≥=≤=⋅+ ⇒ =+ 4411 avec et 1 1. CCCCLCLC T −=− ZC 2, −=−

(1)

Filtre passe-bande ( filtre en π)

a) En négligeant les résistances r de l’inductance et en supposant le filtre sur son impédance caractéristiqueZ^C, montrer que le circuit ci-après est un filtre passe-bande dont les fréquences de coupure basse et haute sont fb_et f_h_.

b) Montrer que l’impédance caractéristique peut s’écrire :

2 2

2 ,

C

b

a h

Z C

ω ω ω ω ω

= −

−

Calculer sa valeur R^C_pour

ω

²−

ω

_b² =

ω

_h²−

ω

², puis, avec R_C =75Ω, les valeurs de C_a, C_b et Lb pour avoir f_b =150KhZ_et f_h =400KhZ.

c) L’inductance Lb possède la résistance r=0.44Ω ; tracer le diagramme de Bode pour f variant de 15kHz à 4MHz . Déterminer les fréquences de coupure à −3dB, f^'^b_et f^'h_.

d) Les fréquences de coupure f^'^b_et f_b_, f^'_h_et f_h sont liées par

'b b

f b

f = _et

'h h

f h

f = _.

Modifier la valeur de Lb en utilisant la valeur moyenne de b et h de façon à rapprocher f^'^b_et

'h

f _de f_b_et f_h modifier r dans la même proportion. Déterminer les nouvelles fréquences de coupure f^''^b_et f^''h_.

e) Trouver les pulsations pour lesquelles les expressions asymptotiques de

T

valent 1. En comparant avec ω^''b et ω^''h en déduire les valeurs C^'a et C^'b à adopter afin de rapprocher les fréquences de coupure de fb_et f_h tout en conservant les valeurs L^'b et r^'b calculées à la question d. Tracer le diagramme de Bode.

Réponse

a)

4 4

1 1

avec et 1

^b

1

^b

.

b b h h b

a a

b b b b

C C

L C L C

ω

≥

ω ω

=

ω

≤

ω

= ⋅ + ⇒

ω

=

ω

+

ZC

Cb

i1

i2

Ca 2

Lb , r

ue u_s

Ca 2

(2)

2 2

2 4 2 4

, filtre en π, , dans le cas de réactances pures.

4 4

C C

a b a b

Z Z X X

Z Z

Z Z X X

 

= = −

 

+ +

 

Et un filtre en π possède une bande passante définie, dans le cas de réactances pures, par :

4

^b

0

a

X

− ≤

X

≤ et :

(

²

)

4 0 4 1 0

1 1 4

et 1 .

b a

b b

a b

b

b h

b b b b a

X C

X L C C

C

L C L C C

ω

ω ω ω ω

− ≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤

⇒ ≥ = ≤ + =

b)

2 2 2

C

2

2 2 2

4 2 1

Z .

4 4 1

1 2

4

C

b b a b

a b a b

b b a

b b

a a b

b

a b

X X L C

Z X X C C

C L C

L C

Z C

C C

L C C

ω

ω ω

ω

ω ω

−

= − ⇒ =

+ + −

 

 − 

 

=

 + 

 − 

 

2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 1

, , ,

2

2 2 1

14nF, 1 =21.4 nF , 52.6 μH.

4

C C

C

h b

h b a

a

a h

a b b

h b b b b

Z R C

C R

C C C L

R C

ω ω

ω ω ω ω ω

ω ω

ω

ω ω ω ω

− = − ⇒ = + = = =

 

= + = =  −  = =

2 2

2 ,

C

b

a h

Z C

ω ω ω ω ω

−

=

−

c) Calculer ue puis us et enfin T à partir des équations des mailles :

1 2

2

2 2

,

2 1 2

0 ,

1 2

2 .

1 2

C C

e

a a

b a

a b a

s a

i i

u jC jC

R i

jL r i

jC jC R C jC

u R i

R C

ω ω

ω ω ω

ω



 = −



  

  

 = + + + + −

  

  + 

 



 =

 +



(3)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 4 2 3

2

2 3 2

2 4 2

2 3 2

1 2

2 2 2 2

2 ,

1 2

2 2 2

C C

C

C C

C

C C

C

C C

a a

a b b b

a a a a

b b b b b

a

a b

a b b a b

a a a a

b b b b b

e

R L C C rR C C

C C j R C R C C jL C C r R C C j

i jC i

jC jC jR C

R L C C rR C C

C C j R C R C C jL C C r R C C j

u

ω ω

ω ω ω ω

ω

ω ω ω

ω ω ω ω ω

   

+ − + − − + + −

   

 

 

=    

  +  

   

 

 

+ − +  − − + + −

 

=

( ) ( )

2 3

2 2

,

1 2

C

a

a a

a b

i i

R C jC

jC jC j

ω

ω ω







 

  

     −

   +  

    

  



( ) ( )

( )

2 4 2 3

2

2 3 2 2

3 2

2

2 2

2 2 2

1 2 2 2

C C

C

C C C

s C

C C

C

C C C

a a

a b b b

a a a a a

b b b b b b b

e

a b

a a

a b b b

b b b b b

e

b

R L C C rR C C

C C j R C R C C jL C C r R C C j R C C jC

u u

jC jC R

R L C C rR C C

j R C R C L C j r R C j jR C

u jC

ω ω

ω ω ω ω ω ω

ω ω

ω ω ω ω

ω

   

+ − + − − + + − + −

   

 

 

= 

 

 

  

+ + − + + − − −

  

 

=





s,

C

u R







 

 

 

 



( )

3

1 2 1

2 2 2

C

C C

s C

a a a

b b b

b b

b e

b

L rC r C L C R C

R C j R C

R R C

u u

jR C

ω ω ω

ω

     

− + + + + −

     

     

= 

 

 

2 2

2 3

,

1 1

2 2 2

C

C C C

C C

b

a b a a

b b b b

b

T R C

C L r C C

r R C R C L R C

R R C

ω

ω ω ω

=

  

   

− + + + +  − 

   

 

 

    

Le maximum de

T

_{est de}_1.79dB_à_231.3kHz et les points à -3dB de ce maximum correspondent à

'b 122kHz

f = _etf^'h =324.8kHz_.( ⇒ b = 0.81 et h = 0.81) d)

2 2

' '

et r , ce qui d'après les expressions littérales de

2 2

et devrait multiplier et par 2 1.23.

b b b

b h

h

b h b h

L L r f

f f f

b h

+ +

   

=   =  

   

+ =

'b 34.8μH

L = _et r^' =0.29Ω. Le maximum est désormais de 2.93dB à 231.3kHz avec

''b 183.4kHz

f = _et f^''h =412.3kHz_.

(4)

e) Les expressions asymptotiques de

T

prennent la valeur 1 pour

1

C b

ω

=

R C

_et ²

b a

ω

= L C _{, il} semble donc possible de corriger f^''^b_et f^''h en multipliant Cb par le rapport 183.4

150 ^et ^a C

par

412.3 2

400

 

 

  , ceci translatant les asymptotes dans le sens souhaité pour f^''^b_et f^''h_{. Le}

maximum est alors de 2.97dB pour 298.7kHz et les points à -3dB sont à 167.2kHz et 396.2kHz .

ω→0 ,

T

→

R C

^C b

ω

_;

ω

→ ∞, ²

2

b a

T

^→

L C ω

^.

Les trois courbes de |T|Db