Rappel : Pour obtenir la valeur de racine carrée de 2 inscrite sur la tablette, les chercheurs pensent que les Babyloniens ont construit des rectangles successifs :
A chaque étape, la longueur du nouveau rectangle est la moyenne des dimensions du précédent : L’= L+l
2 ; la largeur est telle que l’aire du nouveau rectangle est 2 : l’= 2 L ’ .
Valeurs successives de L et l
Pour les deux premiers rectangles, on a : L1=2 et l1=1 et L2=3
2 et l2= 4 3 . Calculer les dimensions du troisième et du quatrième rectangle.
Le troisième : à la main
L3= 3 2+4
3
2 =
17 6 2 =17
12
et l3= 2 17 12
=2×12 17=24
17
Le quatrième : à la calculatrice
L4= 17 12+ 24
17
2 =577 204
et l4= 2 577 204
= 408 577
Ces valeurs sont de plus en plus proches du côté d’un carré d’aire 2 soit :
Tous les nombres obtenus sont des fractions d’entiers : on dit que ce sont des rationnels.
√
2est-il aussi un rationnel ?
Hypothèse : on suppose que
√
2 est un rationnel.On peut alors écrire la fraction irréductible
√
2= pq avec p et q entiers naturels, premiers entre eux.
En déduire la relation entre p2 et q2
On considère le chiffre des unités de q, on veut connaître celui de 2q2. Compléter le tableau :
Unité de q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Unité de q² 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1
Unité de 2q2 0 2 8 8 2 0 2 8 8 2
Quelles sont les chiffres des unités possibles pour p2 ? Conclure.
Pour p2, le seul chiffre des unités possible est 0 donc p multiple de 10 et q multiple de 10 ou de 5 donc p et q non premiers ! Il y a contradiction avec l’hypothèse donc elle est incorrecte donc √2 ne peut pas s’écrire comme une fraction d’entiers : on dit qu’il est irrationnel.
Encadrements successifs de √
2a) Prouver que L<L’
l<L donc L+l<2L donc L+l
2 <L donc L’<L b) En utilisant L×l=L ’×l’=2 , montrer que l<l’.
L’<L donc L’×l ’<L×l’ donc L×l<L×l ’ donc l<l’
