M2RI — Systèmes de particules: Aspects analytiques et intégrables

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Université Paul Sabatier 2018–2019

M2RI — Systèmes de particules: Aspects analytiques et intégrables

20 février 2019, Durée : 2h30

Exercice 1 : Cours

— Donner les deux définitions équivalentes des fonctions de Schur.

— Démontrer que les fonctions de Schur sont cohérentes :

∀x∈C^N, s_λ(x1, . . . , x_N) =s_λ(x1, . . . , x_N,0).

— Démontrer que siλest une partition alorsx∈C^N 7→s_λ(x)est un polynôme homogène de degré total |λ|.

Exercice 2 : Convexité

Les fonctions considérées sont supposées lisses.

1. Montrer que siK:Rⁿ→R^m est convexe (coordonnée par coordonnée), et queL:R^m→Rest aussi convexeet croissante coordonnée par coordonnée alors

H=L◦K :Rⁿ→R est convexe.

2. Montrer queL:R×R→R définie par

L(u, v) := log (e^u+e^v) est croissante (coordonnée par coordonnée) et convexe.

3. Si F :Rⁿ→RetG:Rⁿ→Rsont deux fonctions convexes, montrer que

H:x7→log

e^F^(x)+e^G(x)

est aussi convexe. On pourra poserK(x) = (F(x), G(x)).

4. Déduire par récurrence que si F₁, . . . , F_n sont des fonctions convexes, alors x 7→ logP

ie^Fⁱ^(x) est convexe.

Exercice 3 : Problème

Soit (ω_i,j ; (i, j)∈N×N) un tableau de variables i.i.d. Nous supposerons qu’il existe W > 0 tel que

∀(i, j)∈N×N, 0≤ωi,j ≤W (p.s) .

De la même façon qu’en percolation dirigée, posons Π_M,N l’ensemble des chemins à valeurs dans N×N, d’incréments dans(e₁ = (1,0), e₂ = (0,1)), commençant en(1,1)et finissant en(M, N).

Π := G

M,N

Π_M,N .

L’énergie d’un chemin π∈Π est

E(π) := X

(ij)∈π

ω_i,j .

L’objet d’étude de ce problème est la quantité aléatoire :

Z_M,N^β := X

π:(1,1)→(M,N)

e^βE(π) .

Elle s’interprète comme la fonction de partition d’une mesure de Gibbs pour des marches aléatoires dirigées en environnement aléatoire. La signification physique du paramètre β >0 est l’inverse d’une température β= _k¹

BT, avec kB la constante de Boltzmann.

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0. Montrer la relation de récurrence :

Z_M,N^β =e^βω^M,N

Z_M^β_−1,N+Z_M,N^β ₋₁

. Les parties de ce problème sont largement indépendantes.

I. Lien avec la percolation dirigée 1. Montrer que

∀(x, y)∈R×R, lim

β→∞

1 βlog

e^βx+e^βy

= max(x, y) .

2. Similairement, démontrer que

β→∞lim 1

βlogZ_M,N^β = max

π:(1,1)→(M,N)E(π) ,

cette limite étant la fonctionnelle de percolation de temps de dernier passage pour l’environne- mentω.

II. Lien avec les produits de matrices (N=2)

Considérons une suite de matrices i.i.d g₁, g₂, . . . dansM_N=2(R) définies par

g_M :=

e^βω^M,1 0 e^β(ω^M,1^+ω^M,2⁾ e^βω^M,2

=

1 0 0 e^βω^M,2

1 0 1 1

e^βω^M,1 0

0 1

Formons le produit

GM =gM. . . g2g1 . 1. Montrer que

G_M := e^β^P^Mⁱ⁼¹^ω^i,1 0 M e^β^P^Mⁱ⁼¹^ω^i,2 .

!

avec M qui satisfait la relation de récurrence : M+1=e^βω^M+1,2

M +e^β

PM+1 j=1 ωj,1

.

2. En déduire

M =Z_M,2^β .

III. Lien avec les produits de matrices (N général) Maintenant, les matrices triangulaires inférieures i.i.d g1, g2, . . . appartiennent àMN(R)avec N général. On se donne :

g_M :=







e^βω^M,1 0 . . . 0

e^β(ω^M,1^+ω^M,2⁾ e^βω^M,2 0 . . . :

: e^β(ω^M,2^+ω^M,3⁾ . .. : :

: . .. . .. : :

. . . e^βω^M,N−1 0

e^β^P^Nⁱ⁼¹^ω^M,i . . . e^β(ω^M,N−1^+ω^M,N⁾ e^βω^M,N







=

N

X

i=1

X

1≤j≤i

e^β

Pi k=jω_M,k

Ei,j .

A nouveau, nous formons le produit

G_M =g_M. . . g₂g₁ , et nous notons par ^N_M les coefficients matriciels suivants :

G_M :=







e^β^P^M^j=1^ω^j,1 0 . . . 0

²_M e^β

PM

j=1ωj,2 0 . . . :

: . .. . .. : :

^N−1_M . .. . .. e^β^P^M^j=1^ω^j,N−1 0

^N_M . . . .. e^β

PM j=1ωj,N





 .

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1. Justifier pourquoi la notation^N_M est cohérente pour différentsN. Par exemple,²_M a la même expression en fonction deω, que l’on considère des matrices 2×2,3×3ou N×N.

2. Démontrer la relation de récurrence :

^NM =

N

X

j=1

e^β^P^N^k=j^ω^M,k^j_M−1 .

3. En déduire que la fonction de partitionZ_M,N^β apparait comme coefficient matriciel :

^NM =Z_M,N^β .

Par conséquent, le produit de matrices indépendantes est relié à la percolation de temps de dernier passage.

IV. Concentration autour de la moyenne Ecrivons

1

β logZ_M,N^β =F(ωi,j ; (i, j)∈[1, M]×[1, N]) , cette identité définissantF :R^M^×N →R.

1. Explicitez pourquoiF est convexe grâce à l’exercice précédent.

2. Démontrer que :

∂F

∂ω_i,j = P

π:(1,1)→(M,N) (i,j)∈π

e^βE(π)

Z_M,N^β .

3. En déduire l’identité sur la norme euclidienne du gradient :

k∇F(ω)k₂ = qP

π,η:(1,1)→(M,N)|π∩η|eβE(π)+βE(η)

Z_M,N^β ,

où|π∩η|est le nombre de points d’intersection deπ etη.

4. Conclure que F est Lipschitz surR^{N M} avec constante de Lipschitz

kFk_Lip :=supωk∇F(ω)k₂ ≤√

N+M .

5. Quelle est le théorème du cours permettant de déduire que _β¹ logZ_M,N^β est concentré autour de sa moyenne ?

Donner un énoncé en précisant les dépendances enN,M et la constanteW >0.

V. Ouverture (Bonus)

1. PourN fixé, nous avons vu en TD que le produit de matrices avecM → ∞admet des exposants de Lyapounov sous certaines hypothèses. Est-ce que cela s’applique à notre cas ? Enoncez une conclusion.

2. (Discussion) Que pensez-vous de la question du comportement asymptotique avecn→ ∞de : 1

βlogZ_nx,ny^β , lorsque (x, y)∈R+×R+?