M ECANIQUE DU POINT MATERIEL

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Chapitre VIII : Mécanique des Systèmes de points matériels

M ECANIQUE DU POINT MATERIEL

Pr. Fatima BOUYAHIA

1^ère Année Cycle Préparatoire

(2)

I- Introduction :

Systèmes matériels, :ensemble de points matériels.

Système

  

^ ^ ^M₁^,^M₂^,^M₃^,....^M_n



^Union ^de ⁿ ^points

matérielsM_i(masse m_i et (x,y,z) : Il s’agit d’un système dit discret.

Dans un référentiel R(O,xyz)on définit M par : M(m, v , 

). D’où : - la quantité de mouvement : p(M/R) mv(M/R)



- le moment cinétique en O _o(M /R) OM mv(M/R)









- l’énergie cinétique : mv (M/R) 2

) 1 R / M (

E_c ²



L’objectif est de définir ces grandeurs et d’autres pour un système de points matériels.

II- Masse et système matériel

1) Barycentre (ou centre d’inertie) :

(n points matériels Mi(mi), le barycentre (ou centre d’inertie) G est défini par :









n 1 i

i i

n 1 i

i OG m OM

m , soit m GM 0

n 1 i

i i

 







On note :





n 1 i

mi

m , nous obtenons :





i

i i

G m x

m x 1





i

i i

G m y

m y 1





i

i i

G m z

m z 1

(3)

2) Référentiel barycentrique

On appelle référentiel barycentrique d’un système de points, le référentiel R_G(G,xyz)dont les axes conservent les directions.

III- Cinétique d’un système de points matériels 1) Définition cinématique du barycentre

Dans le référentiel R(O,xyz), on a :









 

 







 



n 1 i

i i

n 1 i

i

i (m v(M /R))

m ) 1

dt OM m d

m ( 1 dt

OG ) d

R / G ( v

Ainsi nous avons :









n 1 i

i i v(M /R) m

( )

R / G ( v m

De même : ^ ^



^

i

i i (M /R) m

) R / G (

m 

.

Ces deux relations donnent l’expression de la vitesse ou de l’accélération du centre d’inertie en fonction des vitesses ou des accélérations des différents points matériels.

2) Quantité de mouvement et moment cinétique Soit R(O,xyz) le référentiel d’observation :

i/Quantité de mouvement du système  (constitué de n points matériels Mi de masse mi) la quantité de mouvement totale de , encore appelée résultante cinétique :







n 1 i

i iv(M /R) m

) R / (

p 

qui donne p( /R) mv(G/R)





(4)

ii/Moment cinétique au point A du système , encore appelé moment cinétique résultant en A :



^







 i

i i i

A( /R) [AM m v(M /R)

 .

Par rapport à O : ^ ^ ^



^



) R / M ( p OM )

R /

( _i _i _i

O

 

, d’où :

) R / ( p AO )

R / ( )

R / M ( v m AM )

R /

( _i _i _i _O

A         







^ ^ ^



3) Premier théorème de Koenig





















) R / M ( v m GM )

R / G ( v m OG

) R / M ( v m OM

) R / (

i i

O



Comme v(M_i/R) v(G/R) v(M_i /R_G)



 , alors :

) R / ( )

R / G ( v m OG )

R /

( _G _G

O     



  



Le moment cinétique d’un système de points est égal à la somme du moment cinétique du centre d’inertie affecté de toute la masse du système et du moment cinétique du système par rapport au

centre d’inertie G, évalué dans le référentiel barycentrique.

4) Energie cinétique

Par définition : ^ ^



i

i 2 i

C m v (M /R)

2 ) 1 R / (

E 

. 5) Second théorème de Koenig

) R / G ( v 2m ) 1 R / ( E ) R / (

E_c _c _G ²









L’énergie cinétique d’un système de points est égale à la somme de l’énergie cinétique du centre d’inertie affecté de toute la masse du système et de l’énergie cinétique du système correspondant

à son mouvement dans le référentiel barycentrique.

(5)

III- Théorèmes généraux de la mécanique pour les systèmes de points

1) Actions mécaniques intérieures et extérieures Système= ensemble de n points matériels Mi(mi)

Actions mécaniques intérieures (ou forces intérieures) : c’est l’ensemble des forces d’interaction entre les points du système.

Fij

: La force que le point Mj exerce sur le point Mi ; Fi

: La force que le milieu extérieur au système exerce sur le point Mi. Fij

:Forces intérieures et F_i

: forces extérieures au système.

Les lois de Newton appliquées au point Mi en mouvement dans un référentiel galiléen R(O,xyz) permettent d’écrire :

- Principe des actions réciproques : F_ij F_ji et M_iM_j F_ij 0











- Loi fondamentales de la dynamique : _i

n 1 j

ij

i /R) F F

M (

m  











Dans le cas d’un référentiel non galiléen, il faut tenir compte des forces d’inerties d’entraînement et de coriolis.

2) Résultante et moment des forces intérieures

Il est évident que la résultante des forces intérieures est nulle : 0

F F

i j

ij int



 ^

 

^ ^carFij Fji



 , et que le moment résultant en G de ces forces est nul également :

0 ) F (

M  



 ^{, car}



^m ^GM ^ ⁰^



.

(6)

3) Résultante et moment des forces extérieures

Chaque point M_i du système est soumis de la part du milieu extérieur à une force F_i

detelle sorte que la résultante s’écrit : ^



i

Fi

F 

. Le moment résultant en O de ces forces s’écrit :



^ ^

 i

i i i

i

O(F) OM F

M  

.

Le moment en un point A vérifie la relation fondamentale des moment, et on a :



^ ^ ^

 i

i i

i O i

i

A(F) M (F) AO F

M    

 M (F) M (F) AO F

i

i O i

i A



   





4) Théorèmes du centre d’inertie et du moment cinétique Système =(Mi(mi), G) et P(/R)

sa résultante cinétique.

dt F ) R / ( P

d 

 

, soit F

dt OG m d

2 n 2

1 i

i

 







Sous la première forme, il s’agit du théorème de la résultante cinétique ; sous la seconde, on l’appelle théorème du centre d’inertie.



 



i

O MO(F)

dt ) R / (

d  

Pour un système  la dérivée par rapport au temps du moment cinétique en O est égale au moment en O des forces extérieures :

c’est le théorème du moment cinétique.

Dans le référentiel barycentrique, RG(G,xyz), le théorème du moment cinétique est valable en G dans ce référentiel qu’il soit galiléen ou non sans que l’on ait à tenir compte des forces d’inertie, on

a : ^ ^ ^



^



^ ^

 i

G i i i i

i G G

G M (F) GM m (M /R )

dt

) R / (

d   

.

(7)

5) Théorème de l’énergie cinétique

Dans un référentiel galiléen, chaque point M_i est soumis à une résultante des forces extérieures F_i

et à n-1 forces intérieures F_ij

que tous les autres points Mj exercent sur lui ; le travail élémentaire de ces forces s’écrit : dW(M ) (F F ).v(M_i /R)dt

j ij i

i

 

 ^



 . C’est la somme des

travaux des forces extérieures et des forces intérieures au système .

En sommant sur tous les points, on démontre alors que :

int ext

c( / R) dW dW

dE   







i

i 2 i

C m v (M /R)

2 ) 1 R / (

E 



^

 

i

i i

i

C m (M /R).v(M /R)

dt ) R / (

dE  

La somme des travaux des forces intérieures n’est pas toujours nulle.

En terme de puissance :

dt ) R / ( P dE

P_ext _int ^c 





IV- Energie mécanique

Soit  un système de points matériels (Mi,mi) repéré par



 _i

i OM

r Et soit R(O,xyz)un référentiel galiléen, on a :

) R / ( dE dW

dW

dW  _int  _ext  _c  Lesforces s’exerçant sursont :

- forces conservativesdont le travail dérive d’une énergie potentielle dW_c dE_p,

- forces non conservatives dont le travail élémentaire est noté : dWnc

Le théorème de l’énergie cinétique prend la forme :

c nc

c dW dE

dW   soit dW_nc dE_p dE_c dE_m Par définition, E_m  E_p E_c.

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Dans le cas où toutes les forces appliquées à  dérivent d’une énergie potentielle : dW_nc  0, alors dE_m 0 c’est-à-dire que l’énergie mécanique, Em, est constante, c’est l’intégrale première de l’énergie.

Exemple : Deux points matériels M1 et M2 de même masse m se déplacent sur deux droites parallèles ₁ et ₂ distantes de d. Les lois horaires respectives sont : x₁(t)  t³ et x₂(t)  t³, où  est une constante réelle positive. Déterminer les caractéristiques cinétiques du système et montrer que le moment cinétique se conserve.

Position dans R(O,xyz) : j

2 i d x

OM₁ ₁ 







et j

2 i d x

OM₂ ₂ 







Vitesse dans R(O,xyz) : v(M₁/R) 3 t²i



 et v(M₂ /R) 3 t²i





 Accélération R(O,xyz) : (M₁/R) 6 ti





 et (M₂ /R) 6 ti







 La résultante cinétique et le moment cinétique :

 p( /R) 6m ti 6m ti 0











 , G est à tout instant confondu en O

 _O( /R) 3md t²k











V- Résultante dynamique et moment dynamique

1) Définitions :

a) On appelle résultante dynamique la quantité



^







/ R) m (G /R) m (M /R) (

D  _i _i

, où les m_i(M_i /R) sont appelées des quantité d’accélérations.

On peut vérifier que : D( /R) ^d^p⁽^/^R⁾





 

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b) On appelle moment dynamique en O d’un système  en

mouvement dans R, la quantité :



^ ^







 i

i i i

O( /R) OM m (M /R)

 , c’est le moment résultant des

quantités d’accélération.

2) Relation entre moment cinétique et moment dynamique Par définition : ^ ^ ^



^

 i

i i i

A( /R) AM m v(M /R)

 , en dérivant

par rapport au temps, on obtient la relation suivante : )

R / G ( v ) R / A ( v dt m

) R / ( ) d

R /

( ^A

A



 

    





 .

On général le moment dynamique n’est pas égal à la dérivé par rapport au temps du moment cinétique ; il y a égalité uniquement

si : A=G, A est fixé dans R ou v(A/R)//v(G/ R) .