Par contre, l’évolution de la production énergétique mondiale n’évolue que linéairement, ce que l’on modélise par E(u

Sup Galilée - Université Paris 13 Lundi 8 décembre 2014 Contrôle continu de Mathématiques pour Ingénieur

Durée1 heure 30. Sujet en3 partieset 7 pages.

Les documents, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.

MÉTHODES D’APPROXIMATION DE SOLUTIONS D’ÉQUATIONS NON LINÉAIRES

Fruits de la « troisième révolution industrielle », l’informatique et les ordinateurs occupent une place centrale dans l’organisation sociale comme dans la vie privée. Encore faut-il pouvoir les alimenter. Une vision simpliste de la loi de Mooreconsiste à conjecturer que la puissance des ordinateurs double tous les dix ans : on modélise donc les besoins énergétiques de tous les ordinateurs du monde de manière exponentielle, par B(u) =e^u, u représentant une unité de temps. Par contre, l’évolution de la production énergétique mondiale n’évolue que linéairement, ce que l’on modélise par E(u) = u+2. On ne peut que s’inquiéter de la possibilité d’être un jour à court d’énergie pour alimenter des ordinateurs aujourd’hui si fondamentaux.

On s’intéresse donc ici à la détermination du moment où cet équilibre sera atteint, autrement dit à résoudre :

(?) e^u=u+2 1. Mettre le problème (?) sous la forme f(u)=0.

2. Montrer qu’il existe une unique solutionu^?à f(u)=0 sur [0,+∞[.

1. Recherche par dichotomie_{[2 pages]}

On souhaite dans cette partie appliquer la méthode de dichotomie pour approcheru^?. (a) Pourquoi peut-on appliquer la méthode de dichotomie sur [0,2] pour rechercheru^??

(b) Représenter graphiquement, sur la figure ci-dessous, les deux premières itérations de la méthode de dichotomie.

Figure1. La situation : une production d’énergie insuffisante à terme ! (c) Donner une approximation deu^?après ces deux itérations.

Il faut encore savoir à quelle précision connaît-onu^?avec cette méthode.

(d) Rappeler une majoration de l’erreur aprèsmitérations.

(e) Combien d’étapes faut-il pour estimeru^?à 10⁻²⁰près ?

2. Transformation en un probleme de point fixe` _{[1 page]}

Une autre possibilité pour résoudre le problème (?) est d’utiliser la méthode itérative du point fixe.

(a) Donner un problème de point fixe équivalent au problème f(u)=0.

(b) Dessiner les quatre premières itérations sur le graphe de g(x) = exp(x)−2 ci-dessous , en choisissant comme donnée initiale ⁴₅.

Figure2. La fonctionget la première bissectrice (c) Commenter. Quelle hypothèse du théorème du point fixe est manquante ?

3. M´ethode deNewton_{[3 pages]}

Revenons au problème de recherche de zéro, f(u)=0.

(a) Représenter graphiquement, sur la figure ci-dessous, les deux premières itérées de la méthode de Newton appliquée à f, en choisissant comme donnée initiale¹₂.

Figure3. La fonction f sur [0,2]

(b) On note (x_n)_nla suite obtenue par la méthode de Newton appliquée à f. Donner l’expression dex_npour toutn≥0.

Dans ce qui suit, supposons que : ∀n∈N,|x_n+1−u^?|

|x_n−u^?|2 6 1 2. (c) Quel est l’ordre de convergence de la méthode de Newton ?

(d) On suppose dorénavant que|x₀−u^?|61. Montrer que|x_n−u^?|6₁

2

2ⁿ−1

|x₀−u^?|²ⁿ.

(e) Combien d’itérations faut-il pour estimeru^?à 10⁻²⁰près ? Commenter.

(f) Représenter graphiquement, sur la figure ci-dessous, les deux premières itérations de la méthode de Newton en choisissant comme donnée initiale−¹

2. Commenter.

Figure4. La fonction f sur [−4,0]