Exercices à préparer pour le CC 2 du jeudi xx mai 2007 Un de ces exercices sera à faire en CC
Université d’Artois
Faculté des Sciences Jean Perrin MESURE et INTÉGRATION
L3 Mathématiques 2006–2007
EXERCICE 1 On pose :
f(t) = Z +∞
0
sinx x
2
e−txdx , t>0.
1) Montrer que f est continue sur[0,+∞[.
2) Montrer que f est dérivable sur]0,+∞[.
3) Montrer que f est deux fois dérivable sur]0,+∞[ et calculerf00(t)pour toutt >0.
4) Calculer lim
t→+∞f(t)et lim
t→+∞f0(t).
5) En déduire la valeur def(t)pour toutt>0.
EXERCICE 2
Soit (X,T, m) un espace mesuré et f: X → R+ une application mesurable positive. On suppose que0<
Z
X
f dm <+∞, et on fixeα >0.
1) Montrer, à l’aide du Lemme de Fatou, que si α <1, on a :
n→∞lim Z
X
nlogh 1 +f
n αi
dm= +∞.
2) Pourα>1, calculer :
n→∞lim Z
X
nlogh 1 +f
n αi
dm
(indication : on utilisera le Théorème de convergence dominée, après avoir prouvé les inégalités 1 +xα6(1 +x)α6eαx, pour toutx>0).
EXERCICE 3
Dans cet exercice, on utilisera le résultat suivant, que l’on ne demande pas de montrer : Si f: [0,2π]→Rest intégrable, alors lim
n→∞
Z 2π
0
f(x) sin(nx)dx= 0et lim
n→∞
Z 2π
0
f(x) cos(nx)dx= 0 (lemme de Riemann-Lebesgue).
On poseA={x∈[0,2π] ; lim
n→∞sin(nx)existe}.
1) Montrer que Aest un borélien de[0,2π].
2) Montrer que : lim
n→∞
Z 2π
0
1IA(x) sin2(nx)dx= 1 2
Z 2π
0
1IA(x)dx.
3) On pose : g(x) = limn→∞
1IA(x) sin(nx)
, pourx∈[0,2π]; et on noteB+={g>0} et B− ={g <0}.
Montrer que : Z 2π
0
1IB+(x)g(x)dx= 0 et Z 2π
0
1IB−(x)g(x)dx= 0,
et en déduire queg= 0presque partout.
4) En déduire queAest négligeable pour la mesure de Lebesgue.
EXERCICE 4
1) Vérifier que pour tout x >0, on a : sinx
x =
Z 1
0
cos(xy)dy.
2) En déduire la valeur, pour toutt >0 de :
g(t) = Z +∞
0
sinx
x e−txdx.
3) Vérifier que pour tout x >0 :
sinx x
2
= Z 1
0
sin(2xy)
x dy.
4) En déduire la valeur, pour toutt >0 de :
f(t) = Z +∞
0
sinx x
2
e−txdx.
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2
