1 Université de Tunis
ESSEC
Recherche Opérationnelle Série n°2
3ème Fin et 3ème EMFB
Année Universitaire 20014/2015
Exercice 1 :
Un artisan fabrique deux articles A et B nécessitant chacun deux opérations: un usinage et un traitement thermique. Le produit A subit un usinage d'une heure et un traitement thermique de 3 heures. B subit un usinage de 2 heures et un traitement thermique d'une heure. De plus, 2 kg de matière première entrent dans la composition de A et un kg dans celle de B. La fabrication de B se termine par un travail de finition qui dure une heure.
Toutes les 3 semaines, l'artisan dispose de l'atelier d'usinage pendant 80 heures et du four pendant 120 heures. De plus, pendant cette période, il ne peut pas consacrer plus de 35 heures au travail de finition ni stocker plus de 90 kg de matière première. Les marges bénéficiaires s'élèvent, respectivement, à 30 dinars pour l'article A et 20 dinars pour l'article B.
1) Formuler un programme linéaire correspondant au plan de production de l'artisan.
2) Déterminer le plan de production optimal par la méthode graphique et le dictionnaire de simplexe.
Exercice 2 :
Un agriculteur a le choix entre deux types de culture : A et B. Il souhaite avoir le revenu maximum de ses cultures. Pour maximiser son profit, il voudrait produire le maximum possible. Cependant, des limites lui sont imposées :
- La part de sa propriété vouée à la culture est limitée à 9 hectares.
- Sa famille et lui-même peuvent fournir au mieux 4 500 heures de travail.
- Enfin, le commerce international lui impose un quota minimum sur le type A de 6,6 hectares.
Nous savons aussi que
- 1kg de la récolte du type A nécessite 0,0012 hectares et 0,9heure de travail.
- 1kg de la récolte du type B nécessite 0,0015 hectares et 0,5heure de travail.
A la fin de la saison. On estime vendre à 40d/kg le type de culture A et 60d/kg le type de culture B.
1) Formuler un programme linéaire relatif à ce problème de production.
2) Déterminer le plan de production optimal par le dictionnaire de simplexe qui permet de maximiser le revenu de l'agriculteur.
Exercice 3 :
Un négociant de café importe deux variétés de café verts (Colombien et Brésilien) qu'il torréfie et revend sous forme de mélanges. Une tonne de café vert colombien coûte à l'achat 2800 dinars et permet de produire 800 kilogrammes de café torréfié : ce dernier a un indice de qualité de 16. Une Tonne de café vert Brésilien, coûte 2700 dinars et donne 900 kilogrammes de café torréfié avec un indice de qualité de 12. Le même équipement est partagé pour la torréfaction des deux cafés, et il est disponible 160 heures par mois. Son débit normal est de 40 kilogrammes de café torréfié par heure pour le colombien, 50 kilogrammes par heure pour le brésilien. Le négociant vend deux mélanges de café torréfié: Le suprême au prix de 6 dinars le Kilo, et l'insipide, au prix de 4 dinars le kilo. L'indice de qualité du mélange suprême doit être d'au moins 15. Le mélange insipide ne peut pas contenir plus de 90 pour cent en poids de
2 café torréfié d'origine brésilienne. Pour maintenir une image de qualité, on souhaite que le mélange suprême assure au moins 70 pour cent du revenu des ventes chaque mois. Le négociant ne peut pas acheter plus de 8 tonnes de café vert colombien ni vendre plus de 4000 kilo de mélange suprême par mois.
Formulez deux programmes linéaires (différents mais équivalents) visant au profit mensuel maximum. Dans la première formulation, les variables de décision représentent des quantités vendus. Dans la seconde, les variables de décision représentent des quantités achetées.
Exercice 4
Une unité d'un certain produit P est fabriquée par l'assemblage de 4 unités d'un élément A et 3 unités d'un élément B. Dans la fabrication de A et B, on utilise deux types de matière première (Ml et M2) disponibles en quantités de 100 et 200 unités respectivement par mois.
Les éléments A et B sont fabriqués dans trois départements utilisant chacun un processus de production différent.
La technologie utilisée est résumée dans le tableau ci-après qui indique les 'entrées" de matières Ml et M2 et les "sorties" d'unités A et B par "application" du processus de production par département.
Département
Entrée de matière Sortie d'élément
M1 M2 A B
1 8 6 7 5
2 5 9 6 9
3 3 8 8 4
L'entreprise veut déterminer le nombre d'applications de chaque processus de production (de chaque département) qui permettrait de maximiser le nombre total d'unités de produit P.
Formuler un PL.
Exercice 5
La compagnie de papier Nord-Ouest produit et commercialise des rouleaux de papier de quatre longueurs différentes: 12 pouces, 5 pouces, 3.5 pouces et 2 pouces. Tous les rouleaux ont une même longueur de 100 pieds. La compagnie ne fabrique que des rouleaux de 12 pouces de largueur, appelés des rouleaux standards. Les autres largueurs sont obtenus par le découpage des rouleaux standards. La compagnie est en train d'envisager les six plans de découpage suivants (voir tableau), dont chacun résulte en une chute inférieure ou égale à 1 pouce.
Plan du découpage
Largeur du rouleau
Chute en pouces
5 pouces 3.5 pouces 2 pouces
1 0 0 6 0
2 2 0 1 0
3 0 2 2 1
4 1 2 0 0
5 1 0 3 1
6 0 1 4 0,5
1) Peut-on trouver un 7ème plan de découpage qui donne une chute inférieure ou égale à 1 pouce ?
2) Les demandes minimales pour les rouleaux obtenus par le découpage sont données par le tableau suivant :
Largueur du rouleau 5 pouces 3.5 pouces 2 pouces
Demande minimale 1.500 2.000 500
3
4
5
Exercice 11 :
Résolvez le problème suivant par la méthode du simplexe :
On doit organiser un pont aérien pour transporter 1600 personnes et 90 tonnes de bagages.
Les avions disponibles sont de deux types: 12 du type A et 9 du type B. Le type A peut transporter, à pleine charge, 200 personnes et 6 tonnes de bagages. Le type B, 100 personnes et 6 tonnes de bagages. La location d’un avion du type A coûte 800.000 F; la location d’un avion du type B coûte 200.000 F.
.
Exercice 12 :
Les dictionnaires ci-dessous ont été obtenus après exécution de quelques itérations de la méthode du simplexe sur différents problèmes. Quelles conclusions pouvez-vous tirer sur base de l’information contenue dans ces dictionnaires?
Les conclusions possibles sont par exemple:
. la solution courante est optimale, et vaut ...;
. le problème est non borné parce que ...;
. le problème est non réalisable parce que ...;
. la solution courante n’est pas optimale; dans ce cas, calculez la solution optimale.
a) min z
s c
z x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x x x
. .
, , , , ,
1 5
1 2 4
1 3 4 5
1 5 6
1 2 3 4 5 6
5 12
3 5 3
4 6
4 4
0
b) max z
s c
z x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x x x
. .
, , , , ,
1 4 5
1 2 4
1 3 4 5
1 5 6
1 2 3 4 5 6
2 20
3 5 3
2 6
4 2 4
0
c) max z
s.c.
z x x
x x x
x x x
x x x
x x x x x
5 3 12
2 2 4
3 2
3 0
2 5
2 3 5
1 2 5
2 4 5
1 , 2, 3, 4, 5
6
Exercice 13 : (Examen mai 2013)
Supposons qu'une usine fabrique 2 pièces P1 et P2 usinées dans deux ateliers A1 et A2. Les temps d'usinage sont pour P1 de 3 heures dans l'atelier A1 et de 6 heures dans l'atelier A2 et pour P2 de 4 heures dans l'atelier A1 et de 3 heures dans l'atelier A2. Le temps de disponibilité hebdomadaire de l'atelier A1 est de 160 heures et celui de l'atelier A2 de 180 heures. La marge bénéficiaire est de 1200.- pour une pièce P1 et 1000.- pour une pièce P2.
La question est : Quelle production de chaque type doit-on fabriquer pour maximiser la marge hebdomadaire?
1) Ecrire le programme linaire et résoudre graphiquement ce problème.
2) Résoudre ce programme linaire en utilisant le dictionnaire de simplexe.
3) Résoudre ce programme linaire en utilisant l’algorithme de simplexe.
Exercice 14 : (Examen mai 2013)
Soit le programme linéaire suivant :
Max Z=x1 x2 sous les contraintes suivantes :
0 , 0
5
10 4
5
2 1
2
2 1
x x x
x x
Montrer que ce programme linéaire est non borné
Exercice 15 : (Juin 2013)
Soit le programme linéaire suivant :
1 2
2 Max Z x x
S/C 3x1 x2 12 ; x1 3x2 12 ; x1 0; x2 0 1) Écrire le programme linéaire standard.
2) Trouver une solution de base initiale.
3) Trouver la solution optimale de ce programme.
Exercice 16 : (Juin 2013)
Soit le programme linéaire suivant :
1 2
2 3
Max Z x x
S/C x1 3x2 18 ; 3x1 x2 18 ; x1 x2 8 x1 0; x2 0 1) Écrire le programme linéaire standard.
2) Trouver une solution de base initiale.
3) Trouver la solution optimale de ce programme
