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Durée de l'épreuve : 2h – Répondre directement sur le sujet.

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Aucun document autorisé - SMARTPHONES et GSM interdits - Calculatrices interdites Première partie :

On se propose d’étudier le mouvement du système pendulaire représenté ci-dessous ainsi que la condition du maintien du contact ponctuel entre les solides (S₀) et (S₁).

La modélisation retient un problème plan.

1. Modèle dynamique textuel et le schéma cinématique associé 1.1. Géométrie et masse

Le système est composé de :

- quatre solides indéformables : (S₀), (S_*), (S₁) et (S₂) : - (S₀) le bâti,

- (S_*) de masse négligeable,

- (S₁) de centre d’inertie G₁ et de masse m₁,

- (S₂) un solide ponctuel de centre d’inertie G₂ et de masse m₂,

- un ressort de traction-compression (R01), de masse négligeable, situé entre les solides (S₀) au point O0 et (S₁) au point B1 ;

- un amortisseur (Am01), de masse négligeable, situé entre les solides (S₀) au point O0 et (S₁) au point B1 ;

G₁ A*1

0 12

*

0 z

z r

r =

y2

r

S_*

S₂

S₀

*

y0

r

G₂ B₁ S₁

xr1

gr

O0

C₁₂

Ressort (R01) Amortisseur (Am01)

Signature

2/10 M. Meyer, D. Sauhet

- six liaisons indéformables :

(S₀ – S*) : glissière (S_* – S1) : pivot (S₀ – S1) : ponctuelle (S₁ – S2) : pivot (R₀₁ – S0) : rotule (R₀₁ – S1) : rotule (Am₀₁ – S0) : rotule (Am₀₁ – S1) : rotule 1.2. Effort

Le ressort R₀₁ est supposé de caractéristique linéaire de raideur k et de longueur libre l0.

L’amortisseur Am01 est supposé de caractéristique linéaire (de type visqueux), de viscance b.

Toutes les liaisons sont supposées parfaites.

Le système évolue dans le champ de la pesanteur défini par la verticale ascendante du lieuyr_0*

.

1.3. Repère galiléen

Dans le domaine de l’étude, le repère lié au bâti (S₀) est supposé galiléen.

2. Construire un modèle géométrique vectoriel

La construction du modèle géométrique vectoriel ayant fait l’objet de l’examen « Médian », les résultats des premières étapes de la réalisation de ce modèle pour ce système sont donnés afin de se consacrer principalement, dans le temps imparti, à l’étude de dynamique.

2.1. Modéliser les liaisons - tracer le graphe des liaisons

2.2. Modéliser les solides rigides

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[

]

2 2

12

* 0 1 1 1 1

1

12

* 0

* 0

* 0

*

*

12

* 0

* 0

* 0 0

0

, ,

; ,

, ,

; , , ,

, ,

;

, ,

;

z y x G

C R R

z y x G C B A R R

z y x A

R R

z y x O

R R

r r r

r r r

r r r

r r r

=

=

=

=

S₂ S1

S_*

S₀

Rotule

( )

Rotule

( )

Pivot

(

)

Ponctuelle

(?)

Pivot

(

)

Glissière

( )

0 , , ,

* 0

* 0

* 0

* 0

* 0

*

0 r r

r

r r

=

∧

∧O A y y

z y A O

2.3. Paramétrer les repères liés

- exploiter un graphe minimum interbases

- exploiter un graphe minimum interpoints

2 2

1 1 1

1 1

*

0 AB 2ax AC ax ay AG ax CG 2ay

y y

OA r r r r r r

−

=

= +

=

=

=

ATTENTION VOTRE TRAVAIL COMMENCE ICI

☺

2.4. Rechercher les équations de liaison

- exploiter les liaisons non encore prises en compte par leur modèle vectoriel o Conséquence de la liaison ponctuelle (S₀ − S₁)

- exploiter les conditions géométriques non encore prises en compte de certaines liaisons o Conséquence de la liaison glissière (S₀ − S_*) :

z0*12

α y_0*

y1

x0*

x1

(0*; 1)

z0*12

β y0*

y2

x0*

x₂

(0*; 2)

A G₁

O C

G2

B

(S1)

(S1)

(S2) (S1)

b1 b0* b2

α _β

4/10 M. Meyer, D. Sauhet

2.5. Définir les paramètres indépendants

o Nombre de paramètres indépendants : Nombre = o Définir les paramètres indépendants :

Dans la suite de l’étude, dans la cadre de l’examen et pour obtenir des questions indépendantes des équations de liaison, on conserve l’ensemble des paramètres initiaux.

3. Formaliser les lois de comportement en fonction du modèle géométrique 3.1. Le ressort (R₀₁) : Expliciter la somme géométrique sr

{

}

{ }



= 







= 

→

_ 0 R _ 1

01 0

x S F

R r

r

*

Dans la suite de l’étude, on gardera sr

{

}

=

→

3.2. L’amortisseur (Am01) : Expliciter la somme géométrique sr

{

}

{ }



= 







= 

→

_ 0 A _ 1

01 0

x S F

Am r

r

*

Dans la suite de l’étude, on gardera sr

{

}

=

→ 3.3. La liaison ponctuelle(S₀ − S₁)

Condition d’existence cette liaison unilatérale : 3.4. Les liaisons parfaites

Reporter les conséquences scalaires sur le graphe des liaisons ci-dessous.

S2

S1

S*

S0

3.5. Le champ de la pesanteur

4. Recenser les inconnues de l'étude - les paramètres indépendants :

- les composantes d’efforts qui interviennent dans les lois de comportement : - les composantes d’efforts inconnues de l’étude :

5. Ecrire les équations de dynamique 5.1. Définir la coupure

Indiquer la liaison coupée et le nombre de nouvelles composantes d’efforts non recensées précédemment.

5.2. Définir les nouvelles inconnues de l’étude

5.3. Définir le graphe des particularités

S2

S1

S*

S0

S₂ S_*

+ +

+

S1

S₀

6/10 M. Meyer, D. Sauhet

5.4. Ecrire les conséquences scalaires des théorèmes généraux

= avec E =

= avec E =

= avec E =

Dans la suite des calculs, on garde les paramètres initiaux et les actions du ressort (R₀₁) et de l’amortisseur (Am01) sous la forme :

{ }







= 

→ 0

x S F

R ^{R 0}

_ 1

01 r

r

* et

{ }







= 

→ 0

x S F

Am ^{A 0}

_ 1

01 r

r

*

5.5. Calculer les composantes des efforts

=

=

=

5.6. Calculer les composantes de cinétique

- Calculer la somme dynamique des solides (S₁) et (S₂) dans leur mouvement par rapport à (S₀)

{

}

sr

8/10 M. Meyer, D. Sauhet

- Calculer le moment dynamique au point C du solide (S₂) dans son mouvement par rapport à (S₀)

( )

2 ,

δ^r0

- Ecrire, sans développer les calculs, les relations pour calculer le moment dynamique au point A des solides (S₁) et (S₂) dans leur mouvement par rapport à (S₀)

( )

U 2 1 ,

δ^r0

Deuxième partie :

Etude sous SIMULINK du mouvement d’un système masse-ressort-amortisseur sollicité par un déplacement d(t) du support.

Construire, page suivante, le modèle qui permet de résoudre l’équation de mouvement de ce système :

où x représente le déplacement de la masse m par rapport à sa position d’équilibre.

Données :

- m = 20 kg : masse du système,

- k = 17,5 kN/m : constante de raideur du ressort,

- b = 240 N.s/m : constante de viscosité de l’amortisseur, - d(t) = 50 sin(10t) mm : déplacement imposé du support Conditions initiales à t = 0 :

- x(t = 0) = x₀ = 0, - x’(t = 0) = x’0 = 0.

Présentation des résultats :

On souhaite connaître le déplacement x sous forme : - d’une courbe x = x(t),

- d’une matrice x = x(t).

Ressort (k) Amortisseur (b)

Masse (m)

Déplacement d(t)

Déplacement x

) ( )

(t bd t d

k kx x b x

m&&+ &+ = + &

10/10 M. Meyer, D. Sauhet

Modèle SIMULINK :