Devoir_cours_6 Nom : Prénom : TSI2
Dans toute la suite, on note 𝑔⃗ le champ de pesanteur terestre. Le référentiel d’étude est supposé Galiléen
1) Donner l’expression de la force pressante volumique 𝑑𝑓⃗⃗⃗⃗𝑣 qui s’exerce sur un élément de volume 𝑑𝑉 dans un champ de pression 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧).
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2) Enoncer la loi de la statique des fluides. On note 𝑃(𝑀) et 𝜌(𝑀) le champ des pressions et des masses volumiques au point 𝑀.
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3) Etablir la loi de pression 𝑃(𝑧) au sein d’un liquide immobile et incompressible (mass volumique 𝜌𝑓) contenu dans un verre de hauteur ℎ avec le repérage donné ci- dessous et en notant 𝑃0 la pression atmosphérique.
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4) Donner l’expression de la poussée d’Archimède qui s’exerce sur un objet de volume 𝑉, totalement immergé dans un liquide incompressible de masse volumique 𝜌𝑓.
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5) Un objet de volume 𝑉, de masse volumique 𝜌𝑠 est en chute libre sans vitesse initiale dans un fluide de masse volumique 𝜌𝑓. En plus du poids, on considère une force de frottement fluide en −𝑓𝑣⃗ (où 𝑓 est une constante et 𝑣⃗ la vitesse de l’objet dans le référentiel d’étude supposé galiléen) ainsi que la poussée d’Archimède.
a) Donner l’équation différentielle vérifiée par 𝑣(𝑡) en utilisant la RFD avec un axe vertical ascendant
b) Résoudre cette équation différentielle et proposer alors une expression de 𝑣(𝑡)
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/2 On considère une coquille hémisphérique d’épaisseur 𝑒 et de rayon intérieur 𝑅
6) Dessiner la base sphérique (𝑢⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢𝑟⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢𝜃⃗⃗⃗⃗⃗) au point 𝑀 𝜑
7) Repérer sur le dessin ci-dessus les paramètres (𝑟, 𝜃, 𝜑) de la base sphérique 8) Dessiner un élément de volume 𝑑𝑉 autour du point 𝑀
9) Effectuer un calcul d’intégration permettant d’obtenir le volume 𝑉 de cette coquille « bleue ». Les bornes d’intégration seront à préciser.
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𝑧 0
ℎ/2
ℎ/2
𝑔⃗
Devoir_cours_6 Nom : Prénom : TSI2
On considère un cylindre évidé d’épaisseur 𝑒, de rayon intérieur 𝑅 et de hauteur ℎ
1) Dessiner la base cylindrique (𝑢⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢𝑟⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢𝜃 ⃗⃗⃗⃗⃗) au point 𝑀. 𝑧
2) Repérer sur le dessin ci-dessus les paramètres (𝑟, 𝜃, 𝑧) du point 𝑀 de la base cylindrique ainsi qu’un élément de volume 𝑑𝑉 autour du point 𝑀.
3) Effectuer un calcul d’intégration permettant d’obtenir le volume 𝑉 de ce cylindre évidé. Les bornes d’intégration seront à préciser.
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Problème de Cauchy et résolution par un schéma d’Euler implicite On considère un mouvement de chute d’une masse 𝑚, de vitesse 𝑣 (par rapport au référentiel terrestre galiléen) et décrit par l’équation différentielle suivante : 𝑑𝑣
𝑑𝑡+𝑣
𝜏= −𝑔 dans le champ de pesanteur 𝑔 = 10𝑚. 𝑠−2 de la Terre.
Compléter le programme ci-dessous avec la méthode d’Euler implicite afin d’obtenir le tracé de 𝑣(𝑡)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
"""constantes"""
Te=0.01 N=1000 g=10 tau=1
"""initialisation"""
A=...
...
"""schéma d'Euler implicite"""
...
...
...
t=np.linspace(0,N*Te,N)
plt.plot(...) plt.show()
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