M1 – La multiplication
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LA MULTIPLICATION 1
I. Définition et propriétés a) Définition
Définition :
La multiplication est l’opération qui aux nombres 𝒂 et 𝒃 associe le produit noté 𝒂 × 𝒃.
Le résultat d’une multiplication s’appelle un produit et les nombres que l’on multiplie entre eux s’appellent les facteurs.
6 × 5 = 30
Facteur Produit
b) Propriétés
1) Pour tous nombres 𝒂 et 𝒃 : 𝒂 × 𝒃 = 𝒃 × 𝒂
Un produit ne change pas lorsque l’on change l’ordre des facteurs.
2) 𝟏 × 𝒂 = 𝒂 𝒆𝒕 𝟎 × 𝒂 = 𝟎 II. Technique de la multiplication
a) Multiplication de nombres entiers
On multiplie successivement tous les chiffres, sans oublier les retenues.
1 2
4 7 2
× 3
1 4 1 6
1
1 2
4, 7 2
× 2, 3
1 4 1 6
+ 9 4 4 .
1 0 8 5 6
b) Multiplication de nombres décimaux
1
1 2
4, 7 2
× 2, 3
1 4 1 6
+ 9 4 4 .
1 0, 8 5 6
Etape 1 : Je calcule : 472 × 3 = 1 416
Etape 2 : Je décale d’un cran en mettant un . ou un 0 puis j’écris le résultat du calcul 472 × 2 = 944
Etape 3 : J’additionne les deux résultats trouvés 1 416 + 9440 = 10 856
Pour multiplier entre eux deux nombres décimaux, on pose et on effectue la multiplication sans s’occuper des virgules.
Ensuite, on compte le nombre de chiffres après la virgule dans les deux facteurs. Ici, il y en a trois.
Puis on place la virgule dans le résultat. Il doit y avoir dans le résultat autant de chiffres après la virgule que dans les deux facteurs. Ici, il y en a donc trois.
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Remarque :
2
Pour placer la virgule dans le résultat, on peut être amené à ajouter des zéros à gauche du résultat.
Exemple : Calculons 1,27 × 0,04.
On a 127 × 4 = 508 donc 1, 27 × 0,04 = 0,0508
c) A savoir
Pour calculer 7 800 × 3 600, on calcule 78 × 36 et on ajoute 4 zéros au résultat trouvé.
2 4
7 8 0 0
× 3 6 0 0
4 6 8
+2 3 4 .
2 8 0 8 0 0 0 0
Quelques produits à connaître par cœur : 500 × 2 = 1000
50 × 2 = 100 5 × 2 = 10 0,5 × 2 = 1
250 × 4 = 1000 25 × 4 = 100 2,5 × 4 = 10 0,25 × 4 = 1
125 × 8 = 1000 12,5 × 8 = 100 1,25 × 8 = 10 0,125 × 8 = 1 III. Multiplier par …
a) 10, 100, 1000…
Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000… revient à déplacer la virgule d’un, de deux, de trois…
rangs vers la droite en plaçant un ou plusieurs zéros si nécessaire.
Exemple : 10 × 4,5 = 45 10 × 689 = 6890
b) 0,1 ; 0,01 ; 0,001 …
Multiplier un nombre décimal par 0,1, par 0,01, par 0,001… revient à déplacer la virgule d’un, de deux, de trois… rangs vers la gauche en plaçant un ou plusieurs zéros si nécessaire.
Exemple : 12,45 × 0,1 = 1,245
IV. Ordre de grandeur, calcul astucieux et calcul sans parenthèses
a) Ordre de grandeur
On remplace les facteurs par des nombres plus simples mais très proches. Le résultat obtenu (facilement calculable) est appelé ordre de grandeur du produit.
Exemple :
Recherchons un ordre de grandeur de 31,258 × 18,54 31,258 est proche de 30
18,54 est proche de 20
Donc un ordre de grandeur de 31,258 × 18,54 est : 30 × 20 = 600
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b) Calcul astucieux
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Il s’agit de regrouper les calculs les plus faciles à réaliser Exemple : 𝐶 = 25 × 50 × 1,25 × 8 × 4 × 2
𝐶 =25×50× 1,25 × 8 ×4×2 𝐶 = 25 × 4 × 50 × 2 × 1,25 × 8 𝐶 = 100 × 100 × 10 𝐶 = 100 000
c) Calcul sans parenthèses Propriété :
Dans une suite d’opérations sans parenthèses, les multiplications sont prioritaires sur les additions et les soustractions.
Exemple : 𝐴 = 3 + 7 × 22
𝐴 = 3 +𝟕 × 𝟐𝟐 On commence par calculer 7 × 22
𝐴 = 3 +𝟏𝟓𝟒 𝐴 = 157
On dit que 𝐴 est la somme de 3 et du produit de 7 par 22.
