DM3 de maths - Correction.

SRC1 DM3. Correction. maths

DM3 de maths - Correction.

1 Ensembles

1. SoitA={−π; 2.1; 5; 0} etB={π; 2.5; 0}.A∩B={0}.A∪B={0;−π;π; 2.1; 2.5; 5}.

P(B) ={∅,{0},{2.5},{π},{0,2.5},{0, π},{2?5, π},{π; 2.5; 0}}.

2. • Maxime fait allemand et latin. donc Maxime∈D∩L. Il appartient à D puisqu’il fit de l’allemand et donc à plus forte raison àD∪A. Il appartient à Lcar il fait du latin. Il appartient à A¯ puisqu’il n’appartient pas à A (il ne fait pas d’anglais).

• D’après l’énoncé, l’ensembleA∩D est vide :A∩D=∅ (les élèves ne peuvent pas faire anglais et allemand à la fois).

• Si on traduit mathématiquement l’énoncé, on cherche card(D∪L)et on connaît card(D)et card(L). Or on connaît la formulecard(D∪L) =card(D) +card(L)−card(D∩L). Donccard(D∪L) = 14 + 10−7soit 17 élèves qui font soit latin, soit allemand.

3. on veut montrer l’égalité d’ensembleA∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C):

• MontronsA∪(B∩C)⊂(A∪B)∩(A∪C): Soitx∈A∪(B∩C). On veut montrer quex∈(A∪B)∩(A∪C) c’est-à-dire que x appartient à la fois àA∪B etàA∪C. Or par hypothèse :

• Soitxest dans A, dans ce casx∈A∪B et aussi àA∪C (et àA∪tout ce qu’on veut).

• Soitxest dansB∩C, c’est-à-dire dans B et C à la fois. Puisquex∈B,x∈A∪B. Puisquex∈C,x∈A∪C.

• Bilan : dans tous les cas,x∈(A∪B)∩(A∪C), CQFD.

• Montrons(A∪B)∩(A∪C)⊂A∪(B∩C): Soitx∈(A∪B)∩(A∪C). On veut montrer quex∈A∪(B∩C) c’est-à-dire que x appartient à A ou bien àB∩C (ou les deux). Or par hypothèsexappartient àA∪B età A∪C. Donc :

• Soitx∈A, dans ce cas là, à plus forte raison,x∈A∪(B∩C)(six∈A, il appartient à ”A ou autre chose”).

• Soitx /∈A. Mais comme x∈A∪B, cela signifie que x∈B. Et comme x∈A∪C, cela signifie aussi que x∈C. Donc finalementx∈B∩Cet à plus forte raisonx∈A∪(B∩C).

• Bilan : dans tous les cas,x∈A∪(B∩C), CQFD.

2 Complexes

1. Soitz=_i+1¹ .

• En multipliant en haut et en bas par la quantité conjuguée on trouve z = ¹₂ − ¹₂i et donc Re(z) = ¹₂ et Im(z) =−¹₂.

• z¯=^√1₂+i^√1₂.

• Ecrivezz sous forme trigonométrique : on calcule|z|= q

(¹₂)²+ (−¹₂)²= ^√1₂. De plus, l’argumentθ dez est tel que

1

2 = |z|cosθ (1)

−¹₂ = |z|sinθ (2) c’est-à-dire :

√1

2 = cosθ (1)

−^√1₂ = sinθ (2)

Quel angle (compris entre 0 et2π) a pour cosinus ^√1₂ et pour sinus−^√1₂? Il s’agit deθ= ^7π₄. Par conséquent : z=^√1₂e^i7π4 .

2. Soit un repère orthonormal(O, ~u, ~v). SoitA(−1,−1)etB(1,1).

• d= 2√ 2.

• OA =|zA|. d=|zB−zA|. L’argument Arg(zB)de zB est l’angle (~u,−−→

OB). Cet angle vaut (~u,−−→

OB) = ^π₄. Et

|zA|=OA=√

2. Par conséquentzA=√

2×e^iπ4 soit zA=√ 2e^iπ4 .

•

cosθ = ^eiθ+e₂^−iθ sinθ = ^eiθ−e_2i^−iθ

Donccosθsinθ⁰ = ^eiθ+e₂^−iθ ×^eiθ0−e_2i^−iθ0. Développons cette égalité puis nous regrouperons les termes afin de retrouver descoset dessin.

cosθsinθ⁰ = ^eiθ+e₂^−iθ ×^eiθ0−e_2i^−iθ0

= ^{ei(θ+θ0)−e−i(θ+θ0)+e}_4i^{i(θ0−θ)−e−i(θ0−θ)}

= ¹₂

³e^i(θ+θ0)−e^−i(θ+θ0)

2i +^{ei(θ0−θ)−e}_2i^{−i(θ0−θ)}

´

= ¹₂[sin(θ+θ⁰) + sin(θ⁰−θ)].

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3. Question plus compliquée, il faut avoir bien compris ce qui précède. Soit j=e^2iπ3 .

• j= cos(^2iπ₃ ) +isin(^2iπ₃ )donc j=−¹₂+i^√₂³ .

• j³= (e^2iπ3 )³=e^3×2iπ3 =e^2iπ= 1.

• Avec l’écriture algébrique il faut calculer j², soit e^i4π3, puis additionner 1, j, et j² tous écrits sous forme algébrique. Sinon, on peut dire queS = 1 +e^2iπ3 +e^4iπ3 est la somme des trois premiers termes d’une suite géométriques de raisone^2iπ3 et doncS= ^1−(e

2iπ3 )³

1−e^2iπ3 = ¹⁻¹

1−e^2iπ3 et doncS= 0.

• On a 1³= 1,j³= 1, et(j²)³= 1. Le polynômez³−1a donc trois racines distinctes dansC, à savoir1,j, et j². Doncz³−1 = (z−1)(z−j)(z−j²)c’est-à-direz³−1 = (z−1)(z−e^2iπ3 )(z−e^4iπ3 ). DansR, on ne veut pas de solution complexe, seul 1 est solution. Doncz³−1 = (z−1)(z²+z+ 1)(on trouve en développant que (z−e^2iπ3 )(z−e^43iπ) =z²+z+ 1.

• lesn racines de zⁿ−1 sont 1, e^2iπn , e^4iπn , ..., e^2(n−1)iπn . Leur somme S est une somme desnpremiers termes d’une suite géométrique et doncS= ^1−(e

2iπn )ⁿ

1−e^2iπn soitS= 0.