TS 8 Interrogation 4A : Correction 10 novembre 2017 Exercice 1 :
Enoncer toutes les formules du cours sur la d´´ erivation.
Solution: Rappeler les formules de d´erivation (produit, quotient, composition).
Exercice 2 :
D´eriver les fonctions suivantes (on ne tentera pas de simplifier).
1. f1(x) = (3x2+ 11)14 2. f2(x) = cos(3x−1) 3. f3(x) = x+ 1 x2+ 1
Solution:
1. f10(x) = 84x(3x+ 11)13
2. f20(x) =−3 sin(3x−1) 3. f30(x) = x2+ 1−(x+ 1)(2x)
(x2+ 1)2 = −x2−2x+ 1 (x2+ 1)2 Exercice 3 :
On d´efinit la fonctionf parf(x) =√
x2−3x.
1. ´Etudier l’ensemble de d´efinition puis de d´erivabilit´e def. 2. D´eterminer la limite def en−∞.
3. D´eriverf. En d´eduire le tableau de variation def sur son ensemble de d´efinition.
Solution:
1. On poseud´efinie paru(x) =x2−3x.
Pour tout r´eelx,x2−3x=x(x−3).
x2−3x>0 ssix∈]− ∞; 0]∪[3; +∞[.
uest d´efinie sur ]− ∞; 0]∪[3; +∞[ doncf =√
uest d´efinie sur ]− ∞; 0]∪[3; +∞[.
uest d´erivable et positive sur ]− ∞; 0[∪]3; +∞[ doncf est d´erivable sur ]− ∞; 0[∪]3; +∞[
2. lim
x→−∞x2−3x= +∞, lim
X→+∞
√
X= +∞donc par composition lim
x→−∞f(x) = +∞.
3. Pour toutx∈]− ∞; 0[∪]3; +∞[,u0(x) = 2x−3f0(x) = u0(x)
2u(x) = 2x−3
√x2−3x. Pour x∈]− ∞; 0[∪]3; +∞[, √
x2−3x >0, on ´etudie donc le signe de 2x−3. Pour x <0, 2x−3<0 et pour x >3, 2x−3>0. On a donc le tableau de variations suivants :
x
f0(x)
f
−∞ 0 3 +∞
− +
+∞
+∞
0 00
+∞
+∞
