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nde: AP séance 1
I
Calculer sous forme de fraction irréductible : A=4
9−2×7 6 B=
1−2×73
¡1−16¢2 C= 1−13
6 ×9 4−1
5
II
On souhaite calculer23 48− 5
15.
Pour cela, il faut mettre les francisons au même dénominateur.
Comme dénominateur commun, on calcule le plus petit com- mun multiple de 15 et 48, noté PPCM.
1. Effectuer la décomposition de ces deux nombres en pro- duit de facteurs premiers
2. En déduire que le PPCM de 15 et 48 est 240.
3. Effectuer alors le calcul demandé.
III
Calculer : A= 7 160+ 1
2700 B= 5 72− 1
48
IV
Simplifier les fractions suivantes lorsque c’est possible : A=13+a
13–a B=13+13a
13–13a C= 2x+3 2(x+3) D=2x+18
2(x+3) E= 10 15n–10
V
En électricité, si deux résistancesR1etR2sont branchées en parallèle, elles forment une résistance totale équivalenteRT telle que
1 RT = 1
R1+ 1 R2.
R2 R1
a) Calculer la résistance totale équivalente à deux résistances de 12Ω(ohms) et 9Ωbranchées en parallèle.
b) ExprimerRT en fonction deR1etR2.
c) Si les deux résistancesR1etR2sont égales, de valeurx (en ohm), prouver queRT vautx
2(en ohm).
d) On branche une troisième résistanceR3en parallèle.
Exprimer 1
RT en fonction de 1 R1, 1
R2 et 1
R3 , puisRT en fonc- tion deR1,R2etR3.
e) Si les trois résistances sont égales, déterminer la valeur de la résistance totale.
Correction
I
A=4 9−2×7
6=4 9−2×7
2×3=4 9−7
3=4−21 9 = −17
9 . B=1−2×73
¡1−16¢2 = 1−143
¡6
6−16¢2=
3 3−143
¡5
6
¢2 =−113
25 36
= −11 3×36
25= −11×3×12
3×25 = −132 25 C=
1−13 6 ×9
4−1 5=
3 3−13
6 ×9 4−1
5=
2 3
6×9 4−1
5=2 3×1
6×9 4−1
5=2 3× 1
2×3×9 4−1
5=2 9×9
4−1 5=1
4−1 5=5−4
20 = 1 20
II
1. • 15=3×5
• 48=16×3=24×3
2. Pour calculer le PPCM de deux nombres, on prend chaque facteur premier intervenant dans les décompositions affecté du plus grand exposant. : On en déduit que PPCM(15 ; 48)=24×3×5=16×3×5= 240.
3. 23 48− 5
15=5×23
240 −5×16
240 =115−80 240 = 35
240= 5×7 5×48= 7
48 .
III
On veut calculerA= 7 160+ 1
2700. 160=16×10=24×2×5=25×5.
2700=27×100=33×4×25=33×22×52=22×33×52. On en déduit que PPCM(160 ; 2700)=25×33×52=21600.
Alors :A= 7 160+ 1
2700=7×135 21600 + 1×8
21600=945+8
21600 = 953 21600 . 72=8×9=23×32; 48=16×3=24×3.
On en déduit que PPCM(72 ; 48)=24×32=16×9=144.
Alors :B= 5 72− 1
48= 10 144− 3
144= 7 144
IV
• A=13+a
13–a ne peut pas être simplifiée car il n’y a pas de produit au numérateur et au dénominateur avec un même facteur.
• B=13+13a
13–13a =13(1+a)
13(1−a)= 1+a 1−a
• C= 2x+3
2(x+3)n’est pas simplifiable.
• D=2x+18
2(x+3)= 2(x+9) 2(x+3)=
x+9 x+3
• E= 10
15n–10= 5×2
5(3n−2)= 2 3n−2
V
1. 1 RT = 1
R1+ 1 R2= 1
12+1 9= 3
36+ 4 36= 7
36 doncRT=36 7 Ω.
2. 1 RT = 1
R1+ 1 R2=
R1+R2
R1R2 d’oùRT= R1R2 R1+R2
3. SiR1=R2=x, on obtientRT = x×x x+x=
x2 2x =
x 2. 4. 1
RT = 1 R1+ 1
R2+ 1 R3=
R2R3+R1R3+R1R2
R1R2R3 doncRT=
R1R2R3 R1R2+R2R3+R1R3 . 5. SiR1=R2=R3=x, on obtientRT=
x3 3x2=
x 3
Liens pour s’entraîner sur les PPCM :
• Déterminer le PPCM de deux entiers connaissant leur décomposition en produit de facteurs premiers
• Déterminer le PPCM de deux entiers
• Déterminer le PPCM de couples de nombres inférieurs à 100 Générateur d’exercices :
• Calcul du PPCM de deux entiers connaissant leur décomposition en produit de facteurs premiers
• Calcul du PPCM de deux entiers
