I. CINEMATIQUE
A. Vitesse et accélération 1) Mouvement rectiligne
t0 e0
t e t2
e2
t1 e1
e
t0
t
e0
t e
t2 e2
t1 e1
t = t - t0
e = e - e0
t e t
- t
e - v e
0 . 0
déf
VITESSE MOYENNE sur t
v l t
-1 1 m/s"VITESSE INSTANTANEE" vitesse moyenne pour
t "petit" ("infinitésimal")
dt de t
lim e v
lim
v
t 0 t 0déf.
N.B.: Interprétation géométrique?
e
t0
t
e0 e
t
t
e
tg t
v e
v(t0) = tg
e
t
v > 0
v = 0
v = 0 v < 0
v > 0
t0 v0
t1 v1
t v
v
t0
t
v0
t v
t = t - t0
v = v - v0
t v t
- t
v - a v
0 . 0
déf
ACCELERATION MOYENNE
ACCELERATION INSTANTANEE :
dt² d²e dt
dv t
lim v a
lim
a
t 0 t 0déf.
a a v t
-1 l t
-21 m/s/s 1 m/s²
e
t
a<0
a>0
v
t
a < 0
a > 0
2) Généralisation "Vecteur" position ?
Soit un mouvement plan:
y
x e
0ex0 ey0
t0 t0
e
1ex t ey
t
vx = dex/dt etc...
etc...
vy = dey/dt
dt v de
dt v de
y y
x x
dt e v d
"VECTEUR VITESSE"
dt dv dt
e a d
dt dv dt
e a d
y 2
y 2 y
x 2
x 2 x
dt v d dt
e
a d
22
"VECTEUR ACCELER."
N.B.:
! d dt v !
variation en norme...… ou en direction !!!
3) Mouvement circulaire
y
x
R
0
t0
1
t1
t
t0
t
0
t
t = t - t0
= - 0
t t
- t
-
0 . 0
déf VITESSE ANGULAIRE MOYENNE sur tdt d lim
t 0déf.
VITESSE ANGULAIRE
Unité SI: 1rad/s
dt² d² dt
d
déf
ACCELERATION ANGULAIRE [ ] = [ t-1] = [ t-
2]
1 rad/s/s 1 rad/s²
Lien entre grandeurs linéaires et grandeurs angulaires?
L R
L = R
dt R d dt
dL
v = R
dt R d dt
dv
at = R
! ls tangentie a
et v t
R e
v
a
tAccélération centripète.
Soit un "M.C.U."
R R
R R
R v
v
v
v v Rv Rv R R v v
t R R
v t
v
v
R
v²
a
c ou (puisque v = R) :a
c
² R
"ACCELERATION CENTRIPETE"
a
t(at = R)
…suppose une variation de !!
a
c(ac = ²R)
… toujours présent !!
c
t
a
a
a
B. Mouvements à accélération constante
1) M.R.U.A.
t v
t0 = 0 v0
v
t0 = 0 t
v0
v
t
t v - v t
a v
a 0
a = cst
v = at + v0
a = cst
v
t0 t
v0
v
t
t e -
v e
02 v v
0
v
2 t v e v
-
e
0 0
2 t 2v
at
0
v = at + v0
t 2 v
e at² -
e
0
0e t
2 v at²
e
0
0e
t y = ax² + bx + c
Donc a= cst
e t
2 v e at²
v at
v
0 0
0
"EQUATIONS DU MOUVEMENT"
Cas particuliers a) "Départ arrêté"
e
2 e at²
at v
0
v0 = 0
b) M.R.U.
0
0 0
e t
v e
v v
a = 0
Exemple: la chute libre.
H
v?
H
v?
g=9,81m/s² x
y
e t
v 2
at² e
v at
v ) 1
0 0
0
g a
0 v
0 e
)
2
0 0
(2) 2 gt² e
(1) gt v
3) A l'impact: e = H
2 gt² H
) 2
( t 2H g
g 2H g
v )
1
( 2gH
g=9,81m/s² x
y
e t
v 2
at² e
v at
v ) 1
0 0
0
g a
0 v
H e
) 2
0 0
(2) H 2
gt² - e
(1) gt -
v
3) A l'impact: e = 0
H 2
gt² - 0
) 2
(
2 gt² H
ou etc…!!
2) Généralisation : Mouvement plan v0
t a
v
0y y
y
0x x
x
v t
a v
v t
a v
0 0t e 2 v
t²
e a
0y 0y
y y
0x 0x
x x
e t
2 v t² e a
e t
2 v t² e a
N.B.: M.R.U.?
0y y
0x x
v v
v
v
e v0t
e0
t v
e
t v
e
0y y
0x x
Exemple: Balistique
H?
d?
0
v
g
x y
0y y
y
0x x
x
v t a v
v t a v
0y 0y
y y
0x 0x
x x
e t v 2
t² a e
e t v 2
t² a
1) e
2) or ici :
0 e
0 e
0y 0x
sin v
v
cos v
v
0 0y
0 0x
g - a
0 a
y x
donc:
(2) sin
v gt
- v
(1) cos
v v
0 y
0 x
(4) )t sin
v ( 2 gt² - e
(3) t
) cos v
( e
0 y
0 x
H?
0
v
g
x y
(2) sin
v gt
- v
(1) cos
v v
0 y
0 x
(4) )t sin
v ( 2 gt² - e
(3) t
) cos v
( e
0 y
0 x
3) Au sommet: vy = 0
(2) 0 = -gt + v0 sin
g sin ou t v0
(4)
g sin² v
g² sin² v
2 - g H
e
2 0 2
0 y
2g sin² v
H
2
0
H?
0
v
g
x y
(2) sin
v gt
- v
(1) cos
v v
0 y
0 x
(4) )t sin
v ( 2 gt² - e
(3) t
) cos v
( e
0 y
0 x
3') A l'impact: ey = 0
(4) 0 = -gt²/2 + (v0 sin)t = t(-gt/2 + v0 sin)
g sin et t 2v
0 t :
solutions 0
(3)
g 2 sin v
g
cos sin
2v d
e
2 0 2
0 x
!!
N.B.: d max pour α=45°!
Exemple de MRU dans le plan.
ve = 5 km/h 20 m
45° vn = 3 km/h où et quand??
ny ey
0y y
nx ex
0x x
v v
v v
v v
v
1) MRU avec v
n
e v
v
v
e t v
e
e t v
e
0y 0y
y
0x 0x
x
x y
2)
0 e
0 e
0y 0x
0,6m/s 2,12km/h
45 sin 3
0 v
0,8m/s 2,88km/h
cos45 3
- 5 v
0y 0x
(2) 0,6t e
(1) 0,8t e
y x
3) A l'arrivée: ey = 20m ! (2) 34s
0,6
t 20 (1) ex = 0,8X34
= +27,2m : en aval !!
= cst
2 t t²
t
0 0
0
2 t²
t
b) M.C.U.
0
t
0
= 0 3) M.C.U.A.
Cas particuliers a) "Départ arrêté"
0= 0
par analogie avec v=at+v0
voir e=at²/2 etc...
Notions associées au M.C.U.
La FREQUENCE.
nombre de tours par seconde
Rappel: = nombre de radians balayés par seconde
Or un tour correspond à 2 radians
f 2
Unité S.I.: sec-1 ou Hertz
La PERIODE.
temps que prend un tour 2 f
T 1
Exemple: le pédalier 4
3
2 1
On donne f1: que vaut v4? (vitesse du vélo!)
v4 = 4R4
v=R
= 3R4
4 =3
3 4 3 R v R
=v/R
3 4 2 R v R
v3 = v2
4
3
2 1
3 4 2
4 R
v R v
3 4 2
2 R
R R
v=R
3 4 2
1 R
R R
2 =1
…et puisque = 2f , on a:
3 4 2
1
4 R
R R f
2 v
Réflexion: Pour aller plus vite, faut-il 1°) passer sur un pignon plus large ou plus petit?; 2°) idem pour le plateau ?