Convexité et tableaux de variations
Définition (secondaire)
Soit f une fonction admettant des tangentes au voisinage de a ∈ Cf. f est convexe au voisinage de a si et seulement si
Cf est au dessus de ses tangentes au voisinage de a, Les notions de concavité et de point d’inflexion sont abordées plus loin.
Il s’agit d’étudier le lien entre la convexité et les dérivées successives de f, si elles existent.
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I.
Soit a ∈ I. A(a, f(a)) le point de Cf d’abscisse a.
Soit Ta la tangente à Cf en son point d’abscisse a.
Soit y = Ta(x) l’équation de cette tangente :
y – f(a) = f ’(a)(x – a) + f(a)
⇔ y = f ’(a)x – af ’(a) + f(a).
D’où :
Ta(x) = f ’(a)x – af ’(a) + f(a).
Soit enfin △a la fonction définie par :
△a(x) = f(x) – Ta(x).
Il s’agit de l’écart, à l’abscisse x, entre Cf et Ta.
Quelques calculs :
Ta(a) = f(a) : la tangente « touche1 » la courbe en A.
T’a(x) = f ’(a) : le coefficient directeur de Ta est le nombre dérivé de f en a.
T’’a(x) = 0 : f ’(a) est une constante, sa dérivée est nulle.
△a(a) = 0 : en A, l’écart entre Cf et Ta est nul.
△’a(x) = f ’(x) – f ’(a).
△’a(a) = f ’(a) – f ’(a) = 0.
△’’a(x) = f ’’(x) : dérivée seconde de la fonction f.
1. Fonction convexe
C’est la situation de la figure page 1.
Supposons que, sur I, f ’’(x) > 0, donc △’’a(x) > 0.
x a
f ’’(x) = △’’a(x) + + par hypothèse
△’a(x)
le signe de △’’a détermine les variations de △’a
△’a(x) – + conséquence des
variations ci-dessus
△a(x)
le signe de △’a détermine les variations de △a
△a(x) + + conséquence des
variations ci-dessus
En conclusion :
△a(x) est positif, donc : f(x) ≥ Ta(x), donc :
Cf est au dessus de sa tangente en a au voisinage de a, et ceci pour tout a. Donc :
Si
f ’’ est positive au voisinage de a, alors
Cf est au dessus de ses tangentes au voisinage de a, et donc
f est convexe au voisinage de a.
0
0
0 0
2. Fonction concave
Définition (secondaire)
Soit f une fonction admettant des tangentes au voisinage de a ∈ Cf. f est concave au voisinage de a si et seulement si
Cf est en dessous de ses tangentes au voisinage de a,
C’est la situation de la figure ci-dessous.
Supposons que, sur I, f ’’(x) < 0, donc △’’a(x) < 0.
x a
f ’’(x) = △’’a(x) – – par hypothèse
△’a(x)
le signe de △’’a détermine les variations de △’a
△’ (x) + – conséquence des
0
0
En conclusion :
△a(x) est négatif, donc : f(x) ≤ Ta(x), donc :
Cf est en dessous de sa tangente en a au voisinage de a, et ceci pour tout a. Donc :
Si
f ’’ est négative au voisinage de a, alors
Cf est en dessous de ses tangentes au voisinage de a, et donc
f est concave au voisinage de a.
3. Point d’inflexion
Définition (secondaire)
Soit f une fonction admettant des tangentes au voisinage de a ∈ Cf. Cf admet un point d’inflexion en a si et seulement si
Cf traverse sa tangente en a.
C’est la situation de la figure ci-dessous.
Supposons que, sur I, f ’’(x) s’annule en changeant de signe en a, par exemple :
x a
f ’’(x) = △’’a(x) + – par hypothèse
△’a(x)
le signe de △’’a
détermine les variations de △’a
conséquence des 0
0
En conclusion :
△a(x) est positif avant a et négatif après, donc : f(x) ≥ Ta(x) avant a et f(x) ≤ Ta(x) après, donc :
Cf est au dessus de sa tangente avant a et en dessous après. Donc : Cf traverse sa tangente en a. Donc :
Si
f ’’ s’annule en changeant de signe en a, alors
Cf traverse sa tangente en a, et donc
le point d’abscisse a est un point d’inflexion pour Cf.
