PCSI1, Fabert (Metz) Électromagnétisme , TD n°2 2010 – 2011
Approche locale du champ ( E, ~ ~ B)
Exercice 1 Lecture de carte
Les schémas suivants représentent quelques cartes de champs bidimensionnels dans le plan(Oxy) et de la forme :E~(x,y,z)=Ex(x,y)~ux+Ey(x,y)~uy.
Préciser dans chaque cas s’il peut s’agir d’un champ électrostatique et, si oui, déterminer la répartition de charges à l’origine d’un tel champ, si non, expliquer pourquoi.
x y
cas a
x y
cas b x
y
O
cas c
x y
O
cas d x
y
cas e
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Exercice 2 Sphére uniformément chargée en surface
On considère une sphère chargée uniformément en surface avec la densité surfaciqueσ.
O r M
θ
R D
1. Déterminer le potentiel en tout point de l’espace en s’inspirant du découpage représenté ci- dessus.
2. Déterminer le champ partout dans l’espace : (a) à partir du potentiel trouvé précédemment ; (b) à l’aide du théorème deGauss.
Exercice 3 Boule non homogène
On considère une boule de rayonRchargée en volume avec la densitéρ(r)=ρ0 1− r2 R2
! . Déterminer le champ électrostatiqueE~ et le potentielV en tout point de l’espace.
Exercice 4 Spire carrée
Déterminer le champE~ en tout point de l’axe d’une spire carrée de côtéaet de charge linéique constanteλ.
z
y x
a O
D A
B C
M θ
On donnera le résultat en fonction dezet des grandeurs caractéristiques du problème.
Exercice 5 Hémisphère chargé
Une demi-sphère de rayonRest uniformément chargée en surface. Déterminer le champ électro- statique en son centreO.
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Exercice 6 Répartition non homogène en surface
Déterminer l’expression du champ électrostatique au centre d’une sphère surfaciquement chargée avec la densité surfaciqueσ(θ)telle queσ(θ)=σ0cosθoù06θ6π.
z θ
Exercice 7 Sphère recouverte de spires
Une sphère de rayonRest recouverte d’un grand nombreNde spires jointives parcourues dans le même sens par un courant d’intensitéI. Calculer le champ magnétique créé par cette distribution de courants au centreOde la sphère.
x z
Exercice 8 Cylindre chargé en rotation
Un long cylindre, supposé infini, de rayonRet chargé uniformément en volume avec la densité ρ, tourne à vitesse angulaireωconstante autour de son axe(Oz)relativement au référentielR. Le milieu a les mêmes propriétés magnétiques que celles du vide et il n’existe pas de charges surfaciques.
ω dr z
dz di
On modélise ce dispositif par un ensemble de spires circulaires d’axe(Oz)de rayon06r6Ret parcourues par le couranti.
1. Déterminer la chargedqqui traverse la section comprise entreretr+ dret entrezetz+ dz pendant la duréedt.
En déduire l’intensitédi=dq
dt traversant la spire comprise entreretr+ dret entrezetz+ dz.
2. Déterminer alors, dans le référentiel R, l’expression du champ magnétostatique créé par une telle distribution de courant en mouvement.
3. Ces charges sont-elles aussi source d’un champ électrostatique ? Le déterminer s’il existe.
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Exercice 9 Bobines d’Helmholtz
1. Une bobine circulaire de centreO, d’axe(Ox)et de rayonRcomporte N spires parcourues par un courant d’intensitéI. On négligera l’épaisseur des spires. SoitB~=B~uxle champ magnétique en un point d’abscissexde l’axe de la spire etB0le champ au centreOde la bobine.
Exprimery= B B0
en fonction deu=x
R. Tracer la courbey(u)et placer les points d’inflexion.
2. Deux bobines identiques à la précédente, de centresO1etO2, et parcourues dans le même sens par un courant d’intensitéI, sont disposées sur le même axe(Cx),Cétant le milieu deO1O2. O1O2a la valeurR.
z x
C
O1 O2 M
R CalculerBC, l’intensité du champ au point C.
ExprimerY = B BC
en fonction deξ=CM R =x
R. TracerY(ξ).
3. Effectuer un développement limité à l’ordre 4 enξau voisinage deξ= 0à l’aide de dévelop- pement de Taylor de la fonctiony(u)en±1/2.
4. Dans quel domaine le champ est-il constant au millième près le long de l’axe ? Conclure.
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