CORPS RIGIDE :

(1)

Les forces agissant sur un corps rigide peuvent être séparées en deux groupes :(1) les forces externes (représentant l’action d’un autre corps rigide sur le corps

considéré)

et (2) les forces internes (représentant les forces qui solidarisent les particules formant le corps rigide.

CORPS RIGIDE :

SYSTEME DE FORCE EQUIVALENT (2)

R

(1) (2)

F

F’

(2)

Quelques soit la position d’une force sur sa ligne d’action, son moment par rapport à un point quelconque reste inchangé.

Ainsi, l’effet d’une force externe sur un solide indéformable

reste inchangé si la force est déplacée sur sa ligne d’action (ou support) sans changer son module ni son sens. Une telle force est représentée par ce que l’on appelle un vecteur glisseur.

F

F’

(3)

θ

V = P x Q

P Q

Le produit vectoriel de deux vecteurs est défini Par :

V = P x Q

Le produit vectoriel de P et Q forme un vecteur qui est perpendiculaire à P et à Q, et de module

V = PQ sin θ

Ce vecteur est dirigé tel qu’une personne placée à l’extrémité de V voit la rotation de θ dans le sens anti-horaire, qui aligne le vecteur P sur le vecteur Q. Les trois vecteurs P,Q, et V – pris dans cet ordre - forment un système direct. Dès lors,

Q x P = - (P x Q)

(4)

i k

j A partir de la définition du produit vectoriel, les produits vectoriels de deux vecteurs

unitaires i, j, et k sont

i x i = j x j = k x k = 0

_x

(6)

O

d A

F M_o

r

Le moment d’une force F

rapporté au point O est défini comme étant le produit vectoriel

M

_O

= r x F

où r est le vecteur position tracé du point O au point d’application de la force F.

L’angle des lignes d’action ( ou supports) de r et de F est θ.

θ

Le module (intensité) du moment de F rapporté au point O est

M

_O

= rF sin θ = Fd

où d est la distance perpendiculaire du point O à la ligne d’action

(7)

x y

z

F_x i F_z k

F_y j

x i y j

z k O

A (x , y, z )

r

Les composantes cartésiennes du moment M_o d’une force F sont

déterminées par le développement

du déterminant r x F.

M

_o

_y

- y F

_x

(8)

x y

F_x i F_z k

F_y j

O

r

Dans le cas général, un moment rapporté à un point arbitraire B d’une force F

appliquée au point A, s’écrit

M

_B

= r

_A/B

x F =

où z

B (x _B, y_B, z _B)

A (x _A, y_A, z _A)

r

_A/B

= x

_A/B

i + y

_x

z

B

A

(x_A - x_B ) i r_A/B

(y_A - y_B ) j

Pour les problèmes impliquant deux

dimensions, la

force F est contenue dans le plan xy. Son

moment par rapport à un point B est

perpendiculaire à ce plan. Il peut alors être défini de façon

complètement scalaire M_B= M_B k

La règle du tire-bouchon est utile pour définir le sens du moment par rapport au plan (sens positif ou négatif par rapport à k).

(10)

Problème 3.2

Question : Une force de 800 N agit sur une équerre. Déterminer le moment de la force en B.

Solution : calculer le moment M_b de la force F en B en déterminant le vecteur r_A/B.

(11)

Problème 3.2 Réponse :

calculer le moment M_b de la force F en B est obtenu par le produit vectoriel :

Or,

(12)

Problème 3.2

Réponse suite:

(13)

θ

P Q

Le produit scalaire de deux vecteurs P et Q est noté P Q, et il est défini tel que,

Le produit scalaire de P et Q est exprimé en termes de composantes cartésiennes des deux vecteurs tel que,

P Q = PQ cos θ

où θ est l’angle entre les deux vecteurs

(14)

x y

z

O

L A

θ_x P λ

θ_z

θ_y La projection d’un vecteur

P sur un axe OL peut être obtenu par le produit

scalaire de P et du vecteur unitaire λ associé à OL.

P

_OL

= P λ

En utilisant les composantes cartésiennes,

P

_OL

= P

_x

cos θ

_x

+ P

_y

cos θ

_y

+ P

_z

cos θ

_z

(15)

Le produit mixte de trois vecteurs S, P, et Q est

_z

Les éléments du déterminant sont les composantes cartésiennes des trois vecteurs.

(16)

x F

O λ

Le moment d’une force F par rapport à un axe OL est la

projection OC sur OL du moment M_O de la force F. Ceci peut être écrit comme étant un produit mixte,

z

A (x, y, z) y

_O

= λ (r x F) =

λ_x, λ_y , λ_z = angles directeurs de l’axe OL x, y , z = composantes de r

F , F , F = composantes de F

(17)

d

F

- F M

Deux forces F et -F qui ont la même intensité (ou

module), des supports (ou ligne d’action) parallèles, et sont de sens opposés, forment un couple.

Le moment d’un couple est indépendant du point pour

lequel il est calculé; c’est un vecteur M perpendiculaire au plan dans lequel agit le couple et dont l’intensité est égal au produit Fd.

(18)

Deux couples ayant le même moment M sont équivalents (ils ont le même effet sur un corps rigide donné).

x y

z

d

F - F

x y

z

O O

M

(M = Fd)

x y

z

O ^M^x

M_y

M_z

M

(19)

Problème 3.7

Question : remplacer le couple et la force par une seule force équivalente appliquée au

levier. Déterminer la distance du point O au point d’application de cette force.

(20)

Problème 3.7

Réponse, option 1 :

Le couple et la force sont d’abord remplacées Par un couple-force équivalent en O.

F est déplacée en O et un moment Mo égal

au moment créé par la force F dans sa position d’origine.

Ce moment est additionné au moment-(24 N·m)k issu du couple de 200 N. Un

moment de –(84 N·m)k est obtenu. Ce moment peut être éliminé en appliquant F au point C, choisi tel que :

(21)

Problème 3.7

Réponse, option 2 :

Comme l’effet du couple ne dépend pas de sa location, son moment équivalent -(24 N·m)k peut etre déplacé en B. Ce moment peut etre éliminé en applicant la force F à un point C choisi tel que :

Ce qui donne :

(22)

Toute force F appliquée en un point A d’un corps rigide peut être remplacée par un système force-couple rapporté à un point arbitraire O, constitué de :

la force F appliquée en O et d’un couple de moment M_O égal au moment rapporté au point O de la force F dans sa position initiale.

Le vecteur force F et le vecteur couple M_O sont toujours perpendiculaires l’un par rapport à l’autre.

O r A

F

O

A F

M_O

(23)

M^R Tout système de forces peut être réduit à un système O

force-couple à un point donné O. D’abord, chaque force du système est remplacée par un système équivalent force-couple en O. Ensuite, toutes les forces sont additionnées pour obtenir une force résultante R, et tous les couples sont additionnés pour obtenir un vecteur couple résultant M_O. En général, la force

résultante R et le vecteur couple M_One sont pas

perpendiculaires entre eux. R et M_O Constituent les éléments de réduction du torseur statique.

O

A₁ r₁

F₁

O M₁

r₂ A₂

F₂ r₃

A₃ F₃

F₁

M₂ M₃

F₂ F₃

R

O

(24)

O

A₁ r₁

F₁

r₂ A₂

F₂ r₃

A₃ F₃

R

M^R

O

En qui concerne les corps rigides, deux systèmes de forces, F₁, F₂, F₃. . . , et F’₁, F’₂, F’₃. . . , sont équivalents si, et

seulement si,

Σ F = Σ F’

et

Σ M

_o

= Σ M

_o

’

(25)

O

A₁ r₁

F₁

r₂ A₂

F₂ A₃ F₃

R

M ^R

O

C’est le cas pour des systèmes constitués (a) de forces concourantes, ou

(b) de forces parallèles.

Si la force et le couple résultants ont le même sens sur le même support, le système force-couple est de type «tourne - vis».

Si une force résultante R et un vecteur couple résultant M_O sont

perpendiculaires entre eux, le système force- couple au point O peut être encore réduit à

une seule force résultante.

(26)

Problème 3.8

Question : Réduire le système de forces appliqué à la

poutre en (a) un système couple-force (ou moment-force) équivalent en A, (b) en B, puis en une seule force ou

résultante.

(27)

Problème 3.8

Réponse (a) : Le système couple-force en A est défini tel que :

Le système couple-force équivalent en A est donc

(28)

Problème 3.8

Réponse (b) : on se propose d’exprimer un système couple-force en A équivalent à celui définit en B. La force R reste inchangée, mais le nouveau moment doit etre déterminé, tel que :

Le système couple-force équivalent en B est donc

(29)

Problème 3.8

Réponse (c) : La résultante pour un système donné de forces est égale à R, et son point d’application doit se situer tel que le moment de R en A est égal à

On en déduit que x = 3,13 m. Ainsi, la résultante du système est définie par

R

MA

avec