitée par le temps de réponse du filtre. Plus la vitesse de balayage (en Hz/s) augmente, plus la résolution fréquentielle est dégradée :
Figure16 – Effet de la vitesse de balayage sur la résolutoin fréquentielle
3.4 Applications
Observation du spectre de la modulation AM Modulation FM :
— Observation de l’étalement du spectre par rapport à la modulation AM.
— Possibilité de retrouver l’ordre de grandeur de l’indice de modulation via la bande de Carson.
— Visualisation des coefficients des fonctions de Bessel en modifiant la déviation en fréquence de la modulation analysée.
