SS
Les polyèdres de Kepler-Poinsot
Sylvain Courtois et Francis Denis
Extrait des numéros 21, 22 et 23
Société Belge des Professeurs de Mathématique d’expression française
2013
Les polyèdres de Kepler-Poinsot, S. Courtois et F. Denis 3
1.Le défi de leur construction 3
1.1. Trois travaux classiques à propos de la construction des polyèdres étoilés. 3
1.2. Une autre approche 3
1.3. Le petit dodécaèdre étoilé et le grand dodécaèdre étoilé 3 1.4. Le petit dodécaèdre étoilé (PDE, S = 12, A = 30, F = 12) 3 1.5. Le grand dodécaèdre étoilé (GDE, S = 20, A = 30, F = 12) 5 1.6. Trois remarques à propos de ces deux polyèdres étoilés 7
1.7. Annexe 7
2.Le Grand Dodécaèdre et le Grand Icosaèdre 8
2.1. Le Grand Dodécaèdre (GD) 8
2.2. Le Grand Icosaèdre (GI) 9
3.Une dualité facile : la construction de polyèdres duaux 11
3.1. Le cas des polyèdres platoniciens 11
3.2. La sphère intermédiaire 12
3.3. Les Symétries 14
3.4. Facettage et Stellation 14
3.5. Conclusions 15
Les polyèdres de Kepler-Poinsot
Sylvain Courtois et Francis Denis
Mots clés : Géométrie, Polyèdres, Dualité
1. Le défi de leur construction
Les quatre polyèdres de Kepler-Poinsot ne furent regardés mathématiquement que dans les Temps Modernes. Deux d’entre eux, le petit do- décaèdre étoilé et le grand dodécaèdre étoilé, en 1619 par Kepler (1571–1630), les deux autres, le grand dodécaèdre et le grand icosaèdre, vers 1809 par LouisPoinsot(1777–1859). Marqués par l’idée que les cinq polyèdres platoniciens fussent les seuls réguliers, les esprits mirent du temps à s’accorder sur leur caractère régulier. Il leur fallait accepter que les faces puissent être étoilées et deux faces se couper intérieurement au polyèdre, [1].
Historiquement, un petit dodécaèdre étoilé, daté des années 1400 et attribué à Paolo Uccello, est représenté dans le pavement de la basilique Saint Marc à Venise, [2], et un ouvrage relatif à des mo- dèles en bois par Wentzel Jamnitzer, [3], publié dans les années 1500, décrit le grand dodécaèdre et le grand icosaèdre.
1.1. Trois travaux classiques à propos de la construction des polyèdres étoilés.
a. Dans Esthétique des proportions, Matila C.
Ghyka, [4], a vulgarisé l’intérêt pour les polyèdres.
Il parle à propos du petit dodécaèdre étoilé « de bourgeonnements dont les sommets coïncident avec ceux de l’icosaèdre régulier enveloppe ».
b. Dans les années 1950–1960, un engouement se manifestait pour la construction carton-ciseaux- colle de polyèdres, souvent comme modèles d’illus- tration de groupes d’isométries.
Le classique : Mathematical Models, par H.M.
Cundy & A.P. Rollet, [5], recommande le pro- cédé de construction suivant du petit dodécaèdre étoilé :
« Un demi-décagone régulier (formé de cinq tri- angles d’or 36°, 72°, 72°dont la base est l’arête d’un dodécaèdre régulier) est le développement d’une
pyramide qui, collée sur chaque face du dodéca- èdre régulier, donne un sommet du petit dodécaèdre étoilé. »
c. Des modèles illustres de polyèdres ont été réa- lisés par Magnus Wenninger, moine bénédictin — Wisconsin USA (octobre 1919– ) qui publia entre autresPolyhedron Models for the Classroom, [6], [7].
1.2. Une autre approche
Sans rejeter la construction manuelle qui fut mise à l’honneur antérieurement, il faut reconnaître qu’elle prend du temps, que l’assemblage carton-colle- ciseaux et le montage en bois relèvent d’une ex- cellente habileté manuelle, avec des résultats com- portant souvent des distorsions visibles.
Un nouveau pas a été franchi avec les images vir- tuelles de polyèdres sur internet où d’excellentes re- présentations sont à contempler.
ActuellementCabri 3Dpermet de construire ces fi- gures dans l’enseignement secondaire.
Notre intérêt à l’égard des polyèdres de Kepler- Poinsot est de profiter de leur construction numé- rique pour aborder, dans ce domaine qui s’y prête bien, deux notions essentielles de la géométrie : la symétrie, [8], et la dualité.
1.3. Le petit dodécaèdre étoilé et le grand dodécaèdre étoilé
1.4. Le petit dodécaèdre étoilé (PDE, S = 12, A = 30, F = 12)
Partant du dodécaèdre régulier, prolonger lesarêtes dans le plan de chaque face, jusqu’à former une face du PDE, un pentagramme. C’est la démarche qu’aurait suivie Kepler au 16e siècle (fig. 1).
Ce procédé qui consiste à étendre lesarêtes d’un po- lyèdre de base jusqu’à leurs intersections, afin d’ob-
Losanges
•N 21-22-23
•2013
•tenir un nouveau polyèdre, est appelé une stella- tion du polyèdre.
Fig. 1
Chaque sommet de ce pentagramme appartient à un axe de rotation d’ordre 5 du dodécaèdre.
En effet le planABO (fig. 2) est un plan de symé- trie du DR(1),O étant le centre du dodécaèdre. Ce plan contient l’axe a. Donc la droite AB le coupe en S et S appartient aux images de la droite AB par les rotations d’ordre 5 d’axe a.
Fig. 2
Une représentation du PDE avec Cabri, peut donc être obtenue à partir de la construction d’une de ses faces, en mettant en œuvre des rotations de 72°
autour d’axes de rotation du dodécaèdre. (fig. 3).
Fig. 3
Ce qui donne un ensemble de douze pentagrammes dont les plans coïncident avec ceux des faces du do- décaèdre initial et qui possède les mêmes symétries que le dodécaèdre (fig. 4).
Fig. 4
Cet ensemble peut être examiné sous tous les angles à condition d’avoir choisi la perspective naturelle dans le menu de Cabri, mais, du point de vue du logiciel, il n’est pas perçu comme un solide (il n’est, par exemple, pas possible de construire son image par une symétrie centrale). (Voir l’annexe.)
On peut simuler avec Cabri la construction ma- nuelle proposée par H.M. Cundy and A.P. Rol- let. Prolonger extérieurement à chaque face, les cinq arêtes obliques à une même face, jusqu’à for- mer une pyramide et un nouveau sommet (fig. 5)
(1) DR : dodécaèdre régulier
Il s’agit en fait de la même idée. Étendre les faces ou les arêtes est équivalent du point de vue géomé- trique.
Fig. 5
Après avoir construit une pyramide sur une face pentagonale du dodécaèdre régulier, un demi-tour d’axe a passant par le milieu d’un des côtés de la base pentagonale et le centreO du dodécaèdre per- met de couvrir une des cinq faces adjacentes par une pyramide (fig. 6) et des rotations d’ordre 5 autour de l’axeb permettent de couvrir les quatre autres.
Fig. 6
La symétrie centrale de centreOachève la construc- tion des douze sommets du PDE
Si le résultat des constructions semble identique, il convient de noter que la notion de face du PDE
n’est pas perçue par Cabri, pas plus que celle de so- lide, lorsqu’on utilise cette méthode de construction (colorer des faces, par exemple, implique de repérer les triangles qui correspondent à une même face et à les colorer un à un).
Dans les deux cas, les constructions réalisées per- mettent de mettre en évidence le fait que les som- mets du PDE coïncident avec ceux d’un icosa- èdre régulier et d’en déduire une autre méthode de construction (fig. 7).
Fig. 7
Chaque sommet de l’icosaèdre régulier(2) est relié par une arête à cinq sommets adjacents ; le penta- gramme reliant ces cinq sommets est une des douze faces du PDE, [9].
La construction intérieure à l’IR utilise le procédé dit de facettage. Le facettage consiste à créer un nouveau polyèdre en conservant les sommets d’un polyèdre et en retirant certaines parties, tout en respectant les symétries du polyèdre initial.
1.5. Le grand dodécaèdre étoilé (GDE, S = 20, A = 30, F = 12)
Partant de l’icosaèdre régulier, prolonger les côtés d’une face triangulaire ne donne pas de nouveaux sommets. Mais tout sommet de l’icosaèdre est lié par une arête à cinq autres sommets et ces derniers forment un pentagone régulier convexe.
Les côtés de ce pentagone, prolongés, déterminent un pentagone étoilé (fig. 8).
(2) IR : icosaèdre régulier
5
Fig. 8
On retrouve le procédé de stellation. Les douze pentagrammes (comme le nombre de sommets de l’icosaèdre) s’obtiennent comme plus haut par ro- tations, formant un nouveau polyèdre, le grand do- décaèdre étoilé (GDE).
Les sommets du pentagramme appartiennent aux axes de rotation d’ordre 3 de l’icosaèdre (axes pas- sant par les centres des faces opposées).
En effet,Oétant le centre du IR, le planABO( fig.
9) est un plan de symétrie de cet icosaèdre régulier.
Ce plan contient l’axea.
Fig. 9
Donc la droiteABcoupeaenSetSappartient aux images de la droite AB par les rotations d’ordre 3 d’axea.
Une représentation du GDE avec Cabri, peut donc être obtenue à partir de la construction d’une de ses faces en mettant en œuvre des rotations de 120°
autour d’axes de rotation de l’icosaèdre (fig. 10).
Fig. 10
La construction d’un modèle par le même procédé de stellation, au moyen de pyramides extérieures dont la base est une face triangulaire de l’icosaèdre et les faces latérales des triangles d’or (36°, 72°, 72°) est préconisée parCundy etRollet(fig. 11).
Fig. 11
Les 20 sommets du GDE sont les vingt sommets d’un dodécaèdre régulier de même sphère circons- crite, il en découle une construction par facettage.
(fig. 12)
Fig. 12
1.6. Trois remarques à propos de ces deux polyèdres étoilés
1. Le PDE (resp. le GDE) admet la même sphère intermédiaire — la sphère tangente aux arêtes des polyèdres — que le dodécaèdre (resp. l’icosaèdre) qui a servi à le construire.
2. Le PDE s’obtient par stellation du dodécaèdre ou par facettage de l’icosaèdre. Le GDE s’obtient parstellation de l’icosaèdre ou parfacettage du do- décaèdre.
3. La propriété de dualité, déjà sous-jacente ici, va être précisée et mener à déjà concevoir un dual de chacun d’eux : ce seront le Grand Dodécaèdre à 12 faces, 12 sommets, 30 arêtes et le Grand Icosaèdre à 20 faces, 12 sommets, 30 arêtes.
1.7. Annexe
Dans ce qui précède, les dodécaèdres et icosaèdres réguliers utilisés lors des constructions ont été direc- tement obtenus à partir de l’article du menu corres- pondant de Cabri.
Il peut être intéressant de réaliser une de ces constructions pas à pas.
Cela implique :
1. De réaliser une représentation du dodécaèdre ré- gulier par rotations et symétries.
Soient A, B, C trois sommets consécutifs d’un pentagone régulier d’axe aetD le sommet d’arête BDà déterminer. Un premier lieu deDest le cercle, intersection des deux sphères de centres A etC et
de rayon la diagonale du pentagone. Le sommetD est le point d’intersection de ce cercle et de la sphère de centreBayant pour rayon l’arête[AB]du penta- gone régulier (fig. 13).
Fig. 13
La face latérale d’arêteBCet son axebs’obtiennent par la rotation du pentagone de base d’axe BC qui applique A sur D. Quatre rotations d’axe a et d’angle de 72° terminent la construction des cinq pentagones adjacents à la baseBC ( fig. 14) .
Fig. 14
Les six autres faces se construisent par la symétrie de centreO, intersection des axesaetb(fig. 15).
7
Fig. 15
2. De donner le statut de polyèdre à cette représen- tation.
La représentation obtenue à l’écran apparaît comme étant celle d’un dodécaèdre régulier, pourtant, pour le logiciel, elle n’en a pas le statut bien qu’on puisse la faire pivoter ou en modifier les dimensions.
Notifier au logiciel que l’ensemble des sommets est celui d’un solide convexe s’opère à l’aide de l’outil
«polyèdre convexe» en cliquant successivement sur les vingt sommets (deux fois sur le vingtième) ce qui confère le caractère de polyèdre à la représentation.
Ce statut acquis, on peut agir sur le dodécaèdre régulier : en choisir la teinte, vérifier qu’il a les sy- métries attendues, l’ouvrir pour obtenir son déve- loppement, lui appliquer des transformations et ob- tenir des DR images par des symétries centrales, axiales, planaires, par des rotations déterminées par leur axe, un pointX et son imageY (fig. 16).
Fig. 16
2. Le Grand Dodécaèdre et le Grand Icosaèdre
2.1. Le Grand Dodécaèdre (GD)
Construction par le procédé de facettage de l’icosaèdre régulier(IR).
SoitS un des sommets de l’icosaèdre, le pentagone régulier ABCDE obtenu en joignant les extrémi- tés des arêtes issues de S est une des faces duGD (fig.17). Le GD a donc, comme prévu dans l’article précédent, 12 faces, 12 sommets et 30 arêtes.
Fig. 17
Pour construire d’autres faces du GD, il suffit d’ap- pliquer des rotations de 72°au pentagoneABCDE et ensuite à des images de celui-ci autour d’axes de rotations d’ordre 5 de l’icosaèdre.
Fig. 18
La figure18a été obtenue en appliquant àABCDE une rotation d’axeatelle que l’image deE estS et une rotation d’axebtelle que l’image de Aest S.
En enchaînant de telles rotations, on obtient rapi- dement une représentation du GD (fig.19).
Fig. 19
Les intersections des cinq faces ayant en commun le sommet S avec le pentagone ABCDE sont les diagonales de ce pentagone (fig. 20).
Fig. 20
Les intersections des diagonales des 12 pentagones constituent les sommets d’un dodécaèdre régulier (fig. 21).
Fig. 21
Une représentation du GD par stellation du dodéca- èdre régulier (DR) peut donc être obtenue en deux étapes :
1. tracé du pentagramme obtenu en prolongeant les arêtes d’une face du DR ;
2. le pentagone de mêmes sommets que le penta- gramme est une face du GD. (fig.22).
Fig. 22
Pour construire les 12 faces du GD, on peut donc appliquer les mêmes constructions que celles qui ont été utilisées pour le petit do- décaèdre étoilé.
À noter que Cundy et Rollet proposent la construction illustrée ci-dessous (fig.23), en partant d’un développement formé de triangles d’or (36° – 72° – 72°) qui sont des demi-losanges.
Fig. 23
2.2. Le Grand Icosaèdre (GI)
Construction par facettage, partant d’un ico- saèdre régulier.
Les faces du GI sont des triangles équilatéraux. Soit S un des sommets de l’icosaèdre de départ, S son symétrique par rapport au centre O de cet icosa- èdre, A, B,C, Det E les extrémités de ses arêtes issues de S. Le triangleACS0 est une des faces du grand icosaèdre (fig.24)
9
Fig. 24
L’image de ACS0 par la rotation de 72° autour de SS0 estBDS0; celle deBDS0 par la même rotation estCES0; celle deCES0estDAS0et celle deDAS0 estEAS0(fig.25).
À noter queAC,CE,EB,BDetDA sont les dia- gonales du pentagone régulierABCDEet que leurs intersections déterminent un pentagone régulier.
Fig. 25
A partir de la face ACS0, on peut construire d’autres faces du GI en exploitant, par exemple les rotations de 72° autour de AA0 (A0 étant le symé- trique de A par rapport au centre de l’icosaèdre) (fig. 26).
Fig. 26
Chaque sommet de l’icosaèdre initial est un sommet commun à cinq faces du GI. Il suffit d’enchaîner des constructions en choisissant différents axes pour ob- tenir les 20 faces (fig.27).
On retrouve ce qui a été prévu par la dualité du GI par rapport au grand dodécaèdre étoilé (GDE) : le GI a 20 faces, 12 sommets et 30 arêtes.
Fig. 27
Le GI ne peut s’obtenir par facettage ou stellation du DR. Comme dans le cas du GD, les diagonales de ABCDE (fig.28) nous livrent un pentagramme et les arêtesAC,BD,CE,DAetEB duGI peuvent être obtenues en prolongeant les côtés du dodéca- èdre de centreOdont une des faces est le pentagone défini par l’intersection des côtés du pentagramme.
Fig. 28
La figure 29 illustre le fait que les faces du GI ne coïncident pas avec les faces du DR. Le GI ne peut être obtenu qu’à partir de l’IR et non par une qua- trième stellation ou facettage du DR.
Fig. 29
3. Une dualité facile : la construc- tion de polyèdres duaux
3.1. Le cas des polyèdres platoniciens Le dual d’un polyèdre platonicien se décrit par l’échange des nombres de faces et de sommets et par la conservation du nombre d’arêtes.
Cube et octaèdre sont duaux, de même dodécaèdre et icosaèdre. Le tétraèdre est son propre dual.
S A F F/S Faces Tétraèdre 4 6 4 3 3-gone
Cube 8 12 6 3 4-gone
Octaèdre 6 12 8 4 3-gone Dodécaèdre 20 30 12 3 5-gone Icosaèdre 12 30 20 5 3-gone
Des propriétés en découlent : le nombre de faces en un sommet égale le nombre de sommets de la face duale. Ainsi, à 3 faces par sommet chez le cube cor- respondent par dualité 3 sommets par face chez l’oc- taèdre. Ces propriétés duales s’obtiennent en rem- plaçant « sommet » par « face » et « face » par
« sommet ». [12], [13], [14]
3.1.1. Un mot sur la dualité dans l’espace
Dans l’espace, par rapport à une sphère, un point extérieur M a pour dual le plan α qui contient les points de contact des plans passant par M et tangents à la sphère, autrement dit les points de contact du cône des droites tangentes issues de M (figure 30). Selon que M est extérieur ou sur la sphère, son plan dual est sécant ou tangent à la sphère
Fig. 30
Cette simple propriété géométrique suffit à construire le dual des polyèdres de Platon par rapport à leur sphère inscrite ou circons- crite.
3.1.2. Tétraèdre régulier
Fig. 31
Cette figure s’interprète de deux manières diffé- rentes.
Si la sphère est considérée comme étant la sphère inscrite au tétraèdreT, le tétraèdreT0 s’obtient en joignant les quatre points de contact deTavec cette sphère inscrite. Ces points sont les centres des faces du tétraèdre régulier T.
Si la sphère est considérée comme circonscrite au tétraèdre T0, les faces de T sont incluses dans les quatre plans tangents à la sphère circonscrite aux quatre sommets de T0.
Bien que les figuresTetT0 soient de formats diffé- rents, elles représentent « le tétraèdre », ce qui fait dire « Le tétraèdre est son propre dual ». Dans la suite, les polyèdres réguliers, indépendamment de leur grandeur et de leur position, ont toutes leurs représentations équivalentes à une similitude près.
11
3.1.3. Cube et octaèdre
Comme dans le cas du tétraèdre régulier, les figures 3 et 4 s’interprètent de deux manières différentes selon le statut donné à la sphère.
Fig. 32
Fig. 33
Ces figures pourraient se rassembler en une seule, à la manière des poupées russes ce qui donnerait la suite cube, octaèdre, cube. . .
3.1.4. Dodécaèdre régulier (DR) et icosa- èdre régulier(IR)
Fig. 34
La sphère est inscrite au DR et circonscrite à l’IR.
Comme au point3.1.3 ci-dessus, la figure se réalise indifféremment à partir du DR ou de l’IR.
En résumé
SoientPetQ, deux polyèdres réguliers duaux.
Par rapport àla sphère I inscrite au polyèdre P, le dual d’une face dePest son point de contact avec la sphèreI; ce point est le centre de la face de Pet un des sommets de Q. La sphèreIest circons- crite au dual Q.
Par rapport à la sphère C circonscrite à P, le dual d’un sommet est la face deQ incluse dans le plan tangent à cette sphère en ce sommet. La sphère Cest la sphère inscrite à Q.
Les symétriesdu polyèdre de départ sont stricte- ment respectées car la construction du dual opère de la même manière en chaque sommet, en chaque face et en chaque arête.
3.2. La sphère intermédiaire
Les polyèdres réguliers admettent également une sphère tangente aux arêtes, la sphère intermédiaire.
L’intérêt de choisir cette sphère comme sphère de référence réside dans ses propriétés :
• la même sphère est sphère intermédiaire des deux polyèdres duaux,
• les arêtes des deux polyèdres duaux sont, deux par deux, tangentes à cette sphère en un même point,
• chaque arête de l’un coupe sa duale à angle droit et les arêtes duales se coupent aussi en leurs milieux, [15].
3.2.1. Tétraèdre
Fig. 35
Les plans duaux des extrémités de l’arête AB, re- présentés sur la figure 6 par des cercles, se coupent
selon la droite d0, orthogonale au plan ABO. (O centre de la sphère), [13].
Fig. 36
Les deux tétraèdres duaux sont construits par rap- port à leur sphère intermédiaire. Cette méthode de construction, qui présente l’avantage qu’aucun des deux figures n’est une « version réduite » de l’autre, sera utilisée lors des constructions suivantes.(3) 3.2.2. Cube et octaèdre
Toutes les rotations qui conservent l’un conservent l’autre, tout plan de symétrie de l’un est plan de symétrie de l’autre.
Fig. 37
3.2.3. Construire l’IR par dualité du DR Un fondamental pour les polyèdres de Kepler- Poinsot !
Soit A, B, C trois sommets consécutifs d’une des faces du DR de centre O. Toute arête de l’IR dual est orthogonale à une arête du DR en son mi- lieu ainsi qu’au rayon de la sphère intermédiaire K aboutissant en son milieu, soit au plan ABO.
d01 est la droite perpendiculaire en M, milieu de l’arête AB du DR, au plan ABO donc d01 est la droite duale deAB=d1 par rapport à la sphèreK (fig.38).
Fig. 38
De même,d02, droite perpendiculaire au planBCO enN, milieu deBC, est la droite duale ded2=BC.
Le point d’intersection R de d1 et d02 est un des sommets de l’icosaèdre dual du DR (figure39)
Fig. 39
Les deux autres sommetsS etT d’une face de l’IR s’obtiennent comme symétriques de R par rapport aux milieuxN etM des arêtesAB etBC du DR.
Fig. 40
(3) Dans nos articles « Empilement de sphères et polyèdres » parus dansLosanges n°11 et 12 (2010), la construction du dodécaèdre rhombique dual du cuboctaèdre s’appuyait sur l’existence de leur sphère intermédiaire commune.
13
La construction de l’IR peut s’achever en utilisant l’article du Menu de Cabri3d «Construire IR sur le triangle équilatéral RST ».
Fig. 41
On dispose alors d’une figure rassemblant le DR et l’IR duaux par rapport à la sphère K. La figure 41 illustre pareillement le DR par dualité de IR et l’IR par dualité du DR.
3.2.4. Le Grand dodécaèdre dual du Petit dodécaèdre étoilé
Fig. 42
Partir d’une représentation des DR et IR duaux par rapport à la même sphère intermédiaire per- met d’illustrer la dualité entre le GD et le PDE avec cette même sphère intermédiaire en commun (figure 42).
Le pentagramme est une des faces du PDE et le pentagone est une des faces du GD. L’arêteABdu pentagramme est perpendiculaire à l’arête RS du pentagone en leur milieu commun et l’arêteBC est perpendiculaire à RV en leur milieu commun N. Voir aussi [17]
3.3. Les Symétries
Les polyèdres réguliers duauxPetQont les mêmes symétries En effet, les symétries du polyèdrePsont aussi symétries des trois sphères.
Chaque construction (plan, droite, point. . . ) res- pecte l’ensemble des symétries du polyèdre pour le motif qu’une construction (locale) étant faite, les autres s’obtiennent par rotations et autres sy- métries caractéristiques du premier polyèdre. Au- trement dit, le dual d’un seul élément de P étant construit, ses images par les symétries de P four- nissent son dual Q qui de ce fait hérite de ces sy- métries.
3.4. Facettage et Stellation
Facettage et stellation sont deux procédés de construction de polyèdres à partir de polyèdres de base.
Le procédé de stellation. Prolonger les arêtes d’un polyèdre, dans le plan d’une des faces jusqu’à former une face d’un autre polyèdre. Les deux po- lyèdres ont même sphère intermédiaire. Le procédé de stellation a été mis en œuvre pour la construc- tion des PDE et GDE dans la première partie de ce texte.
Le procédé de facettage. Joindre régulièrement les sommets du polyèdre de manière à construire des polygones égaux. Ces polygones réguliers sont les faces d’un nouveau polyèdre, inclus au polyèdre initial. Les deux polyèdres ont même sphère circons- crite. Le procédé de facettage a été mis en œuvre pour la construction des GD et GI dans la deuxième partie de ce texte.
Stellation et facettage sont des procédés duaux.
La dualité confère une grande unité au tableau ci- dessous des polyèdres de Kepler-Poinsot.
S A F F/S Faces PDE Stellation DR 12 30 12 5 5/2-gone
GD Facettage DR 12 30 12 5 5-gone GDE Stellation IR 20 30 12 3 5/2-gone
GI Facettage IR 12 30 20 5 3-gone Le cube, le tétraèdre, l’octaèdre réguliers n’ad- mettent pas de stellation, car leurs faces non ad- jacentes sont parallèles et de ce fait ne peuvent être étendues et se couper.
Le DR admet trois stellations, le PDE, le GDE et le GD. L’IR en admettrait 59, [15].
3.5. Conclusions 3.5.1. Dualité
La construction des quatre polyèdres de Kepler- Poinsot se structure autour de l‘idée centrale de dualité entre deux polyèdres de Platon et entre ceux de Kepler et ceux de Poinsot.
3.5.2. Actualité
L’idée de prolonger des arêtes de polyèdres est connue. Bertrand en 1858, utilisa le procédé de manière systématique. H.S.M. Coxeter et al. en 1938, publientThe fifty nine Icosahedra où déjà ils considèrent stellation et facettage comme procédés réciproques. [14], [15].
Dans les dernières années, l’anglais G. Inchbald met en avant l’intérêt de la dualité de polyèdres ; il écrit en 2002, [17], « . . .finding stellations will be
paralleled by equivalent rules for the duals of the stellations. . . ». C’est la même idée qui a prévalu dans le présent article.
3.5.3. Construire une figure avec Cabri : un résultat ou un procédé
Construire une figure avec Cabri requiert toujours un étayage géométrique rigoureux. Mais selon la complexité de la figure, la visée essentielle peut être la figure achevée ou le procédé en se limitant à une esquisse de figure.
La mise en œuvre d’un processus dans un tracé par- tiel permet d’en évaluer l’adéquation et la faisabi- lité. Il permet aussi de donner une idée de la figure.
Un tracé complet peut être long et la construction de figures avec Cabri 3D a ses limites (celles liées à la technologie et celles liées à l’utilisateur qui doit gérer les constructions intermédiaires). Néanmoins, le recours à Cabri est toujours une source d’inspi- ration en vue d’une construction ou d’une démons- tration.
Pour en savoir plus
[1] C. Desarnaudet al,Histoire des polyèdres – Quand la nature est géométrique, Vuibert, 2009.
[2] Kepler-Poinsot polyhedron,en.wikipedia.org/wiki/Kepler-Poinsot_polyhedron.
[3] G. W.Hart, Wentzel Jamnitzer’s Polyhedra,www.georgehart.com/virtual-polyhedra/jamnitzer.html.
[4] M. C. Ghyka,Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts, Gallimard, 1927, p.114 et suivantes.
[5] H.M.Cundy & A.P.Rollet,Mathematical Models, Oxford University Press, 1961.
[6] M. J. Wenninger, Polyhedron models, Cambridge University Press, 1974.
[7] Liste des modèles de Wenninger,en.wikipedia.org/wiki/List_of_Wenninger_polyhedron_models.
[8] G. Dethier, Les isométries de l’espace, Traité suivi d’exercices résolus, Ministère de l’Education nationale, Documentation 71, 1987, pp. 103–108.
[9] Petit dodécaèdre étoilé,fr.wikipedia.org/wiki/Petit_dodécaèdre_étoilé [10] en.wikipedia.org/wiki/Great_dodecahedron
[11] en.wikipedia.org/wiki/Great_icosahedron [12] www.mathcurve.com/polyèdres/dual/dual.shtm [13] www.ac-numea.ne/maths/polyhedr/dual.htm [14] en.wikipedia.org/wiki/Great_icosahedron
[15] H.S.M.Coxeter(et al.),The fifty-nine icosaedra (3rd ed.), Tarquin, (1999).
[16] en.wikipedia.org/wiki/TheFiftyNineIcosahedra
[17] GuyInchbald,In search of the lost icosahedra, The Mathematical Gazette, Vol 86, Nr 506, 208 – 215 (2002).
