CHAPITRE 4: CINEMATIQUE DU CORPS RIGIDE

CHAPITRE 4:

CINEMATIQUE DU CORPS RIGIDE

4.1 INTRODUCTION

• La structure du robot = chaîne cinématique de membres rigides articulés au moyen de joints.

• Besoin d’un formalisme adapté à la description de la chaîne cinématique du support jusqu’à l’effecteur?

• Un point crucial: la description des rotations finies!

• Relations donnant la position, la vitesse et l’accélération d’un point attaché à un corps rigide dans un mouvement arbitraire.

• Concept de transformation homogène.

– Notation de vecteur homogène unifie les translations et les rotations de corps rigide en une multiplication matricielle unique.

– Cinématique d’une chaîne ouverte = séquence de produits matriciels

4.2 OPERATEUR DE ROTATION

• Rotation d’un corps rigide avec angle φautour d’un axe de direction spécifiée l

• Soit le point P dont les coordonnées sont regroupées dans le vecteur colonne s

• Soit sles coordonnées absolues du point P après rotation

• Soit s₀les coordonnées du point P avant rotation ou encore les coordonnées de P dans le système de coordonnées relatif liés au corps (système matériel ou système corps)

• La rotation est décrite par le changement de repère entre les systèmes Oxyz et Ox’y’z’

• La transformation de s₀en sest une transformation affine caractérisée par la matrice de rotation R

x z

y x’

z’

y’

o

φ

P s

l

s0

s = R s

4.2 OPERATEUR DE ROTATION

• Propriété fondamentale de l’opérateur de rotation R – La conservation de la longueur du vecteur s

Implique

– C’est-à-dire que la matrice Rest une matrice orthogonale

• Autres propriétés – dét ( R ) = +1

– La rotation préserve les angles

R^TR = I

R^¡1 = R^T s^T s = s^T₀ R^T Rs0

= s^T₀ s0

4.2 OPERATEUR DE ROTATION

• Convention

– Soit p les coordonnées absolues du point P après rotation

– Soit p’ les coordonnées initiales du point P avant rotation ou encore les coordonnées relatives du point P dans le système matériel attaché au corps.

Il vient

p = R p

w i t h R

= R

4.3 POSITION ET ORIENTATION D’UN CORPS RIGIDE

• Soient

– Oxyzun repère absolu

– O’x’y’z’un repère attaché au corps

– rvecteur position du point O’ dans le repère cartésien Oxyz – pvecteur position du point P dans le repère cartésien Oxyz – p’vecteur position de P dans le repère lié au corps O’x’y’z’

• La transformation de coordonnées de P dans le repère absolu

– où Rest la matrice de rotation décrivant la rotation finie permettant de passer du repère Oxyzau repère O’x’y’z’.

• le premier terme = translation de O en O’

• le second terme = rotation des vecteurs positions relatives dans le corps rigide

p = r + R p⁰

4.4 EXPRESSION ALGEBRIQUE DE L’OPERATEUR DE ROTATION

• Techniques de représentation de l’opérateur R en forme matricielle

• Plusieurs ensembles de paramètres :

– Cosinus directeurs, angles d’Euler, de Bryant, paramètres d’Euler…

• Une rotation arbitraire peut être exprimée à l’aide de 3 paramètres indépendants – Soit l’opérateur de rotation

– Les relations d’orthogonalité entre colonnes (propriété d’orthogonalité de R) imposent 6 contraintes entre les éléments de R

– Il ne reste que 3 paramètres indépendants R = £

r1 r2 r3 ¤

r^T_i rj = ±ij

R = R(®1; ®2; ®3)

4.5 OPERATEUR DE ROTATION PLANE

• Cas d’une rotation d’angle φautour de l’axe z – Le changement de coordonnées s’écrit

– En notation matricielle

– Avec

x = x⁰cosÁ ¡ y⁰sinÁ y = x⁰sinÁ + y⁰cosÁ z = z⁰

r = R r⁰

R(z; Á) = 2

4 cosÁ ¡sinÁ 0 sinÁ cosÁ 0

0 0 1

3 5

4.5 OPERATEUR DE ROTATION PLANE

• Cas d’une rotation d’angle θautour de l’axe y

• Cas d’une rotation d’angle ψautour de l’axe x R(y; µ) =

2

4 cosµ 0 sinµ

0 1 0

¡sinµ 0 cosµ 3 5

R(x; Ã) = 2

4 1 0 0

0 cosà ¡sinà 0 sinà cosÃ

3 5

4.6 ROTATION FINIE EN TERMES DES COSINUS DIRECTEURS

• Soit les vecteurs unitaires i, j, k et i’, j’, k’ des repères Oxyzet O’x’y’z’

• La position d’un point s’écrit dans les deux systèmes:

• Les coordonnées des x, y et z s’écrivent r=x~i + y~j +z~k

=x⁰~i⁰ + y⁰~j⁰ +z⁰~k⁰

x=~i¢r

=~i¢~i⁰x⁰ +~i¢~j⁰y⁰ +~i¢~k⁰z⁰ y=~j¢r

=~j¢~i⁰x⁰ +~j¢~j⁰y⁰ +~j¢~k⁰z⁰ z=~k¢r

=~k¢~i⁰x⁰ + ~k¢~j⁰y⁰ + ~k¢~k⁰z⁰

4.6 ROTATION FINIE EN TERMES DES COSINUS DIRECTEURS

• On en déduit l’expression de l’opérateur de rotation

• REMARQUES

– La dépendance de l’opérateur de rotation Rvis-à-vis de 3 paramètres indépendants n’est pas clairement apparente.

R = 2 64

cos(~i;~i⁰) cos(~i;~j⁰) cos(~i; ~k⁰) cos(~j;~i⁰) cos(~j;~j⁰) cos(~j; ~k⁰) cos(~k;~i⁰) cos(~k;~j⁰) cos(~k;~k⁰)

3 75

4.6 ROTATION FINIE EN TERMES DES COSINUS DIRECTEURS

• La relation d’orthogonalité est évidente – On part de

– On a de manière similaire

– Le produit scalaire étant commutatif, on a r⁰ = R^¡1 r

x⁰= (~i⁰¢~i)x + (~i⁰¢~j)y + (~i⁰¢~k)z y⁰= (~j⁰¢~i)x + (~j⁰¢~j)y + (~j⁰¢~k)z z⁰= (~k⁰¢~i)x + (~k⁰¢~j)y + (~k⁰¢~k)z

R^¡1 = R^T

4.7 ROTATION FINIE EN TERMES DE PRODUITS DYADIQUES

• Expression de l’opérateur de rotation:

Un résultat complémentaire à l’expression de l’opérateur de rotation en termes des cosinus directeurs est que l’on peut écrire la matrice de rotation sous la forme d’un produit dyadique tel que

où (l,m,n) et (l’,m’,n’) sont des ensembles de vecteurs orthonormaux définissant deux bases

R = l l^0T + m m^0T + n n^0T

R^T l=l⁰ R^T m=m⁰

R^T n=n⁰

4.7 ROTATION FINIE EN TERMES DE PRODUITS DYADIQUES

PREUVE:

• Soient (l,m,n) et (l’,n’,m’) deux bases orthonormées qui se correspondent par la rotation.

• On remarque d’abord que

• Compte tenu de

on montre que

I = l⁰l^0T + m⁰m^0T + n⁰n^0T

R^T l=l⁰ R^T m=m⁰

R^T n=n⁰

I =(R^Tl)l^0T + (R^Tm)m^0T + (R^Tl)n^0T I =R^T

³

ll^0T + mm^0T + nn^0T

´

4.8 REGLE DE COMPOSITION DES ROTATIONS

• Soient deux rotations successives du repère oxyz – R₁caractérise la transformation de oxyz vers ox₁y₁z₁ – R₂caractérise la transformation de ox₁y₁z₁vers ox₂y₂z₂

• La transformation R qui caratérise la transformation de oxyz vers ox₂y₂z₂est donnée par:

• La règle de composition des rotations

productisaRR

x = R₁ x₁ x₁ = R₂ x₂

x = R1 x1 = R1 (R2 x2)= (R1 R2)x2

x = R x₂ with R = R₁ R₂

4.8 CARACTERE NON-COMMUTATIF DES ROTATIONS

• Exemple: un corps soumis à deux rotations de 90°:

• Le produit matriciel étant non commutatif on a:

• Renverser l’ordre des rotations conduit à une géométrie finale différente

R1 = R(z;90^±) R2 = R(y;90^±)

productisaRR

R1R2 6= R2R1

z , z'2 z, z1

y' y₂

y₁

y x'

x , x_{1 2} x

φ ψ

θ

4.9 ANGLES D’EULER

• Les angles d’Euler fournissent un système de 3 paramètres indépendants pour R

• Consiste à exprimer la transformation de Oxyzà O’x’y’z’comme une suite de 3 rotations élémentaires exprimées dans les axes liés au corps:

– une rotation d’angle φautour de Oz:

– une rotation d’angle θautour de Ox₁: – une rotation d’angle ψautour de Oz₂:

• Transformation de repère résultant:

– avec

R(z; Á) R(x1; µ) R(z2; Ã)

r = R(z; Á)R(x1; µ)R(z2; Ã)r⁰ = R r⁰

R = R(z; Á)R(x₁; µ)R(z₂; Ã)

4.9 ANGLES D’EULER

• Expression explicite de l’opérateur de rotation

• Existence de singularités:lorsque les axes z originaux et transformés deviennent co- linéaires:

• Inversion cinématique:une solution satisfaisante est obtenue en utilisant la fonction tan^-1(fonction ATAN2 en FORTRAN ou en MATLAB par exemple)

R = 2

4 cosÁcosà ¡ sinÁcosµsinà ¡cosÁsinà ¡ sinÁcosµcosà sinÁsinµ sinÁcosà + cosÁcosµsinà ¡sinÁsinà + cosÁcosµcosà ¡cosÁsinµ

sinµsinà sinµcosà cosµ

3 5

µ = 0 ou¼

à = AT AN2(r31; r32)

µ = AT AN2(

q

r₃₁² +r²₃₂; r33)

Á = AT AN2(r13; r23) Ã = AT AN2(r21; r11) Si θ= 0 ou π

Fonction ATAN2(u,v)

• BUT: retrouver de manière systématique la valeur exacte de l’arc tangent de u/v

• EN PRATIQUE: utiliser la fonction ATAN2(u,v) en FORTRAN ou MATLAB par exemple

• ATAN2(u,v): calcule la valeur de ATAN(u/v) et utilise les signes de u et de v pour déterminer le quadrant de la solution

µ=ATAN2(u;v)

µ=ATAN2(u;v)= 8<

:

tan^{¡1 u}_v ifv>0 tan^{¡1 u}_v +¼sign(u) ifv<0 +^¼₂sign(u) ifv=0

4.9 ANGLES D’EULER

4.10 ANGLES DE BRYANT

• Système de 3 paramètres indépendants, variantes des angles d’Euler

• Exprime la rotation finie comme la succession de 3 rotations élémentaires dans 3 axes distincts (roll=roulis, pitch=tangage, yaw=lacet):

– une rotation ψautour de Oz : – une rotation θautour de Oy₁: – une rotation φautour de Ox₂:

• Rotation résultante:

– avec

R(z; Ã) R(y1; µ) R(x2; Á)

r = R(z; Ã)R(y1; µ)R(x2; Á) = Rr⁰ R = R(z; Ã)R(y1; µ)R(x2; Á)

4.10 ANGLES DE BRYANT

Cincinnati Milacron T³

4.10 ANGLES DE BRYANT

• Expression explicite de la matrice de rotation:

• Existence de singularités:lorsqu’il y a collinéarité des axes z et x₂

• Inversion cinématique:une solution numériquement satisfaisante est obtenue en utilisant:

µ=§^¼₂

(Ã=AT AN2(r12; r22) if µ=^¼₂; Ã=AT AN2(¡r12; r22) if µ=¡^¼2: R=

2

4 cosµcosà sinµsinÁcosà ¡ sinÃcosÁ sinµcosÁcosà + sinÃsinÁ cosµsinà sinµsinÁsinà + cosÃcosÁ sinµcosÁsinà ¡ sinÁcosÃ

¡sinµ sinÁcosµ cosÁcosµ

3 5

µ = ATAN2(¡r31; q

r²₁₁+r²₂₁)

à = ATAN2(r21;r11) Á = ATAN2(r32;r33)

4.11 ROTATION FINIE COMME UNE ROTATION UNIQUE AUTOUR D’UN AXE ARBITRAIRE

• Basés sur le théorème d’Euler

– Toute rotation finie peut être exprimée comme une rotation unique d’angle φautour d’un axe de direction approprié l

• 4 paramètres: l_x, l_y, l_zet φavec une contrainte

• Une expression explicite de l’opérateur de rotation est jlj = q

l²_x+l²_y+l_z² = 1; Á2[0; ¼]

R = h

cosÁI + (1¡cosÁ)l l^T + sinÁl~i

4.11 ROTATION FINIE COMME UNE ROTATION UNIQUE AUTOUR D’UN AXE ARBITRAIRE

• Preuve:

– Forme de l’opérateur de rotation – Les vecteurs met nse transformant selon – On obtient:

– Prenant en compte maintenant que:

– Et que

– On obtient le résultat annoncé

R = h

l l^0T + m m^0T + n n^0Ti

l~= 2

4 0 ¡lz ly

lz 0 ¡lx

¡ly lx 0 3 5 ll^T + mm^T + nn^T = I

l⁰=l

m⁰= R^T m = m cosÁ ¡ n sinÁ n⁰= R^T n =m sinÁ + n cosÁ R = £

ll^T + cosÁ(mm^T +nn^T) + sinÁ(¡m n^T +nm^T)¤ nm^T ¡mn^T = l~

R = h

cosÁI + (1¡cosÁ)ll^T + sinÁl~i

4.11 ROTATION FINIE COMME UNE ROTATION UNIQUE AUTOUR D’UN AXE ARBITRAIRE

• Inversion cinématique:

– On note

– On tire:

trace(R) = r11+r2 2+r3 3

= (l²_x+l²_y+l²_z)(1¡cosÁ) + 3 cosÁ

= 1 + 2 cosÁ

vec(R) = ¡²ij krj k = 2 4r32¡r23

r13¡r31

r21¡r12

3

5 = 2l sinÁ

l= vec(R) jvec(R)j

²123=²231=²312= 1

²132=²321=²213=¡1

²ij k= 0 otherwise

Á=ATAN2(jvec(R)j;tr(R)¡1)

4.12 ROTATION FINIE EN TERMES DES PARAMETRES D’EULER

• Définition:

avec la contrainte

• Expression de l’opérateur de rotation:

ou encore

e0= cosÁ 2 e1=lxsinÁ

2 e2=lysinÁ 2 e3=lzsinÁ 2

e²₀+e²₁+e²₂+e²₃ = 1

R = 2

4 1¡2(e²₂+e²₃) 2(e1e2¡e0e3) 2(e1e3+e0e2) 2(e1e2+e0e3) 1¡2(e²₁+e²₃) 2(e2e3¡e0e1) 2(e1e3¡e0e2) 2(e2e3+e0e1) 1¡2(e²₁+e²₂)

3 5

R= (2e02¡1)I+ 2ee^T + 2e0e~

4.12 ROTATION FINIE EN TERMES DES PARAMETRES D’EULER

• Pas de singularité

• Inversion cinématique – Rdonne lieu à la matrice 4x4 S

qui est une forme quadratique des paramètres d’Euler

– L ’algorithme d’inversion est alors facile S =

2 66 4

1 +r11+r22+r33 r32¡r23 r13¡r31 r21¡r12

r32¡r23 1 +r11¡r22¡r33 r12+r21 r13+r31

r13¡r31 r12+r21 1¡r11+r22¡r33 r32+r23

r21¡r12 r13+r31 r32+r23 1¡r11¡r22+r33

3 77 5

S = 4 2 66 4

e²0 e0e1 e0e2 e0e3

e0e1 e²1 e1e2 e1e3

e0e2 e1e2 e²₂ e2e3

e0e3 e1e3 e2e3 e²₃ 3 77 5

4.12 ROTATION FINIE EN TERMES DES PARAMETRES D’EULER

• Avantage et attractivité des paramètres d’Euler – Pas de singularité dans la procédure d’inversion – Quantités algébriques (pas de fonction trigonométrique) – Obéissent à l’algèbre des quaternions

• Difficulté des paramètres d’Euler

– Ensemble de paramètres dépendants (liés par une contrainte)

• Paramètres d’Euler souvent utilisés en robotique

4.13 PARAMETRES DE RODRIGUES

• Définition

• 3 paramètres indépendants

• Singularité pour

• Opérateur de rotation b1=e1

e0

=lxtanÁ 2 b2=e2

e0

=lytanÁ 2 b3=e3

e0

=lztanÁ 2

jbj= tanÁ 2

R=I+ 2

1 +b^Tb(~b+ ~bb)~ Á=§¼

4.14 VITESSE DE TRANSLATION ET VITESSE ANGULAIRE

• Soit un corps rigide en mouvement.

• La position d’un point P sur le corps

• Le vecteur vitesse du point P

– en éliminant

• Cette expression est l’analogue de l’expression bien classique p = r + Rp⁰

p⁰ = R^T(p¡r)

p_ = _r+ _Rp⁰

p_ = _r+ _RR^T(p¡r)

d~p dt = d~r

dt+~!£(~p¡~r) p_ = r_+R_p⁰+Rp_⁰

4.14 VITESSE DE TRANSLATION ET VITESSE ANGULAIRE

• Preuve:

– On note que implique

– On déduit la matrice des vitesses angulaires

– L’expression de la vitesse du point P prend la forme

• Vecteur vitesse associé à la matrice vitesse angulaire RR^T =I RR_ ^T = ¡RR_^T

~

! = RR_ ^T = 2 4

0 ¡!_z !_y

!z 0 ¡!x

¡!y !x 0 3 5

_

p = _r+ ~!(p¡r)

!^T = £

!x !y !z ¤

4.15 EXPRESSION EXPLICITE DES VITESSES ANGULAIRES

• En termes des angles d’Euler – Superposition de 3 vitesses angulaires

• une vitesse angulaire dφ/dt autour de Oz

• une vitesse angulaire dθ/dt autour de Ox₁

• une vitesse angulaire dψ/dt autour de Oz2

– La vitesse résultante est

– Et son expression explicite

! = 2 4

µ_cosÁ+ _ÃsinÁsinµ µ_sinÁ¡Ã_cosÁsinµ

Á_+ _Ãcosµ 3 5

! = £

0 0 Á_ ¤T

+ R(z; Á) £ µ_ 0 0 ¤T

+ R(z; Á)R(x; µ) £

0 0 Ã_ ¤T

4.15 EXPRESSION EXPLICITE DES VITESSES ANGULAIRES

• En termes des angles de Bryant – Superposition de 3 vitesses angulaires

• une vitesse angulaire dψ/dt autour de Oz

• une vitesse angulaire dθ/dt autour de Oy₁

• une vitesse angulaire dφ/dt autour de Ox₂ – Vitesse angulaire

• En termes des paramètres d’Euler

! = 2

4¡µ_sinÃ+ _ÁcosÃcosµ µ_cosÃ+ _ÁsinÃcosµ

Ã_¡Ásin_ µ 3 5

! = 2 2

4¡e1 e0 ¡e3 e2

¡e2 e3 e0 ¡e1

¡e3 ¡e2 e1 e0

3 5 2 66 4 _ e0

_ e1

_ e2

_ e3

3 77 5

±®~ = ±RR^T = 2 4

0 ¡±®z ±®y

±®_z 0 ¡±®_x

¡±®y ±®x 0 3 5

4.16 DEPLACEMENT INFINITESIMAL

• La variation de la position d’un point P situé sur le corps rigide

• En tenant compte de la rigidité du corps et en éliminant p’, on a

• En invoquant l’orthonormalité de la matrice R

• On suggère que la matrice anti-symétrique représente la rotation infinitésimale du corps

• Le déplacement infinitésimal prend la forme

±p = ±r+±Rp⁰+R±p⁰

±p = ±r+±RR^T(p¡r)

±RR^T +R±R^T = O

±p = ±r+±®(p~ ¡r)

4.17 ACCELERATIONS

• Après deux dérivations de l’équation de la position du point P situé sur le corps rigide

• En éliminant p’

• Interprétation de

Ä

p = Är+ ÄRp⁰

Ä

p = Är+ ÄRR^T(p¡r) RRÄ ^T

_~

! = d

dt(~!) = ÄRR^T + _RR_^T

= ÄRR^T + ~!!~^T RRÄ ^T = _~!¡!~!~^T

4.17 ACCELERATIONS

• Interprétation de

– la matrice des accélérations angulaires

– la matrice des accélérations centrifuges

• L’expression des accélérations

RRÄ ^T = _~!¡!~!~^T

~

!!~^T = !² I¡! !^T

= 2 4

!_y²+!_z² ¡!_x!_y ¡!_x!_z

¡!x!y !x2+!z2 ¡!y!z

¡!_x!_z !_y!_z !_x²!_y² 3 5

Ä

p = Är+ ( _~!¡!~~!^T)(p¡r) _~

! = 2

4 0 ¡!_z !_y

_

!z 0 ¡!_x

¡!__y !__x 0 3 5

4.19 REPRESENTATION HOMOGENE DES VECTEURS

• Définition

– La représentation homogène du vecteur pest constituée des 4 scalaires obtenus en ajoutant aux trois coordonnées cartésiennes un facteur d’échelle

– Les coordonnées cartésiennes (x, y, z) de l’espace 3D peuvent être retrouvées par simple mise à échelle

– Pour les vecteurs liés, la représentation n’est pas affectée par un chanement de facteur d’échelle

p^T = £

x^? y^? z^? w^? ¤

x = x^?

w^? ; y = y^?

w^? ; z = z^? w^?

p = 2 66 4

x^? y^? z^? w^?

3 77 5 =

2 66 4

x y z 1

3 77 5

4.19 REPRESENTATION HOMOGENE DES VECTEURS

• Les vecteurs liés (w≠0) tels que les vecteurs position:

– Attention : vecteur origine

• Les vecteurs libres (w=0) tels que les vecteurs vitesse – Par exemple le vecteur déplacement relatif de P₁vers P₂

u^T = £

0 0 0 1 ¤

d = p2¡p1 = 2 66 4

x2¡x1

y2¡y1

z2¡z1

0 3 77 5 p =

2 66 4

x^? y^? z^? w^?

3 77 5 =

2 66 4

x y z 1

3 77 5

4.20 REPRESENTATION HOMOGENE DES CHANGEMENT DE REPERES

• Transformation de coordonnées en 3D : une addition + une multplication matricielle

• Transformation en coordonnées homogènes : une multiplication matrcielle seulement

– avec

• Rsous matrice (3x3) de rotation de O’x’y’z’par rapport à Oxyz

• rvecteur translation de Oen O’

• Paramètres indépendants:3 paramètres de translation + 3 paramètres de rotation p = r+Rp⁰

p = Ap⁰

A =

· R r o^T 1

¸

4.20 REPRESENTATION HOMOGENE DES CHANGEMENT DE REPERES

• Matrice de transformation A repérant la localisation (position + orientation) de l’effecteur

– rla position du point de référence O’attaché à l’effecteur – le vecteur d’approchea, adopté comme axe local zde l’effecteur – le vecteur d’orientation o choisi comme axe local yde l’effecteur – le vecteur normalen= ox adonnant l’axe local xde l’effecteur

• Les vecteurs n, o, asont orthonormaux A =

2 66 4

nx ox ax rx

ny oy ay ry

nz oz az rz

0 0 0 1

3 77 5

• Soit p₀, p₁, p₂sont les vecteurs position du même point P dans des repères Ox₀,y₀,z₀, Ox₁,y₁,z₁, Ox₂,y₂,z₂liés à des corps de la chaîne articulée

• De manière générale, on définit par ⁱA_jla transformation permettant de passer du repère Ox_iy_iz_iau repère Ox_jy_jz_j

• On a

• Et ainsi de suite

• La transformation combinée

• De manière récursive

pour toute la chaîne cinématique

4.21 TRANSFORMATIONS HOMOGENES SUCCESSIVES

p1 = ¹A2 p2

0An = ⁰A1:¹A2: : :^n¡1An 0A2 = ⁰A11A2

p0 = ⁰A1 p1 = ⁰A11A2 p2

4.22 MANIPULATION D’OBJET DANS L’ESPACE

• Représentation de la géométrie d’un objet par les coordonnées en axes locaux d’un ensemble de ses points

• La manipulation de l’objet par le robot ou sa description dans un autre système de référence est décrite par une séquence de transformations homogènes

– où Aest la matrice de transformation homogène B⁰ =

2 66 4

1 ¡1 ¡1 1 1 ¡1

0 0 0 0 4 4

0 0 2 2 0 0

1 1 1 1 1 1

3 77 5

B = AB⁰

4.22 MANIPULATION D’OBJET DANS L’ESPACE

• Exemple:

– Translation de 4 unité selon x – Rotation de 90° autour de Ox – Rotation de 90° autour de Oz

– On trouve finalement A =

2 66 4

1 0 0 4 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

3 77 5

2 66 4

0 0 1 0 0 1 0 0

¡1 0 0 0 0 0 0 1

3 77 5

2 66 4

0 ¡1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

3 77 5

= 2 66 4

0 0 1 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

3 77 5

2 66

4 4 6 6 6 4

1 ¡1 ¡1 1 1 ¡1 3 77

4.23 INVERSION EN COORDONNEES HOMOGENES

• Transformation inverse

– représente un changement de position et d’orientation sans altération de la forme

• La matrice de transformation est de la forme

• Vérifie

• Donc

p⁰ = A^¡1p

A^¡1 =

· R⁰ r⁰ o^T 1

¸

AA^¡1 = I

R⁰ = R^T r⁰ = ¡R^T r

4.24 BOUCLE DES TRANSFORMATIONS HOMOGENES

• On a les différentes transformations

– Position et orientation du support du manipulateur dans Oxyz – Position et orientation du poignet dans le repère Z

– Repère attaché à l’outil par rapport à l’extrémité du poignet – Localisation du corps à saisir:

– Transformation d’accorchage, décrivant la position et l’orientation de l’accrochage

• Du point de vue du robot

• Du point de vue du monde extérieur

• Identité des 2 points de vue

ZT Z

E = Z:^ZT:^TE

TE B

BG

E = B:^BG

Z:^ZT:^TE = B:^BG

4.24 BOUCLE DES TRANSFORMATIONS HOMOGENES

• Utilisation

– Par exemple, étant donné une tâche et la localisation du manipulateur, on a la configuration du robot

• Graphe de transformation – Chaque noeud = un repère – Chaque branche =

une transformation directe ou indirecte selon le sens de parcours

ZT = Z^¡1:B:^BG:E^¡1

4.25 REPRESENTATION HOMOGENE DES VITESSES

• Il est possible d’exprimer les vitesses et les transformations au moyen d’une seule transformation matricielle

• Avec la matrice de transformation des vitesses angulaires

• On peut montrer que celle peut s’exprimer

• Au moyen de l’opérateur différentiel de vitesse A_ =

· R_ r_ o^T 0

¸

A_ = ¢ A_

p_ = ¢ p_ _

p = [ _px p_y p_z 0 ]^T = A p_ ⁰

4.25 REPRESENTATION HOMOGENE DES VITESSES

• De manière analogue avec la matrice des vitesses angulaires, on trouve explicitement

• où on retrouve

– la matrice vitesse angulaire:

– la vitesse d’un point coïncidant avec l’origine de Oxyz(p=0):

¢_ = A A_ ^¡1 =

· !~ v o^T 0

¸

v = _r¡!~ r

~

!

4.26 REPRESENTATION HOMOGENE DES ACCELERATIONS

• Il est possible d’exprimer les accélérations et les transformations au moyen d’une seule transformation matricielle

• Avec la matrice de transformation des accélérations angulaires

• On peut montrer que celle peut s’exprimer

• Au moyen de l’opérateur différentiel des accélérations Ä

p = £ Ä

p_x Äp_y pÄ_z 0 ¤T

= A pÄ ⁰

AÄ =

· RÄ rÄ o^T 0

¸

AÄ = ¢AÄ

pÄ = ¢pÄ

4.26 REPRESENTATION HOMOGENE DES ACCELERATIONS

• De manière analogue avec la matrice des accélérations angulaires, on trouve explicitement

– avec la matrice des accélérations angulaires et centrifuges:

– la vitesse d’un point du corps qui coïnciderait avec l’origine de Oxyz:

¢Ä =

· B a o^T 0

¸

B = ÄRR^T = _~!¡!~ !~^T

a = Är¡( _~!¡!~~!^T)r