II. CINEMATIQUE.
A. Base de la description d'un mouvement
La première chose que demande la cinématique est un outil mathématique capable de caractériser sans ambiguïté n'importe quel point de l'espace: C'est la raison d'être des systèmes de référence et des jeux de coordonnées.
1. Systèmes de référence (ou "repères")
Un repère est un ensemble de trois axes orthogonaux auquel on adjoint une horloge. (En fait nous nous contenterons souvent de décrire des mouvements 'plan', ce qui ne demandera que deux axes au plus.). Sauf indication (rare) du contraire, on convient en principe de travailler avec un repère direct, ou repère d'orientation directe. Un repère direct est tel que la direction z est obtenue au départ des deux autres par la règle du tire-bouchon ou la règle de la main droite (…ou la règle des trois doigts sur la main droite: x le pouce, y l'index et z le majeur).
Dans ce cours nous nous restreindrons le plus souvent à des mouvements plans, pour lesquels donc deux axes suffisent.
2. Jeux de coordonnées.
Pour caractériser un point du mouvement d'un mobile dans un repère, il faut une information t sur le temps et un jeu de coordonnées spatiales. En ce qui concerne ce dernier, n'importe quel ensemble d'informations capable de définir un point sans ambiguïté convient. Dans ce cours, nous parlerons souvent en termes de "vecteur position
e de composantes ex et ey ", ou de façon équivalente de "point P de coordonnées cartésiennes x et y", ou encore de "point P de coordonnées polaires r et
". On montrera que les coordonnées cartésiennes sont plutôt adaptées aux mouvements de translation, alors que les coordonnées polaires sont plutôt adaptées aux mouvements circulaires.
3. Mouvement quelconque d'un mobile décrit dans un repère.
On montrera comment un mouvement tout-à fait quelconque dans un plan (x,y) peut-être décrit en détail au travers d'un double graphique ex(t) et ey(t), où apparaît clairement l'évolution de chaque coordonnée en fonction du temps. Autrement-dit, toute la cinématique peut-être ramenée à l'étude de ce qui se passe le long d'un axe: d'où l'importance de l'étude des mouvements rectilignes.
B. Vitesse et accélération.
Soit donc un mouvement rectiligne selon un axe x. L'opération la plus élémentaire qu'on puisse faire le long de ce mouvement est un relevé (exi, ti) de différentes positions exi à des instants ti.
Quel est l'objet de la cinématique?
Comment choisir un repère? (libertés de choix !?)
Comment relier ex et ey (ou x et y) à r et , et vice-versa?
1. Vitesse d'un mobile.
Les informations (exi, ti) peuvent être reportées dans un graphique ex(t) (voir la version powerpoint) qui permettra une visualisation beaucoup plus directe de la façon dont la position ex du mobile évolue au cours du temps. Ainsi, pour caractériser une évolution plus ou moins rapide de la position dans le temps, on introduira les définitions suivantes:
où
v
x sera dite vitesse moyenne sur l'intervalle de temps t.De là, on posera aussi:
où vx(ti) sera dite vitesse instantanée à l'instant ti. La dernière expression dans (1.6) rappelle symboliquement qu'une vitesse instantanée répond à la définition mathématique d'une dérivée.
Ceci se retrouve bien sûr dans l'interprétation graphique d'une vitesse!
Exemple (1.1): Dans les schémas ci-dessus (ex en fonction de t) que peut-on dire de la vitesse?
2. Accélération d'un mobile
De même, en utilisant (1.6) on peut évaluer à différents instants ti les vitesses vxi et reporter ces valeurs sur un graphique vx(t), ce qui permet de visualiser la façon dont la vitesse évolue dans le temps. Sur base de ce graphique, on posera la définition d'une accélération moyenne sur un intervalle de temps t:
v = e - e
t - t = e
x
t
xj xi
j i
x
( 1.5 ) Déduire de (1.5) ou
(1.6) la dimension et l'unité SI de vx
v (t ) = lim e - e
t - t = lim e
t = de
x i
dt
t t
xj xi
j i t 0
x x
ji
( 1.6 ) Interprétation
graphique de vx et de vx ? (Important!)
a = v - v
t - t = v
x
t
xj xi
j i
x
( 1.7 ) Déduire de (1.7) et
(1.8) la dimension et
Dans (1.8), les dernières expressions rappellent symboliquement que la définition de ax correspond mathématiquement à la dérivée première de la vitesse vx et à la dérivée seconde de la position ex. De là aussi l'interprétation graphique de ax.
Exemple (1.2):
a) Dans les graphes de l'exemple (1.1), que peut-on dire de l'accélération?
b) Si ces graphes représentaient non pas la position ex(t), mais la vitesse vx(t), que pourrait-on dire de l'accélération pour chacun d'eux?
3. Vecteurs vitesse et accélération.
Pour un mouvement qui se déroule non plus selon une droite mais dans un plan, chaque composante ex et ey du vecteur position
ese comporte comme vu ci-dessus, ce qui entraîne la définition d'un vecteur "vitesse" et d'un vecteur "accélération":
A noter que le vecteur accélération défini en (1.9) contient plus que le fait pour un mobile d'aller "de plus en plus vite" ou "de plus en plus lentement". Il suppose une variation du vecteur vitesse.
Or le vecteur vitesse peut très bien ne pas changer en norme, mais simplement changer en direction!
Songez à une voiture qui entame un virage à du 60km/h: Même si elle maintient constamment son 60km/h, son seul changement de direction implique une accélération!
Exemple 1.3: Soit un mobile qui se meut de façon quelconque sur un cercle de rayon R. On choisit un repère (x,y) dont l'origine est au centre du cercle et l'orientation des axes quelconques. Pour une position donnée du mobile, a) représenter le vecteur position
e et ses composantes ex et ey; b) le vecteur vitesse et ses composantes vx et vy. Le vecteur accélération quant à lui doit avoir forcément une projection radiale dirigée vers le centre (accélération centripète) et peut avoir en plus une projection tangentielle (accélération tangentielle): Que signifient ces deux aspects de l'accélération?
a (t ) = lim v - v
t - t = lim v
t = dv
dt = de
x i
dt
t t
xj xi
j i t 0
x x
2 x
ji 2
( 1.8 )
Interprétation graphique de ax:
-) dans un graphe vx(t) -) dans un graphe ex(t) (Important!)
v = de dt v = de dt
v = de
dt
a = dv
dt = de dt a = dv
dt = de dt
a = dv
dt = de dt
x
x
y
y
x
x 2
x 2
y
y 2
y 2
2 2
( 1.9 )
C. Mouvements circulaires.
L'exemple (1.3) est important parce qu'il applique aux MOUVEMENTS CIRCULAIRES la théorie générale vue ci-dessus. On y introduit, pour ce type de mouvements, les notions de vitesse tangentielle (qui dans la suite sera souvent aussi appelée vitesse linéaire ), accélération tangentielle et accélération centripète. Très souvent malgré tout on trouvera avantage à utiliser ici une description en termes de coordonnées polaires.
1. Mouvements circulaires en coordonnées polaires.
Au lieu de vecteur position de composante ex et ey, on parlera ici du rayon R de la trajectoire (R constant) et surtout de position angulaire (seule variable! orienté dans le sens contraire des aiguilles d'une montre!); au lieu de "distance e parcourue", on parlera d' "angle balayé", etc...
a. Vitesse angulaire et accélération angulaire.
Suivant une démarche tout-à-fait parallèle à celle qui nous a permis de définir les grandeurs linéaires v et a, nous aboutirons aux notions de vitesse angulaire et d'accélération angulaire :
b. Lien entre grandeurs linéaires et grandeurs angulaires.
Le lien entre la longueur l d'un arc de cercle et l'angle qu'il sous-tend est donnée par l=R, où R est le rayon du cercle. partant de là, on obtient facilement (1.11) où v est la norme de la vitesse linéaire (tangente au cercle) et où at est la norme de l'accélération tangentielle.
Il ne nous manque donc plus, pour avoir une description complète du
mouvement, que l'accélération centripète, responsable du changement constant de direction du mobile.
2. Accélération centripète.
En reliant les coordonnées cartésiennes ex et ey aux coordonnées polaires R et , et en utilisant ensuite (1.9) on obtient:
?
?
?
R
fig 1.1
= d
dt et = d
dt = d dt
2
2 ( 1.10 ) Déduire de (1.10) les
dimensions et unités SI de et de .
Interprétations de et de . dans un graphe
(t) ?
v = R a = R
t
( 1.11 ) Pourquoi
l'accélération (1.11) n'est-elle que la partie tangentielle?
Démontrer (1.12) et y discuter les signes.
a = - R sin -
x 2R cos
( 1.12)
Les premiers termes de (1.12) sont les composantes de
at. Les derniers termes sont les composantes d'un vecteur de norme 2R et pointant vers le centre du cercle (voir les signes!) : l'accélération centripète
ac. A noter que celle-ci est toujours présente
dès que 0, donc dès qu'il y a mouvement circulaire (même à vitesse constante); alors que l'accélération tangentielle n'existe que si 0 donc si varie (rotation devenant plus rapide ou plus lente). A noter aussi dans (1.13) une autre formule pour la norme de l'accélération centripète, obtenue grâce à (1.11) ( =v/R).
D. Equations des mouvements à accélération constante.
Dans ce cours, nous limiterons notre étude non seulement à des mouvements qui s'effectuent dans un plan, mais en plus nous limiterons les variations possibles au niveau des vitesses (présence éventuelle d'une accélération mais qui ne peut changer.). Les équations du mouvement sont des équations qui permettent de prédire la position et la vitesse à n'importe quel endroit de la trajectoire, pourvu que soient connues toutes les informations à un endroit précis; informations que nous appellerons les conditions initiales. Pour l'anecdote, on signalera que le fait de pouvoir prédire la destinée d'un objet rien qu'en connaissant son état à un instant donné a été longtemps relié au principe philosophique du déterminisme!
1. Equations générales des mouvements à accélération constante.
Soit tout d'abord un mobile doté d'un mouvement rectiligne à accélération constante ax, le long d'un axe x. Supposons qu'à t0=0 il se trouve à la position e0x et possède une vitesse v0x. Alors, les équations (1.5) à (1.8) ainsi que la figure (1.2) donnent les équations du mouvement:
(N.B.: Ce résultat est souvent obtenu en utilisant des intégrales, mais nous verrons qu'on peut éviter cette méthode).
a = R = v
c 2
R
2 ( 1.13 )
v = a t + v e = a t
2 + v t + e
x x 0 x
x
x 2
0 x 0 x
mouvements décrits en coordonnées polaires (b) , on obtient:
où les quantités d'indice "0" sont les conditions initiales à t0=0
2. Mouvements particuliers.
N.B.: On profitera de l'étude de quelques mouvements particuliers pour proposer une méthode de résolution systématique des problèmes de cinématique. Cette méthode pourrait se schématiser comme suit:
a. Mouvement rectiligne uniforme M.R.U.
Le seul paramètre important est la vitesse de progression V.
b. Mouvement circulaire uniforme M.C.U.
Le seul paramètre important est la vitesse angulaire de rotation
.
e = at
2 + v t + e v = at + v (a)
e = a t2
2 + v t + e e = a t2
2 + v t + e
v = a t + v v = a t + v
= t
2 + t + = t + (b)
2
0 0 0
x
x
0x 0x
y y
0y 0y
x x 0x
y y 0y
2
0 0 0
( 1.14 )
0) Croquis.
1) Choix d'un repère (Position de l'origine, orientation des axes, types de coordonnées) et écrire les équations générales du mouvement.
2) Décrire dans le repère les données initiales (position, vitesse, accélération) et les introduire dans les équations, qui deviennent alors les équations de la trajectoire particulière au problème.
3) Imposer une condition supplémentaire qui caractérise le point de la trajectoire qu'on étudie. Les équations deviennent alors les équations de ce point et sont solubles pour ce point.
4) Résoudre.
Adapter (1.14.a) au
MRU (but: 1.15) e = Vt ( 1.15 )
Adapter (1.14.b) au MCU (but: 1.16)
= t ( 1.16)
c. Mouvement rectiligne uniformément accéléré M.R.U.A.
On distinguera les situations remarquables de
"départ lancé" et de "départ arrêté". Dans ce dernier cas très simple (éq. 1.18), le seul paramètre important est la valeur d'accélération A. On obtient aussi une relation directe entre vitesse et position.
Exemple: La chute libre est bien sûr un cas remarquable de MRUA correspondant à A = g = 9,81m/s². Calculer par exemple la vitesse d'un objet après une chute de 20m.
d. Mouvement circulaire uniformément accéléré M.C.U.A.
C'est le parfait analogue du MRUA, transposé à une rotation et en coordonnées polaires.
e. Mobile soumis à une vitesse d'entraînement.
Nous simplifierons au maximum ce type de mouvement, en supposant que la vitesse du mobile et la vitesse d'entraînement sont toutes deux constantes: On se retrouve alors dans une situation de MRU, où la vitesse totale du mobile est la résultante des deux vitesses données.
Exemple: Un nageur traverse une rivière à une vitesse de 3km/h par rapport à l'eau et en inclinant sa nage à 45° vers l'amont. La rivière a une largeur de 20m et son courant est de 5km/h. Où et quand le nageur touchera-t-il la rive opposée?
f. Balistique.
La balistique étudie le mouvement des projectiles. Pour un objet lancé dans l'air, et à condition de négliger le frottement de l'air, on a affaire à un MRU pour la composante horizontale et à un MRUA (accélération g!) pour la composante verticale. Nous en ferons l'exemple de cinématique le plus complet abordé dans ce cours.
Exemple: Une balle de tennis est lancée horizontalement d'une hauteur h avec une vitesse v0. A quelle distance touche-t-elle le sol?
Décrire sa vitesse au moment de l'impact.
2
1 =
= T et
= 2
f f
( 1.17 )e = At 2 v = At
donc v = 2Ae
2
( 1.18 ) Adapter (1.14.a) au
MRUA "départ lancé"
et "départ arrêté"
Transposer (1.17) en coordonnées polaires.
P.7:
0) Croquis: voir ci-contre.
1) Choix du repère: voir croquis.
D'où les équations:
x x
0x 0x
y y
0y 0y
x x 0x
y y 0y
e = a t2
2 + v t + e e = a t2
2 + v t + e
v = a t + v v = a t + v
2) Dans le repère choisi, on a e0x=0, e0y=h, v0x=v0, v0y=0, ax=0, ay=-g, et donc:
x 0
y
x 0
y
e = v t e = -gt2
2 + h
v = v v = -gt
Cet ensemble de 4 équations contient encore 5 inconnues et donc une infinité de solutions.
3) Le point d'impact est caractérisé par la condition ey=0, ce qui donne:
x 0
x 0
y
e = v t (1) 0 = -gt2
2 + h (2)
v = v (3) v = -gt (4)
...ensemble de 4 équations qui ne contiennent plus que 4 inconnues et offrent donc une solution unique: La position et la vitesse au seul point d'impact.
4) Résolution: Au point 3 ci-dessus, l'équation (2) donne le temps à l'impact. Ce temps introduit dans les autres équations fournit ex et vy à l'impact. La solution au problème est: d = e et v= v + vx x2
y2
Résoudre le même problème en plaçant l'origine du repère au point de lancer, axe vertical orienté vers le haut.
Résoudre le même problème en plaçant l'origine du repère au point de lancer, axe vertical orienté vers le bas.
h vo
d? v?
ex ey
A quoi correspond l'infinité de solutions au point 2 de l'exemple ci-dessus?
En réalité, (2) fournit 2 valeurs de temps: à
quoi correspondent- Quelle est
CINEMATIQUE: Exercices complémentaires.
1) La vitesse de propagation de la lumière dans le vide est de 300.000km/s. Sachant que la distance moyenne de la terre au soleil est 149.500.000km, combien de temps la lumière met-elle pour nous parvenir du soleil? (R.: 8’18)
2) L’espace parcouru par un corps est donné en unités SI par la fonction e=t2+24. Quelle est la vitesse moyenne pendant les 8 premières secondes? (R.:8m/s)
3) Un corps part du repos avec une accélération constante de 10cm/s².
Quelle est sa vitesse quand il aura parcouru 100m? (R.: 4,47m/s) 4) D’une hauteur de 980m, on tire une balle verticalement vers le bas. La balle atteint le sol en 2s. Quelle était la vitesse initiale?
(R.:480m/s)
5) D’une certaine hauteur h au-dessus du sol, on lance un objet vers le haut avec une vitesse verticale de 40m/s. Cet objet tombe sur le sol 9 secondes plus tard. a) A quelle hauteur h est-on pour le lancer? b) Quelle hauteur au-dessus du sol atteint l’objet? (R.: 37m;
117m)
6) Un athlète lance une balle d’une hauteur de 1,55m au-dessus du sol. La vitesse initiale v0=10m/s fait un angle de 45° avec l’horizontale. Quelle est la distance horizontale AB franchie par la balle? (R.: 11,2m)
7) Une roue au repos est amenée à la vitesse de 50 tours/s en 1min.
Quelle est son accélération angulaire? (R.:5,23 rad/s²)
8) La poulie d’un moteur électrique est un cylindre de rayon r1=8cm;
elle entraîne la poulie d’une scie circulaire au moyen d’une courroie de transmission (qui ne glisse pas sur les poulies!). La poulie de la scie a pour rayon r2=20cm et celui de la lame de la scie est de 35cm.
Le moteur tourne à 2000 tours/min. Calculer:
a) la vitesse angulaire du moteur b) la vitesse de la courroie
c) la fréquence de rotation de la scie d) la vitesse des dents de la scie (R.:209,4rad/s; 16,75m/s; 800tours/min, 29,32m/s)
9) Le système d’engrenages ci-contre possède respectivement 20, 40 et 15 dents. Les dents sont toutes identiques et leur nombre est proportionnel au rayon de la roue qui les porte. Le rayon de la roue n°1 est de 6cm.
a) Si la roue n°1 tourne à 10 tours/s, quelles sont les vitesses de rotation des autres roues?
b) Quelle est la fréquence de rotation de la roue n°1 si la vitesse de la roue n°3 est de 60km/h?
(R.: 3,77m/s; 44,2 tours/s)
10) Quelle est la vitesse angulaire en rad/s de la rotation de la terre et quelle est l’accélération centripète d’un point de l’équateur sachant que le rayon de la terre est de 6400 km.(R.: 7,3 10-5 rad/s;
3,38 cm/s²)
