Sur une conjecture de Ramanujan et ses généralisations.

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Preprint submitted on 8 Nov 2012

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Sur une conjecture de Ramanujan et ses généralisations.

Luc Abergel

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Luc Abergel. Sur une conjecture de Ramanujan et ses généralisations.. 2012. �hal-00747720v4�

Sur une conjecture de Hardy-Ramanujan

Evaluation asymptotique ` a tout ordre de

n

X

k=0

x

k! o` u x

tend vers +∞

Le cas envisag´ e par la conjecture ´ etant le cas x

= n.

Par Luc Abergel

Novembre 2012

Abstract :

Le but de cet article est de d’obtenir une asymptotique de

n

X

k=0

x^k_n k! ou de

∞

X

k=n+1

x^k_n

k! en +∞, avecxn →+∞.

Cela permettra :

- De r´epondre `a la question de Hardy-Ramanujan concernant une asymptotique de

n

X

k=0

n^k k!. - De traiter des cas pratiques comme par exemplex_n=√

nou d’autres exemples.

- D’obtenir une asymptotique de xn caract´eris´e par

n

X

k=0

x^k_n k! = ^e₂ⁿ.

Pour cela, nous allons ´etablir des d´eveloppements asymptotiques d’int´egrales provenant de la m´ethode de Laplace, `a savoir

Z b

a

f^x(t)π(t)dt pourx→+∞(§3).

Il faudra ensuite ´etablir des m´ethodes effectives de calculs des asymptotiques (§4).

Puis g´en´eraliser `a des int´egrales du type Z 1

0

f^x(t)g^ϕ(x)(t)dtavecϕ(x)→+∞(§5 et§6).

Les exemples, comme la question de Hardy-Ramanujan, seront ensuite trait´es pour illustrer ces m´ethodes (§7).

Cette question pos´ee par Ramanujan a ´et´e l’objet de nombreux travaux (voir [4] pour une approche his- torique), aussi bien par des voies d’in´egalit´es (voir [1], [2], [8], [9], [12]), que par des arguments analytiques (voir [3], [5], [6]), ou enfin par une approche probabiliste (voir [7], [10]). Une r´eponse compl`ete `a la question, dans le cas envisag´e par Ramanujan, ayant ´et´e donn´ee par J. C. W. Marsaglia (voir [11]).

Notations :

On d´efinit diff´erentes int´egrales pourf continue par morceaux sur [0,1],xpositif et πpositive, continue et int´egrable sur ]0,1] :

I(x, f) = Z 1

0

f^x(t)dt,Iπ(x, f) = Z 1

0

f^x(t)π(t)dtainsi queJ(x, f) = Z 1

0

f(t^x)dt.

1Professeur en classes pr´eparatoires, Lyc´ee Janson de Sailly, PARIS, email : Luc.Abergel@ac-paris.fr

1 Introduction.

On pose donc

R_n(x) =

∞

X

k=n+1

x^k

k! etS_n(x) =

n

X

k=0

x^k k!

Nous allons ici donner une repr´esentation int´egrale deRn(xn) etSn(xn), base pour obtenir les asymptotiques cherch´ees.

On poseI_n(x) = Z x

0

tⁿe^−tdt. Une int´egration par parties donne In(x) =−xⁿe^−x+nI_n−1(x) sin≥1 En it´erant on a :

In(x) =−e^−x(xⁿ+nxⁿ⁻¹+· · ·+n(n−1)· · ·2x) +n!I0(x)

D’o`uIn(x) =−n!e^−x(^x_n!ⁿ+· · ·+^x₁) +n!(1−e^−x) ou encoreIn(x) =−n!e^−x(e^x−1−Rn(x)) +n!(1−e^−x) AinsiRn(x) =^e_n!^xIn(x) etRn(xn) = ^e_n!^xnIn(xn) =^e_n!^xn

Z x_n

0

tⁿe^−tdt^t=xn=^(1−u) xⁿ⁺¹_n n!

Z 1

0

e^xnt(1−t)ⁿ dt qu’on ´ecrira sous la forme :

Rn(xn) =xⁿ⁺¹_n n!

Z 1

0

[e^t(1−t)]ⁿe^−(n−xn)t dt

De mˆeme on obtient :

Sn(xn) = xⁿ⁺¹_n n!

Z +∞

0

[e^−t(1 +t)]ⁿe^−(xn−n)tdt

qui permet de traiter le cas o`u xn est trop grand devantn et pour lequelRn(xn)∼e^xn. Dans cet article, pour la th´eorie, nous ne nous int´eresserons qu’au casxn=O(n) et n’´etudierons donc queRn(xn). Dans un exemple du paragraphe 7 il sera cependant fait allusion aux r´esultats concernantSn(xn).

2 Position du probl` eme et r´ esultats pr´ eliminaires.

d´efinition 1 : On dit qu’une fonction f : [a, b]→R v´erifie l’hypoth`ese(H)si :

• f d´efinit un diff´eomorphisme local autour dea.

• f(a) = 1 et pour toutc > a,sup

[c,b]

(f)<1.

Si de plusf est un hom´eomorphisme d´ecroissant de[a, b]sur [0,1], on dit quef v´erifie(H⁰).

L’intervalle [a, b] ne jouant aucun rˆole, on prendra dans la suite [0,1].

Rappel 1 : On sait, par convergence domin´ee, queI_π(x, f)→

∞ 0. On va ´etablir queI_π(x, f) =

∞ e^o(x) d`es quef v´erifie(H)et siπn’est identiquement nulle sur aucun voisinage de0. Pour cela on va d´emontrer que [Iπ(x, f)]^1x →

∞ 1.

D´emonstration :

- Tout d’abord [I_π(x, f)]^1x ≤N₁(π)^1x →

x→∞1.

- Pour une minoration, on choisit [a, b] inclus dans [0,1] sur lequel f ≥1−ε. Quitte `a r´eduire [a, b], on peut supposer que sur cet intervalle π ≥ α pour un certain α > 0. On obtient alors Iπ(x, f)^1x ≥ [α(b−a)]^x1(1−ε) et donc lim inf

x→∞ [I_π(x, f)]^x1 ≥1. •

Premier r´esultat : Siπ n’est nulle sur aucun voisinage de 0, commef ≤ρ <1 sur tout intervalle [α,1], on en d´eduit :

Z 1

α

f^xπ=O(ρ^x) puis :

Z 1

0

f^xπ= Z α

0

f^xπ+O(ρ^x)

On peut donc modifier la d´efinition de f `a droite d’un pointα >0 pour ´etudierIπ(x, f) `aO(ρ^x) pr`es avec ρ <1, donc par exemple `a o(_x¹_n) pr`es, ce qui sera l’objectif de ce travail en pratique.

Dans toute la suite, on supposera que f v´erifie (H⁰), et que π est continue et strictement positive sur ]0,1].

Propri´et´e 1 : Une adjonction entreIπ etJ.

SoitΠla primitive de π qui s’annule en0. Sif v´erifie(H⁰)alorsIπ(x, f) =J(_x¹,Π◦f⁻¹).

D´emonstration :

On effectue le changement de variableu=f(t) : I_π(x, f) =−

Z 1

0

u^x.(f⁻¹)⁰(u).π◦f⁻¹(u)du=−[u^xΠ◦f⁻¹(u)]¹₀

| {z }

=0

+x Z 1

0

u^x−1π◦f⁻¹(u)du.

On pose alorsu^x=v : I_π(x, f) = Z 1

0

Π◦f⁻¹(v^x1)dv comme souhait´e. •

On remarquera que sif⁻¹ v´erifie (H⁰), soit sif v´erifie (H), alorsJ(x, f) =e^o(1x) pourx→0.

Cette ´ecriture est efficace pour l’obtention de relations de comparaison en vue de l’´etude deI_π(x, f) en +∞

comme le montre la proposition suivante :

3 Relations de comparaisons sur J et sur I

.

Propri´et´e 2 : Si f =

1 o(g) (resp. f =

1 O(g)) avec g v´erifiant (H), alors J(x, f) =

0 o(J(x, g)) (resp.

J(x, f) =

0 O(J(x, g)).

D´emonstration : J(x, f) =

Z a

0

f(v^x)dv+ Z 1

a

f(v^x)dv.

Orf(v)≤εg(v) si 1−α≤v≤1. On choisit alorsa= (1−α)^x1 et on a :

|J(x, f)| ≤ Z a

0

f(v^x)dv

| {z }

≤aN∞(f)

+ ε Z 1

a

g(v^x)dv

| {z }

≤J(x,g)

Mais (1−α)^1x =o(J(x, g)) puisqueJ(x, g) =e^o(x1)et donc aN∞(f)≤εJ(x, g) sixest voisin de 0.

Donc, pour de telsx,|J(x, f)| ≤2εJ(x, g).

Le casf =

1 O(g) se traite de fa¸con analogue. • Premi`ere application :

- Si f⁻¹∼

1 g⁻¹alorsI(x, f)∼

∞I(x, g).

- Si Π◦f⁻¹∼

1 Π◦g⁻¹ alorsIπ(x, f)∼

∞Iπ(x, g).

On obtient des ´enonc´es analogues avec oouO.

Exemple : On suppose f(y) =

0 1−py^d+o(y^d) avec d > 0. On pose g(y) = 1−py^d sur [0, y0] o`u y0

est choisi pour queg(y₀) = 0. On a bieng⁻¹(t)∼f⁻¹(t). Donc I(x, f)∼

∞

Z y₀

0

(1−py^d)^x dy =

py^d=u

1 d

Z 1

0

(1−u)^xp^−d1u^1d−1 du =

v=xu

1 d(px)^1d

Z x

0

(1−v

x)^xv^1d−1 dv

On r´edige, par exemple par convergence domin´ee, que la derni`ere int´egrale converge vers Γ(¹_d) pourx→+∞

(mais des r´esulats plus pr´ecis seront donn´es dans le paragraphe suivant) et on obtient : Z 1

0

f^x(t)dt= Γ(¹_d)

d(px)^1d = Γ(1 +_d¹) (px)^1d .

4 Calculs num´ eriques.

4.1 Etude de ´ I

(x, a) = Z

0

t

e

P (t) dt et I

(a) = Z

0

t

e

P (t) dt.

Clairement, `a l’aide d’une int´egration par parties, on obtient Z ∞

x

t^ae^−tP(t)dt=O(e^−xx^a+n) sin=deg(P).

DoncIP(x) = Z ∞

0

t^ae^−tP(t)dt+O(x^−q) pour toutq.

4.2 Etude de ´ F

(x) = Z

0

(1 − t

x )

t

dt pour x → +∞ et a > 0.

On ´ecritFa(x) = Z x

0

t^ae^−te^{t+xln(1−xt)}dt puise^{t+xln(1−xt)}=X

i≥0

Pi(t) xⁱ .

Propri´et´e 3 : F_a(x) =

k

X

i=0

I_Pi(a) xⁱ +o( 1

x^k).

D´emonstration : On rappelle|e^−θ−

k

X

i=0

(−θ)ⁱ

i! | ≤ θ^k+1

(k+ 1)! siθ≥0.

Etudions´ ε_k =F_a(x)−

k

X

i=0

(−1)ⁱ i!

Z x

0

t^ae^−t[−t−xln(1− t x)]ⁱ dt : On a|εk| ≤ 1

(k+ 1)!

Z x

0

t^ae^−t[−t−xln(1− t

x)]^k+1 dt. Appelons ηk cette derni`ere quantit´e.

Notonsϕ(u) =^{−u−ln(1−u)}_u2 en remarquant queϕest continue sur [0,1[ et queϕ^p est int´egrable sur [0,1[ pour toutp >0.

En posantt=xudans l’int´egrale qui d´efinitη_k, on obtient : η_k ≤ x^a+k+2

(k+ 1)!

Z 1

0

u^a+k+1e^−xu(−u−ln(1−u))^k+1(u)du puis :

η_k ≤ x^a+k+2 (k+ 1)!

Z 1

0

u^a+3k+3e^−xuϕ(u)^k+1(u)du En appliquant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz `a cette int´egrale, on d´eduit :

|ηk| ≤ x^a+k+2 (k+ 1)!

Z 1

0

u^2a+6k+6e^−2xu du ¹2Z 1

0

ϕ^2k+2(u)du ¹2

D’o`u :

η_k ≤C_kx^a+k+2

(2x)^{−2a−6a−71}₂

=C_kx^−2k−32 Ceci montre queε_k =o(_x¹_k).

Il suffit alors de remarquer que

k

X

i=0

1 i!

Z x

0

t^ae^−t(t+xln(1− t x)ⁱ dt=

k

X

i=0

Rx

0 t^ae^−tPi(t)dt i! +o( 1

x^k) et d’utiliser 4.1 pour obtenir le r´esultat souhait´e. •

4.3 Etude de ´ D

(x) = Z

0

(1 − u

)

du pour x → +∞ et a > 0.

On posev= 1−u^x1 etDa(x) =x Z 1

0

v^a(1−v)^x−1 dv.

On pose alorsv= _x−1^t etD_a(x) = _(x−1)^x_a+1 Z x−1

0

t^a(1− t

x−1)^x−1 dt= x

(x−1)^a+1F_a(x−1).

On peut donc effectuer une asymptotique deDa en +∞gr`ace `a la relation : D_a(x) = x

(x−1)^a+1F_a(x−1)

Remarques :

- D_a(x) =O(_x¹_a) pour x→+∞grˆace `a la relationF_a(x) =O(1).

- `a l’aide de la fonction B d’Euler, on peut obtenir la formule Da(x) =xB(x, a+ 1) =x^Γ(x)Γ(a+1)_Γ(x+a+1). Ceci d´emontre dans le casx=nentier le r´esultatDa(n) = (n+a)···(1+a)^n! et on obtient alors directement une asymptotique deD_a(n).

4.4 Application ` a une asymptotique de J(x, f) pour x → 0 puis de I(x, f) pour x → +∞.

On suppose avoir une asymptotique du typef(1−h) =

0 q

X

i=1

α_ih^ai+o(h^aq) pour une suite strictement crois- sante et strictement positive (a_i)_i≥1.

On sait alors queJ(x, f) =

q

X

i=1

α_iD_ai(1

x) +o(x^aq) gr`ace au r´esultat ´etabli en §3 (propri´et´e 2).

On obtient donc une asymptotique deJ(x, f) `a o(x<sup>aq</sup>) pr`es pourx→0.

Par la relationI(x, f) =J(_x¹, f⁻¹) on en d´eduit : Sif⁻¹(1−h) =

0 q

X

i=1

αih^ai+o(h^aq) alorsI(x, f) =

∞ q

X

i=1

αiDa_i(x) +o(x^−aq)

5 Etude de ´ K (x) = Z

0

f

(t)g

(t) dt pour x → +∞.

5.1 R´ esultats pr´ eliminaires.

Dans ce paragraphe on consid`ere 2 fonctionsϕetψqui tendent vers +∞en +∞et une fonctionπcontinue et int´egrable sur ]0,1]. On va ´etudier

Kπ(x) = Z 1

0

f^ϕ(x)(t)g^ψ(x)(t)π(t)dt en +∞

Lemme 1 : Sif⁰(0)6= 0,π(t) =

0 O(_t¹a)avec a <1 alors Z 1

0

f^ϕ(x)(t)π(t)dt=O( 1 ϕ(x)^1−a).

D´emonstration : On sait queπ(t) =

0 O(_t¹_a) et quef⁻¹(1−t) =

0 O(t).

Donc, si Π d´esigne la primitive deπqui s’annule en 0, alors Π◦f⁻¹(1−t) =

0 O(t^1−a), soit Π◦f⁻¹(t) =

1 O((1−t)^1−a) Puis, par§3 :

I_π(ϕ(x), f) =J( 1

ϕ(x),Π◦f⁻¹) =

+∞O Z 1

0

(1−t^ϕ(x)1 )^1−a dt

+∞= O(D_1−a(ϕ(x))) =

+∞O( 1

ϕ(x)^1−a) comme souhait´e. •

Lemme 2 : Si f⁰(0) 6= 0, π(t) =

0 O(_t¹a) avec a < 1, 1−g(t) =

0 O(t^α) et ψ(x) =

+∞ O(ϕ^α(x)), alors K_π(x) =

+∞

p−1

X

k=0

(−1)^k k! ψ^k(x)

Z 1

0

f^ϕ(x)(t)[−ln(g(t))]^kπ(t)dt+O( ψ^p(x) ϕ^pα+1−a(x)).

D´emonstration : On ´ecritg^ψ(x)π=

+∞

X

k=0

(−1)^k

k! ψ^k(x)[−ln(g)]^kπ.

Comme

+∞

X

k=0

1

k!ψ^k(x)[−ln(g)]^kπ= f^ϕ(x)

g^ψ(x)πest int´grable au voisinage de 0, (n’oublions pas qu’on peut modifier la d´efinition deghors d’un voisinage de 0 sans changer l’asymptotique, il suffit ici de prolonger ghors d’un voisinage [0, c] parg(c) sur [c,1] sig(c)6= 0 pour obtenir cette int´egrabilit´e),

on a donc

Kπ(x) =

+∞

+∞

X

k=0

(−1)^k k! ψ^k(x)

Z 1

0

f^ϕ(x)(t)[−ln(g(t))]^kπ(t)dt avec convergence absolue de cette s´erie.

On applique alors le lemme 1 en rempla¸cantπpar [−ln(g)]^kπ: on dispose de la relation [−ln(g)]^kπ=

0 O(t^kα−a) donc Z 1

0

f^ϕ(x)(t)[−ln(g(t))]^kπ(t)dt=O( 1 ϕ^kα+1−a(x)).

Par convergence absolue on peut donc conclure : K_π(x) =

+∞

p−1

X

k=0

(−1)^k k! ψ^k(x)

Z 1

0

f^ϕ(x)(t)[−ln(g(t))]^kπ(t)dt+O( ψ^p(x) ϕ^pα+1−a(x))•

Remarque : par §4 et `a l’aide d’asymptotiques pour f⁻¹ et pour [−ln(g)]^kπ on peut donc effectuer une asymptotique deK_π(x) siψ^α(x) =

+∞o(ϕ(x)).

5.2 Application ` a l’´ etude asymptotique de K(x) = Z

0

f

(t)g

(t) dt en +∞.

Rappel 2 : on dit qu’une fonctionhest d’ordreαen 0 sih(t) =Kt^α+o(t^α)avec K6= 0.

Propri´et´e 4 : Si 1−f est d’ordre αen 0, si 1−g est d’ordre au moins β en 0 et si ψ^α(x) =

+∞o(ϕ^β(x)) alorsK(x) =

+∞

p−1

X

k=0

(−1)^k k! ψ^k(x)

Z 1

0

f^ϕ(x)(t)[−ln(g(t))]^k dt+O( ψ^p(x) ϕ^pβα+α1(x)

) D´emonstration :

On notef₁(u) =f(u^α1) et analogue pourg₁. On poseπ(u) = ¹

αu¹⁻α¹

. On pose enfinu=t^α dansK(x). On obtient : K(x) =

Z 1

0

f₁^ϕ(x)(u)g₁^ψ(x)(u)π(u)du On v´erifie que π(u) =

0 O(_u¹a) avec a= 1−_α¹, que 1−f1 est d’ordre 1 en 0 et enfin que 1−g1 d’ordre au moins ^β_α. On peut donc appliquer le r´esultat pr´ec´edent :

K(x) =

+∞

p−1

X

k=0

(−1)^k k! ψ^k(x)

Z 1

0

f₁^ϕ(x)(u)[−ln(g1(u))]^kπ(u)du+O( ψ^p(x) ϕ^pβα+α1(x)) Il suffit alors de poser `a nouveau u=t^αpour conclure. •

On dispose ainsi d’une m´ethode pour obtenir une asymptotique de telles int´egrales.

5.3 Application ` a l’´ etude de K(x) = Z

0

f

(t)g

(t) dt dans le cas o` u ϕ(x) =

+∞

O(x).

Voici une liste de cas traitables par cette technique :

• Si 1−f et 1−g sont d’ordreαetβ respectivement en 0 alors on peut traiter le casϕ^α(x) =

+∞o(x^β) en appliquant directement le paragraphe pr´ec´edent. On obtient donc

K(x) =

+∞

p−1

X

k=0

(−1)^k k! ϕ^k(x)

Z 1

0

f^x(t)[−ln(g(t))]^k dt+O( ϕ^p(x) x^pβα+1α)

• Si 1−f et 1−g sont d’ordreαetβ respectivement en 0 alors on peut traiter le casx^β =

+∞o(ϕ^α(x)) en ´ecrivant au contraireK(x) =

Z 1

0

g^ϕ(x)(t)f^x(t)dt. On obtient donc

K(x) =

+∞

p−1

X

k=0

(−1)^k k! x^k

Z 1

0

g^ϕ(x)(t)[−ln(f(t))]^k dt+O( x^p ϕ(x)^pαβ+β1

)

Il reste donc `a traiter le cas limite o`uϕ^α(x) ∼

+∞cx^β avec pourcune constante non nulle.

6 Un cas limite : ´ Etude de K (x) dans le cas ϕ(x) ∼

+∞

x

si 1 − f et 1 − g sont d’ordres α et β respectivement en 0

Dans tout ce paragraphe, on consid´era f et g C^∞ au voisinage de 0 avec 1−f et 1−g d’ordre α et β respectivement en 0.

Nous allons proc´eder en plusieurs ´etapes.

6.1 Etude de ´ K

(x) = Z

0

f

(t)g

β

α

(t)t

dt avec γ > −1.

On posef₁(t) =^ln(f(t))_tα et g₁(t) =^ln(g(t))_tβ .

Ces fonctions sontC^∞ sur [0, a] aveca >0, et, par l’´etude faite au§2, on peut les prolonger en des fonctions continues et C^∞ au voisinage de 0 en ne changeant K_α(x) qu’`a un O(ρ<sup>x</sup>) pr`es pour un ρ < 1, donc `a un o(<sub>x</sub><sup>1</sup>q) pr`es pour tout q >0.

On a : Kα(x) =

Z +∞

0

exp(xt^αf1(t) +x^αβt^βg1(t))t^γ dt =

txα¹=u

x^−γ+1α Z +∞

0

exp(u^αf1(x^−α1u) +u^βg1(x^−α1u))u^γ du On pose alorsF(z) =

Z +∞

0

exp(u^αf1(zu) +u^βg1(zu))u^γ du.

F est clairementC^∞ au voisinage de 0. On peut donc ´ecrire F(z) =

z→0 p−1

X

k=0

F^(k)(0)z^k

k! +O(z^p) En conclusion :

Kα(x) =

+∞x^−γ+1α

p−1

X

k=0

F^(k)(0)

k!x^kα +O(x^−p+γ+1α )

6.2 Etude de ´ K

(x) = Z

0

f

(t)g

β

α

(t)π(t) dt.

Lemme 3 Siπ(t) =

0 O(t^γ)alorsKπ(x) =

+∞O(x^−γ+1α ) D´emonstration :

Cela provient de la relation Z 1

0

f^x(t)g^x

β

α(t)t^γ dt= Z +∞

0

exp(xt^αf₁(t) +x^αβt^βg₁(t))t^γ dt

On pose encoreu=tx^α1 et on obtient Z 1

0

f^x(t)g^x

β

α(t)t^γ dt=x^−γ+1α Z +∞

0

exp(u^αf₁(x^−1αu) +u^βg₁(x^−1αu))u^γ du≤Cx^−γ+1α avec

C= Z +∞

0

exp(u^αf1(u) +u^βg1(u))u^γ du six≥1 (puisquef1et g1sont d´ecroissantes). •

Le travail pr´ec´edent permet donc de traiter le cas o`u on dispose pourπen 0 d’une asymptotique `a tout ordre

`

a l’aide de fonctions puissance, du type π(t) =

0 d

X

j=0

ajt^γi+o(t^γd) avec−1< γ1<· · ·< γd

.

6.3 Etude de ´ K(x) = Z

0

f

(t)g

β

α+θ(x)

(t) dt avec θ(x) =

+∞

o(x

).

On ´ecritK(x) = Z 1

0

f^x(t)g^x

β α(t)

+∞

X

k=0

(−1)^k

k! θ^k(x)[−ln(g(t))]^k dt=

+∞

X

0

(−1)^k

k! θ^k(x)Kπ_k(x) avecπk = [−ln(g)]^k.

On rappelle donc queK_πk(x) = Z 1

0

f^x(t)g^x

β

α(t)[−ln(g(t))]^k dt

Cette s´erie ´etant absolument convergente, on obtient un d´eveloppement asymptotique de K(x) en tron- quant cette s´erie. CommeKπ_k(x) =

+∞O(x^−βk+1α ), on a donc K(x) =

+∞

p−1

X

0

(−1)^k

k! θ^k(x)Kπ_k(x) +O 1

x^βα θ(x)

x^{αβ p}

7 Exemples de r´ esultats.

On rappelle la relationRn(xn) = ^xn+1n_n!

Z 1

0

[e^t(1−t)]ⁿe^−(n−xn)tdt.

7.1 Le probl` eme de Hardy-Ramanujan.

On a donc

Rn(n) = nⁿ⁺¹ n!

Z 1

0

fⁿ(t)dtavecf(t) =e^t(1−t) =

0 1−1 2t−1

3t³−1

8t⁴+o(t⁴) On a :

f⁻¹(1−h) =

h→0

√ 2h−2

3h+11 36

√

2h³²− 5

27h²+o(h²) Or :

I(x, f) =√ 2D1

2(x)−2

3D1(x) +11 36

√ 2D3

2(x)− 5

27D2(x) +o(h²) Apr`es calculs on trouve :

I(x, f) =

+∞

rπ 2

√1 x− 2

3x+ 1 12

rπ 2

1 x³² + 4

135x² +o( 1 x²)

En utilisant le r´esultat :

nⁿ⁺¹ n! =eⁿ(

√n

√2π− 1 12√

2πn+ 1 576n

r2 π+o(1

n))

et gr`ace au calcul pr´ec´edent on a montr´e Rn(n) =eⁿ 1

2 −1 3

r2 π

√1 n+ 23

540 r2

π 1

n³² +o( 1 n³²)

!

Cette m´ethode permet bien sˆur d’obtenir une asymptotique `a tout ordre du type o(_n^enp) deRn(n).

Par exemple on trouve

Rn(n) =eⁿ 1 2 −1

3 r2

π

√1 n+ 23

540 r2

π 1 n³² + 5

96n² −1813 4320

r2 π

1

n⁵² + 2729

2304n³ +o( 1 n³)

!

Un programme Maple est propos´e en annexe pour des calculs `a un ordre quelconque.

7.2 Asymptotique de

n

X

k=0

x

k! avec x

= √ n.

On va ´etudier

In= Z 1

0

f^xn(t)gⁿ(t)dtavecf(t) =e^−t, xn =n−√

net g(t) =e^t(1−t) Icig est d’ordre 2 en 0 etn =

+∞o(x²_n).

On a doncIn=

p−1

X

k=0

(−1)^k k! n^k

Z 1

0

f^xn(t)[−ln(g(t))]^k dt+O( 1 n^p+1) Traitons l’exemplep= 3.

On veut une asymptotique `a O(_n¹₃) de :

• a₀= Z 1

0

f^xn(t)dt.

• a1=n Z 1

0

f^xn(t)[−ln(g(t))]dt.

• a2=n² Z 1

0

f^xn(t)[−ln(g(t))]² dt.

On dispose de l’asymptotique : f⁻¹(t) = (1−t) +¹₂(1−t)²+¹₃(1−t)³+O((1−t)⁴).

• Pour a0: a0=_x¹

n.

• Pour a₁ : g(t) = 1−¹₂t−¹₃t³+O(t⁴),π(t) =−ln(g(t)) = ^t₂² +^t₃³ +O(t⁴), Π(t) = ^t₆³ +₁₂^t4 +O(t⁵) et enfin Π◦f⁻¹(t) = ¹₆(1−t)³+¹₃(1−t)⁴+O((1−t)⁵).

Ainsia₁=n ¹₆D₃(x_n) +¹₃D₄(x_n) +O(_n¹₅)

= _xⁿ

n3 +_x²ⁿ

n4 +O(_n¹₄).

• Pour a₂: π(t) = [−ln(g(t))]² puisa₂= ⁶ⁿ_x ²

n5 +O(_n¹₄).

DoncIn =a0−a1+a2=_x¹

n −_xⁿ

n3 −_x²ⁿ

n4 +⁶ⁿ_x ²

n5 +O(_n¹4) Soit : Rn(√

n) = nⁿ⁺¹² n!

1 n+ 1

n³² − 2 n⁵² − 1

n³+ 13

n⁷² +O( 1 n⁴)

7.3 Asymptotique de

n

X

k=0

x

k! avec x

= n − √

n.

On poseyn=√³

net on ´ecrit encoreRn(xn) = ^xn+1n_n! In. On a iciyn2=o(n) et donc

I_n= Z 1

0

[e^t(1−t)]ⁿe^−(n−xn)tdt

Avecf(t) =e^t(1−t) etg(t) =e^−tpuis−ln(g(t)) =t, on a donc I_n =

p−1

X

k=0

(−1)^k k! n^k3

Z 1

0

fⁿ(t)t^k dt+O 1

n^p6+12

les calculs explicites s’effectuant de la mˆeme fa¸con qu’en 7.1 ou 7.2.

7.4 Asymptotique de

n

X

k=0

x

k! avec x

= n − n

.

On poseyn=n²³ et on ´ecrit encoreRn(xn) = ^xn+1n_n! In. Cette fois-ci,√

n=o(y_n) et donc

In = Z 1

0

f^yn(t)gⁿ(t)dt avecf(t) =e^−tet g(t) =e^t(1−t).

D’o`u :

In =

p−1

X

k=0

(−1)^k k! n^k

Z 1

0

f^yn(t)[−ln(g(t))]^k dt+O 1

n^p+23

7.5 Asymptotique de

n

X

k=0

x

k! avec x

= n − √

n + o( √ n).

C’est un cas d´elicat, bien plus que les autres envisag´es, mais moins spectaculaire sans doute.

On posexn=n−√

n+θn avecθn=o(√

n) etf1(t) = ^t+ln(1−t)_t2

On aR_n(x_n) = ^xn_n!ⁿ⁺¹ Z 1

0

[e^t(1−t)]ⁿe⁻

√nte^θntdt

| {z }

I_n

. On va donner une asymptotique deI_n. On sait que

In=

p−1

X

k=0

θnk

k! Kk(n) +O 1

√n(θn

√n)

p

avec :

Kk(n) = Z +∞

0

t^kexp (nt²f1(t)−t√ n)dt

De plusf1(0) =−¹₂ etf₁⁰(0) =−¹₃, puisKk(n) = 1 nⁿ⁺¹²

Z +∞

0

exp (u²f1( u

√n)−u)u^k du.

Par exemple :

Kk(n) = 1 nⁿ⁺¹²

Z +∞

0

exp (−u²

2 −u)du− 1

√n Z +∞

0

(−u²

3 +u+ 1) exp (−u²

2 −u)du

NotonsAet B ces 2 derni`eres int´egrales, on a donc In = A

√n−Aθ_n+B

n +O

θ_n² n³²

On peut remarquer que :

A=√ 2e

Z +∞

√1 2

e^−t2 dtetB= 2−4 3

√ 2e

Z +∞

√1 2

e^−t2 dt

pour un calcul plus complet.

7.6 Asymptotique de x

tel que

n

X

k=0

x

k! = e

2

On prendx_n=n+^√a_n+_n^b + ^c

n³2

etz_n= ^√a_n+_n^b + ^c

n³2

. On ´etudieIn =

Z 1

0

gⁿ(t)e^znt dtavecg(t) =e^t(1−t).

On dispose de l’asymptotique In=

Z 1

0

gⁿ(t)dt+zn

Z 1

0

gⁿ(t)t dt+z²_n 2

Z 1

0

gⁿ(t)t² dt+z_n³ 6

Z 1

0

gⁿ(t)t³ dt+O( 1 n⁴) Le calcul donne alors

I_n=1 2

r2π n − 2

3n+ (a+

√2π 24 ) 1

n³² + ( 4 135−a

2

√

2π+b) 1

n²+ (3589 2304

√ 2π+a²

2

√ 2π−b

2

√

2π+c+2a 3 ) 1

n⁵² +O(1 n³) On obtient de mˆeme une asymptotique pour ^xn+1n_n! et enfin on obtient :

R_n(x_n) =eⁿ 1

2 + A

√n+B n + C

n³² +O( 1 n³)

avec A= a

2−1 3

r2

π, B= 1 4a²+a

3 r2

π+1 24+b

2, C= 1 1080

r2 π

46 + 180b+ 360a²+ 270√

2π(c+ab) + 45a³√ 2π

En ´ecrivantR_n(x_n) =eⁿ(¹₂+O(_n¹₂) on obtient : a=2

3 r2

π, b=− 8

9π, c=−

√2

810π³²(69π−160) On obtient mˆemeR_n(x_n) =eⁿ(¹₂−_n^α₂ +o(_n¹₂) avecα=_405π³⁴ +_81π²⁸₂.

Ainsi

x_n=n+2 3

r2 π

1 n− 8

9πn−

√2

810π³²(69π−160) 1

n³² +O( 1 n²)

Le travail de recherche dex_n tel queS_n(x_n) =^e₂ⁿ se traite de fa¸con analogue avec cette fois-ci : g(t) =e^−t(1 +t)

puis :

In = Z 1

0

gⁿ(t)dt−zn

Z 1

0

gⁿ(t)t dt+zn2

2 Z 1

0

gⁿ(t)t² dt−zn3

6 Z 1

0

gⁿ(t)t³ dt+O(1 n⁴) On obtient alors

xn=n−2 3

r2 π

1 n− 8

9πn+

√ 2

810π³²(69π−160) 1

n³² +O( 1 n²)

Le fait de ne pas obtenir le mˆeme r´esultat n’est pas contradictoire car siRn(xn) = ^e₂ⁿ alorsSn(xn) n’est pas

´

egal `a <sup>e</sup><sub>2</sub><sup>n</sup> mais `ae^xn−^e₂ⁿ.

Signalons pour terminer qu’on pourrait de mˆeme :

- Trouver une asymptotique dexn tel que Rn(xn) =ceⁿ avecc∈]0,1[.

- Plus g´en´eralement de x_n tel que R_n(x_n) =e^yn avec une suitey_n v´erifiant 0≤y_n≤n.

- Mais ´egalement ´etudier des valeurs n´egatives de xn comme par exemple xn = −n (cas ´etudi´e dans certains articles cit´es), qui conduit `a rechercher une asymptotique de :

In = Z 1

0

e^−2nt[e^t(1−t)]ⁿ dt ce qui se traite comme en 7.2 et donne :

R_n(−n) =(−n)ⁿ⁺¹ n!

1 2n− 1

8n² − 1

32n³ + 1

128n⁴ +O( 1 n⁵)

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Article n^◦ AY975485.