Devoir_cours_1 Nom : Prénom : TSI2
Soit 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑥2+1𝑥+ 𝑙𝑛(2𝑥𝑦) 1) Exprimer 𝜕𝑓𝜕𝑥 :
2) Exprimer 𝜕𝑓𝜕𝑦
3) Exprimer la différentielle 𝑑𝑓 de 𝑓
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4) Donner l’expression de la surface 𝑆(𝑟) d’une sphère de rayon 𝑟.
5) Un balon de baudruche est assimilable à une sphère de rayon 𝑟. On fait varier son rayon de 𝑑𝑟. Exprimer la variarion 𝑑𝑆 de la surface associée à 𝑑𝑟.
6) On note 𝑃𝑖𝑛𝑡 la pression supposée uniforme dans le balon et 𝑃𝑒𝑥𝑡< 𝑃𝑖𝑛𝑡 la pression à l’extérieur du balon (également uniforme). Donner l’expression du travail élémentaire 𝛿𝑊 > 0 des forces de pression lors de déplacement 𝑑𝑟.
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7) Pour cacaréctiser l’élasticité du balon, on définit un coefficient 𝛾 traduisant son élasticité et sa difficulté à pouvoir augmenter son rayon 𝑟 de 𝑑𝑟 : 𝛿𝑊 = 𝛾𝑑𝑆. En déduire que 𝑃𝑖𝑛𝑡− 𝑃𝑒𝑥𝑡=2𝛾
𝑟
Soit une onde décrite par 𝑎(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) avec 𝐴, 𝜔 > 0 et 𝑘 > 0 constantes réelles.
8) Calculer 𝜕𝜕𝑥2𝑎2
9) Calculer 𝜕2𝑎
𝜕𝑡2
10) Déterminer l’expression de 𝑐 permettant d’écrire que 𝜕𝜕𝑥2𝑎2−1
𝑐2
𝜕2𝑎
𝜕𝑡2 = 0
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Questions de révision de mécanique 1e année :
1) En utilisant soigneusement le théorème de l’énergie cinétique, déterminer la vitesse d’impact avec le sol d’un objet lâché à 5m du sol terrestre (on négligera les frottements).
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2) Retrouver ce résultat avec le théorème de l’énergie mécanique. /1
