Équations du second degré

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Équations du second degré

Exercice 1

Précisez pour chacune des expressions suivantes si elle est un polynôme du second degré (trinôme) et si oui, donner la valeur de chacun de ses coefficients.

a. f (_x)₌₄_x²₋₂_x+₆ ; b. g(_x)₌₋₅_x²₊₄_x−3 ; c. h(x)=x+9 ; d. j(_x)₌_x²₊₄ ; e. k(x)=(x+2) (x−3) ; f. l(x)=(x+4)². Exercice 2

Soit la fonction f définie sur ℝ par f (x)=3x²−30x+83 . 1. Déterminer les coefficients a, b et c de f .

2. Calculer les coordonnées du sommet de la parabole associée à f . Précisez si f admet un minimum ou un maximum.

Exercice 3

Soit la fonction g définie sur ℝ par g(_x)_=−x²₋₈_x−15. 1. Déterminer les coefficients a, b et c de g .

2. Calculer les coordonnées du sommet de la parabole associée à g. Précisez si g admet un minimum ou un maximum.

Exercice 4

Soit la fonction h définie sur ℝ par h(x)=−2x²+10x−7 . Construire la représentation graphique de h.

Exercice 5

On reprend les fonctions f (x)=3x²−30x+83 et g(x)=−x²−8x−15 des exercices 2 et 3.

1. Vérifier que pour tout x réel, on a f (x)=3(x−5)²+8 et g(x)=−(x+4)²+1 . 2. En déduire les coordonnées du sommet de la parabole associée à f puis à g. Exercice 6

Chacune des fonctions polynômes suivantes est donnée sous sa forme canonique. Donner les coordonnées du sommet pour chaque parabole, et précisez si la fonction admet un minimum ou un maximum.

a. f (x)=2(x−3)²+8 ; b. g(x)=−4(x−2)²−4 ; c. h(x)=8(x+2)²+5 . Exercice 7

Soit les fonctions f et g définies sur ℝ par f (x)=3(x+7)²−2 et g(x)=−2(x+4)²+5 . 1. Déterminer la forme développée de f .

2. Donner les coordonnées du sommet de la parabole associée à f . 3. Reprendre les questions précédentes pour la fonction g .

Exercice 8

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=2x²−8x+8 . 1. Factoriser f (x).

2. Trouver les coordonnées de la parabole associée à f . Précisez si la fonction f admet un maximum ou un minimum.

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Exercice 9

Soit f la fonction déﬁnie sur ℝ par f (x)=(x+1)(3x−2)−5(x+1)². 1. Déterminer :

a. La forme développée de f (x). b. Une forme factorisée de f (x).

c. Déterminer la forme canonique de f (x).

2. Répondre aux questions suivantes en choisissant la forme de f (x) qui paraît la plus adéquate.

a. Calculer les images par f de 0, −1 , 2

3 et

√

⁵^.

b. Trouver l’extremum de f sur ℝ. c. Résoudre l’équation f (x)=0 . d. Résoudre l’inéquation f (x)⩽ 0. Exercice 10

Soit g la fonction déﬁnie sur ℝ par g(x)=4(x−1)²−3(x²−x−1). 1. Déterminer :

a. La forme développée de g(x).

c. Déterminer la forme canonique de g(x). Peut-on factoriser g(x) ?

2. Répondre aux questions suivantes en choisissant la forme de f (x) qui paraît la plus adéquate.

a. Calculer les images par f de 0, 3 et

√

²⁺

√

³^.

b. Trouver l’extremum de g sur ℝ. c. Résoudre l’équation g(x)=0 . d. Résoudre l’inéquation g(x)⩾0.

e. Tracer l'allure de la courbe représentative de g . Exercice 11

Dans chacun des cas suivants, écrivez le trinôme sous sa forme canonique.

a. f (_x)_=x²₊₆_x ; b. g(_x)₌₋₃_x²₊₆_x−2 ; c. h(_x)₌_x²₋₆_x+₉ ; d. i(x)=x²+x−1 ; e. j(x)=2x(x –3) ; f. k(x)=2x²−4x

√

2−3 . Exercice 12

Dans chacun des cas suivants, écrivez le trinôme sous sa forme canonique.

a. f (x)=x²−6x+5 ; b. g(x)=x²+5x+4 ; c. h(x)=3x²+9x+5 ; d. i(x)=−2x²+2x+2 ; e. j(x)=−3x²+24x−41 ; f. k(x)=−5x²−20x. Exercice 13

1. Soit l'équation du second degré (^E1)^: ^x²⁻⁴^x+3=0 . Vérifier que 1 et 3 sont racines de (^E1)^. 2. Soit l'équation du second degré (E₂) : 2x²+2x−12=0 .

1 est-il une racine de (^E2) ? 4 est-il une racine de (^E2)^?

Exercice 14

Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

a. x²+5x−6=0 ; b. x²+x+2=0 ; c. 4x²−12x+9=0 ; d. −2x²+3x+4=0 ; e. 3x²+2x+2=0 ; f. x²+4x+4=0 ; g. x²−9x+20=0 ; h. 2x²−7x=0 ; i. 3t²−4t−4=0 .

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Exercice 15

On dispose de deux conducteurs ohmiques de résistance R₁ et R₂ .

Si on les monte en série (figure 1), on obtient un dipôle de résistance équivalente R_eq=R₁+R₂. Si on les monte en dérivation (figure 2), on obtient un dipôle de résistance équivalente R_eq telle que : 1

R_eq= 1 R₁+ 1

R₂ .

1. Déterminer la valeur x de la résistance pour que la résistance équivalente de ce montage soit de 6Ω.

2. Déterminer la valeur x de la résistance pour que la résistance équivalente de ce montage soit de 4,5Ω.

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Exercice 16

Pour chaque trinôme représenté graphiquement ci-dessous, déterminer le signe de Δ.

Exercice 17

Résoudre dans ℝ les équations suivantes.

a. x²+16x+23=0 ; b. x²−11x+28=0 ; c. −5x²+2

√

5x−1=0 ; d. 3x²+5=2x²−2x+4 ; e. −4x²−x−6=0 ; f. −6x²+23x+4=0 ;

g. 3x²−2

√

6x+3=0 ; h. (2x+4)²=3x+5 ; i. −1

2 x²−11 3 x−7

6=0 ; j. 2x²+3x−5

x−1 =0 ; k. x³−5x²+4x=0 ; l. x+1 x=3 ; m. x+1

2 + 1

x−4=1 ; n. x²−x+1

x²−2x+2=x+4

x+2 ; o. x⁴−4=0 .

Exercice 18

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (_x)_=−x²₋₉_x+360 et représentée graphiquement par la parabole P . Déterminer les coordonnées des points d’intersection de P avec l’axe des abscisses.

Exercice 19

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (_x)₌₋₂_x²₊₂₂_x+125 et représentée graphiquement par la parabole P . Déterminer les coordonnées des points d’intersection de P avec la droite

d’équation y=5 . Exercice 20

Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par f (x)=4x²+3x+2 et g(x)=5x²+2x+1 et représentées graphiquement par les paraboles P_f et P_g respectivement. Déterminer les

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Exercice 21

Résoudre dans ℝ les équations suivantes.

a. x⁴+x²+1=0 ; b. 3x⁴−4x²+1=0 ; c.

√

²^x−1=1−2^x^;

d. x−5

√

x+6=0 ; e.

√

^x²⁻⁸⁼²^{x−5 ;} ^f. ¹

x²−9+ 14

x−3=−3 . Exercice 22

Soit m∈ℝ et f la fonction définie sur ℝ par f (x)=x²−(m+1)x+4 .

1. Pour quelle(s) valeur(s) de m l'équation f (x)=0 admet-elle une unique solution ? Que vaut alors cette solution ?

2. Pour quelle(s) valeur(s) de m l'équation f (x)=0 n'admet-elle aucune solution ? Exercice 23

1. On considère le trinôme suivant : (_m+3)_x²₊₂(₃_m+1)_x+(_m+3), avec m un réel.

Pour quelles valeurs de m a-t-il une racine double ? Calculer alors la valeur de cette racine.

2. On considère l'équation suivante : (4m+1)x²−4mx−3=0 , avec m un réel.

Pour quelles valeurs de m admet-elle des solutions distinctes ? Exercice 24

Soit l'équation du second degré 2x²−5x+1=0 . 1. Calculer le discriminant Δ.

2. Vérifier que Δ>0 et en déduire le nombre de racines.

3. Sans calculer les racines, déterminer leur somme et leur produit.

Exercice 25

Soit l'équation du second degré 5x²−4x−1=0 . 1. Combien de racines cette équation admet-elle ? 2. Vérifier que 1 est une racine.

3. En utilisant la somme ou le produit des racines, déterminer toutes les solutions de cette équation.

Exercice 26

Pour chaque équation, déterminer une solution évidente et en déduire l'autre sans calculer le discriminant.

a. 2x²+x−3=0 ; b. 3x²+10x+7=0 ; c. x²+(

√

3−1)x−

√

3=0 ;

d. x²+4

√

5x−25=0 ; e. x²−9x+8=0 ; f. 2x²+3x−27=0 . Exercice 27

1. Trouver deux nombres dont la somme est 10 et le produit est 13.

2. Trouver deux nombres dont la somme est 24 et le produit est 58.

Exercice 28

Existe-t-il deux nombres dont la somme est 12 et le produit est 42 ? Exercice 29

Un rectangle a pour périmètre 36cm et pour aire 32cm². Déterminer les dimensions de ce rectangle.

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QCM

Pour chaque question, indiquer la ou les bonne(s) réponse(s).

1. Le polynôme 3x²+6x −1 peut s’écrire :

a. 3(x –1)²−2 b. 3(x+1)²−2 c. 3(x+1)²−4 d. (3(x−1))²−4 2. La forme canonique de f : x→x²+4 est :

a. (x−2)²+4x b. (x+2)²−4x c. x²+4 d. (x−2)+4x

3. Le sommet de la parabole d’équation y=−0 ,5(x+2)²−3 est :

a. S(−2; 3) b. S(2 ;−3) c. S(2 ;3) d. S(−2 ;−3)

4. L'équation (2x−1)(−x+5)=0 a pour solutions :

a. {1 ;5} b.

{

¹2;5

}

^c.

{

¹2 ;−5

}

^d.^{−1;−5}

5. Pour résoudre rapidement l’équation f (x)=0 , on utilise de préférence :

a. La forme développée b. La forme canonique

c. La forme factorisée d. La forme trigonométrique

6. Soit f une fonction polynomiale. On dit que a est racine de f et on a :

a. f (a)=0 b. f (0)=a c. a=0 d. f (x)=0 7. Le discriminant du trinôme −x²+3x−2 est :

a. −4 b. 9 c. 17 d. 1

8. L'équation 3x²−4

√

3x+4=0 a :

a. Aucune solution b. Une solution

c. Deux solutions d. une infinité de solutions

9. L'équation 5x²−mx−1=0 , où m est un réel, a :

c. Deux solutions d. Une infinité de solutions

10. x₁ et x₂ sont deux nombres dont la somme est 7 et le produit est 4. Alors ils sont : a. Solutions de x²−7x+4=0 b. N'existent pas

c. Solutions de −3x²+21x−12=0 d. Solutions de x²+4x−7=0

11. On considère le trinôme 2x²−5x−3=0 . Alors : a. La somme des deux racines est 5

2 b. Δ>0

c. Le trinôme admet une racine double d. Le produit des deux racines est 3 2 12. L'équation −x⁴+x²−1=0 a :

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Problèmes

Problème 1 ..Nombre d'or...

Le format d’un rectangle de longueur L et de largeur l ( L⩾l ) est le quotient L l . Deux rectangles de même format sont dits

semblables. Soit ABCD un rectangle de longueur L=AB et de largeur l=AD . On dit que ce rectangle est un rectangle d’or s’il a le même format que le rectangle

EBCF obtenu en retirant le carré de côté [AD].

On pose Φ=L l .

1. Démontrer que si ABCD est un rectangle d’or, alors on a l’égalité L l = l

L−l . En déduire que Φ²=Φ+1 .

2. Déterminer la valeur exacte de Φ, puis une valeur approchée à 10⁻³ près.

Le nombre Φ est appelé nombre d’or.

Problème 2 ...Points de chute...

Un récipient cylindrique vertical de 4m de hauteur est rempli d’eau.

Sur ce cylindre, on a percé trois trous identiques A , B et C . Ces trous sont situés sur une même verticale, respectivement à 1, 2 et 3 mètres du sol.

On cherche à connaître les

trajectoires des jets d’eau au départ de l’expérience, et l’ordre de leurs points de chute par rapport à la base du récipient. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé d’origine O à la base du récipient, l’unité correspondant à 1m.

1. À l’instant t=0 , on débouche un trou. La trajectoire théorique des premières gouttes est donnée par :

y=h−1

2 g t² et x=t

√

2gH

où g est la constante liée à l’accélération de la pesanteur, h la hauteur du trou et H la hauteur de la colonne d’eau au-dessus du trou. Exprimer y en fonction de x .

2. Tracer dans un même repère les trajectoires des premières gouttes d’eau sortant par les trous A , B et C .

3. Dans quel ordre sont rangés leurs points de chute ? Vériﬁer par le calcul.

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Problème 3 ...Polynôme de degré 3...

1. Soit f la fonction définie sur ℝ par f (_x)₌_x³₋₂_x²₋₅_x+6. On veut résoudre l'équation f (x)=0 .

a. Vérifier que 1 est solution de l'équation f (x)=0 .

b. Montrer que l'on peut écrire f (x) sous la forme (x−1)(ax²+bx+c) en développant et en identifiant les coefficients. On donnera les valeurs de a, b et c .

c. Résoudre l'équation ax²+bx+c=0 .

d. En déduire toutes les solutions de f (x)=0 .

2. On souhaite maintenant résoudre l'équation 2x³−20x²−618x+1980=0 .

a. Vérifier que 3 est solution, puis écrire le premier terme sous la forme (x−3)g(x) avec g(x) un polynôme de degré 2.

b. En déduire toutes les solutions de l'équation.

Problème 4 ...Étude géométrique...

Dans un cercle C de centre O et de rayon R=50 est inscrit un triangle équilatéral ABC .

On appelle D le milieu du segment [AB], et on construit le triangle

équilatéral DEF dont les sommets sont sur le cercle C .

Le point H est le milieu du segment [EF]. Déterminer le côté a du triangle DEF .

Problème 5 ...Calcul mental...

1. Trouver toutes les suites de 5 entiers consécutifs tels que la somme des carrés des trois premiers nombres soit égale à la somme des carrés des deux derniers nombres.

2. En déduire par un calcul mental le résultat de : 10²+11²+12²+13²+14²

365 .