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1) Mouvement rectiligne A. Vitesse et accélération I. CINEMATIQUE

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Academic year: 2022

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(1)

I. CINEMATIQUE

A. Vitesse et accélération 1) Mouvement rectiligne

t0 e0

t e t2

e2

t1 e1

(2)

e

t0

t

e0

t e

t2 e2

t1 e1

t = t - t0

e = e - e0

t e t

- t

e - v e

0 . 0

 

déf

 VITESSE MOYENNE sur t

  v   l t

-1  1 m/s

(3)

"VITESSE INSTANTANEE"  vitesse moyenne pour

t "petit" ("infinitésimal")

dt de t

lim e v

lim

v

t 0 t 0

déf.

 

 

N.B.: Interprétation géométrique?

e

t0

t

e0 e

t

t

e

tg t

v e

 v(t0) = tg

(4)

e

t

v > 0

v = 0

v = 0 v < 0

v > 0

(5)

t0 v0

t1 v1

t v

v

t0

t

v0

t v

t = t - t0

v = v - v0

t v t

- t

v - a v

0 . 0

 

déf

 ACCELERATION MOYENNE

(6)

ACCELERATION INSTANTANEE :

dt² d²e dt

dv t

lim v a

lim

a

t 0 t 0

déf.

 

 

    a a     v t

-1

l t

-2

1 m/s/s 1 m/s²

(7)

e

t

a<0

a>0

v

t

a < 0

a > 0

(8)

2) Généralisation "Vecteur" position ?

Soit un mouvement plan:

y

x e 

0

ex0 ey0

t0 t0

e 

1

ex t ey

t

vx = dex/dt etc...

etc...

vy = dey/dt

(9)

 

 

dt v de

dt v de

y y

x x

dt e v d

 

"VECTEUR VITESSE"

 

 

dt dv dt

e a d

dt dv dt

e a d

y 2

y 2 y

x 2

x 2 x

dt v d dt

e

a d

2

2

 

  

"VECTEUR ACCELER."

N.B.:

! d dt v !

variation en norme...

… ou en direction !!!

(10)

3) Mouvement circulaire

y

x

R

0

t0

1

t1

t

(11)

t0

t

0

t

t = t - t0

 =  -  0

t t

- t

-

0 . 0

 

 

déf  VITESSE ANGULAIRE MOYENNE sur t

dt d lim

t 0

déf.

 VITESSE ANGULAIRE

Unité SI: 1rad/s

(12)

dt² d² dt

d

déf

 

 ACCELERATION ANGULAIRE [ ] = [ t-1] = [ t-

2]

1 rad/s/s 1 rad/s²

(13)

Lien entre grandeurs linéaires et grandeurs angulaires?

L R 

L = R 

dt R d dt

dL 

v =  R

dt R d dt

dv 

at =  R

! ls tangentie a

et v t

R e  

 v 

a 

t

(14)

Accélération centripète.

Soit un "M.C.U."

R  R

R  R

R v

v

v

v  v Rv Rv R R v  v 

t R R

v t

v

 

v

R

a

c  ou (puisque v = R) :

a

c

² R

 "ACCELERATION CENTRIPETE"

(15)

a 

t

(at = R)

…suppose une variation de  !!

a 

c

(ac = ²R)

… toujours présent !!

c

t

a

a

a   

(16)

B. Mouvements à accélération constante

1) M.R.U.A.

t v

t0 = 0 v0

v

t0 = 0 t

v0

v

t

t v - v t

a v

a  0

 

a = cst

v = at + v0

a = cst

(17)

v

t0 t

v0

v

t

t e -

v  e

0

2 v v 

0

v

2 t v e v

-

e

0 0

 

  

2 t 2v

at

0

 

 

  

v = at + v0

(18)

t 2 v

e at² -

e

0

 

0

e t

2 v at²

e  

0

0

e

t y = ax² + bx + c

(19)

Donc a= cst 

e t

2 v e at²

v at

v

0 0

0

 "EQUATIONS DU MOUVEMENT"

Cas particuliers a) "Départ arrêté"

e

2 e at²

at v

0

 v0 = 0 

b) M.R.U.

0

0 0

e t

v e

v v

 a = 0  

(20)

Exemple: la chute libre.

H

v?

H

v?

g=9,81m/s² x

y

e t

v 2

at² e

v at

v ) 1

0 0

0

g a

0 v

0 e

)

2

0 0

(2) 2 gt² e

(1) gt v

3) A l'impact: e = H

2 gt² H

) 2

( t 2H g

g 2H g

v )

1

( 2gH

g=9,81m/s² x

y

e t

v 2

at² e

v at

v ) 1

0 0

0

g a

0 v

H e

) 2

0 0

(2) H 2

gt² - e

(1) gt -

v

3) A l'impact: e = 0

H 2

gt² - 0

) 2

(

2 gt² H

ou etc…!!

(21)

2) Généralisation : Mouvement plan v0

t a

v  



0y y

y

0x x

x

v t

a v

v t

a v

0 0t e 2 v

e a  

   





0y 0y

y y

0x 0x

x x

e t

2 v t² e a

e t

2 v t² e a

N.B.: M.R.U.?



0y y

0x x

v v

v

v

e v0t

 

e0



t v

e

t v

e

0y y

0x x

(22)

Exemple: Balistique

H?

d?

0

v

g

x y

0y y

y

0x x

x

v t a v

v t a v

0y 0y

y y

0x 0x

x x

e t v 2

a e

e t v 2

a

1) e

2) or ici :

0 e

0 e

0y 0x

sin v

v

cos v

v

0 0y

0 0x

g - a

0 a

y x

donc:

(2) sin

v gt

- v

(1) cos

v v

0 y

0 x

(4) )t sin

v ( 2 gt² - e

(3) t

) cos v

( e

0 y

0 x

(23)

H?

0

v

g

x y

(2) sin

v gt

- v

(1) cos

v v

0 y

0 x

(4) )t sin

v ( 2 gt² - e

(3) t

) cos v

( e

0 y

0 x

3) Au sommet: vy = 0

(2)  0 = -gt + v0 sin

g sin ou t v0

(4) 

g sin² v

sin² v

2 - g H

e

2 0 2

0 y

2g sin² v

H

2

0

(24)

H?

0

v

g

x y

(2) sin

v gt

- v

(1) cos

v v

0 y

0 x

(4) )t sin

v ( 2 gt² - e

(3) t

) cos v

( e

0 y

0 x

3') A l'impact: ey = 0

(4)  0 = -gt²/2 + (v0 sin)t = t(-gt/2 + v0 sin)

g sin et t 2v

0 t :

solutions 0

(3) 

g 2 sin v

g

cos sin

2v d

e

2 0 2

0 x

!!

N.B.: d max pour α=45°!

(25)

Exemple de MRU dans le plan.

ve = 5 km/h 20 m

45° vn = 3 km/h où et quand??

ny ey

0y y

nx ex

0x x

v v

v v

v v

v

1) MRU avec v

n

e v

v

v

e t v

e

e t v

e

0y 0y

y

0x 0x

x

x y

2)

0 e

0 e

0y 0x

0,6m/s 2,12km/h

45 sin 3

0 v

0,8m/s 2,88km/h

cos45 3

- 5 v

0y 0x

(2) 0,6t e

(1) 0,8t e

y x

3) A l'arrivée: ey = 20m ! (2) 34s

0,6

t 20 (1) ex = 0,8X34

= +27,2m : en aval !!

(26)

 = cst 

2 t t²

t

0 0

0

 

2 t²

t

 

b) M.C.U.

0

t

0

 = 0   3) M.C.U.A.

Cas particuliers a) "Départ arrêté"

0= 0 

par analogie avec v=at+v0

voir e=at²/2 etc...

(27)

Notions associées au M.C.U.

La FREQUENCE.

 nombre de tours par seconde

Rappel:  = nombre de radians balayés par seconde

Or un tour correspond à 2 radians

f 2

 

Unité S.I.: sec-1 ou Hertz

La PERIODE.

 temps que prend un tour 2 f

T 1

 

(28)

Exemple: le pédalier 4

3

2 1

On donne f1: que vaut v4? (vitesse du vélo!)

v4 = 4R4

v=R

= 3R4

4 =3

3 4 3 R v R

=v/R

3 4 2 R v R

v3 = v2

(29)

4

3

2 1

3 4 2

4 R

v R v 

3 4 2

2 R

R R 

v=R

3 4 2

1 R

R R

2 =1

…et puisque  = 2f , on a:

3 4 2

1

4 R

R R f

2 v  

Réflexion: Pour aller plus vite, faut-il 1°) passer sur un pignon plus large ou plus petit?; 2°) idem pour le plateau ?

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