Syst`emes anticanoniques et petites contractions

Syst` emes anticanoniques et petites contractions

Memoire de M2 de Liana Heuberger

25 juin 2012

Directeur de stage

Andreas H¨ oring

Table des mati` eres

Introduction 1

1 Pr´ eliminaires 5

1.1 Contractions . . . . 5

1.2 Positivit´ e . . . . 6

1.3 Singularit´ es des paires . . . . 7

1.4 Th´ eor` emes d’annulation . . . . 10

2 Petites Contractions 12

3 Terminalit´ e 30

1

2

Introduction

Soit X une vari´ et´ e projective lisse. Si son diviseur canonique K X n’est pas nef, il existe un rayon extr´ emale R qui est K _X -negative. Le premier pas du programme de Mori est de contracter ce rayon pour obtenir une vari´ et´ e plus simple et de r´ ep´ eter ce raisonnement jusqu’` a ce qu’on retrouve une vari´ et´ e dont le diviseur canonique est nef, que l’on appelle le mod` ele minimal de X.

Plus pr´ ecis´ ement, si R est un rayon extr´ emale dans le cˆ one de Mori N E(X) qui est K X -negative, alors il existe un morphisme ` a fibres connexes f : X → Y tel que −K _X soit f-ample et qui contracte exactement les courbes qui sont dans la classe de R.

On appelle f une contraction ´ el´ ementaire.

Le but de ce m´ emoire est d’analyser les fibres de ce type de contraction dans le cas o` u X est une vari´ et´ e projective lisse de dimension 4, notamment le nombre de leurs composantes irr´ eductibles et leurs intersections, dans la situation o` u f est en plus un isomorphisme en codimension 1. Dans ce cas, on dit que f est une petite contraction.

Dans ce qui suit, on utilisera la notation A _X pour d´ esigner le diviseur anticanonique −K _X .

Comme les fibres d’une telle contraction sont isol´ ees, on peut se res-

treindre ` a un voisinage affine de l’image d’une fibre. Avec ces hypoth` eses plus

convenables, on arrive ` a d´ emontrer le r´ esultat central du deuxi` eme chapitre,

dont la preuve suit celle de l’article de Andreatta et Wisniewski [AW1] :

Th´ eor` eme 0.0.1 Soit f : X → Y une contraction ´ el´ ementaire petite d’une

vari´ et´ e projective lisse de dimension 4 et F une de ses fibres. Alors le mor-

phisme d’´´ evaluation f ^∗ f ∗ A _X −→ A _X est surjectif en tout point de F .

Comme on a suppos´ e que Y est une vari´ et´ e affine, tout faisceau quasi-coh´ erent

sur Y est globalement engendr´ e. Par la suite spectrale de Leray, on a que

H ⁰ (X, A _X ) = H ⁰ (Y, f ∗ (A _X )),

d’o` u on d´ eduit que |A _X | 6= ∅. Soit alors X ⁰ ∈ |A _X | g´ en´ eral.

La preuve du Th´ eor` eme 0.0.1 est divis´ e en pluisieurs ´ etapes :

• X ⁰ est ` a singularit´ es canoniques et ne contient aucune composante irr´ eductible de la fibre.

En particulier, ceci entraˆıne que si onsid` ere la restriction f| _X

: X ⁰ → Y ⁰ , alors K _X

∼ O _X

et ses fibres ont dimension au plus ´ egale ` a 1.

• soit X ⁰⁰ un ´ el´ ement g´ en´ eral de |A _X | _X

|. Alors X ⁰⁰ ne contient aucune fibre de f| _X

.

On en d´ eduit que le morphisme f| _X

: X ⁰⁰ → Y ⁰⁰ est fini, et en particu- lier que A _X est relativement sans point base sur X ⁰⁰ .

• finalement, on d´ emontre que toute section de A _X sur X ⁰⁰ se prolonge sur X ⁰ et puis sur X.

Le lieu de base de A _X est cens´ e d’ˆ etre contenu dans X ⁰ , car X ⁰ ∈ |A _X |.

En utilisant l’etape pr´ ec´ edente, on conclut qu’il est vide.

En utilisant l’in´ egalit´ e de Ionescu-Wisniewski et les propri´ et´ es des contrac- tions petites, on sait d´ ej` a que la dimension de toute composante irr´ eductible de la fibre est ´ egale ` a 2. Mais le th´ eor` eme nous montre que le lieu de base du syst` eme anticanonique est vide, ce qui nous permettera de d´ eduire facilement le r´ esultat suivant :

Th´ eor` eme 0.0.2 Soit f : X → Y une petite contraction d’une vari´ et´ e lisse de dimension 4 et F i une compoasnte irr´ eductible d’une fibre. Alors F i ' P <sup>2</sup> . Dans la seconde partie du deuxi` eme chapitre, on d´ emontre quelques r´ esul- tats sur les intersections de ces composantes, dont les preuves sont de nature combinatoire. Celles-ci nous permettront de conclure avec la proposition sui- vante :

Proposition 0.0.3 Une composante connexe d’une fibre d’une contraction petite d’une vari´ et´ e projective lisse de dimension 4 a au plus deux compo- santes irr´ eductibles.

Il existent des r´ esultats encore plus precis sur ce th` eme. Notamment, dans l’article de Y. Kawamata sur les petites contractions [12], il d´ emontre que en fait il y a exactement une composante irr´ eductible E par composante connexe d’une fibre et que son fibr´ e normal est

N _E/X ' O _P

(−1) ^⊕2 .

4

Dans le troisi` eme chapitre, on d´ emontre de fa¸con independente un th´ eo- r` eme sur les singularit´ es d’un ´ el´ ement g´ en´ eral de |A _X | :

Th´ eor` eme 0.0.4 Soit f : X → Y une contraction petite d’une vari´ et´ e de dimension 4 et D un ´ el´ ement g´ en´ eral de |A _X |. Alors D a au plus des singu- larit´ es terminales.

Ce r´ esultat pourrait nous diriger vers la preuve du mˆ eme ´ enonc´ e dans le cas d’une vari´ et´ e de Fano :

Conjecture 0.0.5 Soit X une vari´ et´ e Fano projective et lisse de dimension 4 et D ∈ |A _X | g´ en´ eral. Alors D ` a singularit´ es terminales.

Le Th´ eor` eme 1.7 de l’article [11] de A. H¨ oring et C. Voisin montre que

sous ces hypoth` eses on a d´ ej` a que D a des singularit´ es canoniques isol´ ees,

ensuite en accouplant ces deux preuves - l’une qui nous fournit la m´ ethode

et l’autre qui nous met dans le bon contexte, on pourra arriver ` a une preuve

de la conjecture.

Chapitre 1 Pr´ eliminaires

En contractant un rayon extr´ emale par le morphisme f : X → Y , on est dans un des trois situations :

– dim X > dim Y , alors f s’appelle une contraction fibr` ee.

– f est birationnelle et son lieu exceptionnel est un diviseur irr´ eductible sur X. Ceci est dite une contraction divisorielle.

– f est birationnelle et son lieu exceptionnel est de codimension au moins

´

egale ` a 2. On dit que f est une contraction petite.

Les trois cas se comportent assez diff´ eremment par rapport au programme de Mori. Dans le premier cas, le probl` eme se r´ eduit pratiquement ` a l’´ etude de la vari´ et´ e de dimension plus petite Y . Dans le deuxi` eme, mˆ eme si Y peut ˆ

etre singuli` ere, on sait que K _Y est Q -Cartier.

Dans ce sens, le cas des contractions petites est le plus compliqu´ e, car K _Y n’est pas Q -Cartier et Y est tr` es singulier. Pourtant, on reste dans ce cas pour X ayant dimension 4 en obtenant des r´ esultats sur la dimension des fibres de f. On introduit la m´ ethode des singularit´ es des paires dans cette section pour pouvoir manipuler la classe canonique de Y apr` es l’avoir adapt´ ee ` a notre situation.

1.1 Contractions

Definition 1.1.1 Une contraction ´ el´ ementaire est dite petite si elle est bi- rationnelle et si en codimension 1 elle est un isomorphisme (i.e. avec les notations d’auparavant, il existe un sous-ensemble algebrique E de X de co- dimension au moins 2 tel que f : X − E −→ Y − f(E) est un isomorphisme).

Definition 1.1.2 Soit X une vari´ et´ e quasi-projective et f : X → Y une contraction ´ el´ ementaire associ´ ee au rayon extr´ emale R de X. Alors la lon-

5

CHAPITRE 1. PR ´ ELIMINAIRES 6 gueur du rayon R est defini par

l(R) := min{A _X · C | C ⊂ X est une courbe rationnelle t.q. [C] ∈ R }.

Th´ eor` eme 1.1.3 (Ionescu-Wisniewski) Si E ⊂ X est le lieu exception- nel d’une contraction ´ el´ ementaire f : X → Y et F est une composante irr´ eductible d’une f -fibre contenue dans E , alors

dim E + dim F ≥ dim X + l(R) − 1.

Remarque 1.1.4 Soit f : X → Y une contraction petite et E = ` E i la d´ ecomposition en composantes irr´ eductibles du lieu exceptionnel de f . Alors la dimension de E <sub>i</sub> est ´ egale ` a 2 pour tout i.

Preuve. On utilise le Th´ eor` eme de Ionescu-Wisniewski dans la situation F = E = E _i . Comme on ´ etudie que les contractions petites (en particulier

´

el´ ementaires) des vari´ et´ es de dimension 4, on a par d´ efinition que (A _X ·C) > 0, car C est contenue dans la fibre de f . Alors l(R) ≥ 1 et on obtient ainsi que la dimension de chaque E _i est au moins ´ egale ` a 2.

Comme f est petite, le lieu exceptionnel est de codimension au moins 2, ce qui entraˆıne que dim E i = 2 pour tout i.

Proposition 1.1.5 Si ν _i : f E _i → E _i est la normalisation de E _i , alors f E _i ' P ² et ν _i ^∗ (A _X ) ' O _P

(1).

La preuve de cette remarque se retrouve dans [5], Rmk 12. Pour une version encore plus detaill´ ee de cette preuve, voir [10].

1.2 Positivit´ e

Definition 1.2.1 Soit X une vari´ et´ e projective et L un fibr´ e en droites sur X.

• L est dit tr` es ample s’il existe une immersion ferm´ ee de X dans un certain espace projectif P ⁿ tel que L = O _X (1) := O _P

(1)| _X .

• L est dit ample si L ^⊗m est tr` es ample pour un certain m > 0.

Definition 1.2.2 Soit X une vari´ et´ e projective. Un diviseur de Cartier sur X est dit nef si pour toute courbe irr´ eductible C dans X on a

(D · C) ≥ 0.

Un diviseur Q -Cartier D est ample ou nef si un multiple positif mD est

Cartier et ample, respectivement nef.

1.3 Singularit´ es des paires

D` es qu’on fait une contraction d’une vari´ et´ e X, on voudrait comparer l’ancienne classe canonique avec celle de la vari´ et´ e qu’on vient d’obtenir pour pouvoir continuer le MMP. Cette diference a fait apparaˆıtre la notion de discr´ epance, que l’on verra dans la suite. Mais tandis que cette comparaison est facile ` a faire en dimension 2, d` es qu’on passe aux dimensions superieures les choses ne sont pas si claires.

En fait, si la dimension de la vari´ et´ e initiale est au moins trois, en lui appliquant le MMP on ne peut pas empˆ echer que les contractions des rayons extr´ emales produisent des vari´ et´ es non-lisses. Il faut d’abord essayer de bien comprendre ces singularit´ es, et le cadre le plus naturel c’est de considerer des paires de la forme (X, ∆), o` u ∆ est un diviseur sur X.

Effectivement, si la vari´ et´ e X est nonsinguli` ere en codimension 1, sa classe canonique est la clˆ oture de la classe canonique de X <sub>reg</sub> . Le diviseur de Weil qu’on vient d’obtenir en faisant une petite contraction de X n’est pas Q - Cartier, donc on ne peut pas calculer son pull-back et cons´ equemment on n’arrive pas ` a une definition convenable de la discr´ epance. Pour corriger ¸ca, on introduit un Q -diviseur effectif ∆ sur X, et dans la suite le rˆ ole de la classe canonique K _X sera jou´ e par K _X + ∆, qui cette fois sera bien un diviseur Q - Cartier.

Definition 1.3.1 Une paire (X, ∆) est compos´ ee d’une vari´ et´ e normale X, ainsi que d’un Q -diviseur de Weil effectif ∆ = P

a _i ∆ _i sur X tel que le Q -diviseur K _X + ∆ soit Q -Cartier sur X.

Definition 1.3.2 Soit D = P

D _i un diviseur sur la vari´ et´ e lisse X. On dit que D est ` a croisements normales simples (ou bien que D est un diviseur SNC) si chaque D _i est lisse et si D est defini en coordon´ ees autour d’un point par une equation du type :

z ₁ · z ₂ · . . . · z _k = 0 pour un certain k ≤ n. Un Q -diviseur D = P

a _i D _i est ` a croisements nor- males simples si P

D _i l’est.

Definition 1.3.3 Soit D = P

a _i D _i un Q -diviseur sur la vari´ et´ e normale X.

Une log-r´ esolution de D est un morphisme birationnel projectif µ : X ⁰ −→ X,

o` u X ⁰ est lisse, le lieu exceptionnel Exc(µ) est de codimension 1 et le diviseur

µ ⁻¹ D + Exc(µ) est SNC.

CHAPITRE 1. PR ´ ELIMINAIRES 8 Definition 1.3.4 Soit (X, ∆) une paire, ∆ = P

a _i ∆ _i avec a _i ∈ R . Suppo- sons que (K _X + ∆) est un diviseur Q -Cartier. Soit f : Y → X un morphisme birationnel, o` u Y est une vari´ et´ e normale. On a que

K _Y ≡ f ^∗ (K _X + ∆) + X

a(E _i , X, ∆)E _i ,

o` u E _i ⊆ Y sont des diviseurs premiers distincts et a(E _i , X, ∆) ∈ R , ∀ i.

Par convention, un diviseur nonexceptionnel E apparait dans la somme si et seulement si E = f ^∗ ∆ i pour un certain i et alors le coefficient corres- pondant a(E, X, ∆) = −a _i . Ainsi, on assure que le cˆ ot´ e droit de la formule est uniquement d´ etermin´ e.

On dit que les a(E i , X, ∆) sont les discr´ epances de la paire (X, ∆).

Si f ⁰ : Y ⁰ → X est un autre morphisme birationnel et E _i ⁰ ⊂ Y ⁰ est la trans- form´ ee birationnelle de E _i sur Y ⁰ , alors on a que a(E _i , X, ∆) = a(E _i ⁰ , X, ∆).

On en d´ eduit que les discr´ epances dependent en fait seulment des diviseurs E _i (et pas de Y ). L’id´ ee c’est donc de comparer K _Y avec f ^∗ (K _X + ∆) quand Y parcourt toutes les r´ esolutions de X.

Definition 1.3.5 Soit (X, ∆) une paire et f : X ⁰ → X un morphisme bi- rationnel. Un diviseur irr´ eductible f -exceptionnel E ⊂ X ⁰ s’appelle crepant (par rapport ` a la paire (X, ∆)) si a(E, X, ∆) = 0. Le morphisme f s’ap- pelle crepant (toujours par rapport ` a la paire (X, ∆)) si tous les diviseurs f -exceptionnels E ⊂ X ⁰ sont crepants.

Definition 1.3.6 Soit (X, ∆) une paire. On note

discrep(X, ∆) = inf {a(E, X, ∆)| E est exceptionnel au dessus de X} et totaldiscrep(X, ∆) = inf {a(E, X, ∆)| E est un diviseur au dessus de X }

Toute restriction sur discrep(X, ∆) produit une classe de paires (X, ∆), dont les suivantes sont les plus importantes :

Definition 1.3.7 On dit que la paire (X, ∆) ou le diviseur K _X + ∆ est :

• terminale si discrep (X, ∆) > 0,

• canonique si discrep (X, ∆) ≥ 0,

• klt (Kawamata log terminale) si discrep (X, ∆) > −1 et b∆c = 0,

• plt (purement log terminale) si discrep (X, ∆) > −1,

• lc (log canonique) si discrep (X, ∆) ≥ −1.

Definition 1.3.8 Soit (X, ∆) une paire klt, D un Q -diviseur Q -Cartier. Le seuil log canonique de D pour (X, ∆) est

lct((X, ∆), D) = sup {t ∈ R ⁺ |(X, ∆ + tD) est lc}

On dit que une paire est proprement log canonique si elle est lc et n’est pas klt. Ainsi, si c = lct((X, ∆), D), la paire (X, ∆ + cD) est proprement log canonique.

Definition 1.3.9 Soit (X, ∆) une paire log canonique et f : X ⁰ → X une log-r´ esolution de ∆. Un diviseur E ⊆ X ⁰ de discr´ epance −1 est dit place log canonique. La fermeture de f (E) est dite centre de log canonicit´ e de la paire (X, ∆) et est not´ ee par Center _X (E). De facon ´ equivalente, si on ´ ecrit

K _X

≡ µ ^∗ (K _X + ∆) + E,

on peut d´ efinir une place comme une composante irr´ eductible de −bEc. On note par CLC (X, ∆) l’ensemble de tous les centres.

Definition 1.3.10 Soit (X, ∆) une paire log canonique. Un centre W est dit exceptionnel s’il existe une log r´ esolution µ : X ⁰ → X de cette paire et tel que :

• il existe une seule place E _W ⊆ X ⁰ dont l’image dans X est W ,

• pour toute place E 6= E _W on a que µ(E) ∩ W = ∅.

Th´ eor` eme 1.3.11 ([4], p.71) Soit (X, ∆) une paire klt et D un Q -diviseur effectif qui est Q -Cartier et tel que (X, ∆ + D) soit proprement lc. Soit W un centre minimal pour la paire (X, ∆ + D) et H un diviseur de Cartier qui est ample sur X. Pour tout nombre rationnel 0 < r 1, il existent c 1 , c 2 ∈ Q , 0 < c 1 , c 2 ≤ r et un Q -diviseur effectif A ∼ _Q c 1 H tel que la paire (X, ∆+(1 −c ₂ )D +A) soit log canonique et que W soit un centre exceptionnel pour celle-ci.

Th´ eor` eme 1.3.12 (Formule de sous-adjonction - [7], Thm 1.2)

Soit (X, D) une paire lc avec D effectif et W un centre minimal. Alors il existe un Q -diviseur effectif D _W sur W tel que

• la paire (W, D _W ) est klt,

• K _W + D _W ∼ _Q (K _X + D)| _W .

Th´ eor` eme 1.3.13 ([14], p.263) Soit X une vari´ et´ e normale et S ⊆ X un diviseur de Cartier irr´ eductible. Soit B un Q -diviseur effectif tel que S 6⊆

SuppB et supposons que K _X + S + B est Q -Cartier. Alors (X, S + B ) est plt autour de S ⇔ (S, B _S ) est klt.

Si en plus on suppose que B est Q -Cartier et (S, 0) est klt, alors :

(X, S + B) est lc autour de S ⇔ (S, B| _S ) est lc.

CHAPITRE 1. PR ´ ELIMINAIRES 10 Th´ eor` eme 1.3.14 ([6], 7.29) Soit X une vari´ et´ e projective et M un Q - diviseur nef et big sur X. Alors il existent une desingularization π : Z → X et un diviseur r´ eduit P

F _i sur Z qui est SNC et qui contient Exc(π) tel que pour tout η > 0 il existent des nombres rationnels p _i ∈ (0, η) tel que π ^∗ (M ) − P

p _i F _i est ample.

1.4 Th´ eor` emes d’annulation

Notation 1.4.1 Si D = P

a i D i est un Q -diviseur de Cartier, alors {D} = X

{a _i }D _i et dDe = X

da _i e D _i ,

ou par {a} et dae on designe la partie fractionnelle, respectivement le round- up du nombre a.

Th´ eor` eme 1.4.2 (Th´ eor` eme d’annulation de Kawamata-Viehweg relatif ) Soit X une vari´ et´ e lisse et π : X → S un morphisme propre vers une vari´ et´ e S. Supposons que le Q -diviseur D ∈ Div(X) ⊗ Q satisfait les condi- tions suivantes :

• D est π-nef et π-big,

• le support de {D} est ` a croisements normaux.

Alors R ⁱ π ∗ O _X (K _X + dDe) = 0 pour tout i > 0.

Remarque 1.4.3 Si en plus S est affine, la conclusion de ce Th´ eor` eme est

´

equivalente ` a

H ⁱ (X, O _X (K _X + dDe)) = 0, ∀ i > 0.

Preuve. Comme S est affine, on peut appliquer le Th´ eor` eme 3.5 de [9], Ch.III. On obtient que

H ⁱ (S, π _∗ O _X (K _X + dDe) = 0, ∀ j > 0.

Par la suite spectrale de Leray, ceci est ´ equivalent ` a : H ⁱ (X, O _X (K _X + dDe)) = 0, ∀ i > 0.

Th´ eor` eme 1.4.4 (Th´ eor` eme d’annulation de Kawamata-Viehweg logarith- mique)

Soit (X, ∆) une paire projective klt et D un Q -diviseur Q -Cartier sur X qui est nef et big et tel que le diviseur K _X + ∆ + D soit de Cartier. Alors

H ⁱ (X, K _X + ∆ + D) = 0, ∀ i > 0.

Pour g´ en´ eraliser le r´ esultat d’annulation du Th´ eor` eme de Kawamata- Viehweg dans une autre direction (i.e. sans l’hypoth` ese de croisements nor- males simples), on introduit la notion d’id´ eal multiplicateur. Fixons une paire (X, ∆) et une r´ esolution µ : X ⁰ → X.

Definition 1.4.5 L’id´ eal multiplicateur du diviseur Q -Cartier D pour la paire (X, ∆) est le faisceau

J ((X, ∆), D) = µ ∗ O _X

(K _X

− bµ ^∗ (K _X + ∆ + D)c).

Th´ eor` eme 1.4.6 (Annulation de Nadel) Soit (X, ∆) une paire et D un Q - diviseur Q -Cartier sur X. Si N est un diviseur de Cartier sur X tel que N − (K _X + ∆ + D) est nef et big, alors

H ⁱ (X, O _X (N ) ⊗ J ((X, ∆), D))) = 0, ∀ i > 0.

Remarque 1.4.7 Comme J (X, ∆) = O _X si et seulement si ord _E (K _X

− µ ^∗ (K _X + ∆)) > −1 ∀ E ⊆ X ⁰ , alors la paire (X, ∆) est klt si et seulement si J (X, ∆) = O _X .

Si K _X et ∆ sont Q -Cartier, alors (X, ∆) est lc ssi J (X, (1 − ε)∆) = O _X pour tout 0 ≤ ε 1 et J (X, ∆) 6= O _X .

Th´ eor` eme 1.4.8 (Th´ eor` eme d’annulation de Nadel relatif )

Soit f : X −→ Y un morphisme projectif, (X, ∆) une paire log-canonique et H un diviseur de Cartier sur X tel que H − (K _X + ∆) est f-ample. Alors on a

R ^j f ∗ (H ⊗ J (X, ∆)) = 0, ∀ j > 0.

Remarque 1.4.9 Si on rajoute aux th´ eor` emes de Nadel l’hypoth` ese que {D}

est ` a croisements normales simples et que D est (relativement) nef et big, on obtient les th´ eor` emes d’annulation de Kawamata-Viehweg dans les cas logarithmique et relatif. En effet, ceci se d´ eduit facilement si on prend N :=

K _X + ∆ dans l’´ enonc´ e du Th´ eor` eme 1.4.6, respectivement H := D + K _X et

∆ = 0 dans celui du Th´ eor` eme 1.4.8.

Chapitre 2

Petites Contractions

Dans ce chapitre on commence l’´ etude des objets centrales de ce m´ emoire, les contractions petites. On analyse principalement le syst` eme anticanonique de la vari´ et´ e X, qu’on note par A X , comme avant, pour simplifier les calculs.

Dans le Th´ eor` eme 2.0.16, on d´ emontre que le syst` eme lin´ eaire associ´ e

|A _X | est sans point de base, en utilisant r´ ecursivement un argument de non- annulation d’une section de |A X | sur une fibre de f. Ceci nous permettra de baisser la dimension de la fibre jusqu’` a ce qu’on arrive au cas trivial d’un morphisme fini.

En ce qui suit, on montre encore quelques propri´ et´ es des fibres et des intersections de leur composantes irr´ eductibles.

On veut comprendre localement les petites contractions, c’est pourquoi on va restreindre f ` a l’image inverse d’un vosinage affine de l’image d’une fibre. On a le Lemme de rigidit´ e suivant :

Lemme 2.0.10 ([6], Lm.1.15) Soient les vari´ et´ es X, Y et Y ⁰ et les mor- phismes propres π : X → Y et π ⁰ : X → Y ⁰ . Supposons que π ∗ (O _X ) ' O _Y . Alors :

• si π ⁰ contracte une fibre π ⁻¹ (y 0 ) de π, il existe une voisinage ouvert Y 0

de y ₀ dans Y et une factorisation

π ⁰ | _π

_(Y

₎ : π ⁻¹ (Y ₀ ) − → ^π Y ₀ → Y ⁰

• si π ⁰ contracte une fibre de π, il se factorise par π.

Soit Γ(X) := Spec(H ⁰ (X, O X )) et f Γ : X → Γ(X) la fonction donn´ ee par l’´ evaluation des sections globales. Ce morphisme est propre et on a que f _Γ∗ O _X = O _Γ(X) , c’est ` a dire que f <sub>Γ</sub> est ` a fibres connexes, par [9], III, Cor.11.3.

12

On applique aussi la r´ eciproque de ce r´ esultat : par hypoth` ese, f est ` a fibres connexes, ce qui entraˆıne que f ∗ O _X = O _Y .

Le fait que f est un isomorphisme en dehors des fibres implique que les morphismes f et f _Γ coincident sur X \ S

F f ibre

F . Donc Y et Γ(X) sont les mˆ emes ` a part un certain nombre de points et par le lemme de rigidit´ e, quitte

`

a restreindre Y , on a que Y = Γ(X).

Remarque 2.0.11 Si X ⁰ est un ´ el´ ement g´ en´ eral de |A _X |, alors le morphisme f ⁰ := f| _X

est aussi ` a fibres connexes.

Preuve. Si Y ⁰ = Γ(X ⁰ ), alors comme Y = Γ(X) on a que Y ⁰ , → Y est une immersion ferm´ ee, car elle est donn´ ee par l’application H ⁰ (X, O X ) → H ⁰ (X ⁰ , O _X

). En effet, par la suite exacte longue en cohomologie appliqu´ e ` a la suite exacte courte :

0 → O _X (K _X ) → O _X → O _X

→ 0,

le conoyeau de cette fl` eche est contenu dans H ¹ (X, A _X ), qui est nul par la Remarque 1.4.3 pour D = 2A _X . Alors comme f _Γ∗ ⁰ (O _X

) = O _{Γ(X )} (on fait les mˆ emes notations d’auparavant dans le cas de X ⁰ et f ⁰ ), on obtient que f ⁰ est

`

a fibres connexes.

Proposition 2.0.12 Soit f : X −→ Y une contraction ´ el´ ementaire petite, o` u X est lisse, de dimension 4 et Y est une vari´ et´ e affine. Si D est un ´ el´ ement g´ en´ eral de |A X |, alors la paire (X, D) est plt. De plus, par le Th´ eor` eme 1.3.13, ceci entraˆıne que D est ` a singularit´ es canoniques.

Preuve.

Supposons que (X, D) n’est pas plt et soit c son seuil log-canonique. Par le Lemme 5.1 de [1], la paire (X, cD) est plt dans le compl´ ement du lieu de base de |A _X |. Comme (X, cD) est proprement lc, il existe un centre minimal, qu’on note W .

Par le Th´ eor` eme 1.3.11, on peut trouver un nombre rationnel 0 < c 1 1 et un Q -diviseur effectif ample B tel que W est exceptionnel pour la paire (X, (1 − c <sub>1</sub> )cD + B ). En particulier, l’amplitude de B entraˆıne l’existence d’un nombre a 1 tel que B = a(A X + f <sup>∗</sup> H), o` u H est un diviseur ample sur Y .

Par le Th´ eor` eme 1.3.12, il existe un Q -diviseur effectif B _W sur W tel que (W, B W ) est klt et :

K _W + B _W ∼ _Q (K _X + (1 − c ₁ )cD + B)| _W ∼ _Q

CHAPITRE 2. PETITES CONTRACTIONS 14

∼ _Q (−1 + (1 − c ₁ )c + a)(A _X )| _W + af ^∗ H| _W

∼ _Q (−1 + (1 − c ₁ )c + a)(A _X )| _W ,

ce qui montre que K _W + B _W est anti-ample sur W , ´ etant un multiple negatif (parce qu’on peut choisir a suffisament petit) d’un diviseur anti-ample.

Soit Z l’union des centres log-canoniques de la paire (X, (1 − c 1 )cD + B) et I _Z l’id´ eal de Z.

Considerons la suite exacte suivante :

0 → I _Z (A _X ) → O _X (A _X ) → O _Z (A _X ) → 0

Comme A X − (K X + cD) ∼ (2 − c)(A X ) est f-ample (´ etant un multiple positif d’un diviseur f-ample), on peut appliquer le Th´ eor` eme 1.4.8 pour obtenir que

R ^j f ∗ (A X ⊗ J (X, (1 − c 1 )cD + B)) = 0, ∀ j > 0.

Par le Thm 3.5 de [9], Ch.III , le fait que Y est un sch´ ema affine entraˆıne que

H ^j (Y, f ∗ (O X (A X ) ⊗ J (X, (1 − c 1 )cD + B))) = 0, ∀ j > 0.

Par la suite spectrale de Leray, ceci est ´ equivalent ` a : H ^j (X, O X (A X ) ⊗ I Z ) = 0, ∀ j > 0.

En appliquant la suite longue en cohomologie ` a la suite exacte courte d’auparavant, on obtient :

0 → H ⁰ (X, I _Z (A _X )) → H ⁰ (X, O _X (A _X )) → H ⁰ (Z, O _Z (A _X )) → 0 Comme Z est contenu dans le lieu-base de |A _X |, on a que

H ⁰ (X, I Z (A X )) ' H ⁰ (X, O X (A X )).

Alors h ⁰ (Z, O _Z (A _X )) = 0, et comme W est une composante connexe de Z , on en d´ eduit que h ⁰ (W, O _W (A _X )) = 0.

Si la dimension de W est 0, on a toujours des sections globales l` a-dessus.

Si W est une courbe projective lisse, alors D| _W est un diviseur de Cartier et D| _W − (K _W + B _W ) ∼ _Q (1 + 1 − (1 − c ₁ )c − a)(A _X )

∼ _Q (2 − (1 − c ₁ )c − a)(A _X )| _W

est nef et big, car le coefficient de A _X est strictement positif. Comme on est sur une courbe projective, ceci est ´ equivalent au fait que D| _W − (K _W + B _W ) est ample, ce qui implique deg(D| _W − (K _W + B _W )) > 0. Alors

deg(D| _W ) > deg(K _W + B _W ) ≥ degK _W = 2g − 2.

Comme h ⁰ (W, D| W ) ≥ h ⁰ (W, D| W ) − h ¹ (W, D| W ) = 1 − g + degD. Si le genre de W est 0, le fait que D soit effectif (donc de degr´ e positif sur une courbe) entraˆıne que h ⁰ (W, D| _W ) 6= 0. Sinon, en utlisant l’in´ egalit´ e pr´ ec´ edente on a que h ⁰ (W, D| W ) 6= 0 > g − 1 et on tombe sur la mˆ eme conclusion qui contredit la supposition initiale.

Si la dimension de W est ´ egale a 2, on est bien dans les hypoth` eses du Th´ eor` eme 3.1 de [8] : la paire (W, B W ) est klt, A X | W est nef (mˆ eme ample) et par le mˆ eme calcul d’auparavant A _X | _W − (K _W + B _W ) est bien nef et big,

´

etant un multiple positif d’un ample. Ainsi on a que h ⁰ (W, O _W (A _X )) 6= 0, contradiction.

Th´ eor` eme 2.0.13 Soit f : X → Y une contraction ´ el´ ementaire petite d’une vari´ et´ e de dimension 4 et F est une fibre de f. Alors Bs| − K _X | ne contient aucune des composantes irr´ eductibles de F . De fa¸ con ´ equivalente, il existe une section de −K _X qui ne s’annulle pas sur aucune composante de F .

Preuve.

On peut choisir un diviseur B sur X qui est le pull-back d’un diviseur sur Y tel que la paire (X, B) est log canonique en dehors de F et (X, B ) n’est pas log canonique au point g´ en´ erique de toute composante irr´ eductible de F . En effet, si on prend des fonctions ψ ₁ , . . . , ψ _m sur Y qui s’annullent sur f (F ), alors les pull-backs de leurs diviseurs contiennent F . Notons D _i :=

{f ^∗ ψ _i } et soit B := P

D _i . Par le choix g´ en´ eral de ces sections, on peut supposer que les D _i se coupent normalement et T

i

Supp D _i ⊆ F .

Le fait que X est lisse entraˆıne que X \ F l’est aussi, et on obtient que D _i \ F est lisse, car D _i \ F appartient ` a un sisyt` eme lin´ eaire sans points base (dans le Lemme 5.1 de [1] on montre que le lieu des singularit´ es canoniques d’un ´ el´ ement g´ en´ eral d’un syst` eme lineaire se trouve dans son lieu de base).

Donc on a bien que (X, B ) est log canonique en dehors de F .

Pour la deuxi` eme partie, si on ´ eclate une composante irr´ eductible F <sup>0</sup> de F , on obtient un diviseur exceptionnel dont la discr´ epance par rapport ` a K _X + B est strictement plus petite que −1. En effet, si µ : X ⁰ → X est l’´ eclatement de F ⁰ , on a que :

K _X

= µ ^∗ K _X + aE et µ ^∗ D _i = D _i ⁰ + λ _i E,

CHAPITRE 2. PETITES CONTRACTIONS 16 o` u D _i ⁰ est la transform´ ee stricte de D _i et λ _i ≥ 1 ∀i ∈ {1 . . . m}. En sommant ces relations, on obtient :

K _X

= µ ^∗ (K _X + X

D _i ) + (a − X

λ _i )E − X D _i ⁰ . La discr´ epance de E par rapport ` a K <sub>X</sub> + B est ´ egale ` a a − P

λ _i ≤ a − m, qui est bien plus petite que −1, car on peut toujours augmenter le nombre de D _i choisis, alors que a reste constante.

Soit ϕ : Z → X une log r´ esolution de (X, B ), i.e. Z est lisse et tous les diviseurs relevants sont lisses et se coupent normalement. Alors on a :

• K _Z = ϕ ^∗ K _X + P

e _i E _i , ou e _i > −1,

• ϕ ^∗ B = P

b _i E _i , ou b _i ≥ 0 et

• Par le Th´ eor` eme 1.3.14, il existe un Q -diviseur f ◦ ϕ-ample T et 0 ≤ p _i 1 tel que T = − P

p _i E _i .

Soit F ⁰ ⊂ F une composante irr´ eductible, on definit : c := min

e _i + 1 − p _i

b _i | F ⁰ ⊂ ϕ(E _i ), b _i > 0

On peut supposer, quitte ` a perturber les coefficients p _i , que le minimum est obtenu seulement pour l’indice i = 0.

Claim : Par le choix de c on obtient que : 1. 0 < c < 1,

2. ϕ(E 0 ) = F ⁰ ,

3. si cb i − e i + p i < 0, alors E i est ϕ-exceptionnel,

4. si cb _i − e _i + p _i ≥ 1 et i 6= 0, alors F ⁰ n’est pas contenu dans ϕ(E _i ).

En effet, on a bien que K _Z = ϕ ^∗ (K _X + cB) + P

(e _i − cb _i )E _i quelque soit c. Par supposition (X, B) n’est pas log canonique sur F ⁰ , i.e. e _i − b _i < −1 pour au moins un i, ce qui implique c < 1. Alors (X, cB) est klt en dehors de F , donc ϕ(E _i ) ⊂ F . Comme F ⁰ est une composante irr´ ductible de F , ceci d´ emontre l’affirmation 2. Si cb _i − e _i + p _i < 0, alors e _i > 0, et ainsi E _i est ϕ-exceptionnel. La quatri` eme affirmation est vraie par la d´ efinition de c.

Soit le diviseur

K Z + T + X

(cb i − e i + p i )E i + ϕ ^∗ (tA X ) ∼ _Q

∼ _Q ϕ ^∗ (K _X ) + ϕ ^∗ (cB) + ϕ ^∗ (tA _X ) ∼ _Q ϕ ^∗ ((t − 1)A _X ),

car ϕ ^∗ (cB) ∼ _Q 0. En effet, comme B est un pull-back d’un diviseur de Y (que l’on note D), pour une courbe C ⊆ Z on a :

((f ◦ ϕ) ^∗ (cD) · C) ∼ _Q (cD · (f ◦ ϕ) ∗ C) ∼ _Q 0, car Y est affine, donc (f ◦ ϕ) ∗ C = 0.

On d´ ecompose la somme

X (cb i − e i + p i )E i = E 0 + H ⁰⁰ − H ⁰ + F r,

o` u E ₀ , H ⁰ et H ⁰⁰ sont des diviseurs effectifs sans composantes en commun et F r = P

{cb _i − e _i + p _i }E _i . On remarque qu’a cause du choix de c, F r est nul le long de E ₀ . En plus, par 3) on a que H ⁰ est ϕ-exceptionnel et F ⁰ n’est pas contenu dans ϕ(H ⁰⁰ ).

Soit t un entier tel que t ≥ −1. Par construction, le diviseur ϕ ^∗ (tA _X ) − E ₀ + H ⁰ − H ⁰⁰ − K _Z − F r ∼ _Q T + ϕ ^∗ ((t + 1)A _X )

est f ◦ ϕ-ample (car ϕ ^∗ ((t + 1)A _X ) est au moins nef et T est f ◦ ϕ-ample).

On restreint ` a E ₀ et par la formule d’adjonction on obtient le diviseur : (ϕ ^∗ (tA _X ) + H ⁰ − H ⁰⁰ )| _E

− K _E

− F r _E

qui est ample. En appliquant deux fois le Th´ eor` eme 1.4.2 et la Remarque 1.4.3, pour tout i > 0 on a que :

H ⁱ (Z, ϕ ^∗ (tA _X ) − E ₀ + H ⁰ − H ⁰⁰ ) = 0

et H ⁱ (E ₀ , (ϕ ^∗ (tA _X ) − E ₀ + H ⁰ − H ⁰⁰ )| _E

) = 0. (2.1) On note N (t) := ϕ ^∗ (tA _X ) + H ⁰ − H ⁰⁰ . Par la premi` ere annulation, les restric- tions

H ⁰ (Z, N (t)) −→ H ⁰ (E 0 , N(t)| E

) (2.2) sont surjectives pour tout t ≥ −1.

En outre, par l’annulation (2.1) on a que χ(N(t)| _E

) = h ⁰ (N(t)| _E

) pour tout t ≥ −1.

S’il existait une section nonnulle s de N (t)| _E

, on pourrait l’´ etendre en une section nonnulle de N (t) sur Z. Comme E ₀ n’est pas contenu dans le support de H ⁰⁰ , on obtient une section s ∈ H ⁰ (Z, ϕ ^∗ (tA _X ) + H ⁰ ) qui n’est pas identiquement 0 le long de E ₀ . De plus, comme H ⁰ est ϕ-exceptionnel, il existe un isomorphisme

H ⁰ (Z, ϕ ^∗ (tA _X ) + H ⁰ ) → H ⁰ (X, tA _X )

CHAPITRE 2. PETITES CONTRACTIONS 18 qui envoie s en une section de tA _X qui ne s’annule pas le long de F ⁰ = ϕ(E ₀ ).

Comme pour t = −1 le diviseur tA _X est anti-ample sur F ⁰ , il n’existent pas des sections globales de tA _X qui ne s’annulent pas sur F ⁰ , ce qui implique que H ⁰ (E ₀ , N (−1)) = 0.

Soit χ(t) := χ(E ₀ , N (t)) la caract´ eristique d’Euler-Poincar´ e. Alors χ est un polynˆ ome de degr´ e ≤ 2 = dim ϕ(E ₀ ) = dim F ⁰ . On veut montrer que 1 n’est pas une de ses racines. Par ce qui pr´ ec` ede on a que χ(t) = 0 pour t = −1, donc dim F <sup>0</sup> ≥ 1. Comme par hypoth` ese dim F ⁰ ≤ 2, soit χ n’a aucune racine positive, soit il est de la forme χ(t) = α(t + 1)(t − β), avec β ≥ 0.

Pour t ≥ 1, par la formule de projection on a que

χ(t) = h ⁰ (E ₀ , ϕ ^∗ (tA _X ) + H ⁰ − H ⁰⁰ ) = h ⁰ (F, tA _X ⊗ ϕ _∗ (H ⁰ − H ⁰⁰ )).

Remarque 2.0.14 Si on choisit t suffisament grand, χ(t) est nonnulle.

Preuve. En effet, ` a cause de l’amplitude de A _X sur la fibre F , l’annulation ne peut arriver que si le faisceau lui-mˆ eme est trivial, i.e. si ϕ ∗ (H ⁰ − H ⁰⁰ ) = 0 au- dessus de F ⁰ . Mais si G est la fibre g´ en´ erique du morphisme E ₀ → ϕ(E ₀ ) = F ⁰ , alors rgϕ ∗ = h ⁰ (G, (H ⁰ − H ⁰⁰ )| _G ) et comme par construction on a que ϕ(H ⁰⁰ ) ne contient pas F ⁰ , alors G ∩ H ⁰⁰ = ∅. On en d´ eduit que en fait rgϕ _∗ = h ⁰ (G, H ⁰ | _G ), qui est diff´ erent de 0 car H ⁰ est effectif.

Comme on a sˆ urement des sections globales ` a partir d’un certain rang, en appliquant l’annulation (2.1) et χ(N (t)| _E

) = h ⁰ (N (t)| _E

), alors χ(t) > 0 pour t 0 (d’ou α > 0) et χ(0) = h ⁰ (E ₀ , H ⁰ − H ⁰⁰ ) ≥ 0 ↔ α · (−β) ≥ 0 → β = 0. Ainsi, dans les deux cas on a obtenu que H ⁰ (E ₀ , N (1)) 6= 0.

Par la surjectivit´ e de l’application (2.2) et le paragraphe ulterieur on obtient une section de A _X dans un voisinage de F qui ne s’annule pas le long de F ⁰ , ce qui conclut la preuve.

Proposition 2.0.15 Soit un morphisme birationnel f : X → Y o` u Y est une vari´ et´ e affine et X est une vari´ et´ e projective de dimension 3 au singula- rit´ es canoniques et dont K _X ' O _X . Si tous ses fibres on dimension au plus

´

egale ` a 1 et L est un diviseur f-ample sur X, alors Bs|L| ne contient aucune composante irr´ eductible des fibres de f.

Preuve. Notons par F la fibre g´ en´ erique. Comme pr´ ec´ edemment, on consid` ere un diviseur B sur X tel que (X, B ) est log canonique en dehors de F et pas log canonique sur aucune de ses composantes irr´ eductibles, que l’on obtient en tirant en arri` ere un diviseur de Y .

Soit ϕ : Z → Y une r´ esolution de Bs|L|. On obtient :

• K _Z = P

e _i E _i , o` u e _i > −1, comme K _X est trivial

• ϕ ^∗ B = P

b _i E _i , o` u b _i ≥ 0 et

• il existe un Q -diviseur f◦ϕ-ample T et 0 ≤ p _i 1 tel que T = − P p _i E _i (encore par Th´ eor` eme 1.3.14).

Soit F ⁰ ⊂ F une composante irr´ eductible, on d´ efinit : c := min

e _i + 1 − p _i

b _i | F ⁰ ⊂ ϕ(E _i ), b _i > 0

et on suppose comme auparavant qu’il est atteint que pour un diviseur E ₀ . Le Claim est alors aussi valable dans ce cas.

On consid´ ere le diviseur K _Z + T + X

(cb _i − e _i + p _i )E _i + ϕ ^∗ (tL) ∼ _Q

∼ _Q ϕ ^∗ (cB) + ϕ ^∗ (tL) ∼ _Q ϕ ^∗ (tL),

car ϕ ^∗ (cB) ∼ _Q 0. En effet, comme B est un pull-back d’un diviseur de Y (que l’on note D), pour une courbe C ⊆ Z on a :

((f ◦ ϕ) ^∗ (cD) · C) ∼ _Q (cD · (f ◦ ϕ) ∗ C) ∼ _Q 0, car Y est affine, donc (f ◦ ϕ) _∗ C = 0.

On peut ´ ecrire :

X (cb _i − e _i + p _i )E _i = E ₀ + H ⁰⁰ − H ⁰ + F r,

o` u E ₀ , H ⁰ et H ⁰⁰ sont des diviseur effectifs sans des composantes irr´ eductibles en commun et F r = P

{cb _i − e _i + p _i }E _i . ` A cause du choix de c, F r est nul le long de E 0 . En plus, par le troisi‘eme point du Claim on a que H ⁰ est ϕ-exceptionnel et F ⁰ n’est pas contenu dans ϕ(H ⁰⁰ ).

On obtient aussi les deux annulations :

• Si t un entier positif, le diviseur

ϕ ^∗ (tL) − E ₀ + H ⁰ − H ⁰⁰ − K _Z − F r ∼ _Q T + ϕ ^∗ (tL)

est f ◦ ϕ-ample (c’est la somme d’un diviseur f ◦ ϕ-ample et un nef).

Par le Th´ eor` eme 1.4.2 et la Remarque 1.4.3, on a que

H ⁱ (Z, ϕ ^∗ (tL) − E ₀ + H ⁰ − H ⁰⁰ ) = 0.

CHAPITRE 2. PETITES CONTRACTIONS 20

• Si on le restraint ` a E ₀ et on utilise la formule d’adjonction on obtient le diviseur ample

(ϕ ^∗ (tL) + H ⁰ − H ⁰⁰ )| _E

− K _E

− F r _E

∼ _Q (T + ϕ ^∗ (tL))| _E

. Encore en appliquant le Th´ eor` eme 1.4.2 et la Remarque 1.4.3, cette fois pour le morphisme (f ◦ ϕ)| _E

, pour tout i > 0 on a que :

et H ⁱ (E ₀ , (ϕ ^∗ (tL) − E ₀ + H ⁰ − H ⁰⁰ )| _E

) = 0.

On note N (t) := ϕ ^∗ (tL)+H ⁰ −H ⁰⁰ . Par la premi` ere annulation, les restrictions H ⁰ (Z, N (t)) −→ H ⁰ (E ₀ , N(t)| _E

) (2.3) sont surjectives pour tout t ≥ 0.

Pareil que dans la preuve du Th´ eor` eme 2.0.13, on en d´ eduit que toute section globale nonnulle de N (t)| _E

correspond ` a une section de tL qui ne s’annule pas le long de F ⁰ = ϕ(E 0 ).

On consid` ere la caract´ eristique d’Euler-Poincar´ e χ(t) := χ(E <sub>0</sub> , N (t)), qui est un polynˆ ome de degr´ e ≤ 1 = dim ϕ(E <sub>0</sub> ) = dim F <sup>0</sup> . Il a une racine, et on peut l’´ ecrire sous la forme χ(t) = α(t − β). Aussi, par la deuxi` eme annulation on a que χ(N (t)| _E

) = h ⁰ (N(t)| _E

) pour tout t ≥ 0. Alors β n’est pas ´ egale ` a 1, car α est positive (parce que χ(t) > 0 pour t 0 par le mˆ eme raisonnement de la Remarque 2.0.14 appliqu´ e dans le cas de L) et χ(0) = h ⁰ (E ₀ , H ⁰ − H ⁰⁰ ) ≥ 0.

Donc il existe une section nonnulle s ∈ H ⁰ (E ₀ , (ϕ ^∗ L + H ⁰ − H ⁰⁰ )| _E

) et de fa¸con ´ equivalente on a une section de L dans un voisinage de F qui ne s’annule pas le long de F ⁰ , i.e. le lieu-base de |L| ne contient aucune des composantes irr´ eductibles de F .

Th´ eor` eme 2.0.16 Soit f : X → Y une contraction ´ el´ ementaire petite d’une vari´ et´ e de dimension 4, et F une de ses fibres dont la dimension est au plus

´

egale ` a 2. Alors le morphisme d’´´ evaluation f ^∗ f ∗ A _X −→ A _X est surjectif en tout point de la fibre F .

Preuve.

Soit X ⁰ un diviseur du syst` eme |A _X | et f ⁰ := f | _X

. Par le Th´ eor` eme 3.0.32, on peut choisir X ⁰ tel qu’il ne contienne aucune des composantes irr´ eductibles de la fibre F . Ceci entraˆıne que la dimension des fibres de f ⁰ est

´

egale ` a dim F − 1 = 1.

On veut montrer que toute section de A X sur X ⁰ se prolonge sur X. On

consid` ere la suite exacte courte suivante :

0 → A _X ⊗ I _X

→ A _X → A _X | _X

→ 0

Si on applique la suite exacte longue en cohomologie, on obtient :

· · · → H ⁰ (X, A _X ) → H ⁰ (X ⁰ , A _X | _X

) → H ¹ (X, A _X ⊗ I _X

) → · · · donc il suffit de montrer que le membre de droite s’annule.

En utilisant la Remarque 1.4.7 et le fait que X est lisse, on a que : A _X ⊗ I _X

' A _X ⊗ O _X (−A _X ) ' O _X .

Comme A _X est f-ample, on peut appliquer le Th´ eor` eme 1.4.8 pour H = O _X et ∆ = 0, en obtenant :

R ^j f _∗ (O _X ) = 0, ∀ j > 0.

En utilisant le mˆ eme argument que dans la Remarque 1.4.3, on en d´ eduit l’annulation en cohomologie

H ^j (X, O _X ) = 0 ∀ j > 0, (2.4) ce qui nous permet de prolonger les sections de A _X | _X

sur X.

Ensuite on montre que si A _X | _X

est sans point base sur X ⁰ , on a termin´ e.

En effet, comme on a choisi X ⁰ ∈ |A _X |, tout point-base de A X devrait ˆ etre contenu dans X ⁰ . Soit p ∈ X ⁰ , alors il existe une section s ⁰ ∈ H ⁰ (X ⁰ , A _X | _X

) telle que s ⁰ (p) 6= 0. Par le paragraphe anterieur, on peut prolonger s ⁰ dans une section globale s ∈ H ⁰ (X, A X ). Ainsi, s ne s’annule pas en p, ce qui montre que p n’appartient pas ` a Bs|A _X |.

On s’est r´ eduit ` a d´ emontrer que si f ⁰ : X ⁰ → Y ⁰ est un morphisme birationnel et A ⁰ _X := A X | X

est f ⁰ -ample, alors A X

est sans point base sur X ⁰ . Par la Proposition 2.0.15, le fait que A ⁰ _X est f -ample entraˆıne que Bs|A ⁰ _X | ne contient aucune des composantes irr´ eductibles des fibres de f ⁰ . Alors, si on prend un diviseur g´ en´ eral X ⁰⁰ dans |A ⁰ _X | et on consid` ere le morphisme f <sup>00</sup> : X <sup>00</sup> → Y <sup>00</sup> , o` u f ⁰⁰ = f ⁰ | _X

, ses fibres seront z´ ero-dimensionnelles. Par le Th´ eor` eme 3.7 de [9], Ch.III, ceci implique que tout fibr´ e en droites sur X ⁰⁰ est globalement engendr´ e, donc A X | X

l’est aussi.

Pour terminer la preuve, il faut encore une fois montrer qu’on peut pro- longer les sections de A _X , cette fois de X ⁰⁰ ` a X <sup>0</sup> . Similairement, apr` es avoir appliqu´ e la suite exacte longue en cohomologie ` a la suite exacte courte :

0 → A ⁰ _X ⊗ I _X

→ A ⁰ _X → A ⁰ _X | _X

→ 0,

on voit qu’il suffit de montrer le r´ esultat suivant :

CHAPITRE 2. PETITES CONTRACTIONS 22 Lemme 2.0.17 Soit f : X → Y une contraction petite. Si X ⁰ ∈ |A _X | g´ en´ eral, alors H ¹ (X ⁰ , O _X

) = 0.

Preuve. Prenons la suite exacte courte

0 → I X

→ O X → O X

→ 0.

En lui appliquant la suite exacte longue en cohomologie on obtient :

· · · → H ¹ (X, O _X ) → H ¹ (X ⁰ , O _X

) → H ² (X, I _X

) → · · · .

On sait d´ ej` a que H ¹ (X, O _X ) = 0. Comme X ⁰ ∈ |A _X | on a I _X

' O _X (K _X ) et alors il suffit de montrer que H ² (X, K _X ) = 0. Mais par la dualit´ e de Serre et ensuite en appliquant la relation (2.4) on a que

H ² (X, K X ) = H ² (X, K X − K X ) = H ² (X, O X ) = 0.

Comme les sections de A _X sur X ⁰⁰ s’´ etendent sur X ⁰ et on avait choisi X ⁰⁰ ∈ |A X | X

|, on obtient que A X | X

est bien sans point base sur X ⁰ .

Th´ eor` eme 2.0.18 ([8], Thm 1.1 et Remarque 1.2) Soit (X, L) une vari´ et´ e irr´ eductible polaris´ ee n-dimensionelle tel que L ⁿ = 1 et h ⁰ (X, L) ≥ n + 1.

Alors (X, L) ' ( P ⁿ , O(1)).

Th´ eor` eme 2.0.19 Soit f : X → Y une petite contraction d’une vari´ et´ e lisse de dimension 4 et F _i une composante irr´ eductible d’une fibre. Alors F _i ' P ² .

Preuve.

On a d´ ej` a demontr´ e que A X est relativement globalement engendr´ e sur X, donc il l’est aussi sur F _i . Comme F _i est une surface, on a que h ⁰ (F _i , A _X | _F

) ≥ 2.

Si dim H ⁰ (F i , A X | F

) = 2, soit s 1 et s 2 deux sections qui l’engendrent et

D ₁ , respectivement D ₂ les diviseurs donn´ es par leur lieu des z´ eros. Comme

A _X | _F

est ample et les supports de D ₁ et D ₂ sont des courbes, leur intersec-

tion est strictement positive, c’est ` a dire D 1 et D 2 se coupent en un certain

nombre de points. Si f ₁ et f ₂ sont les ´ equations de D ₁ , respectivement D ₂ ,

tous les autres diviseurs lin´ eairement ´ equivalents ` a A _X | _F

ont des ´ equations

de la forme λf 1 + µf 2 . Alors tous ces diviseurs contiennent D 1 ∩ D 2 , ce

qui implique que ces points sont les points-base du syst` eme |A _X | _F

|, ce qui

est en contradiction avec le fait que A _X | _F

est globalement engendr´ e. Donc

h ⁰ (F i , A X | F

) ≥ 3.

Pour conclure, on v´ erifie qu’on est bien dans les hypoth` eses du Th´ eor` eme 2.0.18. En effet, si on consid` ere le morphisme donn´ e par la normalisation dans la Proposition 1.1.5 ν : P ² → F _i , on a que ν ^∗ A _X | _F

= O _P

(1), donc

(A _X | _F

) ² = (O _P

(1)) ² = 1.

Ainsi, on a que A X | ² _F

= 1 et h ⁰ (F i , A X | F

) ≥ 3, donc on peut appliquer le Th´ eor` eme 2.0.18 pour en d´ eduire que (F _i , A _X | _F

) ' ( P ² , O _P

(1)).

Remarque 2.0.20 La preuve de ce r´ esultat nous montre en plus l’isomor- phisme des fibr` es O _P

(1) et A X | F

. Ceci entraˆıne que toute intersection d’un diviseur g´ en´ eral X ⁰ ∈ |A _X | avec une composante irr´ eductible de la fibre est en fait une droite.

Lemme 2.0.21 Soit f : X → Y une contraction petite, o` u X est de dimen- sion 4, la vari´ et´ e Y est affine. Soit X ⁰ ∈ |A _X | un ´ el´ ement g´ en´ eral et F ⁰ un sous-sch´ ema de X ⁰ dont le support est contenu dans une fibre de f | _X

. Alors

H ¹ (F ⁰ , O _F

) = 0.

Preuve.

Notons y = f(F ⁰ ). On consid` ere la suite exacte courte : 0 → I _F

→ O _X

→ O _F

→ 0,

dont on applique le foncteur R ^• f ∗ . Comme dim F ⁰ ≤ 1, on a que R ⁱ f ∗ (I _F

) _y = 0 pour tout i > 1, ce qui entraˆıne que l’application

R ¹ f ∗ (O _X

) → R ¹ f ∗ (O _F

) (2.5) est surjective.

Comme Y est affine, les feuilles de la suite spectrale de Leray associ´ ee au morphisme f peuvent avoir seulement la premi` ere colonne nonnulle, c’est ` a dire des ´ el´ ements de la forme

H ⁰ (R ⁱ f ∗ (O _X

)), ∀ i ≥ 0.

Ceci implique H ¹ (X ⁰ , O _X

) = H ⁰ (Y, R ¹ f ∗ (O _X

)), et comme par le Lemme

2.0.17 on a que H ¹ (X ⁰ , O X

) = 0, on en d´ eduit que R ¹ f ∗ (O X

) = 0. Alors

l’application 2.5 est nulle, et toujours par la suite spectrale de Leray on en

d´ eduit que H ¹ (F ⁰ , O _F

) = 0.

CHAPITRE 2. PETITES CONTRACTIONS 24 Remarque 2.0.22 On a fait cette preuve en toute g´ en´ eralit´ e (i.e. pour un sous-sch´ ema arbitraire de X ⁰ ) pour pouvoir l’appliquer plus tard tant aux composantes irr´ eductibles d’une fibre qu’aux r´ eunions finies de ces compo- santes.

Definition 2.0.23 Si F est une fibre de dimension 1 d’une contraction cre- pante, on lui associe un graphe construit ainsi :

• les arˆ etes representent ses composantes irr´ eductibles

• les sommets repr´ esentent leurs points d’incidence.

Corollaire 2.0.24 Toute composante irr´ eductible F ⁰ de dimension 1 d’une contraction petite ou crepante est une courbe rationnelle lisse. Si F est une fibre de dimension 1 d’une contraction petite ou crepante, alors H ¹ (F, O _F ) = 0 et ainsi le graphe de F est simplement connexe.

Remarque 2.0.25 On appliquera ces r´ esultats ` a la contraction f | _X

. En effet, par la propri´ et´ e d’adjonction on a que K _X

= 0, donc il s’agit bien d’une contraction crepante.

Lemme 2.0.26 Soit f : X → Y une contraction petite F une de ses fibres et F ⁰ un sous-sch´ ema de X dont le support est contenu dans F . Soit aussi X ⁰ ∈ |A _X | le lieu des z´ eros d’une section nontriviale de A _X . Alors on a que :

H ¹ (F ⁰ ∩ X ⁰ , O _F

∩X

) = 0.

Preuve.

Soit y ∈ Y l’image de F ⁰ par f et I _F

∩X

l’id´ eal de F ⁰ ∩ X ⁰ dans X ⁰ . Considerons la suite exacte de faisceaux suivante :

0 → I _F

∩X

→ O _X

→ O _F

∩X

→ 0.

En lui appliquant le foncteur R ^• f et tenant compte que R ⁱ f ∗ (I _F

∩X

) _y = 0 si i > 1 (par Thm.2.7, Ch.III de [9] et le fait que dim F ⁰ ∩ X ⁰ ≤ 1), on obtient que l’application :

R ¹ f ∗ (O _X

) → R ¹ f ∗ (O _F

∩X

) (2.6) est surjective.

Considerons la suite spectrale de Leray associ´ ee ` a f . Comme Y est affine, seulement la premi` ere colonne de chaque feuille peut ˆ etre nulle, et on en d´ eduit que H ¹ (X ⁰ , O _X

) = H ⁰ (Y, R ¹ f ∗ (O _X

)). Cette quantit´ e est ´ egale ` a 0

`

a cause du Thm.3.5, Ch.III de [9], donc R ¹ f ∗ (O _X

) = 0. Ceci implique que

l’application (2.6) est nulle et alors R ¹ f ∗ (O F

∩X

) = 0. Encore par la suite

spectrale de Leray on obtient que H ¹ (F ⁰ ∩ X ⁰ , O _F

∩X

) = 0.

Lemme 2.0.27 Soit F est une fibre de dimension 2 d’une contraction petite f : X → Y , o` u X est de dimension 4 et Y est affine. Alors F est Cohen- Macaulay.

Preuve.

Soit x un point dans F . Alors il existe une section C ∈ |A X | qui est g´ en´ eriquement r´ eduite, connexe qui passe par x.

Prenons la suite exacte de faisceaux sur F : 0 → A ^∗ _X → O F → O C → 0,

et remarquons qu’elle reste valide pour tout C ∈ |A _X |. Comme χ(O _F ) et χ(A ^∗ _X ) ne dependent pas du choix de C, on en d´ eduit que χ(O _C ) = χ(O _C

), pour toute section g´ en´ erale C ⁰ de |A _X |. Par le Lemme 2.0.26 on sait que h ¹ (O _C ) = h ¹ (O _C

) = 0, donc comme C et C ⁰ sont des courbes on obtient que h ⁰ (O _C ) = h ⁰ (O _C

) = 1.

On consdiere la suite exacte

0 → S → O _C → O _C

→ 0,

o` u S est un faisceau gratte-ciel support´ e par les points non-Cohen-Macaulay de C. Comme h ⁰ (O _C ) = h ⁰ (O _C

) = 1, on en d´ eduit que S = 0 et alors C est Cohen-Macaulay. Comme C est un diviseur de Cartier, tout point de C est un point Cohen-Macaulay de F .

Lemme 2.0.28 Soit f : X → Y une contraction petite d’une vari´ et´ e de dimension 4 et F une fibre de dimension 2 que l’on suppose r´ eductible. Si F 1

et F ₂ sont deux composantes de F qui s’intersectent, alors leur intersection est forc´ ement une droite par rapport ` a A _X .

Preuve.

On a d´ ej` a montr´ e dans le Th´ eor` eme 2.0.19 que F _i ' P ² pour toute F _i ⊂ F irr´ eductible. Si on restreint la contraction ` a un diviseur g´ en´ eral X ⁰ ⊂ |A _X |, cette application aura aussi des fibres connexes par la Remarque 2.0.11.

Comme chaque F _i est lisse, les singularit´ es de F sont donn´ ees justement par des intersections des composantes irr´ eductibles F _i . Soit F _sing le lieu sin- gulier de F .

Premi` ere ´ etape : Si F ₁ et F ₂ s’intersectent le long d’une courbe B, soit

C ₁ respectivement C ₂ leur intersection avec X ⁰ .

CHAPITRE 2. PETITES CONTRACTIONS 26 Comme f| _X

a des fibres connexes, on en d´ eduit que au moins un des points de C ₁ ∩ C ₂ est dans B, donc C ₁ ∩ C ₂ ∩ B 6= ∅. Alors :

B ∩ C ₁ = (F ₁ ∩ F ₂ ) ∩ (F ₁ ∩ X ⁰ ) = F ₁ ∩ F ₂ ∩ X ⁰ =

= (F ₁ ∩ F ₂ ) ∩ (F ₂ ∩ X ⁰ ) = B ∩ C ₂ .

Donc on a obtenu que C ₁ passe par tout point d’incidence de B avec C ₂ et vice versa.

Supposons alors qu’il existent au moins deux points d’incidence de B, C ₁ et C ₂ . Prenons la suite exacte de faisceaux :

0 → O _C

(−C ₁ ∩ C ₂ ) → O _C

_∪C

→ O _C

→ 0. (2.7) En utilisant le fait que tant le degr´ e de C ₁ que celui de C ₂ est ´ egal ` a 1 (par la Remarque 2.0.20), on a que O C

(−C 1 ∩ C 2 ) ' O _P

(−k), o` u k ≥ 2 est le nombre de points de cette intersection. Par le Lemme 2.0.21, on sait que h ¹ (C ₂ , O _C

) = 0, et en appliquant la suite exacte longue en cohomologie

`

a la suite exacte (2.7), on obtient que h ¹ (C, O C ) 6= 0, ce qui contredit la conclusion du mˆ eme lemme appliqu´ e dans le cas de C.

Deuxi` eme ´ etape : Supposons que F ₁ et F ₂ s’intersectent seulement dans des points et fixons x ∈ F ₁ ∩ F ₂ un d’entre eux.

Remarque 2.0.29 Par le Lemme 2.0.27, on sait que F est Cohen-Macaulay.

Avec cette hypoth` ese, la situation o` u il existe un point isol´ e x ∈ F _sing ne peut jamais arriver.

Si pour toute autre composante irr´ eductible F i de la fibre F on a que x / ∈ F _i , alors x ∈ F _sing est isol´ e, ce qui par la Remarque 2.0.29 est une contradiction.

On se trouve dans une des situations suivantes :

1. Il existe x ∈ F ₃ une autre composante telle que tant F ₁ ∩ F ₃ que F ₂ ∩ F ₃ sont des courbes, que l’on note B ₁ respectivement B ₂

2. La situation pr´ ec´ edente n’arrive pour aucun F _i , par contre il existe une composante F 3 qui contient x tel que F 1 ∩ F 3 est une courbe et F 2 ∩ F 3

est de dimension 0 (quitte ` a echanger F ₁ par F ₂ )

3. Toute autre composante qui passe par x intersecte F ₁ et F ₂ seulement

dans des points.

Une version simplifi´ ee des configurations qu’on vient de d´ ecrire se retrouve dans la figure suivante :

On veut ´ ecarter tous ces cas. D´ ej` a, par la Remarque 2.0.29, la derni` ere situation ne peut jamais arriver (sinon x est un point singulier isol´ e).

Supposons qu’on est dans la deuxi` eme configuration. Comme on a exclu le premier cas par d´ efinition, ceci implique que les composantes F 1 et F 3

rencontrent toutes les autres qui passent par x (si elles existent) seulement dans des points, ce qui entraˆıne que x est un point singulier isol´ e, comme dans la figure suivante :

Le seul cas qui pourrait toujours arriver c’est le premier. Par hypoth` ese on

sait que A _X est f -globalement engendr´ e, ce qui entraˆıne que h ⁰ (F _i , A _X | _F

) ≥ 3

(pour plus de d´ etails, voir la preuve du Th´ eor` eme 2.0.19). Mais dans notre

cas on a ´ egalit´ e, donc toute droite de F i se r´ ealise comme une intersection

d’un ´ el´ ement de A _X et F _i . Particuli` erement, il existe X ⁰ ∈ A _X et une droite

C ₃ ⊂ F ₃ qui contient x tel que C ₃ = X ⁰ ∩ F ₃ . Donc B ₁ 6⊂ X ⁰ , impliquant que

F 1 6⊂ X ⁰ et ainsi X ⁰ ∩ F 1 est une courbe. Si on fait le mˆ eme raisonnement

pour F ₂ , on obtient que X ⁰ ∩ F ⁰ est form´ e par trois droites C ₁ , C ₂ et C ₃ qui

s’intersectent en x :

CHAPITRE 2. PETITES CONTRACTIONS 28

Alors h ¹ (X ⁰ ∩ F ⁰ , O _X

∩F

) 6= 0, ce qui contredit le Lemme 2.0.26.

Lemme 2.0.30 Dans la situation pr´ ec´ edente, il n’y a pas trois composantes irr´ eductibles de la fibre qui se croisent le long d’une droite.

Preuve. Supposons qu’il existent trois composantes S ₁ , S ₂ et S ₃ qui s’in- tersectent le long de la droite l. Par le Th´ eor` eme 2.0.19, elles sont isomorphes

`

a P ² . On peut choisir un diviseur g´ en´ eral X ⁰ dans |A _X | tel que son intersec- tion avec S ₁ ∪ S ₂ ∪ S ₃ consiste en trois droites qui se coupent dans un point situ´ e sur l.

Alors le premier groupe de cohomologie du sousch´ ema X ⁰ ∩ (S ₁ ∪ S ₂ ∪ S ₃ ) de la fibre de f restreint ` a X ⁰ n’est pas nul, ce qui est en contradiction avec le Lemme 2.0.21.

Proposition 2.0.31 Dans les mˆ emes hypoth` eses que celle du Lemme 2.0.28, une fibre isol´ ee a au plus deux composantes irr´ eductibles.

Preuve. Supposons qu’il existent trois composantes irr´ eductibles de la fibre, F ₁ , F ₂ et F ₃ . Sans perte de g´ en´ eralit´ e, ` a cause de la connexit´ e des fibres et par les Lemmes 2.0.30 et 2.0.28, on peut supposer que F 2 ∩ F 3 = L 1 et F <sub>1</sub> ∩ F <sub>3</sub> = L <sub>2</sub> , o` u L ₁ et L ₂ sont deux droites distinctes. Comme elles sont toutes les deux contenues dans F ₃ ' P ² , forc´ ement elles s’intersectent dans un point x. Mais par construction ce point appartient aussi ` a F 1 ∩ F 2 . Par le Lemme 2.0.28, ceci entraˆıne que F ₁ et F ₂ ont une droite en commun.

Alors si on intersecte F ₁ ∪ F ₂ ∪ F ₃ avec un ´ el´ ement g´ en´ eral X ⁰ ∈ |A _X |,

on obtient une droite contenue dans chaque F i . Par le Th´ eor` eme de B´ ezout,

celle-ci rencontrera chacune des deux droites L _i du mˆ eme composante en

exactement un point.

Les deux points sur une droite L _i qui proviennent de ces intersections coincident. En effet, si on note ces droites D _j ∈ F _j et D _k ∈ F _k , on a que :

L _i ∩ D _j = (F _j ∩ F _k ) ∩ (X ⁰ ∩ F _j ) = F _k ∩ X ⁰ ∩ F _j =

= (F _k ∩ X ⁰ ) ∩ (F _k ∩ F _j ) = D _k ∩ L _i .

Alors l’intersection de X ⁰ avec F ₁ ∪ F ₂ ∪ F ₃ est form´ e par trois droites qui se coupent deux par deux.

Si on fait le graphe de X ⁰ ∩ (F ₁ ∪ F ₂ ∪ F ₃ ) on obtient un triangle, et en

utilisant le Corollaire 2.0.24 on a une contradiction.