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Chap.9 :
DERIVEES d’un produit & d’un quotient
Partie 1 : rappels
Fonction Fonction dérivée : Ensemble de dérivabilité :
𝑓": 𝑥 ⟼ 𝑘 𝑓': 𝑥 ⟼ 𝑚𝑥 + 𝑝
𝑓+: 𝑥 ⟼ 𝑥' 𝑓,: 𝑥 ⟼1
𝑥 𝑓.: 𝑥 ⟼ √𝑥 𝑓0: 𝑥 ⟼ 𝑥+ 𝑓1: 𝑥 ⟼ 𝑥2
(𝑛 ∈ ℕ
∗)Soient u et v deux fonctions numériques, définies et dérivables sur un intervalle I et soit k un réel.
Théorème : produit par un réel
La fonction 𝑓: 𝑥
⟼ 𝑘 × 𝑢(𝑥)
est dérivable sur I et pour tout 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓<(𝑥) = 𝑘 × 𝑢<(𝑥).On écrira : (𝑘𝑢)<= 𝑘𝑢′
Exemple : soit 𝑓" la fonction définie sur ℝ par 𝑓"(𝑥) = 2𝑥.. Déterminer 𝑓"′.
Théorème : somme
La fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) est dérivable sur 𝐼 et pour tout
𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓
<(𝑥
)= 𝑢
<(𝑥
)+ 𝑣′(𝑥).
On écrira : (𝑢
+ 𝑣
)< = 𝑢<+ 𝑣
Exemple : soit 𝑓' la fonction définie sur ℝ par 𝑓'(𝑥) = 3𝑥+−1
'𝑥'+ √12 − 12. Déterminer 𝑓'′.
Méthode : pour étudier les variations d’une fonction f :
- On déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité de la fonction 𝑓.
- On détermine la fonction dérivée de la fonction 𝑓.
- On étudie le signe de cette fonction dérivée.
- On utilise les théorèmes précédents pour déterminer les variations de la fonction 𝑓.
- On résume les résultats dans un tableau de variations (on y fait apparaître une ligne pour le signe de la dérivée).
[Méthode]
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Partie 2 : dérivées d’un produit, d’un quotient et d’une composée (par une fonction affine)
a) Dérivée d’un produit Théorème : dérivée d’un produit
La fonction 𝜑: 𝑥 ⟼ 𝑢(𝑥) × 𝑣(𝑥) est dérivable sur 𝐼 et pour tout 𝑥 ∈ 𝐼,
𝜑<(𝑥) = 𝑢<(𝑥) × 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥) × 𝑣<(𝑥) Démonstration : pour tout 𝑎 ∈ 𝐼, pour tout ℎ non nul tel que 𝑎 + ℎ ∈ 𝐼 :
H(IJK)LH(I)
K =M(IJK)×N(IJK)LM(I)×N(I)
K
=M(IJK)×N(IJK)LM(I)×N(IJK)JM(I)×N(IJK)LM(I)×N(I) K
=[M(IJK)LM(I)]×N(IJK)JM(I)[N(IJK)LN(I)]
K
=M(IJK)LM(I)
K × 𝑣(𝑎 + ℎ) + 𝑢(𝑎) ×N(IJK)LN(I)
K
Comme 𝑢 et 𝑣 sont dérivables sur 𝐼, lim
K→U
M(IJK)LM(I)
K = 𝑢<(𝑎) et lim
K→U
N(IJK)LN(I)
K = 𝑣<(𝑎).
De plus, 𝑙𝑖𝑚
K→U𝑣(𝑎 + ℎ) = 𝑣(𝑎) donc 𝑙𝑖𝑚
K→U
H(IJK)LH(I)
K = 𝑢<(𝑎)𝑣(𝑎) + 𝑢(𝑎)𝑣<(𝑎)
Exemple : soit 𝑓+ la fonction définie sur ]0; +∞[ par 𝑓+(𝑥) = (5𝑥,− 3𝑥)√𝑥. Déterminer 𝑓+<. Cas particulier : \𝒖𝟐_<= 𝟐𝒖′𝒖
Exemple : soit 𝑓, la fonction définie sur ℝ par 𝑓,(𝑥) = (2𝑥.− 6𝑥')'. Déterminer 𝑓,<.
b) Dérivée d’un quotient Théorème : dérivée d’un quotient
Si 𝑣 ne s'annule pas sur 𝐼, alors la fonction 𝜑: 𝑥 ⟼M(a)N(a) est dérivable sur 𝐼 et pour tout 𝑥 ∈ 𝐼 : 𝜑<(𝑥) =𝑢<(𝑥) × 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) × 𝑣<(𝑥)
[𝑣(𝑥)]' Exemple : soit 𝑓. la fonction définie sur ℝ par 𝑓.(𝑥) =aaL"bJ,. Déterminer 𝑓.<. Cas particulier : c𝟏𝒗f<= −𝒗𝒗g𝟐
Exemple : soit 𝑓0 la fonction définie sur ]0; +∞[ par 𝑓0(𝑥) ='ahL+aJ," . Déterminer 𝑓0<.
c) Dérivée d’une composée par une fonction affine Théorème : dérivée de la composée d’une fonction affine
Soient 𝑎 et 𝑏 réels et 𝑔 une fonction dérivable sur 𝐼, alors la fonction 𝜇: 𝑥 ⟼ 𝑔(𝑎𝑥 + 𝑏) est dérivable sur 𝐼 et, pour tout 𝑥 ∈ 𝐼,
𝜇<(𝑥) = 𝑎𝑔′(𝑎𝑥 + 𝑏)
Exemple : soit 𝑓1 la fonction définie sur l,+; +∞m par 𝑓1(𝑥) = √3𝑥 − 4. Déterminer 𝑓1<.
