Corrigé du DM3

Corrigé du DM3

Exercice 1 : Entraînement à la dérivation

♣ f₁apparaît comme la composée de la fonction 3x−1

2x−4 et de la fonction cube. Elle sera donc dérivable dès lors que3x−1 2x−4 l’est c’est à dire sur]−∞; 2[∪]2; +∞[.

(f(u))⁰=u⁰f⁰(u),donc ici,f₁⁰(x) = 3

µ3x−1 2x−4

¶0µ 3x−1 2x−4

¶2

Or

µ3x−1 2x−4

¶0

= −10 (2x−4)² Donc f₁⁰(x) = −30 (3x−1)²

(2x−4)⁴

♣ f₂ est la composée de la fonction4x²−3x−1, dérivable surRet de la fonction √dérivable sur]0; +∞[.Elle est donc dérivable pourx tel que 4x²−3x−1> 0. La résolution de cette inéquation donne pour ensemble de dérivabilité :

¸

−∞,−1 2

√13 +3 2

∙

∪

¸1 2

√13 +3 2,+∞

∙ . La dérivée est alors¡√

4x²−3x−1¢0

=¡

4x²−3x−1¢0 1 2√

4x²−3x−1 Donc f₂⁰(x) = 8x−3

2√

4x²−3x−1

♣ f₃est le produit de deux fonctions, la seconde étant une composée dérivable si4x²−1>0donc sur

¸

−∞,−1 2

∙

∪

¸1 2,+∞

∙ . Sa dérivée est obtenue en dérivant un produit : f₃⁰(x) =√

4x²−1 +x 8x 2√

4x²−1 Donc f₃⁰(x) = 8x²−1

√4x²−1

♣ f₄est la composée de la fonction1 + sin(2x)dérivable surRet de la fonction cube. Elle est donc dérivable surRcomme composée de telles fonctions.

Sa dérivée est : f₄⁰(x) = 3 (1 + sin(2x))⁰(1 + sin(2x))² Donc f₄⁰(x) = 6 cos(2x) (1 + sin(2x))²

Exercice 2 : La cissoïde de Dioclès 1. f(x) =

r x³

1−x est définie si1−x6= 0et x³

1−x ≥0et dérivable si en plus, x³ 1−x 6= 0.

Elle est donc définie sur [0,1[et dérivable sur]0,1[.

La courbe de f admet une demi-tangente à droite en 0 (où elle est définie) si et seulement si f(0 +h)−f(0)

h admet une

limite (finie) quandhtend vers0.

Or pourh >0, f(0 +h)−f(0)

h =

r h³ 1−h

h ⇒ f(0 +h)−f(0)

h =

√h³ h√

1−h ⇒ f(0 +h)−f(0)

h = h√

h h√

1−h Donc lim

h→0⁺

f(0 +h)−f(0)

h = lim

h→0⁺

√h

√1−h = 0.

La demi-tangente, dont le coefficient directeur est 0 est donc la demi-droite[Ox) 2. Sa dérivée, sur]0,1[est : f⁰(x) =

µ x³ 1−x

¶0

1 2

r x³ 1−x

avec µ x³

1−x

¶0

=−2x³+ 3x² (1−x)²

1 2

r1−x x³

Donc f⁰(x) = (3−2x)√ x 2 (1−x)√

1−x du signe de3−2xsur[0,1[.

d’où le tableau de variations : x f’( x ) f( x )

0 1 +

0

+∝

3. L’équation de(T)est y=f µ1

2

¶ +

µ x−1

2

¶ f⁰

µ1 2

¶

doncy=1 2+ 2

µ x−1

2

¶

L’équation de (T)esty= 2x−1 2 4.

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

x y

x y

5. Remarquons d’ores et déjà que(Γ₂)a pour équation, sur]−1; 0]: y=−f(x) M(x;y)∈(Γ) ⇔M∈(Γ₁)ouM∈(Γ₂)

⇔y=f(x)ouy=−f(x)

⇔y= r x³

1−x ouy=− r x³

1−x

⇔y²= x³ 1−x

⇔y²(1−x) =x³

⇔y²−xy²−x³= 0

⇔y²−x¡

y²+x²¢

= 0

⇔x¡

y²+x²¢

−y²= 0 Ainsi,M(x;y)∈(Γ)⇔x¡

y²+x²¢

−y²= 0 qui est bien une équation cartésienne de la courbe.