Optimisation Non Linéaire

(1)

Optimisation Non Linéaire

Yannick Privat

IRMA, univ. Strasbourg

Cours du 19/11/2020 Résolution d’équations différentielles

(2)

Plan

1 Equations différentielles linéaires du premier ordre

Equations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants Méthode de variation de la constante

2 Equations différentielles linéaires du second ordre

3 Correction des exercices

(3)

Equations différentielles linéaires du premier ordre

Equations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants

Sommaire

(4)

Equations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants

Une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants est une équation, dont l’inconnue est une fonctiony de la variablet, de la forme

ay⁰(t) +by(t) =f(t) (E)

oùa6=0 etbsont des constantes réelles, etf est une fonction continue par morceaux surR+.

Exemples

; y⁰(t) +2y(t) =t²−3

; −2y⁰(t) +πy(t) = sint

(5)

Principe de superposition

On considère l’équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants

ay⁰(t) +by(t) =f(t) (E)

oùa6=0,b∈Retf ∈C⁰(R⁺).

Superposition des solutions

SoityP, une solution particulière de l’équation différentielle (E). Toute autre solution y de l’équation différentielle (E) s’écrit :y =yP+yH, oùyH est une solution de l’équation homogène associée (sans second membre)

ay⁰(t) +by(t) =0. (E0)

Preuve : Une fonctiony est une solution de (E) si et seulement siay⁰+by=f, autrement dit ay⁰+by=ay_P⁰ +byP qui se réécrit encorea(y−yP)⁰+b(y−yP) =0. Ainsi, si on pose yH=y−yP,yest solution si et seulement siyH est solution deay_H⁰ +byH=0.

(6)

Résolution de l’équation

Résolution de l’équation sans second membre.

On peut écrire formellement

ay⁰+by =0 ⇐⇒ y⁰ y =−b

a

en admettant quey ne s’annule pas et quey ne change pas de signe. Donc

ln|y(t)|=−^b_at+ ln|y(0)|puisy(t) =y(0)e⁻^b^a^t en admettant quey ne change pas de signe.

Theorème : résolution complète

L’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E) est l’ensemble des fonctions t7→ke⁻^b^a^t+yP(t)

oùk∈RetyPest une solution particulière de (E). Par conséquent, l’équation différentielle linéaire (E) vérifiant une condition initiale donnée (de la formey(0) =y0, avecy0∈R) a une solution unique.

(7)

Exemples

Recherche d’une solution particulière.

•Cas oùf est constante.On rechercheyP sous la forme d’une constante.

•Cas oùf est un polynôme.On rechercheyP sous la forme d’un polynôme de même degré.

•Cas oùf(t) =Acos (ωt+ϕ) +Bsin (ωt+ϕ).On rechercheyP sous la forme yP(t) =A⁰cos (ωt+ϕ) +B⁰sin (ωt+ϕ).

•Cas oùf(t) =ke^λt.siλ6=−b/a,n rechercheyP sous la formeyP(t) =Ae^λt. Si λ=−b/a, alors on recherche une solution particulière sous la formeyP(t) =Ate⁻^b^a^t.

Exemple

L’ensemble des solutions de l’équation différentielley⁰+y =1 est{t7→ke^−t+1,k∈R}.

Si de plus, on cherchey telle quey(0) =0, alors l’unique solution de l’équation est t7→1−e^−t.

(8)

Exercice

Résoudre les équations différentielles suivantes y⁰(t)−3y(t) =t et

y⁰(t) +y(t) =e^t y(0) =1.

(9)

Equations différentielles linéaires du premier ordre Méthode de variation de la constante

Sommaire

(10)

Méthode de variation de la constante

Cette méthode permet de résoudre des équations différentielles linéaires générales du premier ordre, dont les coefficients ne sont pas nécessairement constants. on considère l’équation différentielle linéaire du premier ordre

a(t)y⁰(t) +b(t)y(t) =f(t) (E)

oùa,b,f sont des fonctions continues définies sur un intervalleI deR(aveca6=0 surI).

On appelle équation homogène associée à cette équation, l’équation différentielle a(t)y⁰(t) +b(t)y(t) =0. (E0) Superposition des solutions

SoityP, une solution particulière de l’équation différentielle (E). Toute autre solution y de l’équation différentielle (E) s’écrit :y =yP+yH, oùyH est une solution de l’équation homogène associée (E0).

(11)

Méthode de variation de la constante

Résolution de l’équation sans second membre

Écrivons formellement en supposant quey ne change pas de signe : ay⁰+by =0⇔y⁰

y =−b

a ⇔ln|y(t)|= ln|y(0)| − Z t

0

b a

Ainsi, toute solution de l’équation homogène (E0) surI est de la forme yH:t7→Cexp

− Z b

a

, oùC >0 et la notationR b

a désigne une primitive de la fonction−b/a.

Exemple :résoudre l’équation différentielle

y⁰(t)−ty(t) =0.

Solution :y(t) =Ce^t²^/2avecC∈R.

(12)

Résolution complète

Le principe de la méthode de variation de la constante est d’écrire toute solutiony de (E) sous la formey:t7→C(t) exp −R b

a

oùC désigne la nouvelle inconnue du problème¹. Injectons l’expression dey dans (E) :

a(t)

C⁰(t) exp

− Z b

a

+C(t)

−b(t) a(t)

exp

− Z b

a

+b(t)C(t) exp

− Z b

a

=f(t) donc

C⁰(t) exp

− Z b

a

=f(t)

a(t) ⇐⇒ C(t) = Z f

aexp Z b

a

On en déduit le résultat suivant : Théorème (variation de la constante)

Toute solutiony de (E) satisfaisanty(t0) =y0∈Rest de la forme y :t7→exp

− Z t

t0

b(s) a(s)ds

C(t),

oùC est l’unique fonction telle queC⁰(t) = ^f(t)_a(t)exp Rt

t₀ b(s) a(s)ds

etC(t0) =y0.

1. On peut se convaincre que la formulation du problème enyest équivalente à la formulation enC.

(13)

Exemple

Résolvons l’équation différentielle

ty⁰(t) =y(t) +1 sur]0,+∞[ et y(1) =1.

On aa(t) =t,b(t) =−1,f(t) =1.

; On cherche une solution dey⁰(t) = ¹_ty(t)sur ]0,+∞[.

y(t) = exp

− Z b

a

= exp Z dt

t

=t.

La fonctiont7→t est solution de l’équation homogène associéety⁰(t) =y(t).

; On cherche donc toutes les solutions sous la formey :t7→tC(t).

En injectant cette expression dans l’équation à résoudre, on obtient tC⁰(t) = 1

t

soit C⁰(t) = _t¹2 doncC(t) =−¹_t +C0, oùC0∈R. On en déduit que la solution de l’équation ci-dessus est de la formey =t7→ −1+C0t. Puisquey(1) =1, on en déduit queC0=2.

Finalement

y :t7→ −1+2t.

(14)

Exercices

Résoudre en utilisant la méthode de variation de la constante les équations résolues précédemment à l’aide de la méthode de superposition.

Résoudre également

y⁰(t) +y(t) = _1+e¹t

y(0) =1

(15)

Equations différentielles linéaires du second ordre

Définition, superposition

Une équation différentielle du second ordre est une équation de la forme

ay⁰⁰(t) +by⁰(t) +cy(t) =f(t) (E) oùa6=0,b,c sont trois réels, etf est une fonction continue par morceaux.

Superposition

SoityP une solution particulière de (E). La solution générale de (E) est de la forme y=yP+yH oùyH résout l’équation homogène associée (sans second membre)

ay⁰⁰(t) +by⁰(t) +cy(t) =0. (E0) De plus, il existe une unique solution résolvant l’équation (E) et satisfaisant les deux conditions initialesy(0) =y0 ety⁰(0) =y1.

(16)

Résolution de l’équation sans second membre

Remarquons quey :t7→e^rt, avecr un réel, résout l’équation différentielle (E0) si, et seulement siar²+br+c=0.

Équation caractéristique

L’équationar²+br+c=0 est appeléeéquation caractéristiquede l’équation différentielle (E0).

Appelons∆ =b²−4ac, le discriminant de l’équation caractéristique associée à (E0).

• Si∆>0, l’équation caractéristique a deux solutions réelles distinctesr1 etr2. Les solutions de (E0) sont de la formeyH:t7→Ae^r¹^t+Be^r²^t, avecAetB des constantes réelles.

• Si∆ =0, l’équation caractéristique a une solution doubler=−_2a^b. Les solutions de (E0) sont de la formeyH:t7→(A+Bt)e^rt, avecAetB des constantes réelles.

• Si∆<0, L’équation caractéristique a deux solutions complexes conjuguées r1=a+ib etr2=a−ib, avec(a,b)∈R². Les solutions de (E0) sont de la forme y :t7→Ae^atcos (bt) +Be^atsin (bt).

(17)

Résolution complète et exemples

On recherche une solution particulière de la même façon que pour une équation du premier ordre. Ainsi, pour résoudre

ay⁰⁰(t) +by⁰(t) +cy(t) =f(t) y(0) =y0, y⁰(0) =y1

on procédera ainsi :

; on cherche toutes les solutionsyH de l’équation homogène : ay⁰⁰(t) +by⁰(t) +cy(t) =0

; on cherche une solution particulièreyP de l’équationay⁰⁰(t) +by⁰(t) +cy(t) =f(t).

; on a alorsy =yH+yP et on achève la résolution en traduisant quey(0) =y0, y⁰(0) =y1.

Exemple : résolution de

y⁰⁰(t) +y(t) =t y(0) =0, y⁰(0) =2

L’équation caractéristique associée à l’équation différentielley⁰⁰+y=testr²+1=0 ayant pour solutions (complexes conjuguées)±i. Par conséquent, en remarquant que t7→t est solution particulière, l’ensemble des solutions de cette équation est

{t7→t+Acost+Bsint,(A,B)∈R²}. Si de plus, on cherchey telle quey(0) =0 et y⁰(0) =2, alors on trouveA=0,B=1 et l’unique solution de l’équation est

t7→t+ sint.

(18)

Exercices

Résoudre l’équation différentielle

x⁰⁰(t)−4x⁰(t) +3x(t) =−3t²+2t x(0) =0, x⁰(0) =−1.

On cherchera une solution particulière sous la forme d’un polynôme du second degré.

(19)

Correction des exercices

Equations différentielles du premier ordre

Résolution de

y⁰(t)−3y(t) =t

Par la méthode de superposition.On cherche une solution particulière sous forme d’un polynôme de degré 1. SoityP(t) =at+b. On a

y_P⁰(t)−3yP(t) =−3at+a−3bet par identification,−3a=1,a−3b=0, soit a=−1/3,b=−1/9, donc on peut choisir

yP(t) =−1 3t−1

9 La solution générale de l’équation sans second membre est

yH(t) =Ce^3t.

Finalement, la solution générale de l’équation est y(t) =Ce^3t−1

3t−1 9.

(20)

Equations différentielles du premier ordre

Résolution de

y⁰(t)−3y(t) =t

Par la méthode de variation de la constante.La solution générale de l’équation sans second membre est

yH(t) =Ce^3t.

Faisons varier la constante. On cherchey sous la formey(t) =C(t)e^3t. On a y⁰(t)−3y(t) =t⇔C⁰(t)e^3t+3C(t)e^3t−3C(t)e^3t=t⇔C⁰(t) =te^−3t. Ainsi, en intégrant par parties, il existec∈Rtel que :

C(t) = Z

te^−3tdt=

−1 3te^−3t

t

+1 3 Z

e^−3tdt=−1

3te^−3t−1 9e^−3t+c Finalement,y(t) =e^3t −¹₃te^−3t−¹₉e^−3t+c

soit y(t) =ce^3t−1

3t−1 9.

(21)

Equations différentielles du premier ordre

Résolution de

y⁰(t) +y(t) =e^t y(0) =1.

Par la méthode de superposition.On cherche une solution particulière sous la forme yP(t) =Ae^t. On ay_P⁰(t) +yP(t) =2Ae^t et par identification,A=1/2 et

yP(t) =1 2e^t.

La solution générale de l’équation sans second membre est yH(t) =Ce^−t.

Finalement, la solution générale de l’équation est y(t) =Ce^−t+1

2e^t. Enfin, puisquey(0) =1, on aC+¹₂ =1, doncC= ¹₂ puis

y(t) = 1

2(e^−t+e^t).

(22)

Equations différentielles du premier ordre

Résolution de

y⁰(t) +y(t) =e^t y(0) =1.

Par la méthode de variation de la constante.La solution générale de l’équation sans second membre est

yH(t) =Ce^−t.

Faisons varier la constante. On cherchey sous la formey(t) =C(t)e^−t. On a y⁰(t) +y(t) =e^t ⇔C⁰(t)e^−t−C(t)e^−t+C(t)e^−t =e^t⇔C⁰(t) =e^2t.

Ainsi, il existec∈Rtel que :

C(t) = 1 2e^2t+c. Finalement, on retrouve

y(t) =Ce^−t+1 2e^t.

(23)

Exercices

Résoudre en utilisant la méthode de variation de la constante y⁰(x) +y(x) = _1+e¹x

y(0) =1

Solution de l’équation sans second membre :x7→Ce^−x. On cherche les solutions sous la formey:x 7→C(x)e^−x. Alors

C⁰(x) = e^x 1+e^x. Par conséquent,C(x) = ln(1+e^x) +c, avecc∈R.

Il vienty(x) =e^−xln(1+e^x) +ce^−x et puisquey(0) =1=c+ ln2, on obtient y(x) =e^−x(1−ln2+ ln(1+e^x)).

(24)

Equations différentielles du second ordre

Résolution de

x⁰⁰(t)−4x⁰(t) +3x(t) =−3t²+2t x(0) =0, x⁰(0) =0.

On cherchera une solution particulière sous la forme d’un polynôme du second degré.

On utilise le principe de superposition. On cherche une solution particulière sous la forme xP(t) =At²+Bt+C. On a

x_P⁰⁰(t)−4x_P⁰(t) +3xP(t) =3At²+ (3B−8A)t+2A−4B+3C et par identification, A=−1,B=−2 etC =−2. Ainsi,

xP(t) =−t²−2t−2.

L’équation caractéristique associée estr²−4r+3=0 de racines 1 et 3. Ainsi, la solution générale de l’équation sans second membre estxH(t) =αe^t+βe^3t.Finalement, la solution générale de l’équation est

x(t) =αe^t+βe^3t−t²−2t−2.

Enfin, puisquex(0) =0 etx⁰(0) =0, on aα+β=2 etα+3β=2, doncα=2 et β=0 puis

x(t) =2e^t−t²−2t−2.