Convergences faible* et faible

Universit´e Paris Saclay Master 1

Ann´ee 2020-2021 Analyse, Math´ematiques G´en´erales II

TD6: convergences faible* et faible

Exercice 1. SoientE un espace de Banach etF un sous-espace dense dansE. On consid`ere une suite (fn)n∈N d’´el´ements deE⁰ etf ∈E⁰. Montrer que fn * f faible* dansE⁰ si et seulement si (fn)n∈N est born´ee dans E⁰ ethf_n, xi → hf, xipour tout x∈F.

Exercice 2. (Concentration-compacit´e).

1. Oscillation. Soit u ∈L^∞(0,1) telle que R1

0 u dx= 0. On ´etend u `a R par 1-p´eriodicit´e, et on d´efinit la suite

u_n(x) :=u(nx) pour presque toutx∈R.

Montrer que un * 0 faible* dans L^p(0,1) (faible dans L¹(0,1)) et que la convergence n’est pas forte.

2. Concentration.On suppose que 1≤p <∞. Soitv∈ C_c^∞(R) telle queR

Rv dx= 1, et on d´efinit la suite

vn(x) :=n^1/pv(nx) pour tout x∈R.

Montrer quev_n*0 faible* dansL^p(R) pour 1< p <∞

et que la convergence n’est pas forte. Montrer que, pour p = 1, vn ne converge pas faiblement vers 0 dans L¹(R) mais que v_n* δ₀ faible* dans M(R).

3. Evanescence.Soit v comme en 2. et on d´efinit la suite wn(x) :=v(n+x) pour tout x∈R.

Montrer que wn * 0 faible* dans L^p(R) et que la convergence n’est pas forte. Montrer que w_n ne converge pas faiblement vers 0 dans L¹(R) mais que w_n * 0 faible* dans M(R).

Exercice 3. (Th´eor`eme de Vitali-Hahn-Saks). Soit (X,A, µ) un espace mesur´e tel que µ(X)<∞ et soit (f_n)n∈N une suite de L¹(X) telle que la limite

n→+∞lim Z

A

f_ndµ

existe pour tout A∈ A. Alors, la suite (fn)n∈N est ´equi-int´egrable.

1. Montrer queE :={1_A: A∈ A}est un espace m´etrique complet.

2. Montrer que pour toutk∈N les ensembles Ek:=

(

1A∈E : sup

n,l≥k

Z

X

(fn−fl)1Adµ

≤ ε 8

)

sont ferm´es dansE et que E =S

k∈NE_k. 1

3. En utilisant le Th´eor`eme de Baire, montrer qu’il existek₀ ∈N,δ⁰ >0 et1_A0 ∈E_k0 tels que si 1A∈E satisfait

Z

X

|1_A−1A0|dµ < δ⁰, alors1_A∈E_k0.

4. Montrer qu’il existe 0< δ≤δ⁰ tel que siA∈ Asatisfait µ(A)< δ, alors sup

0≤n≤k0

Z

A

|f_n|dµ < ε 4.

5. Montrer que si A∈ Asatisfaitµ(A)< δ, alors1A∪A₀ et1_A0\A∈E_k0. 6. En d´eduire que pour tout n≥k₀,

Z

A

f_ndµ

≤ ε 2. 7. Conclure.

Exercice 4. (Th´eor`eme de Dunford-Pettis). Soient Ω un ouvert born´e de R^N et (fn)n∈N

une suite deL¹(Ω)telle que

sup

n∈N

kf_nk_L1(Ω)<+∞.

(i) Si fn * f faiblement dans L¹(Ω) avec f ∈ L¹(Ω), alors la suite (fn)n∈N est ´equi- int´egrable.

(ii) Si(fn)n∈N est ´equi-int´egrable, alors il existe une sous-suite (f_σ(n))n∈Net une fonction f ∈L¹(Ω)telles que f_σ(n)* f faiblement dansL¹(Ω).

1. En utilisant le Th´eor`eme de Vitali-Hahn-Saks, ´etablir (i) 2. Le reste de l’exercice est consacr´e `a la d´emonstration de (ii).

(a) Montrer que l’on peut se restreindre au casfn≥0 pour tout n∈N.

(b) Soitg_n^k:=fn1{f_n≤k} pour toutn,k∈N. Montrer que sup

n≥1

kg_n^k−fnk_L1(Ω) →0 quand k→+∞.

(c) Montrer l’existence d’une sous-suite (g_σ(n)^k )n∈Net d’une fonctiong^k∈L¹(Ω) telles que g_σ(n)^k * g^k faiblement dans L¹(Ω) pour toutk∈N.

(d) Montrer queg^k→f fortement dansL¹(Ω) avec f ∈L¹(Ω).

(e) Conclure.

Exercice 5. Soit Ω un ouvert deR^N. On consid`ere une suite (f_n)n∈N dansC₀(Ω) et f ∈ C₀(Ω).

Montrer quef_n* f faiblement dans C₀(Ω) si et seulement si (fn(x)→f(x) pour toutx∈Ω,

(f_n)n∈N est born´ee dansC₀(Ω).

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