Corrigé du DS numéro 2

Corrigé du DS numéro 2

I-Exercice pour les non spécialistes.

1. On considère la fonction f définie sur ℝ par :

{

x2^-

f x=lim

x2⁺

f x⇔7=−8−a⇔a=−15 2. On considère la fonction f définie sur [−3;3]par fx=Ex[x−Ex]²

a . f x1=Ex1[x1−Ex1]

or on sait que Ex1=Ex1

d'où f x1=Ex1[x1−Ex−1]

c'est à dire f x1=Ex[x−Ex]1 d'où f x1=fx1

En notant Mx , f x et M'x1,f x1, on a donc ^MM'1,1 ce qui prouve que M' est l'image de M par la translation de vecteur u1;1.

b . Si x∈[0;1[ alors fx=0x−0²=x².

c . On obtient donc comme représentation graphique :

d . Étudier la continuité de f sur [−3;3].

f est continue sur l'intervalle [0;1[ car polynôme.

De plus lim

x1^-

f x=lim

x1^-

x²=1 et ^lim

x1⁺

f x=lim

x1⁺

f x−11=1car f x−1=x−1² (En effet x tend vers 1⁺ correspond à x−1 tend vers 0⁺).

On obtient donc la continuité de f en 1. De même f est continue en 2 ,3, 0, -1, -2 et -3.

I-Exercice pour les spécialistes .

1. a . Démontrer que 97 est un nombre premier.



97 est impair donc non divisible par 2,

9+7=16 non divisible par 3 donc 97 n'est pas divisible par 3.

Le chiffre des unités de 97 est 7 différents de 0 et 5 d'où 97 n'est pas divisible par 5.

97

7 ≈13,85 ∉ℤ d'où 97 n'est pas divisible par 7.

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b . 34920=2³×3²×5×97

c . le nombre de diviseurs de 34920 est 31211111=48

2. Dans la division euclidienne de a par b, le quotient est q et le reste r. En augmentant le dividende de 21 et le diviseur de 3, le quotient et le reste sont inchangés.

a . D'après le texte a, b, q et r vérifient

{

b . On a b=11 , q=7 d'où les valeurs possibles pour a sont a=77r avec 0r11 . D'où les valeurs possibles appartiennent à l'ensemble

{71,72,73,74,75,76 ,77,78,79,80,81,82,83,84 ,85,86,87}

II - Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct O ,u ,v (unité graphique : 3 cm).

On désigne par A le point d'affixe −1−i.

À tout point M du plan, distinct de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' défini par : z '= z

iz1 . 1. Si z=−1i alors z '= −1i

i−1i1=−1i

2i =−1i−2i

4 =1

21 2i

Si z=1 21

2i alors z '= 1 21

2i i1

21 2i1

= 1i 33i=1

3 2. M confondus avec M' si, et seulement si z=z '.

z=z '⇔z= z

iz1⇔ziz1−z=0⇔ziz1−1=0⇔ziz=0⇔z=0 ou z=−i. On en déduit que les points invariants sont les points d'affixe 0 et −i.

3. a . z '= xi y ixi y1

= xi y







 



=xx1yy1i





x1²y1²

=x²xy²yiy−x

x1²y1² d'où x'= x²xy²y

x1²y1² et y'= y−x

x1²y1²

b . M' est situé sur l'axe des imaginaires purs si, et seulement si, x'=0⇔x²xy²y=0 .

⇔













^

c . M' est situé sur l'axe des réels si, et seulement si, y '=0⇔y=x. ⇔









d'où F est la droite d'équation y=x privée du point A.

III-Pour tout nombre complexe Z on pose : PZ=Z⁴−1 1. Z²1=0⇔Z²=−1⇔Z=i ou Z=−i.

2. PZ=Z²−1Z²1=Z−1Z1Z−iZi.

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3. D'après la question précédente PZ=0⇔Z=1 ou Z=−1 ou Z=i ou Z=−i. 4. On pose Z=2z1

z−1 ( z≠1 )d'où d'après la question précédente





⇔z=−2 ou z=0 ou z=−1 53

5i ou z=−1 5−3

5i IV - Soit g la fonction définie surℝpar : gx=−x³3x²1 .

1. Étudier les variations de g.

a. _lim

x−∞

−x³3x²1=lim

x−∞−x³=∞, lim

x∞−x³3x²1=lim

x∞−x³=−∞. b. g 'x=−3x²6x=3x−x2

x −∞ 0 2 ∞

g 'x − 0 + 0 −

gx

∞ 5

1 −∞

c . Représentation graphique : Voir Annexe

2. a . g admet un minimum local égal à 1 sur ]−∞;2]; d'où pour tout x∈]−∞;2], gx0 et donc l'équation gx=0 n'admet pas de solution sur ]−∞;2].

Sur [2;∞[ g est continue et strictement décroissante de [2;∞[ sur ]−∞;5], or 0∈]−∞;5] d'où d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel  ∈[2;∞ [ tel que g(α )= 0.

De plus g3,1≈0,040 et g3,11≈−0,060 , d'où 3,13,11

b . Signe de gxsuivant les valeurs de x. On déduit de l'étude précédente le signe de g sur ℝ. x −∞ 0 2  ∞

gx + 0 — c . Si k∈]−∞;1[, alors l'équation gx=k admet 1 solution.

Si k=1 , alors l'équation gx=k admet 2 solutions.

Si k∈]1;5[, alors l'équation gx=k admet 3 solutions.

Si k=5 , alors l'équation gx=k admet 2 solutions.

Si k∈]5;∞[, alors l'équation gx=k admet 1 solution.

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Annexe

Courbe représentative de g (Exercice 3)

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