Erratum à « Sur une conjecture de Kottwitz au bord »

Texte intégral

(1)ISSN 0012-9593. ASENAH. quatrième série - tome 46. fascicule 6. novembre-décembre 2013. aNNALES SCIENnIFIQUES de L ÉCOLE hORMALE SUPÉRIEUkE. Benoît STROH. Erratum à « Sur une conjecture de Kottwitz au bord ». SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE.

(2) Ann. Scient. Éc. Norm. Sup.. 4 e série, t. 46, 2013, p. 1023 à 1024. ERRATUM À SUR UNE CONJECTURE DE KOTTWITZ AU BORD.  B STROH. Je remercie Sophie Morel de m’avoir signalé une erreur dans l’article [3] ainsi qu’une manière de la corriger en utilisant certains de ses résultats. L’erreur se situe dans la démonstration du théorème 9.2 et plus précisément dans la déduction de l’égalité X w j!∗ ◦ RΨ A V ( F V (R)[dV ]) = mw j!∗ IC V (R)) w∈W D. à partir de l’égalité RΨ A V ( F V (R)[dV ]) =. X. w. mw ( IC V (R)).. w∈W D. En effet, le prolongement intermédiaire j!∗ ◦ RΨ A V ( F V (R)[dV ]) du faisceau mixte non pur RΨ A V ( F V (R)[dV ]) peut très bien avoir des supports concentrés au bord de la compactification minimale, c’est-à-dire dans le complémentaire de l’image de j. Il faudrait montrer que cela n’arrive pas pour conclure la démonstration de manière correcte. Voilà une autre démonstration rapide qui utilise plusieurs résultats de Morel. Nous utilisons librement les notations de [3]. Morel a introduit dans [2, prop.6.1] la catégorie M ( A V × Spec(Q)) des faisceaux pervers horizontaux sur A V × Spec(Q) qui admettent une filtration par le poids. Pour toute représentation R de GSp(V ⊗ Q), le faisceau pervers F V (R)[dV ] est bien sûr dans M ( A V × Spec(Q)) puisqu’il est mixte et semi-simple. Il résulte alors de [2, coro.8.1.4] et des calculs effectués dans [1] que pour tout entier a ∈ Z, tout R ∈ Db (GSp(V ⊗ Q)) tel que Hn (R) soit pur de poids a pour tout n ∈ Z et tout V 0 ∈ CV , le complexe i∗V 0 ◦ j!∗ ( F V (R)) est égal à X • (−1)]V · F V 0 RInv ΓlV • , RInv(Lie(NV • ), R)a,V • V • ∈CV 0 /ΓV. 0012-9593/06/© 2013 Société Mathématique de France. Tous droits réservés ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE.

(3) 1024. B. STROH. dans le groupe de Grothendieck de M ( A V 0 × Spec(Q)). En sommant sur les V 0 ∈ CV on obtient égalité entre j!∗ ( F V (R)) et X X • (−1)]V · iV 0 ! F V 0 RInv ΓlV • , RInv(Lie(NV • ), R)a,V • V 0 ∈CV V • ∈CV 0 /ΓV. dans le groupe de Grothendieck de M ( A ∗V × Spec(Q)). On applique à présent le morphisme RΨ A ∗V du groupe de Grothendieck de M ( A ∗V × Spec(Q)) dans le groupe de Grothendieck de la catégorie des faisceaux pervers de Weil sur A ∗V × Spec(F̄p ) et l’on obtient égalité entre RΨ A ∗V ◦ j!∗ ( F V (R)) et X X • (−1)]V · RΨ A ∗V ◦ iV 0 ! F V 0 RInv ΓlV • , RInv(Lie(NV • ), R)a,V • . V 0 ∈CV V • ∈CV 0 /ΓV. Mais RΨ A ∗V ◦ j!∗ ( F V (R)) = j!∗ ◦ RΨ A V ( F V (R)) d’après [3, cor. 4.4]. Il résulte également de la démonstration de [3, cor. 4.3] que le morphisme d’adjonction iV 0 ! ◦ RΨ A V 0 F V 0 RInv ΓlV • , RInv(Lie(NV • ), R)a,V • ∼ −→ RΨ A ∗V ◦ iV 0 ! F V 0 RInv ΓlV • , RInv(Lie(NV • ), R)a,V • est un isomorphisme pour tout V 0 ∈ CV . On obtient donc égalité entre j!∗ ◦ RΨ A V ( F V (R)) et X X • (−1)]V · iV 0 ! ◦ RΨ A V 0 F V 0 RInv ΓlV • , RInv(Lie(NV • ), R)a,V • V 0 ∈CV V • ∈CV 0 /ΓV. dans le groupe de Grothendieck de la catégorie des faisceaux pervers de Weil sur A ∗V × Spec(F̄p ). Il suffit alors d’appliquer i∗V 0 avec V 0 fixé pour en déduire le résultat.. RÉFÉRENCES [1] S. M, Complexes pondérés sur les compactifications de Baily-Borel : le cas des variétés de Siegel, J. Amer. Math. Soc. 21 (2008), 23–61. [2] S. M, Complexes mixtes sur un schéma de type fini sur Q, prépublication https: //web.math.princeton.edu/~smorel/sur_Q.pdf. [3] B. S, Sur une conjecture de Kottwitz au bord, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 45 (2012), 143–165.. (Manuscrit reçu le 5 mai 2013 ; accepté le 31 mai 2013.) Benoît S C.N.R.S. et Université Paris 13 LAGA 99, avenue J.-B. Clément 93430 Villetaneuse, France E-mail: [email protected]. 4 e SÉRIE – TOME 46 – 2013 – No 6.

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