1. Cadre carré en chute dans un champ magnétique :

Sup PCSI1 - Exercices de physique Induction magnétique Lorentz

1 Induction magnétique (2) : circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire

1. Cadre carré en chute dans un champ magnétique :

Un champ magnétique uniforme et stationnaire B⃗ = 𝐵 𝑒 ⃗ règne dans une région de l'espace (z > 0), l’axe (Oz) étant vertical descendant.

Un cadre métallique carré MNPQ, de côté a et de résistance R et de masse m, est abandonné sans vitesse initiale, par rapport au référentiel du laboratoire (O, x, y, z) ; (le trièdre (Oxyz) est direct).

Au cours de la chute, son plan coïncide avec le plan vertical Oxz ; à l'instant t = 0, le côté inférieur MN du cadre est à la cote z = 0. On note g l’intensité de la pesanteur.

1. Trouver la f.é.m. induite e dans le cadre à partir de la loi de Faraday e = -d/dt.

2. Montrer que le sens du courant induit est conforme à la loi de Lentz.

3. Etablir l'équation différentielle du mouvement de translation du cadre au cours de sa chute. En déduire l'expression de sa vitesse en fonction du temps tant que z < a. Interpréter. Que se passe-t-il au-delà de z = a ?

Réponse : 1. e = -B

a.dz/dt ; 2. Attention au sens d’orientation du cadre qui algébrise le flux. Force de Laplace freinant le mouvement −𝐵 𝑎 𝑧̇/𝑅 ; 3.

𝑧̇(𝑡) = 𝑚𝑔𝑅

𝐵 𝑎 (1 − exp − 𝑡 𝜏 )

avec τ = mR / (B

²a² ) ; à z > a, le flux ne varie plus avec le mouvement, le cadre est alors soumis seulement à son poids (si on néglige tout frottement).

2. Mouvement d’une barre roulant sur des rails, freinage inductif.

Une barre de longueur L et de masse m est placée orthogonalement sur deux rails parallèles et inclinés d’un angle α par rapport à l’horizontale. Le tout est plongé dans un champ magnétique uniforme, de module B et de direction verticale, orienté vers le haut. On note g = 10 m.s

l’accélération de la pesanteur. On néglige tout frottement mécanique dans l’expérience ainsi que les phénomènes d’auto-induction.

Un fil électrique relie les deux rails, assurant la fermeture d’un circuit électrique constitué de la barre et des deux portions de rail mises en jeu pour une position donnée de la barre repérée par la coordonnée x. On simplifie l’étude en considérant que la résistance totale de ce circuit reste invariante, de valeur R = 1,0 Ω, quelle que soit la position de la barre sur les rails.

La barre est abandonnée sans vitesse à l’abscisse x = 0.

1. Déterminer l’intensité i circulant dans la barre en fonction de L, B, α et de la vitesse v de déplacement de la barre.

2. Etudier le mouvement de la barre et montrer qu’elle atteindra une vitesse v

au bout d’une durée que l’on évaluera en faisant apparaître un temps caractéristique τ.

3. Calculer numériquement v

, τ ainsi que la valeur maximale atteinte par l’intensité i pour B = 0,1 T, L = 10 cm, m = 0,015 kg et avec α = 30°. Discuter la faisabilité de l’expérience.

Serait-elle réalisable dans l’entrefer d’un électro-aimant d’une machine d’analyse IRM, où l’on réalise un champ B = 10 T dans un espace dont la taille typique est de l’ordre de 50 cm ?

Réponse : 1. Le flux magnétique est 𝜙 = −𝐵. 𝑆(𝑡). 𝑐𝑜𝑠𝛼 ; la f.é.m. induite sur le circuit e = -dφ/dt produit un courant d’intensité i(t) = B.L.cosα.𝑥̇/R. 2. Force de Laplace : 𝐹⃗ = 𝑖𝑙⃗ ∧ 𝐵⃗

𝐹⃗ = −𝐵²𝐿² 𝑥̇

𝑅 (𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑒⃗ − 𝑠𝑖𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑒⃗)

Loi de vitesse v(t) = v

.(1 – exp(-t/τ)) avec τ = mR/(B²L².cos²α) et v

= mg.R.sinα/(B²L².cos²α).

Dans un champ de 10 T, les valeurs sont: v

= 1,0 m.s

et τ = 0,20 s, ce qui permet une expérience raisonnable sur quelques dizaines de centimètre à l’intérieur d’une machine d’IRM...

x

z

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2 𝐵⃗

𝑀⃗

α 3. Spire en rotation, « dynamo » d’une lampe de poche :

On appelle souvent, de manière abusive, « dynamo » l'alternateur équipant une lampe de poche ou une bicyclette, produisant en réalité du courant alternatif alors que la dynamo produit un courant continu, stable. Le mot dynamo est l'abréviation de machine dynamoélectrique. La dynamo désigne une machine à courant continu fonctionnant en générateur électrique et qui convertit l'énergie mécanique en énergie électrique en utilisant l'induction électromagnétique.

Une spire circulaire de rayon ρ est entraînée en rotation par un dispositif mécanique à la vitesse angulaire constante ω autour de l’un de ses diamètres qui constitue l’axe de rotation ∆. La spire est placée dans un champ magnétique uniforme et stationnaire 𝐵⃗, de module B, orthogonal à ∆.

1. Etablir l’expression de la f.é.m. induite e et déterminer sa valeur efficace E.

2. On note R la résistance électrique de la spire. Calculer en fonction de B, ω et R le moment magnétique de la spire.

3. Le dispositif est en réalité une « dynamo », dispositif permettant d’assurer la recharge des batteries d’une lampe de poche, constituée d’un enroulement de N spires identiques. Déterminer la puissance mécanique moyenne nécessaire pour assurer le mouvement de rotation. On néglige tout frottement mécanique dans le problème.

Réponse : Réponse : 1. Flux magnétique ϕ = Bπρ².cos(ωt) d’où e = -dϕ/dt ; E = Bωπρ²/√2. 2. 𝑀⃗ = 𝑖𝑆𝑛⃗ avec i = e/R 3. Le couple des actions de Laplace exercées sur la spire va s’opposer au mouvement de rotation (loi de Lenz).

𝛤⃗ = 𝑀⃗ ∧ 𝐵⃗ = − 𝐵

𝑅 𝜔𝜋𝜌²𝑠𝑖𝑛²(𝜔𝑡) 𝑢⃗

Pour N spires :

〈𝑃〉 = 𝑁 𝐵

2𝑅 𝜔²(𝜋𝜌 )²

4. Spire dans un champ magnétique uniforme :

Une spire circulaire de masse m, de rayon a, de résistance R et de self-induction négligeable est suspendue verticalement par un fil isolant et vertical, de constante de torsion négligeable.

La spire est plongée dans un champ magnétique 𝐵⃗ uniforme horizontal. On appelle  l’angle que fait la normale à la spire avec 𝐵⃗. A t= 0, on abandonne la spire avec une position  = 0 et une vitesse angulaire initiale 𝛼̇ .

1. Ecrire l’équation différentielle du mouvement. On donne le moment d’inertie J = ma

/2.

2. Trouver une relation entre 𝛼̇ et . Montrer, sans connaître (t), que l’on peut déterminer en fonction de R, m, a, et la vitesse angulaire initiale de la spire 𝛼̇ la valeur finale 

de  lorsque la spire s’arrête.

3. Montrer graphiquement qu’il n’y a qu’une seul solution pour 

.

Réponse : l’action mécanique exercée sur la spire résultera de l’interaction du champ magnétique avec un courant circulant dans la spire, par des forces de Laplace. Ce courant i sera lui-même dû à un phénomène d’induction.

f.é.m. induite : 𝑒 = 𝐵. 𝑆. 𝛼.̇ 𝑠𝑖𝑛𝛼 ; en utilisant le moment magnétique pour calculer le couple exercé sur la spire, on établit l’équation du mouvement par le TMC :

J𝛼̈ = −𝐵 . 𝑆

𝑅 . 𝛼̇. 𝑠𝑖𝑛 𝛼 En intégrant par rapport au temps entre (t = 0, 𝛼̇(0) = 𝛼̇ ) et (t, 𝛼̇) :

𝛼̇ = 𝛼̇ − 𝐵 . 𝑆

𝐽. 𝑅 . 2𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼

4

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3 5. Haut-parleur électrodynamique :

Le haut-parleur est constitué d’un aimant annulaire créant un champ magnétique radial de norme constante B dans la zone utile de son entrefer, d’un solénoïde de même axe que l’aimant, alimenté par des fils souples et d’une membrane aussi rigide et légère que possible.

Le solénoïde est solidaire de la membrane. Celle-ci est fixée en périphérie par une liaison élastique à un support rigide nommé « saladier » à cause de sa forme. L’aimant est fixé rigidement au saladier.

Mécaniquement, la membrane est modélisée par une masse ponctuelle soumise à une force de rappel linéaire de constante k. Les frottements visqueux présents dans le dispositif sont représentés par une force

frott

F   f v

 

où v   x e



est la vitesse de déplacement de la masse m.

La mise en mouvement de la membrane est commandée par le dispositif électrodynamique formé par la bobine interagissant avec l’aimant.

La bobine est assimilable à une association série de N spires circulaires de rayon a, centrée sur la partie cylindrique centrale de l’aimant.

1. Montrer que le dispositif décrit peut se ramener à un dispositif équivalent comportant un conducteur rectiligne ayant un déplacement de translation selon une direction orthogonale (xx’), dans un champ magnétique uniforme et orthogonal à (xx’) et au conducteur.

2. Former l’équation différentielle reliant les paramètres du haut-parleur à l’abscisse x de la membrane et l’intensité i traversant la bobine.

3. La bobine, de résistance interne R

et d’inductance propre L

est soumise à une tension u(t) sinusoïdale. Ecrire l’équation électrocinétique correspondante.

4. Déduire l’impédance du haut-parleur et l’identifier à une association série de deux impédance Z

et Z

où l’impédance motionnelle Z

sera représentée par une association en dérivation de trois dipôles respectivement de résistance R

, d’inductance L

et de capacité C

. Identifier les caractéristiques du haut-parleur et discuter sa réponse fréquentielle.

5. On montre que la puissance acoustique moyenne délivrée par le haut-parleur est de la forme : 〈𝑃 〉 = 𝑅 𝐼 ² où I

est la valeur efficace de l’intensité d’entrée du haut-parleur et R

est la partie réelle de l’impédance motionnelle. La puissance totale consommée par le haut-parleur est la somme de cette puissance acoustique et de la puissance moyenne consommée par effet Joule dans le circuit 〈𝑃 〉 = 𝑅 𝐼 ². Exprimer R

en fonction de la pulsation ω et discuter la réponse fréquentielle de cette grandeur. Quelle conséquence en tire-t-on sur le rendement en puissance η = 〈𝑃 〉/〈𝑃 〉 ? Commenter.

Réponse : La mise en équation a été intégralement traitée en cours.

𝑍 = 𝐵²𝑎²

𝑓 + 𝑗𝑚𝜔 + 𝑘 𝑗𝜔

𝑅 = 𝐵²𝑎²𝑓

𝑓² + 𝑚𝜔 − 𝑘 𝜔 ²

R

est très faible pour 𝜔 ≪ 𝑘/𝑚 comme pour 𝜔 ≫ 𝑘/𝑚. Seules les fréquences menant à une pulsation 𝜔 ≃ 𝑘/𝑚

conduiront à une valeur conséquente de R

et donc de η.

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4 6. Freinage électromagnétique :

On modélise le système par une circonférence de rayon a et de résistance 2R, uniformément répartie, munie d’un diamètre [CD] de résistance R.

L’ensemble est en rotation autour d’un axe horizontal et est soumis à un champ magnétique uniforme, qui n’est présent que dans le demi-espace défini par z < 0 (le champ magnétique est nul pour z > 0).

On note  la vitesse angulaire instantanée du dispositif. Le moment d’inertie du dispositif, par rapport à l’axe de rotation est noté J = ma²/2.

1. Etudier la f.é.m. induite e dans le dispositif et en déduire l’intensité i circulant dans le diamètre [CD]. On pensera à tracer un schéma électrique du circuit.

2. Evaluer les actions mécaniques s’exerçant sur le système et étudier son mouvement.

Réponse : 1. En considérons la variation de flux liée au déplacement du segment [CD] dans le champ magnétique la loi de Faraday donne la f.é.m. : e = -dφ/dt = (-Ba²/2) 𝜃̇. i par un schéma électrique équivalent amenant, après association équivalente des résistances, i = 2e/3R.

2. Chaque tronçon de [CD] subit

𝑑𝐹⃗ = 𝑖𝑑𝑟𝑒⃗ ∧ (−𝐵)𝑒⃗ = − 𝐵²𝑎² 3𝑅 𝜃̇𝑑𝑟𝑒 ⃗ Puis calculer le moment résultant.

7. Oscillateur à couplage électromagnétique :

Deux barres métalliques peuvent glisser sans frottement sur deux rails conducteurs horizontaux parallèles et distants de a. Chaque barre possède une masse m, une résistance R/2, et reste perpendiculaire aux rails. Les deux ressorts sont identiques, de raideur k et longueur à vide lo. Le système est plongé dans un champ magnétostatique Bo orthogonal au plan horizontal.

A l'instant initial, t = 0, le ressort (1) est comprimé (l1 = l

- a') et le ressort (2) n'est ni comprimé ni tendu. On laisse évoluer le système sans vitesse initiale. La position de chacune des barres est repérée par l’écart à sa position de repos, soit x

= l

– l

et x

= l

– l

.

1. Exprimer le courant induit i dans le circuit formé des deux barres AB et CD et des portions de rails les reliant, de résistance négligeable. Former les équations du système, et en déduire le mouvement ultérieur des deux barres.

2. Montrer qu’en combinant les deux équations obtenues, on arrive formellement à un système de deux équations différentielles indépendantes portant sur la somme S = x

+ x

et la différence D = x

– x

. Donner une forme générale des solutions S(t) et D(t).

On pourra poser : 

² = k/m et  = B

²a²/(mR

). On supposera dans tout l'exercice que 0 <  < 1, et l'on négligera les phénomènes d'auto-induction.

En déduire une description du mouvement des deux barres.

3. Faire un bilan énergétique du problème.

Réponse : 𝑖 = (𝑥̇ − 𝑥̇ ) ; système d’équations mécaniques { 𝑥̈ + 𝜔 ²𝑥 = 𝑖𝐵 𝑎/𝑚 ; 𝑥̈ + 𝜔 ²𝑥 = −𝑖𝐵 𝑎/𝑚 } oscillateurs harmoniques amortis, équation sur S : 𝑆̈ + 𝜔 ²𝑆 = 0 ; équation sur D : 𝐷̈ + (2𝐵 ²𝑎²)/(𝑚𝑅))𝐷̇+ 𝜔 ²𝐷 = 0 ; x

= (S + D)/2 et x

= (S - D)/2. Bilan énergétique : d(E

+ E

)/dt + Ri² = e.i + P

x

 D

C

 𝐵⃗

z y

𝐵⃗