Chapitre V Polygones semblables
1. Photocopieuse.
Sur la plupart des photocopieuses, on peut lire les pourcentages d’agrandissement ou de réduction
préprogrammés : souvent on trouve les valeurs suivantes : 200%, 141%, 115%, 100%, 93%, 82%, 75%, 71%, et 63%. Sur la photocopieuse de la médiathèque, il n’y a pas ces touches préprogrammées mais on peut
sélectionner le pourcentage que l’on veut. Comment un dessin sera-t-il modifié dans chacun des cas ?
Prenons un dessin encadré, passons le à la photocopieuse en sélectionnant successivement certains pourcentages proposés et voyons ce qu’il devient. Complète le tableau ci-dessous.
100% 141% 71% 75%
Complète le tableau.
Largeur longueur
dessin à 100% 141% 115% 93% 82% 75% 71% 65%
Où trouve-t-on les dimensions initiales du dessin ?
Que s’est il passé avec les dimensions initiales dans chacun des cas ? Le pourcentage indiqué sur la photocopieuse représente ...
Ainsi, pour un pourcentage indiqué de 141 %, toutes les dimensions du dessin sont ...
Pour un pourcentage de 71%, toutes des dimensions sont multipliées par ...
Et les angles ?
Que se passerait-il si on multipliait la longueur d’un rectangle par un certain nombre et sa largeur par un autre nombre ?
Essaye avec le dessin ci-dessous : multiplie sa largeur par 2 et sa longueur par 1,5 et représente le nouveau rectangle.
Conclusions :
2. Définition des figures semblables.
On dit que deux figures sont semblables si les côtés correspondants sont proportionnels et que les angles correspondants ont la même amplitude.
Ce qui se traduit en langage mathématique par : ABCDE est semblable à A’B’C’D’E’ =>
A
B
C
D E
A’ B’
C’
D’
E’
Exercice. Sachant que les deux figures ci-dessous sont semblables, complète le tableau suivant sans mesurer.
|AB| |BC| |DE| |CE| |A’B’| |B’C’| |D’E’| |C’E’| |Â| |Â’|
3,5cm 1,9 cm 4cm 5,6 cm 11,8cm 110°
Le taux d’agrandissement pour passer de la figure 1 à la figure 2 est de …….
Le taux de réduction pour passer de la figure 2 à la figure 1 est de ……
3.
Cas des triangles.
De la même façon, écris toutes les égalités que l’on peut trouver si ces deux triangles sont semblables.
Et réciproquement ?? A-t-on besoin de toutes ces égalités pour pouvoir affirmer sans erreur que deux triangles sont semblables ?
Cherche les égalités nécessaires et suffisantes pour pouvoir dire que deux triangles sont semblables. (travail de groupe : suivre les consignes données en classe)
Synthèse de la recherche.
Deux triangles sont semblables si et seulement si :
1
ercas :……….
ou
2
èmecas : ………..
ou
3
èmecas : ………...
A B
C
D
E
A’ B’
C’
D’
E’
A
B
C
A’
B’
C’
4. Applications et exercices sur les cas de similitudes des triangles:
apprendre à trouver des valeurs manquantes dans des triangles
apprendre à démontrer.
Situation 1 : la largeur de la rivière.
Observe le dessin suivant, essaye d’en tirer la méthode que l’on a utilisée pour calculer la largeur de la rivière.
Calcule ensuite celle-ci en justifiant.
Situation 2 :
Observe la situation suivante. Imagine un énoncé et résous le.
Situation 3 .
Trouve les longueurs manquantes en utilisant des triangles semblables. Justifie en sachant qu’il y a deux droites parallèles dans le dessin.
Situation 4
Donnée : Un triangle ABC rectangle en C tel que |AC| = 6cm et |BC| = 8 cm. On place un point E sur
l’hypoténuse de ce triangle à 6 cm de B. Par ce point E, on trace les perpendiculaires respectivement à AC et BC
?
8m
2m 5,6m
3m40 48m
1m80
6
8
3 3,2 1
Situation 5. (si on a le temps)
Eratosthène a réussi à mesurer la circonférence de la terre 300 ans av JC. Cherche sur Internet la méthode qu’il a utilisée et prépare un petit exposé pour la présenter à la classe.
Situation 6.
Que penses-tu du rectangle intérieur ? Est-il semblable au triangle extérieur sachant que l’allée entre les deux rectangles a une largeur constante ?
Situation 6.
Et dans le cas du triangle ?
Situation 7.
ABC est un triangle tel que |AB| = 10 cm, |AC| = 7 cm et |BC| = 8cm. M est un point du segment [AB] tel que
|AM|=6cm. N est un point du segment [AC] tel que MN // BC Calcule les longueurs |AN| et |MN|.
Situation 8.
Le fameux problème des échelles. Y a-t-il trop peu de données ?
Deux échelles sont coincées entre deux murs verticaux. L’échelle [AC] mesure 8,5 m, l’échelle [BD] mesure 5m et la distance entre les deux murs, |AD| vaut 4m. Peux-tu trouver à quelle hauteur se croisent les échelles ?
A
C B
D
?
5.
Figures isométriques.
Définition: Si deux figures sont semblables et que le coefficient pour passer des dimensions de l’une aux dimensions de l’autre est égal à 1, alors les figures sont dites « isométriques » (ISO = même ; METRIQUE = mesure)
Dans ce cas, tous les angles correspondants ont la même amplitude et tous les côtés correspondants ont la même mesure.
Cas d’isométrie des triangles.
On peut transposer les cas de similitude des triangles en imposant que le rapport doit être égal à 1. On obtiendra alors les cas d’isométrie des triangles, c'est-à-dire les conditions suffisantes et nécessaires pour pouvoir affirmer que deux triangles sont isométriques.
1er cas :
2ème cas :
3ème cas:
Applications: l’utilisation des cas d’isométrie des triangles se réduit le plus souvent à l’apprentissage des construction de démonstrations et moins dans la recherche de longueur.
Exercices de démonstrations utilisant les cas d’isométrie des triangles.
Rappel : Les exercices de démonstrations visent à construire des «plaidoiries» rigoureuses qui par un enchaînement d’affirmations justifiées aboutissent à une proposition à prouver.
Ces démonstrations se basent sur les données du problème. Celles-ci sont réunies dans l’hypothèse.
Elles se basent également sur les définitions des objets que l’on utilise. Par exemple, si on parle de triangle isocèle, on pourra utiliser sa définition à savoir qu’il possède deux côtés isométriques.
Elles se basent aussi sur les propriétés ou théorèmes déjà démontrés. Par exemple nous pourrions utiliser le théorème de Pythagore démontré précédemment.
La proposition à démontrer sera indiquée dans la thèse.
1. Dans un triangle isocèle, démontre que les hauteurs relatives aux côtés de même longueur ont même longueur.
2. Démontre que si M et N sont deux points de la médiatrice d’un segment [AB], alors les triangles NAM et NBM sont isométriques.
3. On prolonge le côté [AB] du triangle isocèle ABC d’une longueur [AF] et le côté [CA] d’une longueur [AD]
égale à [AF]. Démontre que : |BD|=|FC|
4. Sur le côté [AB] d’un triangle quelconque ABC, on construit le triangle équilatéral ABD et sur le côté [AC], on construit le triangle équilatéral ACE. Démontre que les segments [DC] et [EB] ont la même longueur.
(Les constructions se font à l’extérieur du triangle ABC)
5. Dans un triangle isocèle ABC, on porte sur les côtés de même longueur deux points M et N équidistants du sommet A. On trace BN et CM qui se coupent en I . Démontre que le triangle BIC est isocèle.
6. Le théorème de Thalès et sa démonstration.
a) situation de départ. On désire placer un toit en tôles ondulées sur une cabane en bois. Calcule la longueur totale de ces tôles sachant qu’il faut une longueur de 0,7m pour couvrir 0,5m au sol et que la longueur totale de la cabane est de 2,8m.
b) définitions:
Lorsque il y a deux droites sécantes et une série de droites parallèles qui les coupent, on dit qu’on est dans une situation de THALES.
Dans une situation de Thalès, on appelle segments homologues des segments délimités par des mêmes parallèles.
c) l’énoncé du théorème de Thalès et sa démonstration.
Des parallèles déterminent sur deux sécantes des segments homologues dont les mesures sont proportionnelles.
Démonstration du théorème. (sur feuille de cours)
D C B
A ' ' ' '
A B
A’ B’
C D
C’ D’
A B
C D
C’ D’
A’ B’
A
B
C D
E
A
B
C D
E
Application du théorème de Thalès .
1. Complète le tableau ci-dessous en te référant au dessin.
|AB| |BC| |AC| |A’B’| |B’C’| |A’C’|
2 3 3
3 8 12
4 10 17,5
4,5 7 3
2. Détermine dans chaque cas la valeur de x.
|AB| = 2 ; |BC| = 6 ; |DE| = 3 et |EF| = x |AB| = 3 ; |BC| = 8, |DE| = x et |EF| = 4
|AD| = 3, |DE| = 4, |AB| = x et |BC| = 6 |AD| = x ; |DE| = 3, |AB| = 3 et | BC| = 4
3. Sur la figure ci-dessous, on a |OA| = 4cm, |OB| = 5cm et |BD| = 3cm. Les droites AB et CD sont paralléles de même que les droites AD et CE. Calcule |AC| et |DE|.
A A’
B B’
C C’
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
O
A
C
B D
4. ABC est un triangle quelconque. M est le milieu de [BC], N est le milieu de [AB] et P est le milieu de [MN].
La droite AP coupe BC au point K. Prouve que |BK|=
3
|
| BC
5. Calcule les longueurs manquantes dans la situation suivante. Attention : Thalès ou les triangles semblables ?
6. A l’exposition universelle de Shanghai 2010, on peut voir l’entrée d’un pavillon comme ci-dessous (seule la moitié gauche est représentée).
Les droites AG, BF et CE sont parallèles ainsi que les droites BG, CF et DE . On donne les dimensions suivantes : |GF| = 1,2 m ; |FE| = 2,1m ; |AB| = 1m Trouve les longueurs de |BC| et |CD|
3
3,6
4,2 5,4
c
b
3,2
a d
A
B
C
D
F E G
