EPFL 29 mars 2010 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 19
Dans cette série, le symboleFdésigne soit R, soit C.
Les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie si cela n’est pas précisé explicitemement. Un opérateur T ∈L(V) est ditnilpotent s’il existe un entier ktel que Tk= 0.
L’exercice 4 est àrédiger soigneusement et à rendre le lundi 12 avril au début de la séance d’exercices.
Exercice 1. Trouver toutes les valeurs propres des applications F-linéaires suivantes. Pour chaque valeur propre, trouver un vecteur propre.
1. T1 ∈L(V)un opérateur nilpotent, 2. T2 :F2 →F2,T2(w, z) = (z,0),
3. F=R,T3:R2→R2,T3(w, z) = (−z, w),(le théorème 8.2 du polycopié n’est donc pas vrai si F=R...) 4. F=C,T4:C2→C2, T4(w, z) = (−z, w),
5. F=C,T5:C2→C2,T5(w, z) = (5w+z,5z),
6. F=C,T6:Cn→Cn,T6(x1, . . . , xn) = (x1+· · ·+xn, . . . , x1+· · ·+xn).
Exercice 2. On va considérer deux espaces vectoriels de dimension infinie dans cet exercice. La définition d’une valeur propre et d’un vecteur propre est dans ce cas la même que dans le cas d’espaces vectoriels de dimension finie.
1. Soit V le R-espace vectoriel des fonctions différentiables un nombre infini de fois et 2π-périodiques f: R → R, soit L ∈ L(V) défini par L(f) = f00. Montrer que les fonctions fk, définies par fk(x) = cos(kx),k∈N, sont des vecteurs propres deL. Calculer les valeurs propres associéesλk ∈R.
2. On considère l’espace vectorielFN(voir la série 14) et l’application linéaireT :FN→FN,T(a1, a2, . . .) = (a2, a3, . . .). Trouver toutes les valeurs propres de T et, pour chaque valeur propreλ, une base de Vλ. Exercice 3. SoitA∈Mat(n;F)etTA∈L(Fn)l’application linéaire associée.
1. Montrer queλ∈Fest une valeur propre de TAssi det(A−λIn) = 0.
2. Soit pA ∈ Pn(F) défini par pA = det(A−XIn). Montrer que Spec(TA) = {λ∈ F | pA(λ) = 0} et en déduire queTApossède au plus nvaleurs propres distinctes. (Ceci a déjà été montré dans le corollaire 8.2 du polycopié.)
3. SoitTAetTB ∈L(F3) les application linéaires associées aux matrices A=
4 0 0 0 3 0 0 0 −1
et B=
5 0 1 1 1 0
−7 1 0
.
Déterminer les valeurs propres et les espaces propres deTAetTB. Exercice 4. SoitV unF-espace vectoriel et L1, L2 ∈L(V). Montrer :
1. Si L1◦L2=L2◦L1 etU est un sous-espaceL1-invariant deV, alors L2(U)est L1-invariant.
2. Si L1◦L2=L2◦L1 etλest une valeur propre de L1, alors Vλ estL2-invariant.
3. Si L1◦L2 est nilpotent, alors L2◦L1 est nilpotent.
Exercice 5. Exercice facultatif.Soit V un F-espace vectoriel et soitT ∈L(V).
1. Supposons que T ∈ L(V) et v ∈ V vérifient Tm−1(v) 6= 0 mais Tm(v) = 0 pour un certain m ≥ 1.
Montrer que(v, T(v), . . . , Tm−1(v))est linéairement indépendante.
2. Montrer que si toutv∈V est un vecteur propre deT, alors il existeλ∈Ftel que T =λId.
3. Montrer que si tout sous-espace vectoriel U de V tel que dimU = dimV −1 est T-invariant, alors il existe λ∈F tel queT =λId.
