TD n°2 (2018/17) - TES/L Révisions du Bac
Les Fonctions
Point Bac
Les sujets du Bac ES/L de mathématiques comportent toujours au moins un exercice dont le thème porte sur les fonc- tions, parfois deux si on compte le QCM.
Les questions portant sur ce thème sont : 1. Lectures graphiques :
1. a. nombre dérivéf′(a) : coeff. directeur de la tangente àCf au point d’abscissea) ; 1. b. point d’inflexion ;
1. c. convexité ;
1. d. Lien entreF,f etf′et parfoisf′′. 2. Dérivée d’une fonction ln ou exp;
3. Étude du signe de la dérivée : inéquation et tableau de signe ;
4. Résolution d’une équation avec le TVI et recherche d’une valeur approchée de la (des) solution(s)α(etβ) ; Cette étude peut servir à déduire le signe de f à l’aide du tableau de variation et des solutionαetβde l’équation; 5. Étude de la convexité et point d’inflexion ;
6. Intégrale et primitive : calcul de la valeur moyenne ; 7. Une application souvent économique de l’étude.
Les exercices suivants dont l’intitulé est suivi du symbole (c) sont corrigés intégralement en fin du présent TD. Les autres présentent des éléments de réponses et un lien vers une correction détaillée sur www.math93.com
Exercice 1. Métropole, juin 2018 6 points
On désigne parf la fonction définie sur l’intervalle [−2 ; 4] par
f(x)=(2x+1)e−2x+3.
On noteCf la courbe représentative def dans une repère. Une représentation graphique est donnée en annexe.
1. On notef′la fonction dérivée def. Montrer que, pour toutx∈[−2 ; 4], f′(x)= −4xe−2x. 2. Étudier les variations def.
3. Montrer que l’équationf(x)=0 admet une unique solution sur [−2 ; 0] et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
4. On notef′′la fonction dérivée def′. On admet que, pour toutx∈[−2 ; 4], f′′(x)=(8x−4)e−2x. 4. a. Étudier le signe def′′sur l’intervalle [−2 ; 4].
4. b. En déduire le plus grand intervalle sur lequelf est convexe.
5. On notegla fonction définie sur l’intervalle [−2 ;4] par :
g(x)=(2x+1)e−2x
5. a. Vérifier que la fonctionGdéfinie pour toutx∈[−2 ; 4] parG(x)=(−x−1)e−2xest une primitive de la fonction g.
5. b. En déduire une primitiveFdef.
6. On noteA l’aire du domaineDcompris entre la courbeCf, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=0 et x=1.
6. a. Hachurer le domaineDsur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
6. b. Par lecture graphique, donner un encadrement deA, en unité d’aire, par deux entiers consécutifs.
6. c. Calculer la valeur exacte deA, puis une valeur approchée au centième.
1 2 3 4
−1
−2
−3
−2
−4
−6 2 4
0
Cf
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Réponses
Exercice 2. Liban, mai 2018 5 points
Commun à tous les candidats
1. Soitf la fonction définie sur l’intervalle [1; 25] par
f(x)=x+2−ln(x)
x .
1. a. On admet quef est dérivable sur [1; 25].
Démontrer que pour tout réelxappartient à l’intervalle [1; 25],
f′(x)=
−3+ln(x) x2 . 1. b. Résoudre dans [1; 25] l’inéquation−3+ln(x)>0.
1. c. Dresser le tableau des variations de la fonctionf sur [1; 25].
1. d. Démontrer que dans l’intervalle [1; 25], l’équation f(x)=1,5 admet une seule solution. On noteraαcette solution.
1. e. Déterminer un encadrement d’amplitude 0,01 deαà l’aide de la calculatrice.
2. Une entreprise fabrique chaque jour entre 100 et 2 500 pièces électroniques pour des vidéoprojecteurs. Toutes les pièces fabriquées sont identiques.
On admet que lorsquexcentaines de pièces sont fabriquées, avec 1ÉxÉ25, le coût moyen de fabrication d’une pièce est def(x) euros.
En utilisant les résultats obtenus à la question1.:
2. a. Déterminer, à l’unité près, le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit minimal.
Déterminer alors ce coût moyen, au centime d’euro près.
2. b. Déterminer le nombre minimal de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit inférieur ou égal à 1,50 euro.
2. c. Est-il possible que le coût moyen d’une pièce soit de 50 centimes ? Justifier.
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Réponses
Exercice 3. Asie, Juin 2018 6 points
Partie A
On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe représentativeCf d’une fonctionf définie sur [0; 25] par : f(x)=(ax+b)e−0,2x
oùaetbsont deux nombres réels.
On a représenté également sa tangenteTau point A(0; 7).T passe par le point B(2; 14,2).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
−1
−2
−3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
−1
−2
−3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A B
Cf
b b
1. Résoudre graphiquement l’équationf(x)=6.
2. 2. a. Déterminer, par un calcul. le coefficient directeur de la droiteT. 2. b. Exprimer, pour toutx∈[0 ; 25], f′(x) en fonction deaetb.
2. c. Montrer queaetbsont solutions du système
( a−0,2b = 3,6
b = 7
En déduire la valeur dea.
Partie B
1. Étudier les variations de la fonctionf définie sur [0; 25] par
f(x)=(5x+7)e−0,2x. Justifier.
2. Montrer que l’équationf(x)=6 admet une unique solutionαsur l’intervalle [0; 25].
Donner une valeur approchée au dixième deα.
3. Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant.
Dériver((−25x−160)e−0,2x
(5x+7)e−0,2x
Exploiter ce résultat pour donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième de Z25
0 f(x) dx.
Partie C
Un organisme de vacances souhaite ouvrir un nouveau centre avec une piscine bordée de sable. Il dispose d’un espace rectangulaire de 25 mètres de longueur sur 14 mètres de largeur et souhaite que la piscine et la « plage »se partagent l’espace comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
La bordure est modélisée par la fonctionf étudiée dans la partie précédente.
1. Quelle est l’aire en m2de la zone hachurée représentant la piscine ?
2. L’organisme décide de remplacer cette piscine par une piscine rectangulaire de 25 mètres de longueur et de même superficie.
Quelle en sera la largeur arrondie au dixième de mètre ?
PLAGE
PISCINE
Cf
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Réponses
Exercice 4. Pondichéry, mai 2018 5 points
Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à0,01près.
On considère la fonctionf définie sur l’intervalle [0; 4] par :
f(x)=(3,6x+2,4)e−0,6x−1,4.
Partie A
On admet que la fonctionf est dérivable sur l’intervalle [0; 4] et on notef′sa fonction dérivée.
1. Justifier que pour tout nombre réelxde l’intervalle [0; 4] on a :
f′(x)=(−2,16x+2,16)e−0,6x. 2.
2. a. Étudier le signe def′(x) sur l’intervalle [0; 4].
2. b. Dresser le tableau de variation de la fonctionf sur cet intervalle.
On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous forme approchée.
3. On admet que la fonctionFdéfinie par :
F(x)=(−6x−14)e−0,6x−1,4x est une primitive de la fonctionf sur l’intervalle [0; 4].
Calculer la valeur exacte de Z4
0 f(x) dxpuis en donner une valeur numérique approchée.
Partie B
On noteCf la courbe représentative de la fonctionf sur l’intervalle [0; 4].
On considère la fonctiongdéfinie par :
g(x)=4x2−4x+1.
On noteCgla courbe représentative de cette fonction sur l’intervalle [0; 0,5].
On a tracé ci-dessous les courbesCf etCg dans un repère d’origine O et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie deCf etCg par rapport à l’axe des abscisses :
1 2 3 4 5
−1
−1
−2
−3 1 2 3
Cf
Cg
O
1. Montrer que Z0,5
0 g(x) dx=1 6.
2. On considère le domaine plan délimité par les courbesCf, Cg, leurs courbes symétriques (en pointillés) ainsi que la droite d’équationx=4.
Ce domaine apparaît grisé sur la figure ci-dessus.
Calculer une valeur approchée de l’aire, en unités d’aire, de ce domaine.
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Réponses
Exercice 5. Nouvelle Caledonie, mars 2018 6 points
Partie A
Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a tracé la courbe représentativeCf d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−3 ; 8]. On notef′sa dérivée. A est le point deCf d’abscisse−2. B est le point deCf de coordonnées (0; 3). La tangente àCf au point A est horizontale. La droiteTest la tangente àCf au point B d’abscisse 0 et elle passe par le point D(1; 1).
0 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6 7 8
x y
Cf
b b
b
A
B
D
À l’aide du graphique :
1. Donner la valeur def′(−2).
2. Interpréter géométriquementf′(0) et donner sa valeur.
Partie B
On admet désormais que la fonctionf de la partie A est définie sur l’intervalle [−3 ; 8] par f(x)=(x+3)e−x.
Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
1 dériver (x+3)∗exp(−x)
exp(−x)+(x+3)∗(−exp(−x)) 2 factoriser (dériver(x+3)∗exp(−x))
(−x−2)∗exp(−x)
1. Étudier le signe de la dérivée de la fonctionf.
2. Dresser le tableau de variation de la fonctionf sur l’intervalle [−3 ; 8].
3.
3. a. Montrer que l’équationf(x)=3 admet une unique solutionαsur [−3 ;−2].
3. b. Donner une valeur approchée deαà 0,01 près.
4.
4. a. Justifier que la fonctionFdéfinie sur l’intervalle [−3 ; 8] par : F(x)=(−x−4)e−x est une primitive def sur le même intervalle.
4. b. Calculer la valeur de l’intégrale Z3
0 f(x) dx.
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Exercice 6. Antilles , Juin 2018 6 points
1 2 3 4
0
−1
−2 1
2 Cf
Cf′
1 2 3 4
0
−1
−2 1 2
1 2 3 4
0
−1
−2 1 2
Cf′′
CourbeCf CourbeCf′ CourbeCf′′
On donne ci-dessus la courbeCf représentative dans un repère donné d’une fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle [0; 5] ainsi que les courbes représentativesCf′ etCf′′ respectivement de la dérivéef′et de la dérivée seconde f′′de la fonctionf.
Partie A
Dans cette partie les réponses seront obtenues à l’aide de lectures graphiques.
1. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs du nombre réel pour lequel la fonctionf semble atteindre son maximum.
2. 2. a. Donner un intervalle défini par deux entiers sur lequel la fonctionf semble convexe.
2. b. Expliquer pourquoi on peut conjecturer que la courbeCf admet un point d’inflexion.
Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de l’abscisse de ce point d’inflexion.
3. Parmi les équations suivantes quelle est l’équation de la tangente à la courbeCf au point d’abscisse 0?
y=x y=2x+1 y=2x y=3
4x
4. On noteI= Z1
0 f′(x) dxoùf′est la fonction dérivée def. Comment s’interprète graphiquement ce nombreI?
Partie B
La fonctionf représentée ci-dessus est définie sur l’intervalle [0; 5] parf(x)=¡ x2+2x¢
e−x.
1. 1. a. Montrer que la dérivéef′def est définie parf′(x)=¡
−x2+2¢
e−xpour tout réelxde l’intervalle [0; 5].
1. b. Déterminer les variations def sur [0; 5] et préciser l’abscisse de son maximum.
1. c. Donner la valeur arrondie au millième du maximum def. 2. Avec un outil de calcul on obtient, pour
Z1
0 f′(x) dxetf(1), la même valeur approchée 1,103 64.
Ces deux valeurs sont-elles égales ?
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Exercice 7. Polynésie , Juin 2017
Soitf une fonction définie sur l’intervalle [0;5] parf(x)=(ax−2)e−x, oùaest un nombre réel.
On admet dans tout l’exercice que la fonctionf est deux fois dérivable sur l’intervalle [0;5].
La courbe représentativeC de la fonctionf est donnée ci-dessous dans un repère d’origine O.
1 2 3 4 5
-1
-1
-2
-3 1 2
0 x
y
b A
D
C
Les courbesC etDpassent toutes les deux par le pointA(0;−2).
La droiteDest tangente à la courbeCau pointAet admet pour équationy=10x−2.
On rappelle quef′désigne la fonction dérivée de la fonctionf.
1. Donner, à l’aide des informations ci-dessus et sans justifier les valeurs def(0) et def′(0).
2.
2. a. Montrer que pour tout réelxde l’intervalle [0 ; 5] on a :
f′(x)=(−ax+a+2)e−x 2. b. Déduire des questions précédentes quea=8.
2. c. Donner l’expression def′(x).
3.
3. a. Préciser le signe def′(x) sur l’intervalle [0 ; 5]. On pourra faire un tableau.
3. b. En déduire le tableau des variations de la fonctionf sur ce même intervalle.
3. c. Résoudre sur l’intervalle [0;5] l’équationf(x)=0.
4. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants :
1 g(x) :=(−8∗x+10)∗exp(−x)
→g(x) :=(−8x+10) e−x 2 Dériver£
g(x),x¤
→(8∗x−18)∗exp(−x) 3 Résoudre£
(8∗x−18)∗exp(−x)>0,x¤
→x>9/4 En utilisant ces résultats :
4. a. Donner l’expression def′′, fonction dérivée seconde de la fonction f.
4. b. Justifier que la courbeC admet un point d’inflexion dont on donnera la valeur exacte de l’abscisse.
5. Une entreprise fabrique des grille-pains. Après avoir fait une étude, son directeur constate que si l’entreprise fa- brique chaque jourxmilliers de grille-pains (oùxest un nombre réel de l’intervalle [0;5]), alors le bénéfice quotidien est donné, en centaine de milliers d’euros, par la fonctionf définie par :
f(x)=(8x−2)e−x
5. a. Quelle quantité de grille-pains l’entreprise doit-elle fabriquer afin de réaliser un bénéfice maximal ? 5. b. Quel est alors la valeur de ce bénéfice maximal ?
On donnera une valeur approchée du résultat à l’euro près.
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Exercice 8. Métropole , Juin 2017 6 points
Une entreprise souhaite utiliser un motif décoratif pour sa communication. Pour réaliser ce motif, on modélise sa forme à l’aide de deux fonctionsf etgdéfinies par : Pour tout réelxde [0 ; 1],
f(x)=(1−x)e3x et g(x)=x2−2x+1.
Leurs courbes représentatives seront notéesCf etCg.
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
−0,2
−0,4
−0,6
−0,8
−0,2
−0,4 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 0
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
Cf
Cg
0
Partie A
Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
1 Dériver (1−x)∗exp(3∗x) −3x∗exp(3∗x)+2∗exp(3∗x)
2 factoriser−3x∗exp(3∗x)+2∗exp(3∗x) exp(3∗x)∗(−3x+2) 3 factoriser(Dériver exp(3∗x)(−3x+2)) 3∗exp(3∗x)(1−3x)
Lecture : la dérivée de f est donnée par f′(x)= −3x e3x+2e3x, ce qui, après factorisation, donne f′(x)=(−3x+2)e3x. 1. Étudier sur [0 ; 1] le signe def′, puis donner le tableau de variation def sur [0 ; 1] en précisant les valeurs utiles.
2. La courbeCf possède un point d’inflexion. Déterminer ses coordonnées.
Partie B
On se propose de calculer l’aire de la partie grisée sur le graphique.
1. Vérifier que les points A et B de coordonnées (1; 0) et (0; 1) sont des points communs aux courbesCf etCg. 2. On admet que : pour toutxdans [0; 1],f(x)−g(x)=(1−x)¡
e3x−1+x¢ . 2. a. Justifier que pour tout x dans [0; 1], e3x−1Ê0.
2. b. En déduire que pour toutxdans [0; 1], e3x−1+xÊ0.
2. c. Étudier le signe def(x)−g(x) pour tout x dans [0; 1].
3.
3. a. CalculerR1
0g(x) dx.
3. b. On admet que :R1
0 f(x) dx= e3−4
9 . Calculer l’aireS, en unité d’aire, de la partie grisée. Arrondir au dixième.
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Exercice 9. Liban , Juin 2017 6 points
Les deux parties sont liées
Partie A
On considère la fonctionf définie sur l’intervalle [0; 10] par f(x)= 1
0,5+100e−x. On notef′la fonction dérivée def sur l’intervalle [0; 10].
1. Montrer que, pour tout réelxdans l’intervalle [0; 10], on a
f′(x)= 100e−x (0,5+100e−x)2. On notef′′la fonction dérivée seconde def sur l’intervalle [0; 10].
Un logiciel de calcul formel fournit l’expression suivante def′′(x) :
f′′(x)=100e−x(100e−x−0,5) (0,5+100e−x)3 . 2.
2. a. Montrer que, dans l’intervalle [0; 10], l’inéquation 100e−x−0,5Ê0 est équivalente à l’inéquationxÉ −ln(0,005).
2. b. En déduire le tableau de signes de la fonctionf′′sur l’intervalle [0; 10].
3. On appelleCf la courbe représentative def tracée dans un repère.
Montrer, à l’aide de la question 2, que la courbeCf admet un point d’inflexion noté I, dont on précisera la valeur exacte de l’abscisse.
4. En utilisant les résultats de la question 2, déterminer l’intervalle sur lequel la fonctionf est concave.
Partie B
Dans toute cette partie les températures seront exprimées en degrés Celsius, notés °C
La COP21, conférence sur les changements climatiques des Nations Unies, a adopté le 12 décembre 2015 le premier accord universel sur le climat, appelé accord de Paris, signé par 195 pays.
Cet accord confirme l’objectif, d’ici l’année 2100, que la température terrestre ne dépasse pas de plus de 2°C la température de l’année 1900.
Dans cette partie, on modélise, par la fonctionf de la partie A, une évolution de température possible permettant d’at- teindre l’objectif de l’accord de Paris.
La courbe représentativeCf de la fonction est tracée ci-dessous, et I est son point d’inflexion.
Sur l’axe des abscisses, l’année 1900 correspond à 0 et une unité représente 25 ans, donc l’année 1925 correspond à 1.
Sur l’axe des ordonnées, on a représenté le nombre de degrés Celsius au-dessus de la température de 1900.
1 2
Nombre de °C au-dessus de la température de 1900
2. a. En utilisant la partie A, déterminer l’année correspondant à l’abscisse du point I d’inflexion de la courbeCf. Arrondir le résultat à l’unité.
2. b. Calculer, pour cette année-là, le nombre de degrés Celsius supplémentaires par rapport à 1900.
3. On appelle vitesse du réchauffement climatique la vitesse d’augmentation du nombre de degrés Celsius. On admet que, à partir de 1900, la vitesse du réchauffement climatique est modélisée par la fonctionf′.
3. a. Est-il vrai de dire qu’après 2033 la température terrestre diminuera ? Justifier la réponse.
3. b. Est-il vrai de dire qu’après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera ? Justifier la réponse.
4. Pour sauvegarder les îles menacées par la montée des eaux, la température terrestre ne doit pas dépasser de plus de 1,5°C la température de l’année 1900.
Déterminer l’année au cours de laquelle la température terrestre atteindra ce seuil, selon ce modèle.
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