Atomisation du jet d'un canon d'irrigation: modélisation eulérienne et validation

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N. Kadem

To cite this version:

N. Kadem. Atomisation du jet d’un canon d’irrigation: modélisation eulérienne et validation. Sci-ences de l’environnement. Thèse de Doctorat, discipline: Mécanique, option: Mécanique des Fluides, Université de la Méditerranée Aix-Marseille II, 2005. Français. �tel-02586920�

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ΣΡΞΥ ΡΕ ΗΘΛΥ ΟΗ ϑΥ ΓΗ ΓΗ

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Ce travail a été réalisé au sein du Laboratoire d'Essais et de Recherche des Matériels d'Irrigation (LERMI), CEMAGREF, Aix-en-Provence (associé à L’UMR G-Eau) sous la direction de Monsieur le professeur Roland Borghi de l’Ecole Généraliste d’Ingénieurs de Marseille (EGIM) et Monsieur André Tchiftchibachian, Maître de conférence de l’Université de Bretagne-Sud, en délégation au CEMAGREF.

Je remercie vivement, Monsieur le Professeur Roland Borghi de l’Ecole Généraliste d’Ingénieurs de Marseille, pour avoir assuré la direction de ce travail, et pour m’avoir apporté la rigueur scientifique nécessaire à son bon déroulement.

A Monsieur André Tchiftchibachian, Chargé de recherche au CEMAGREF, qui a largement contribué à l’encadrement de cette thèse, j’exprime ma gratitude pour ses conseils et ses encouragements qui, tout au long de ses trois années, ont largement contribué à l’avancée de ce travail.

J’exprime ma très sincère reconnaissance à Monsieur Emile Hopfinger, Directeur de Recherche au CNRS (LEGI-HMG-INPG) et Monsieur Jean-Luc Estivalezes Ingénieur de recherche à l’ONERA de Toulouse, pour avoir accepté d’être rapporteurs de cette thèse et de participer au jury.

Je remercie Monsieur Fabien Anselmet, Directeur de Recherche au CNRS, de m’avoir fait l’honneur de présider le jury de thèse.

A Monsieur Alain Cartellier, Directeur de Recherche au CNRS, Directeur du Laboratoire des Ecoulements Géophysiques et Industriels (Grenoble), j’exprime mes remerciements pour sa participation au jury et pour sa disponibilité.

Je remercie chaleureusement tous les membres de l’équipe Irrigation pour leur disponibilité, leur accueil et leur bonne humeur pendant toutes ces années. Je pense tout particulièrement à André, Jacques, Bruno, Annie et Mohamed. Mes remerciements vont à Magali et Sophie pour l’aide apporter durant les essais. Enfin, je dédicace ce travail à ma famille, surtout à mes parents, à tous ceux qui sont dans mon cœur, et plus particulièrement à mon époux Ramdane pour sa patience et son soutien constant tout au long de cette thèse.

Bonne chance aux suivants, …..

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Table des matières

Table des matières ...i

Nomenclature ...iv

Introduction générale………... ……….1

Chapitre 1 ……… ………5

Régimes et mécanismes de fractionnement ... 5

1.1 Introduction ... 5

1.2 Régimes de fractionnement ... 6

1.2.1 Le régime de Rayleigh ... 6

1.2.2 Le régime « First Wind induced » (premier régime d’influence aérodynamique) 6 1.2.3 Le régime « Second Wind induced » (second régime d’influence aérodynamique) ... 7

1.2.4 Le régime d’atomisation ... 7

1.3 Paramètres influençant l’atomisation... 8

1.4 Critères de transition... 17 1.5 Conclusion... 17 1.6 Modèles d’atomisation ... 18 1.6.1 Modèle de Reitz-Diwakar ... 18 1.6.2 Modèle T. A. B... 20 1.6.3 Modèle Wave ... 21

1.6.4 Modèle de Huh et Gosman ... 22

1.6.5 Modèle de Pilch et Erdman ... 24

1.6.6 Modèle de Patterson-Reitz ... 25

1.6.7 Modèle Wave-FIPA ... 25

1.6.8 Le modèle DDB ... 26

1.7 Conclusion... 27

Chapitre 2………28

Modélisation de la dispersion du liquide et de la taille des fragments liquides…28

2.2 Modélisation de la turbulence ... 30

2.2.1 Les équations du modèle ... 31

2.2.1.1 Equation de continuité :... 31

2.2.1.2 Equation de la quantité de mouvement :... 31

2.2.1.3 Equations de transport des tensions de Reynolds : ... 32

2.2.2 Modèle

Ν − ε

2.2.2.1 Equation de Ν_{: ... 34}

2.2.2.2 Equation de ε: ... 34

2.2.3 Equation de transport de la fraction massique du liquide :... 34

2.3 Nouvelles propositions de modélisation: ... 35

2.4 Modélisation de la taille des gouttes produites ... 38

2.4.1 Introduction... 38

2.4.2 Equation de transport pour la densité de surface liquide moyenne... 39

2.4.2.1 Termes de production :... 39 CemOA : archive ouverte d'Irstea / Cemagref

2.4.3.1 Le terme de diffusion ... 43

2.4.3.2 Les termes de production et de destruction ... 43

Chapitre 3………..…….44

Résolution numérique... 44

3.1 Introduction ... 44

3.2 Choix du système de coordonnées ... 45

3.3 Les équations de transport ... 47

3.3.1 Forme générale des équations de transport... 47

3.3.2 Transformation des équations en coordonnées x-ω ... 48

3.4 Résolution du système d'équations ... 49

3.4.1 Formules d'intégration ... 50

3.4.1.1 Les formules explicites:... 50

3.4.1.2 Les formules implicites: ... 51

3.4.2 Discrétisation des équations de transport ... 52

3.4.3 Algorithme de Thomas ... 54

3.5 Conditions aux limites... 54

3.5.1 A l'entrée ... 54

3.5.2 Sur l’axe de symétrie ... 55

3.5.3 A la frontière libre ... 55

Chapitre 4……….………..57

LE JET D’IRRIGATION ... 57

4.1 La géométrie et les dimensions du canon... 57

4.2 Description du jet :... 59

4.3 Conditions en sortie de buse... 62

Chapitre 5……….………..………...64

Sonde optique ... 64

5.1 Méthodes de discrimination phasique... 64

5.2 Les sondes optiques ... 65

5.2.1 Principe de mesure ... 65 5.2.2 Taux de vide ... 65 5.2.3 Vitesse d’interface... 66 5.3 Difficultés et précautions... 67 5.4 Dispositif expérimental... 68 5.4.1 La bisonde ... 68

5.4.2 Le support de la sonde et le système de positionnement ... 69

5.4.3 La chaîne de mesure et le système d’acquisition... 69

5.4.4 Le système d’alimentation hydraulique (Alimentation en eau) ... 70

5.5 Validité des mesures par fibre optique... 71

5.6 Sensibilité de la mesure à différents paramètres ... 73

5.6.1 Le taux de vide... 73

5.6.2 La vérification du débit ... 73

5.6.3 La vitesse... 74

5.7 Remarques générales sur les premiers résultats... 75

Chapitre 6……….……….78

La monosonde... 78

6.4 Présentation des résultats... 81

6.4.1 Relation vitesse-diamètre... 81

6.4.2 Distribution des tailles ... 82

6.4.3 Distribution de vitesse... 84

Chapitre 7………..86

Le Spectro-Pluviomètre Optique ... 86

7.1 Introduction ... 86

7.2 Description et principe de fonctionnement ... 87

7.3 Protocole de mesure ... 87

7.4 Présentation des résultats... 88

Chapitre 8………..94

Résultats et discussion... 94

8.1 Introduction ... 94

8.2 Effet des conditions d’entrée... 95

8.2.1 Profils plats. ... 95

8.2.1.1 Evolution axiale... 95

8.2.1.2 Evolution radiale... 96

8.2.2 Changement des conditions aux limites à l’entrée ... 101

8.2.2.1 Evolution axiale... 101

8.2.2.2 Evolution radiale... 103

8.2.3 Conclusion ... 107

8.3 Terme de diffusion ... 107

8.3.1 Proposition de Demoulin : Injecteur co-flow ... 107

8.3.2 Application de la modification de Demoulin au jet du canon d’irrigation... 108

8.3.3 Autres propositions : le nombre de Schmidt/Prandtl σY... 110

8.3.4 Conclusion ... 111

8.4 Présentation des résultats... 112

8.4.1 Evolution axiale ... 112

8.4.2 La longueur du coeur liquide ... 114

8.4.3 Evolution radiale ... 116

8.4.4 Champ turbulent ... 120

8.4.5 Tailles des fragments liquides ... 123

8.4.5.1 Domaine de validité du calcul ... 123

8.4.5.2 Tests sur le comportement de l’équation de transport de R... 124

Effet de la condition d’entrée... 124

Effet de la pression d’injection ... 124

Effet de la densité du gaz ... 125

Effet de la constante de diffusion σR... 126

Influence des constantes

α

α

8.4.5.3 Comparaison avec les résultas expérimentaux ... 129

8.4.5.4 Conclusion... 132

S

S

ynthèse,

C

C

onclusions &

P

P

erspectives ... 133

Synthèse :... 133

Conclusions & Perspectives... 134

Annexe I : Description de l’algorithme de Thomas... 136

Annexe II : Description du système d'irrigation canon avec enrouleur... 137

Annexe III : Procédure d’étalonnage de la monosonde... 138

Table des références... 140

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N

OMENCLATURE

Alphabet latin

A terme de production macroscopique de Σ (destruction de R)

a terme de production microscopique de Σ (destruction de R)

&

&

α

-αε)

C

C

d diamètre du jet (buse)

D_d coefficient de diffusion de <α et R

I intensité de turbulence.

K le rapport des densités liquide et gaz

Ν α

énergie cinétique de turbulence

l_t échelle intégrale de turbulence

L_co longueur du cœur liquide

L_opt distance optimum entre les deux sondes

n nombre de gouttes par unité de volume

N le rapport des viscosités

Oh nombre d’Ohnesorge

p pression

r taille caractéristique des fragments produits / coordonnée

radiale R =ρ<α Σ=ρ_ΟΥ

r₀ rayon du jet ou d’une goutte mère

r₁ rayon d’une goutte stable produite par fractionnement

r₃₂ rayon moyen de Sauter

Re nombre de Reynolds

6 6

5 coefficient de corrélation croisée du signal S₁ et S₂

t temps

t_rupt tempsde rupture

T nombre de Taylor / Temperature

TPL taux de présence liquide

T_C temps d’acquisition

T_vol temps de vol.

u ou U vitesse relative liquide/gaz ou vitesse d’injection

U_i ième composante de la vitesse

Λ Ξ ∴ ρ flux de diffusion de < CemOA : archive ouverte d'Irstea / Cemagref

V_a vitesse intervenant dans le terme de destruction de Σ

(production de R)

We nombre de Weber

x coordonnée axiale

x_i ième composante de l’espace

y écart à la sphéricité du modèle TAB

<α fraction massique liquide

Alphabet grec

α taux de vide

α α

α constantes de l’équation de transport de R

δ

ij symbole de Kronecker

ε taux de dissipation de Ν

γ

γ constantes de l’équation de transport de

Λ Ξ ∴ ρ µ viscosité dynamique µ viscosité turbulente ν viscosité cinématique ρ masse volumique Φ variable indépendante

Σ surface du liquide par unité de volume totale

τ fraction volumique liquide

τ

t temps caractéristique de la turbulence=Ν ε

ΛΜ

τ tenseur de contraintes visqueuses

ΦΡΟΟ

τ temps caractéristique des collisions

Φ

σ

σ

associé à la variable Φ

Θ angle de spray

Λ longueur d’onde

Ω fréquence

Ψ fonction de courant

ω fonction de courant adimensionnelle

Indices

a atomisation

axe sur l’axe du jet

c critique

coll collision

g gaz

in en entrée du domaine de calcul

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KH Kelvin-Helmholtz

l liquide

st stable

t turbulent

Symboles – opérateurs

∂ opérateur de dérivée partielle

− moyenne au sens de Reynolds

~ moyenne de Favre

′ fluctuation turbulente au sens de Reynolds

" fluctuation turbulente au sens de Favre

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Introduction générale

Dans un rapport publié en juin 2003, le Programme des Nations Unies pour l’Environnement (PNUE) s’alarme de l’importance des prélèvements d’eau douce. Les nappes d’eau souterraines, dont dépendent deux milliards de personnes pour l’alimentation et l’irrigation, sont soumises à « une pression de plus en plus

intenable ». Ces réservoirs naturels, qui renferment près d’un tiers des réserves

terrestres d’eau douce, sont surexploités dans certaines régions du monde pour les besoins des grandes villes, de l’industrie et de l’agriculture. Selon l’Organisation Météorologique Mondiale, une grave pénurie d’eau risque de se produire d’ici 50

ans, conséquence d’une mauvaise gestion des réserves, de la pollution et de la

poussée démographique. Aujourd’hui, plus d’un milliard de personnes n’ont pas accès à l’eau potable. D’ici 2025, la quantité d’eau disponible par personne pourrait tomber à la moitié du niveau actuel qui est déjà deux fois plus faible que celui de 1960. Selon les Nations Unies, d’ici 2050, entre 2 et 7 milliards d’êtres humains seront confrontés à une pénurie d’eau. L’eau devient une ressource précieuse « l’or

bleu » destinée à devenir de plus en plus rare et donc, stratégiquement importante.

La sécurité hydrique « nationale » des pays est un problème politique central. La pénurie de l’eau, dans certaine zone du monde, peut être une source de conflits et menacer la co-existence paisible entre pays frontaliers. Mieux gérer la demande en eau est aujourd’hui une priorité: on estime qu’au moins un tiers de l’eau prélevée dans le monde est gaspillée (fuites dans les réseaux d’approvisionnement, irrigation excessive en agriculture…).

Le tableau 1 montre clairement que le secteur agricole est de loin le plus grand consommateur d'eau douce. En moyenne, une personne boit 4 litres d’eau par jour mais il lui faut 5000 litres/j pour se nourrir. Dans les années précédentes, le recours à l’irrigation des parcelles a été motivé par l’augmentation de la productivité agricole. Les rendements obtenus par l'irrigation sont plus de deux fois supérieurs à ceux obtenus dans l'agriculture pluviale. En effet, les 20% de terres agricoles irriguées dans le monde produisent prés de 40% de l'approvisionnement alimentaire. CemOA : archive ouverte d'Irstea / Cemagref

Secteur 1950 1995

Agriculture 79% 69%

Industries 14% 21%

Municipalités 7% 10%

Tableau 1: Estimation des prélèvements mondiaux en eau par les différents secteurs d’activités

En France, l’irrigation concerne 6% de la superficie et 40% de la consommation en eau. Dans certaines régions et à certaines périodes ce chiffre atteint 80% entraînant des concurrences accrues entre différents usages (agricoles, écologiques et domestiques). Si le défit des années précédentes était essentiellement la lutte contre l’insécurité alimentaire, les années prochaines apporteront de nouveaux défits. D’un coté, il faut faire face à la demande alimentaire liée à la croissance de la population mondiale (8.3 milliards en 2030) et d’un autre coté, il faut faire face à la décroissance des ressources en eau. A ce stade, il n’est plus possible de négliger les incidences écologiques et environnementales de l'irrigation au profit de considérations purement économiques. Il est ainsi important de trouver un bon équilibre entre la consommation de l'eau et la production agricoles des terres irriguées. L'organisation de nourriture et d'agriculture des Nations Unies (FAO) a indiqué en 1994 que le secteur irrigué efficace du monde pourrait être augmenté de 34% avec une augmentation relative de consommation de l'eau seulement de 12%. Pour réaliser ceci, 50% de l'économie potentielle de l'eau de l'irrigation peut venir de la gestion pratique de l'eau ce qu'elle appelle « réinventer la gestion de l'eau dans le secteur agricole ».

L’irrigation étant le plus gros consommateur d’eau, il est intéressant de voir la répartition des différents système d’irrigation. Le graphique suivant met clairement en évidence la grosse part des surfaces irriguées par canon et enrouleur, concernant plus de 50 % des surfaces irriguées. Ce système d’irrigation est employé pour une large gamme de récoltes et de sols.

Contrairement à la pluie naturelle, l’irrigation par aspersion souffre d’un problème majeur qui est l'hétérogénéité d’apport d’eau sur une parcelle agricole: l’eau n'est pas également distribuée et quelques endroits reçoivent plus d'eau que d’autres. La mauvaise répartition spatiale des apports d’eau conduit souvent les irrigants à appliquer des quantités excédentaires, ce qui représente une perte nette d’eau. De plus, l’excédent d’eau va accroître les risques de lessivage des engrais et des produits chimiques contribuant ainsi à la pollution et favoriser le développement des mauvaises herbes et les maladies cryptogamiques au niveau des racines.

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Figure 1: Pourcentages des surfaces irriguées par les différents systèmes, en France (source Cemagref).

Vu le nombre important d’enjeux liés à l’irrigation par aspersion, les études à caractère scientifiques doivent se développer pour supporter l’amélioration de leur maîtrise technique. L’amélioration des performances de l’irrigation passe obligatoirement par une bonne connaissance de la taille et de la distribution spatiale des gouttes formées pendant l’atomisation du jet d’eau. Ces quantités ne sont connues pour le moment que de façon empirique. Le travail effectué dans cette thèse concerne une approche de modélisation nouvelle, tant pour l’atomisation du liquide que de sa dispersion, développée dans le cadre de la modélisation de la turbulence à masse volumique variable [84].

Ce travail est organisé en huit chapitres:

Le premier chapitre dresse un état des lieux de la connaissance actuelle du processus de fractionnement des jets liquides ainsi que l’ensemble des phénomènes physiques qui contribuent aux processus d’atomisation. Une partie de ce chapitre est consacrée à l’étude des modèles d’atomisation actuelle.

Le second chapitre, est consacré au développement des bases théoriques du nouveau modèle utilisé pour l’étude de l’atomisation : Ce modèle est basé sur une approche Eulérienne du milieu diphasique traité comme un seul fluide à masse volumique variable.

Le troisième chapitre est dédié au traitement et à la résolution numérique des équations du modèle ainsi que leurs implantation dans le code de calcul «Genmix». Dans le chapitre suivant, nous présentons la géométrie et les dimensions du canon d’irrigation utilisé lors de l’expérimentation ainsi que les profils de vitesse et de turbulence en sortie de buse.

Les chapitres 5, 6 et 7 présentent l’ensemble du dispositif expérimental utilisé ainsi qu’une description détaillée des techniques de mesure mises en œuvre à savoir : les

30%

11%

3.8%

5.2%

50%

monosonde et bi-sonde optiques puis le spectro-pluviomètre optique bi faisceau infrarouge.

Dans le chapitre huit, les résultats obtenus par le calcul numérique seront exposés et comparés aux résultats expérimentaux.

Ce manuscrit s’achève sur une conclusion générale qui résume les principaux résultats obtenus et propose des perspectives de recherche émergeant de ce travail.

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Chapitre 1

Régimes et mécanismes de

fractionnement

1.1 Introduction

La stabilité et le fractionnement d'un jet liquide injecté, à travers une buse cylindrique, dans un gaz au repos ont été largement analysés théoriquement et expérimentalement. Ces études ont établi que les propriétés du jet sont influencées par un grand nombre de paramètres, comprenant les effets de l’écoulement à l’intérieur de la buse (la cavitation, le décollement de la couche limite, la forme du profil de vitesse ainsi que la turbulence du liquide à la sortie de buse,…) et l’état physique et thermodynamique du liquide et du gaz [87,63]. On recherche à ce jour les mécanismes précis menant au fractionnement du jet [42,15]. Cependant, la théorie linéaire de stabilité permet d’avoir des descriptions qualitatives des phénomènes de fractionnement et de prévoir l'existence de divers régimes de fractionnement. Dans la plupart de ces théories, l’influence de la nature de l'écoulement à l’intérieur de la buse est incluse de façon complètement empirique. Or, ces effets sont importants, en particulier pour le cas d’injection à grande vitesse. Le fractionnement d’un jet liquide a été divisé en plusieurs régimes reflétant les différences dans l’aspect du jet. Il est important d’identifier les forces agissant sur le jet afin d’expliquer le mécanisme de fractionnement pour chaque régime. En réalité, les mécanismes de formation de gouttes à partir d’une colonne de liquide sont multiples. Selon les conditions de fonctionnement certains mécanismes deviennent prépondérants.

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1.2 Régimes de fractionnement

L’étude de l’injection d’un jet liquide à section circulaire dans un gaz au repos a mis en évidence quatre régimes de fractionnement du jet qui correspondent à différentes combinaisons des forces agissants sur le jet à savoir : inertie du liquide, la tension superficielle et la force aérodynamique [62]. Ces régimes, par ordre de vitesse d’injection croissante, sont : le régime de Rayleigh, le régime dit « first wind induced » (premier régime induit par les effets aérodynamiques), le régime « second wind induced » et le régime d’atomisation (Figure 1.1).

Figure 1.1 : Représentation schématique des différents régimes de fractionnement.

1.2.1 Le régime de Rayleigh

Ce processus de fractionnement a été décrit par Rayleigh pour le cas d’un jet laminaire. Le développement d’une instabilité à la

surface du jet est responsable de

l’initialisation du processus du breakup. Le

fractionnement du jet résulte de l’accroissement de ces oscillations axisymétriques à la surface liquide induites par les forces de capillarité. En effet, les contraintes de tension superficielle tendent à transformer un jet cylindrique en sphère ayant une énergie de surface minimum. Dans ce cas, le fractionnement a lieu à une très grande distance de l’injecteur et le diamètre des gouttes formées est plus grand que celui de l’orifice d’injection.

1.2.2 Le régime « First Wind induced » (premier régime d’influence aérodynamique)

Pour des vitesses d’injection plus élevées, le fractionnement du jet se fait à une distance plus faible et le diamètre des gouttes formées pour cette gamme de vitesse possède une taille

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plus réduite que précédemment, de l’ordre du diamètre de l’orifice d’injection. Dans cette zone, aux effets de capillarite vient s’ajouter l’effet du mouvement relatif gaz/liquide qui crée une instabilité de cisaillement (type Kelvin-Helmholtz).

Leroux a montré que les forces aérodynamiques jouent un rôle seulement si la masse volumique du gaz est importante. Dans le cas contraire, d’autres phénomènes physiques, comme par exemple la transition vers un écoulement turbulent dans l’injecteur, sont responsables de la rupture du jet.

1.2.3 Le régime « Second Wind induced » (second régime d’influence aérodynamique)

Pour des vitesses encore plus élevées, le fractionnement apparaît à une distance plus faible. Les gouttes formées ont un

diamètre inférieur à celui de l’injecteur. Dans ce régime, le fractionnement est causé par l’accroissement d’instabilités de faible longueur d’onde à la surface du jet. A ce stade, les forces de capillarité s’opposent au fractionnement du jet.

Certains auteurs ne distinguent pas les deux régimes d’influence aérodynamique considérant qu’ils forment un seul régime, appelé zone d’instabilité aérodynamique. La rupture du jet serait engendrée par deux processus: le mécanisme de rupture décrit par Rayleigh et l’effet aérodynamique du gaz environnant [79]. D’autres ont mis en évidence l’effet du gradient de vitesse dans la couche limite liquide, même laminaire, à la sortie de l’injecteur sur le détachement des premières gouttes [31]. Pour Lin et Reitz [43] la tension superficielle est principalement responsable du fractionnement du jet dans le régime «First Wind induced break-up». Le rôle des forces aérodynamiques se limite seulement à aider au fractionnement. Ils pensent qu’il est plus approprié de désigner ce régime assisté par les effets aérodynamiques «the wind assisted break-up regime» au lieu de l’appeler régime induit par les effets aérodynamiques. C’est le régime «Second Wind induced break-up » qui est réellement induit par les forces aérodynamiques.

1.2.4 Le régime d’atomisation

Le cas extrême, obtenu pour des vitesses plus fortes, correspond au régime d’atomisation. Dans cette partie, on voit apparaître des gouttes de très faibles diamètres dès la sortie du jet de l’injecteur.

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1.3 Paramètres influençant l’atomisation

Plusieurs auteurs se sont penchés sur le processus moteur de l’atomisation. Ainsi, Castleman (1931) suggère que l’atomisation d’un jet liquide est due aux effets aérodynamiques liés à la vitesse relative à l’interface gaz/liquide. Dejuhasz [17] pense que la turbulence du liquide joue un rôle important dans le fractionnement du jet. D’après ce dernier, l’atomisation est initiée à l’intérieur même de l’injecteur par la création d’une composante radiale de vitesse qui peut générer des contraintes importantes à l’intérieur du jet dès sa sortie de la buse. Pour Schweitzer [68] le rôle de la turbulence est de perturber l’interface liquide/gaz et de ce fait augmenter les effets aérodynamiques. Pour un écoulement laminaire, le profil de vitesse est parabolique avec un maximum sur l’axe de l’écoulement et une vitesse nulle sur la couche externe. À la sortie de buse, il existe une très légère différence de vitesse entre la couche externe du jet liquide et de l’air ambiant. De ce fait, les forces aérodynamiques sont faibles ce qui donne une longueur de surface intacte relativement longue [46]. Cependant, après une certaine distance, les effets combinés des forces de cisaillement et de tension superficielle créent des perturbations à la surface du jet menant finalement à son fractionnement. Pour un écoulement pleinement turbulent, le jet se désagrège à cause de la composante radiale de la vitesse. [68] suggère qu’un jet turbulent injecté dans le vide peut se fractionner sous l’effet de sa propre turbulence. Schweitzer [68] conclut que le temps requis à l’air ambiant pour perturber la surface externe du jet dépend de la nature de l’écoulement en sortie de buse. Donc, la turbulence est amenée à initier, en sortie de l’injecteur, une perturbation de l’interface. Il est cependant à noter que le rapport géométrique L/d (rapport entre la longueur du tube d’injection à son diamètre) conditionne l’établissement total ou partiel de la turbulence le long de la conduite. Pour que la turbulence soit pleinement développée, il parait logique d’utiliser un rapport L/d maximum. Sauf que cette logique ne prend pas en compte d’autres phénomènes (la cavitation, le décollement,…) que nous aborderons un peu plus loin.

La mise en évidence par Hoyt et Taylor [31] de l’effet de l’instabilité de la couche limite liquide pour la création des premières gouttes (atomisation primaire) reste valable pour le régime d’atomisation, mais dans ces conditions la couche limite peut être turbulente.

Il existe des effets supplémentaires pour tenter d’expliquer l’atomisation comme celle de Rupe [66] qui a observé qu’un jet laminaire à grande vitesse pouvait être plus instable qu’un jet turbulent. Il propose le réarrangement du profil de vitesse à la sortie de l’injecteur comme cause initiatrice de l’atomisation. Dès que le jet quitte la buse, se libérant ainsi des contraintes pariétales, un réarrangement du profil de vitesse a lieu avec un transfert de quantité de mouvement entre les couches transversales du jet. Ainsi, le profil de vitesse parabolique de l’écoulement

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laminaire devient un profil plat avec la même vitesse moyenne et donnant naissance à une composante radiale de vitesse. Ce changement de profil de vitesse, accompagné d’une redistribution d’énergie, s’appelle relaxation du profil de vitesse et peut contribuer de manière significative à la perturbation de la surface externe du jet. En effet, les ligaments formés à la surface du jet, grâce à la composante radiale de la vitesse, vont se fractionner sous l’effet des instabilités aérodynamiques.

D’après les hypothèses développées ci-dessus, l’action de l’air ambiant est la raison primaire du fractionnement bien que la turbulence du jet et la présence de couches limites (laminaires ou turbulentes) dans le liquide restent également des facteurs importants. Ces paramètres donnent au jet une surface fortement irrégulière ce qui le rend plus sensible à l’action de l’air ambiant menant à un fractionnement plus facile dans les conditions ou les forces aérodynamiques sont relativement faibles. Bergwerk [5] et Sadek [67] proposent aussi la cavitation à l’intérieur de l’injecteur comme moteur de l’atomisation.

Reitz et Bracco [61] ont évalué chacune des hypothèses citées précédemment. Ils ont conclu que les théories proposées pour l’atomisation à savoir: les effets aérodynamiques, la turbulence du jet, le réarrangement du profil de vitesse, la cavitation ne pouvaient expliquer seules les résultats expérimentaux. Ils ont souligné qu’il n’y a pas un seul mécanisme simple responsable de l’atomisation du jet et que dans tous les cas, une combinaison des ces facteurs couplés avec la géométrie interne de buse conduit à l’atomisation du jet liquide. Ils suggèrent que les détails de la géométrie de la buse, telles que la conception et les imperfections, pourraient assurer différentes perturbations initiales de l’écoulement.

Les divers régimes que ne venons de décrire correspondent au fractionnement primaire du jet qui peut être caractérisé par la partie continue ou ininterrompu du jet liquide appelée longueur de surface intacte du jet. Cette longueur a été définie par Eroglu et Chigier [19] comme étant la longueur du jet hydrauliquement connectée à l’orifice d’injection. Autrement dit, c’est la distance du point d’injection au point où se trouve la première déconnexion du jet liquide. D’autres auteurs utilisent la dénomination longueur de rupture. Cependant, il y a un problème de définition : Certains parlent de rupture complète du jet liquide, d’autres de la rupture de la 1ière

goutte qui s’en détache. Ce n’est pas pareil. Ceci explique les

différences des résultats expérimentaux qui ne sont pas relatifs à la même chose. La Figure 1.2, appelée courbe de stabilité, présente l’allure de la longueur de rupture en fonction de la vitesse d’injection. Elle classe le fractionnement du jet

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dans différentes régions qui reflètent l'action des diverses forces sur le jet causant des changements dans son fractionnement.

Pour une très faible vitesse d’injection, on observe la formation de gouttes à la sortie immédiate de l’injecteur. Le point A de la courbe représente le passage du régime goutte à goutte au régime de Rayleigh. Au-delà de ce point, la longueur de rupture augmente linéairement avec la vitesse du jet pour atteindre un maximum. La région AB correspond à un écoulement laminaire, le fractionnement du jet liquide est dû aux forces de tension superficielle comme prévues par Rayleigh. Le point B sur la courbe correspond au début du premier régime d’influence aérodynamique. Selon Haenlein [25], en ce point on observe un changement dans l’aspect du jet qui devient sinueux à cause du chargement aérodynamique. Leroux [40] a signalé que le chargement aérodynamique ne peut jouer un rôle que pour des rapports de masses volumique importants. D'autres auteurs ont attribué ce point au début de la turbulence du liquide. Il semble probable que les deux mécanismes fonctionnent ensemble dans la promotion du fractionnement du jet. Fondé sur cette hypothèse, le point B est probablement lié à la transition vers un écoulement turbulent à l’intérieur de la buse. La longueur de rupture du jet diminue avec l'augmentation de la vitesse jet.

Figure 1.2: Longueur de la surface intacte d’un jet en fonction de la vitesse moyenne à la sortie de l’injecteur

La région depuis le point C jusqu'à la crête de la courbe, correspond à la région de turbulence pleinement développée où les forces de cisaillement deviennent plus significatives. La longueur de rupture du jet liquide augmente avec l'augmentation de la vitesse d’injection. En réalité, il y a beaucoup de confusion sur la forme de la

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courbe de stabilité au delà du point C. Même s’il existe une unanimité sur l'état du jet qui est considéré comme un spray (brouillard) avec différentes tailles de gouttes, il y a eu plusieurs explications au sujet de la tendance de la longueur de rupture avec l'augmentation du nombre de Reynolds dans cette région. Par exemple, Haenlein [25] a signalé que la longueur intacte du jet augmente avec la vitesse d’injection et puis se réduit brusquement vers zéro. Cependant, McCarthy et Molloy [46] rapportent que cette longueur continue d’augmenter et que la partie ininterrompue du jet liquide existe dans cette région même si la vitesse d’injection est très élevée. Plus récemment, Hiroyasu et al. [27] ont observé l’existence d’effets d’hystérésis en augmentant la vitesse d’injection. Les anomalies entre ces travaux sont attribuées à la nature de l'écoulement à l’intérieur de la buse et l’apparition de phénomènes telles que la cavitation et le décollement de la couche limite à l’intérieur de la buse. Dans la littérature, il est admis que des jets issus de buse cavitante ont une longueur de surface intacte plus faibles que les jets non cavitants. Par contre, le décollement de la couche limite, dans la buse avant le trou d’injection, tend à augmenter la longueur de la surface intacte du jet [43].

Le phénomène de cavitation peut être définie comme la formation de bulles de vapeur dans un fluide: Dans la région amont de la buse, une zone locale de faible pression peut se former dans la zone de décollement séparant la couche limite des parois internes de la buse. Si cette pression devient plus faible que la pression de vapeur saturante alors il peut y avoir cavitation. L’existence d’une forte perturbation dans l'écoulement à l’intérieur de la conduite causée par la cavitation contribue considérablement au fractionnement du jet et réduisant ainsi la longueur de la surface intacte du jet. Au contraire, en l'absence de la cavitation l'écoulement interne est toujours sujet au frottement pariétal (Figure 1.3a). La surface du jet en sortie de buse a une légère perturbation qui peut être amplifié par la suite par la force aérodynamique. Nurick [50] a signalé que la cavitation se produit dans des buses à bord tranchant «sharp-edged nozzle» et qu’il peut y avoir deux phénomènes opposés selon qu’il y a ou non rattachement de la couche limite aux parois de la buse. Reitz et Bracco [61] ont observé qu’un jet avec cavitation et sans recollement est plus stable et, que sa surface est très lisse comme si l’écoulement était de nature laminaire (Figure 1.3d). Dans ce cas, la longueur de surface intacte est plus grande que dans le cas d’un jet cavitant avec recollement (Figure 1.3c).

La cavitation produit un écoulement contracté à l'entrée de la buse et la région entre l'écoulement décollé et les parois de la buse est remplie de bulles ou de vapeur de cavitation. La réduction brusque du diamètre du jet va causer une grande turbulence et la perturbation de la surface du jet. He et Ruiz [26] ont montré expérimentalement que la cavitation amplifie l’intensité de la turbulence de 10% à 20%. La turbulence produite par la cavitation augmente avec l'augmentation de la vitesse d’injection particulièrement si les bulles de cavitation

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s'effondrent sur la buse [76, 77]. Par la suite, quand le jet se rattache aux parois internes de la buse, une perturbation additionnelle (contraintes pariétales) agit sur le jet [1, 2, 27]. Les forces d’interface amplifient la forte perturbation et le jet se désagrège rapidement ce qui a pour conséquence une longueur de fractionnement plus courte.

Figure 1.3: Représentation schématique de l’apparence du jet liquide.

Avec l'augmentation de la vitesse d’injection, le point du recollement de l'écoulement séparé provoqué par la cavitation se déplace vers la sortie de la conduite. Les auteurs [72] ont conclu que, plus le point de recollement est près de la sortie de buse, plus la longueur de rupture est courte. En augmentant encore la vitesse d’injection, le jet peut devenir complètement décollé des parois et aucun recollement n’est observé par la suite (Figure 1.3d). Ce phénomène est connu sous le nom de «hydraulic flip». Dans cette situation, le gaz extérieur remonte entre le liquide et parois internes de la buse, ce qui d’une part élimine la formation de la cavitation le long de la paroi et d’autre part, diminue la section de l’écoulement. De ce fait, le jet est protégé des instabilités dues à la cavitation et au frottement pariétal. Le jet resserré, enveloppé d’air ambiant, présente une surface très lisse et reste intacte sur distance relativement grande.

L'intensité de la cavitation dépend fortement de la géométrie de buse à l'entrée et des vitesses d'injection. La longueur de rupture montre différents comportements avec différentes géométries de buse [2, 27]. La cavitation est souvent initiée, sur le bord abrupt, à l’entrée de la conduite en raison du décollement de l'écoulement ce qui va créer des régions de vitesse élevée et de pression statique faible. Ce phénomène, connu sous le nom de veine contractée, est le résultat de la difficulté

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que trouve le fluide à faire un tour (rotation) brusque de 90 degrés comme le montre la Figure 1.4. Dans le cas de buse à bord arrondi, ce phénomène n’existe pas et il est admis que ce type buse est non cavitante.

Figure 1.4: Apparition de la veine contractée dans une buse à bord vive. Dans une série de publications, Hiroyasu et al. et Arai et al. [27, 1], ont étudié l'influence de la géométrie de l'entrée de buse sur le comportement de la longueur de rupture du jet. Pour les mêmes conditions de fonctionnement, ils ont utilisé deux type de buse : des buses à bords abrupts et des buses à bords arrondis. Comme le montre la Figure 1.4, la longueur de rupture pour le cas d’une buse à bord tranchant est plus courte que celle produite par la buse à bord arrondi jusqu'à une certaine valeur de la vitesse d'injection. Par la suite, deux situations différentes peuvent se présenter selon qu’il y a ou non rattachement de l’écoulement décollé comme expliqué dans le paragraphe précédent.

Figure 1.5: Longueur de la surface intacte d’un jet pour deux type de buse [27]. On vient de voir que le recollement ou non de la couche limite après le décollement conduit à des comportements très différents du jet. Donc, il est important de

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signaler que justement ce phénomène dépend essentiellement du rapport L/d. Quand la buse est très longue, l'écoulement décollé a suffisamment de longueur de conduite pour se recoller à la paroi. Ce même paramètre conditionne l’établissement total ou partiel de la turbulence dans la buse. Le changement du comportement de longueur de rupture du jet est une indication sur l’importance des caractéristiques de l'écoulement à l’intérieur de la buse sur le processus de désintégration du jet. Badok et al. [3] ont observé que l’irrégularité de la paroi (lissage) a un effet sur l’apparition de la cavitation. Par conséquent, l’effet de la géométrie de la buse (forme, longueur, diamètre, imperfections…) devrait être pris en compte dans les efforts de compréhension de la désintégration du jet liquide. Les phénomènes (cavitation, décollement, recollement, géométrie..) peuvent aider à expliquer les anomalies précédentes concernant l’évolution de la longueur de rupture. En pratique, dans le régime dit «atomisation» la longueur de la partie continue du jet n’est pas nulle mais c’est la distance à la buse où les gouttes commencent à apparaître qui le devient.

La précédente présentation montre la transition d’un régime à autre en fonction de la vitesse d’injection seulement. Or, d’après Tomohisa et al. [81] on peut atteindre le régime d’atomisation avec des vitesses d’injection pas très élevées en augmentant la masse volumique du gaz. D’autres paramètres, comme la viscosité ou la tension superficielle, entrent également en jeu. Ohnesorge a été le premier à proposer une classification des différents régimes de fractionnement en fonction du nombre de Reynolds du liquide (

5Η

en considération les effets aérodynamiques, la capillarité et la viscosité du liquide. Lefebvre [39] a récemment proposé une synthèse donnée par la Figure 1.6.

Figure 1.6 : Classification des divers régimes de fractionnement des jets en fonction du nombre d’Ohnesorge et du nombre de Reynolds du liquide.

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Ο Ο

8Γ 5Η

ν

= , le nombre de Reynolds (5Η_Ο) caractérise le rapport des effets d’inertie et

de viscosité.

Γ

5Η

:Η

2Κ

σρ

µ

=

=

de viscosité et de tension superficielle.

σ ρ =

Γ 8

:Η_ϑ ϑ , le nombre de Weber représente le rapport des forces d’inertie du gaz

et de tension superficielle. où

µ

Ο

ρ

Faeth [20] propose une courbe de stabilité en fonction du nombre d’Ohnesorge et du nombre de Weber du gaz. Sur cette courbe, on voit clairement l’effet stabilisateur de la viscosité du liquide. En effet, pour de fortes valeurs du nombre Oh, le jet est stable et n’est soumis a aucun régime de fractionnement. Sur ce diagramme, aucune distinction n’est faite entre les deux régimes d’influence aérodynamique. La transition du régime de Rayleigh au régime d’influence aérodynamique « wind induced » débute lorsque les effets de l’inertie du gaz et de tension superficielle sont du même ordre de grandeur (We_g≈1).

Figure 1.7: Diagramme de stabilité de Faeth [20].

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Enfin, Reitz [64] propose une courbe de stabilité qui prend en considération l’effet du rapport des masses volumiques, du nombre de Reynolds (Re_l) et du nombre d’Ohnesorge (Oh).

Figure 1.8: Courbe de stabilité en fonction de ρ_ϑ ρ_Ο [64].

Il existe d’autres diagrammes donnant les régimes de fractionnement dans le cas d’injecteurs coaxiaux. On peut citer, le diagramme de Hopfinger [30] qui propose

une classification des différents régimes dans le plan

(

=

ρ

σ

Ο ϑ ϑ ϑ

8

Γ

:Η

5Η

=

8

Γ

υ

0

=

ρ

8

ρ

8

Figure 1. 9

: Diagramme des régimes de fractionnement pour les jets

coaxiaux.

1.4 Critères de transition

Les critères pour prédire la transition d’un régime à un autre ont été passés en revue par Chigier et Reitz [15] et sont repris dans l’article de Lin et Reitz [43]. Ranz (1956) a trouvé que le régime goutte à goutte ne se produit plus à la sortie si We_L>8 avec We_L=ρ_lU2_{d/σ. La valeur We}

g=0.4 correspond au point où la force

d’inertie du gaz environnant atteint 10% de la force de tension superficielle. Ranz (1956) suggère de prendre cette limite pour marquer le début régime «first wind-induced» où les effets du gaz ambiant ne sont plus négligeables. Les résultats numériques de Sterling et Sleicher (1975) indiquent que le maximum de la longueur de surface intacte est atteint pour :

Ο

ϑ

2Κ

:Η

=

+

Donc, les critères pour être dans le régime de fractionnement de Rayleigh sont:

We_L>8 et We_g<0.4 ou

:Η

=

+

2Κ

Ranz (1956) estime que la force d’inertie du gaz est du même ordre de grandeur que la force de tension superficielle quand We_g=13 ce qui peut être considéré comme critère de la fin du régime «First Wind induced break-up» et le début du régime «Second Wind induced break-up» :

2Κ

+ <We

g<13 (1.3)

We_g>13 marque le début du régime «Second Wind induced break-up», là où l’interaction du jet avec le gaz environnant commence à devenir dominante. Miesse (1955) suggère que We_g>40.3 représente la fin de ce régime et le début du régime suivant dit « atomisation ». Donc, le critère de ce régime est :

:Η_ϑ <

< (1.4)

1.5 Conclusion

Cette section avait pour but la compréhension des processus physiques menant au fractionnement d’un jet liquide. Après avoir exposé les différents régimes de fractionnement, nous nous sommes intéressés aux différents facteurs susceptibles d’avoir un effet sur l’atomisation. Même si les phénomènes physiques mis en jeu dans le processus de fractionnement d’un jet semblent identifiés, le rôle joué par chacun des paramètres précités n’est pas encore clairement défini ni parfaitement maîtrisé. La grande majorité des auteurs s’accordent sur le fait que les effets

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aérodynamiques sont le facteur principal de l’atomisation. Cependant, d’autres effets y participent (la cavitation, la turbulence, le dégazage,...) en provoquant de fortes perturbations initiales, à la sortie de l’injecteur, de la surface du jet. Le développement de cette instabilité à la surface du jet est responsable de l’initialisation du processus de fractionnement. Les interactions aérodynamiques non linéaires entre le jet liquide et l’atmosphère vont amplifier fortement ces perturbations jusqu’à produire des gouttes.

1.6 Modèles d’atomisation

On distingue deux types d’atomisation: l’atomisation primaire et l’atomisation secondaire. Les phénomènes d’atomisation primaire se produisent en champ proche de l’injecteur où des gouttes liquides sont arrachées tout le long du dard liquide. Seule une faible fraction volumique de gouttes parfaitement atomisées est produite dès la sortie de l’injecteur. La majorité du liquide injecté résultant de l’atomisation primaire est constituée d’éléments liquides qui sont instables de par leur taille et leur morphologie. Ces éléments liquides vont, par conséquent, subir l’atomisation secondaire. Les paquets liquides issus de l’atomisation primaire du jet liquide se concentrent le long de l’axe du jet, ce qui rend cette partie du spray particulièrement dense optiquement. Ces paquets sont amenés à se déformer et à se fractionner du fait de leur dynamique interne et des importantes forces aérodynamiques qu’ils subissent.

Dans cette section, nous allons présenter les différentes investigations faites à ce jour sur la modélisation de l’atomisation. On peut dire qu’à l’heure actuelle, les modèles adoptent l’hypothèse que l’injection du liquide se fait sous forme de paquets liquides ou de gouttes sphériques qui vont être encore fractionnés. En général, le rayon des blobs est égal à celui de l’injecteur et, de ce fait il n’existe aucune prise en compte du dard liquide. C’est la raison pour laquelle de nombreux modèles traitant principalement de l’atomisation secondaire ont été utilisés pour l’atomisation primaire du jet.

1.6.1 Modèle de Reitz-Diwakar

Ce modèle [58][59] est basé sur les travaux de Nicholls [48] qui a étudié les effets d’une onde de choc sur une goutte liquide. Deux types de fractionnement ont été identifiés:

- L’atomisation en sac (Bag Break-up): la goutte s'aplatit et forme un sac creux avec un bord épais qui se perce en un point et se brise en toutes petites gouttes. Le bord se brise un peu plus tard et donne des gouttes un peu plus grosses.

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Ce régime de fractionnement se produit quand : ϑ ϑ Φ 8 Υ :Η :Η ρ = > = σ (1.5) Où We_g représente le nombre de Weber du gaz, ρ_g la densité du gaz, σ la tension superficielle, r₀ le rayon de la goutte et U la vitesse relative liquide/gaz.

Le temps de rupture ou temps de vie des gouttes est donné par :

Ο ΥΞΣ Ε ϑ Υ & ρ = σ ; &_{Ε ϑ} = π (1.6)

- L’atomisation par arrachement (Stripping Break-up): les lames liquides, formés à la périphérie de la goutte, sont épluchées et se brisent rapidement en très petites gouttelettes.

Ce type de fractionnement a lieu quand :

ϑ ϑ ϑ ϑ

8 Υ

:Η

5Η

ρ

υ

=

>

σ

Le temps de vie, dans ce régime, est donné par :

Ο ΥΞΣ ς ΥΛΣ ϑ Υ & 8 ρ = ρ (1.8) Reitz et Diwakar proposent une valeur de C_strip=20, alors que pour Nicholls C_strip=8. Pour chaque particule, on teste les critères (1.5) et (1.7). Si l’un des deux critères est vérifié pendant un temps égal au temps de rupture alors on a fractionnement de la goutte. La taille de la nouvelle goutte formée est obtenue en transformant l’inégalité (1.5) ou (1.7) en égalité. Reitz et Diwakar [60] ont modifié leur modèle en

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considérant que pour l’atomisation par arrachement, le rayon de la goutte ne passe pas de façon brusque de r₀ jusqu’au rayon stable

Υ

= σ

ρ

8

υ

ΥΞΣ

ΓΥ

Υ

Υ

Γ

−

= −

L’angle du spray Θ est donné par :

ϑ Ο Θ ρ Θ

♣

•

=

♦

÷

♥

≠

Les auteurs suggèrent que la valeur de la constante (0.7) devrait dépendre de la géométrie de l’injecteur et des propriétés physiques du liquide.

1.6.2 Modèle T. A. B.

Le modèle T. A. B. (Taylor Analogy Breakup) [51] est basé sur l'analogie, proposée par Taylor, entre l’oscillation d’une goutte et l’oscillation d’un système (Masse+ Ressort) amorti.

L’équation régissant un oscillateur forcé et atténué est donné par:

Γ [ ) Ν Γ Γ[

[

Γ Π Π Π Γ

=

−

−

Selon l’analogie de Taylor: la force de rappel du ressort de constante de raideur k est analogue à la tension de surface, la force externe F à la force aérodynamique et la force d’amortissement aux efforts visqueux. Ce qui permet d’écrire :

ϑ _Ο

Ι Ν Γ

Ο Ο Ο

8

) Ν Γ

& & '' & & '' &

Π Υ Π Υ Π Υ

ρ σ µ

= = =

ρ ρ ρ

(1.12) Soit x le déplacement de l'équateur de la goutte de rayon r₀ de sa position d’équilibre. En adimensionnant x par y=x/C_br₀, l’équation (1.11) s’écrit comme suit:

ϑ Γ Ο Ι Ν Ε Ο Ο Ο 8 & & & Γ ∴ Γ∴ ∴ Γ & Υ Υ Υ Γ ρ σ µ = − − ρ ρ ρ (1.13) Où le ρ_l et ρ_g sont les densités du liquide et du gaz, U est la vitesse relative entre la goutte liquide et la phase gazeuse, r₀ est le rayon de la goutte non perturbée, σ est la tension de surface et µ_l est la viscosité de la goutte. C_f=1/3, C_k=8, C_b=1/2 et C_d=10

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sont des coefficients sans dimension introduits pour ajuster les résultats aux mesures.

En supposant que la vitesse relative U est constante, la solution exacte de l’équation (1.13) est donnée par :

Γ Ι Ε Ν Φ

Ι Ι

ϑ ϑ

Ε Ν Ε Ν Γ

Γ∴ ∴ )& & & *:Η

& &

∴) * :Η Η )∴ :Η *ΦΡς ) *ςΛΘ

& & & & Γ

− ♠ − ≡ = + ↔ − ω + + ω≈ ω ← … (1.14) Avec : ϑ ϑ 8 Υ :Η ρ = σ ;∴ ,'∴) *' ; Γ Ο Γ Ο & , Υ µ ρ et _Ν Ο Γ ' ,'& - '' Υ σ ω ρ (1.15)

ω est la fréquence d’oscillation

Pour un liquide non visqueux (t_d→∞) et si l’on suppose que ∴ =∴. = alors

l’équation (1.14) se simplifie pour donner :

Ι ϑ Ε Ν & ∴) * :Η ) ΦΡς * & & = − ω (1.16)

Les travaux de Nicholls ont défini un nombre de Weber critique We_c égal à 6. Donc, la condition nécessaire pour avoir un fractionnement est We > We_c = 6. De plus, on suppose qu’il y a fractionnement si le déplacement de l’équateur de la goutte «x» est supérieur à r₀/2 c'est-à-dire si y >1.

Deux temps de rupture sont prédits par le modèle T. A. B.:

• un pour le régime «bag break-up»: Ο

ΥΞΣ Υ / ρ = π σ

• et un autre pour le régime «stripping break-up»: Ο

ΥΞΣ ϑ Υ 8 ρ = ρ

Dans ce modèle l’angle de spray n’est pas imposé et l’injection des blobs est purement axiale. Pour élargir le spray, les gouttes filles, issues du fractionnement de la goutte mère, sont supposées se déplacer avec une vitesse perpendiculaire,

Ψ Ε

9⊥ =& & Υ Γ∴ Γ , à celle de la goutte mère. Telle que rl est le rayon des gouttes

filles stables obtenues après fractionnement et C_v≈1.

Pour prédire la taille des gouttes r₁ après le fractionnement, on se base sur la conservation d’énergie en égalant l’énergie de la goutte mère avant le fractionnement, aux énergies combinées des gouttes filles après le fractionnement.

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1.6.3 Modèle Wave

Le modèle Wave [59], appelé aussi modèle KH, considère que le fractionnement d’une colonne liquide injecté dans un gaz est induit par la vitesse relative entre les phases gaz et liquide. Ainsi, l’atomisation est produite par l’intermédiaire du développement d’instabilités de surface de type Kelvin-Helmholtz. Ce modèle suppose que le temps de fractionnement (break-up) et la taille des gouttes résultantes sont liés à l’onde la plus amplifiée déduite à partir de la théorie linéaire des instabilités. La longueur et le taux de croissance de cette instabilité sont utilisés pour déterminer les caractéristiques des nouvelles gouttes issues du fractionnement.

Par la résolution de l’équation de dispersion sont obtenues la longueur d’onde Λ_KH et la fréquence Ω_KH de l’onde ayant le plus grand taux d’accroissement (l’onde la plus instable) : .+ ϑ ) 2Κ *) 7 * Υ ) / :Η * Λ + + = + ; Ο ϑ .+ / :Η Υ ) 2Κ*) 7 * + ♣ρ • Ω ♦ ÷ = σ + + ♥ ≠ (1.17)

Avec r₀ rayon de la goutte mère, Oh est le nombre d’Ohnesorge du liquide et

ϑ

7,2Κ :Η est le nombre Taylor.

:Η

= ρ

8 Υ

σ

Dans le modèle KH, le rayon des gouttes filles r₁, obtenu après un temps de rupture t_rupt, est donné par :

.+ Υ =% Λ ''' ΥΞΣ .+ .+ % Υ = Λ Ω (1.18) Avec B₀ égal à 0.61. La constante B₁ dépend du niveau des perturbations initiales dans le jet liquide et varie d’un injecteur à un autre. Reitz fixe cette constante, qui dépend de la géométrie de l’injecteur, à 10.

Dans la relation (1.18), il est supposé que les nouvelles gouttes sont formées avec une taille proportionnelle à la longueur d’onde la plus instable. L’angle du spray Θ de ce modèle est donné par :

.+ .+ Θ // 8 Λ Ω Θ ♣ • = ♦ ÷ ♥ ≠ (1.19)

Durant le processus de fractionnement, le rayon (initialement égal au rayon de la colonne liquide r₀) décroît pour atteindre le rayon de stabilité r₁, suivant la loi :

ΓΥ

Υ

Υ

& ''Υ '

'Υ

Γ

−

= −

≤

1.6.4 Modèle de Huh et Gosman

Le modèle, proposé par Huh et Gosman [32], est basé sur l’hypothèse d’une atomisation dominée par deux phénomènes: la turbulence du jet liquide et l’inertie du gaz. La turbulence du liquide induit une perturbation initiale à la surface du jet en sortie de buse. Une fois que cette perturbation a atteint une certaine amplitude, les effets aérodynamiques prennent le relais. L’injection du liquide se fait sous forme de blobs avec un diamètre initial égal à celui de l’injecteur. La taille des paquets liquides décroît au cours du temps à cause de la formation des gouttes filles. Le taux de décroissance du rayon des gouttes mères est donné par :

/ Ν Γ ΓΥ τ − = (1.21)

L_a et τ_a représentent la longueur et le temps caractéristique de l’atomisation. La constante k est ajustée pour correspondre aux résultats expérimentaux.

Dans ce modèle, deux hypothèses sont effectuées:

- l’échelle de longueur de turbulence L_t est l’échelle dominante de l’atomisation : L_a=2L_t.

- l’échelle de temps de l’atomisation est une combinaison linéaire de l’échelle de temps de la turbulence τ_t et du temps caractéristique de croissance de la perturbation τ_w: Ζ τ + τ = τ (1.22)

Les échelles de longueur et de temps de la turbulence sont définies en fonction de k et ε :

Ν Ν

/ =&µ '''Η '' ','&τ µ

ε ε

(1.23) Cµ est une constante du modèle k-ε fixé à 0.09.

Pour chaque goutte mère, en supposant que la turbulence est isotrope, homogène et sans production de turbulence interne, le modèle k-ε se réduit à :

ΓΝ Γ

''''Η ''' & & '&

Γ Γ ε Ν ε

ε ε

= −ε = =

La solution analytique de ce système est donnée par :

-& & & Ν) * )& * Ν Ν ε ε ε − ε ♠ ε ≡ =↔ − + ≈ ← … et & Ν) * ' ) *, Ν ε ♠ ≡ ε ε ↔ ≈ ← … (1.24) CemOA : archive ouverte d'Irstea / Cemagref

k₀, ε₀ représentent l’énergie cinétique turbulente et son taux de dissipation des gouttes mères à l’injection. Ils sont donnés par :

* & ) Γ / / 8 Ν Γ − = et * & ) / 8 Γ − = ε (1.25)

U est la vitesse moyenne du liquide en sortie de buse, L et d sont respectivement la longueur et le diamètre de injecteur et C_d est le coefficient de perte de charge. Les échelles de temps et de longueur de la turbulence peuvent alors être définies en fonction du temps et des conditions initiales :

/ ) * / ) * '''''Η ''' ) * ) * ) * ♣ • = ♦ + ÷ τ = τ + τ ♥ ≠ (1.26)

Le temps caractéristique d’accroissement d’onde est égal à l’inverse du taux d’accroissement maximum. Il est déduit de la théorie linéaire d’instabilité :

ϑ Ζ Ο Ζ 8 / − ♣ ρ • τ =♦ ÷ ♦ ρ ÷ ♥ ≠ (1.27)

La longueur L_w est supposée égale à 4L_t.

Ce modèle permet également d’avoir l’angle du spray:

8 / Θ ÷= τ ≠ • ♦ ♥ ♣ Θ (1.28)

1.6.5 Modèle de Pilch et Erdman

Dans leur modèle, Pilch et Erdman [57] prennent en considération l’effet de la viscosité du liquide dans l’expression du nombre de Weber critique We_c en dessous duquel aucun fractionnement n’est possible. Ce nombre est défini par :

Φ

:Η = ) + 2Κ * (1.29)

Dans cette expression, les nombres de Weber et d’Ohnesorge sont définis à partir du diamètre des gouttes d_g=2r₀ et non pas leur rayon r₀. Lorsque la viscosité du liquide est négligée, l’expression du nombre de We_c est équivalente à celle donnée par le modèle Reitz-Diwakar.

Le temps de rupture est donné par :

Ο ΥΞΣ ϑ Υ 7 8 ρ = ρ (1.30) CemOA : archive ouverte d'Irstea / Cemagref

Contrairement aux autres modèles, T n’est pas une constante mais dépend directement du nombre de Weber du gaz We_g :

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ):Η * '''''''''''' :Η / ):Η * '''''''' / :Η '''''''''7, ):Η * '''''''' :Η ):Η * '''''' :Η − − ↑ − ≤ ≤ ° − ≤ ≤ ° ° − ≤ ≤ → ° − ≤ ≤ ° ° ↓ (1.31) En considérant Oh<0.1.

Pour ces auteurs, le diamètre de stabilité des gouttes c'est-à-dire le diamètre de la goutte après le fractionnement est calculé en prenant en compte la vitesse relative goutte/gaz due au fractionnement :

ς Φ ϑ Γ

Γ

:Η

)8

8 *

σ

=

ρ

−

La littérature propose de nombreux autres modèles qui sont plus au moins une variante des modèles précédents. Il existe aussi un autre type de modèle dit hybride incluant deux ou plusieurs modèles de fractionnement qui sont soit en concurrence soit en complémentarité. Parmi ces modèles, on peut citer : le modèle de Patterson et Reitz [56], le modèle proposé par Habchi et al. [24].

1.6.6 Modèle de Patterson-Reitz

Connu sous le nom de KH-RT [56], ce modèle suggère que la perturbation du liquide est due à deux types d’instabilités: la première instabilité est de type Kelvin-Helmholtz (modèle Wave) et la seconde de type Rayleigh-Taylor. Ces deux instabilités sont mises en concurrence et celle qui donnera l’onde produisant la déstabilisation la plus rapide sera utilisée pour le fractionnement.

1.6.7 Modèle Wave-FIPA

Dans l’approche proposée par Habchi et al. [24], les calculs du temps de rupture des grands blobs injectés et des gouttes produites par l’atomisation se font de manières différentes. Le modèle Wave est utilisé pour le break-up des blobs alors que les corrélations de Pilch du temps de break-up en fonction du nombre de Weber

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sont utilisées pour le fractionnement des gouttes. Les deux expressions de t_rupt sont données par: ΥΞΣ .+ .+ % Υ = Λ Ω et Ο ΥΞΣ ϑ Υ & 7 8 ρ = ρ (1.33) Les constantes B₁ et C₁ doivent relier la densité locale du spray au temps de break-up. Le choix des valeurs de ces constantes est directement lié à l’espacement relatif des gouttes (x/d). Deux combinaisons sont possibles selon que x/d est supérieur à 50 (la goutte est isolée et pas influencé par les autres gouttes) ou x/d<3 (spray très dense).

1.6.8 Le modèle DDB

Le modèle DDB (the Droplet Deformation and Break-up) [33] suppose que le fractionnement est dû à une déformation excessive de la goutte. Ce modèle est une version modifiée du modèle TAB qui prend en considération les effets non linéaires de la déformation de la goutte. L’équation qui régit la déformation de la goutte s’écrit comme suit:

ϑ ϑ Γ ∴ 1 Γ∴ . ∴ ∴ Γ 5Η ∴ Γ :Η / − ♣ • π ♣ π • + + ♦ − ♦ ÷ ÷= ♦ _{♥ ≠} ÷ ♥ ≠ (1.34)

Comme pour le modèle TAB, x représente le déplacement de l'équateur de la goutte de rayon r₀ de sa position d’équilibre et y=x/2r₀. K est le rapport des densités liquide et gaz, et N est le rapport des viscosités.

Le modèle DDB a été utilisé par [75], en compétition avec le modèle KH. Les auteurs utilisent le modèle hybride KH-DDB avant la longueur de rupture. Ils supposent que les blobs injectés se désagrègent en raison de la concurrence entre les instabilités de type KH et la déformation des gouttes. Cependant, au-delà de la longueur de rupture, l’atomisation est due à la déformation des gouttes et seul le modèle DDB est utilisé (Figure 1.10).

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