UNIVERSITE MOHAMED SEDDIK BEN YAHIA - JIJEL
FACULTE DES SCIENCES EXACTES ET INFORMATIQUE DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
N° d’ordre : Série :…………
MEMOIRE
présenté pour obtenir le diplôme de master Filière : physique
Spécialité : Physique Théorique Présenté par
Rekaik Chahra
Intitulé
Soutenue le : 30/06/2018
Devant le jury:
Président : DJ. Bouaziz Prof. Univ. MSBY, Jijel Rapporteur : M. S. Zidi MCB. Univ. MSBY, Jijel Examinateur : A. Ahriche Prof. Univ. MSBY, Jijel
Physique du boson W-prime au LHC : calcul de
précision à l’ordre NLO en QCD
Remerciements
Ce travail a été réalisé au laboratoire de physique théorique à l'université Mohammed Saddik Ben Yahia de Jijel.
En premier lieu, je tiens à remercier "Allah" qui m'a donnés la patience, la volonté et le courage durant ces années d'étude.
Mes plus vifs remerciements s'adressent au Dr. Mohamed Sadek Zidi qui m'a encadré, je le remercie tout particulièrement pour m'avoir fait le confiance, et de m'avoir proposé ce sujet très interessant.
Je remercie sincèrement les membres du jury d'avoir accepté de juger et évaluer ce travail, le Professeur Amine Ahriche et le Professeur Djamil Bouaziz.
Bien sûr je n'oublie pas de remercier mes enseignants de la poste graduation de physique théorique et spécialement Professeur Salah Haouat pour son aide et pour l'encourager et me donner la volonté vraiment merci, Un grand merci pour Prof. T.Boudjedaa, Prof.
Kh.Nouicer, Prof. A.Bounames, Dr. N.Ferkous, Dr. N.Tilbi.
Un grand merci pour Lamri Houria, secrétaire du laboratoire de physique théorique.
Et enfin je remercie tous mes amis de la promotion M2 Physique
Théorique .
Dédicace
je dédie ce travail
A mes yeux mes parents pour l'amour, leur contribution que dieu les protège.
A mes chéries mes soeurs: Ilhem, Manel, Sara et la petite Lamisse pour le soutien l'amour et l'écoute.
Je tiens à remercier trés chaleureusement mon frère Islem pour son aide.
A mes grands parents.
A mes beaux frères Soufiane et Hakim.
A toute ma famille.
Je remercie més trés proches amies Imene, Soulef et Sahar qui sont toujours avec moi m'encourager me conseiller et me donner la volonté de faire mieux, et Wiam, Rahma, Sadjia, Ahlam, Loubna, Nassira, Saida, Fatima, Aida, Halima, Soraya, Amina, Karima, Aya, Ilhem, Rokia, Mouna, Hadjer, Leila, Salwa et Selma pour m'aidez surtout dans cette période, pour leurs encouragement et pour les conseils.
Enfin je tiens à remercier tous ceux qui de prés ou de loin ont contribué à la réalisation de ce travail.
1 Introduction g´ en´ erale 1
2 Introduction au Mod` ele standard et ses extensions 3
2.1 Mod` ele Standard . . . . 3
2.1.1 Particules du SM et interaction . . . . 3
2.1.2 Th´ eories de jauge . . . . 4
2.1.3 Mod` ele de Glashow-Weinberg-Salam . . . . 8
2.2 Extension du MS et le boson W
0. . . . 16
2.2.1 D´ esint´ egration de W
0. . . . 17
3 Production d’un top et un bottom ` a l’ordre LO 21 3.1 El´ ´ ements de base et outils de calcul . . . . 21
3.1.1 Section efficace hadronique . . . . 21
3.1.2 Fonction de distribution . . . . 22
3.1.3 Grand collisionneur hadronique LHC . . . . 22
3.1.4 Calcul de la section efficace partonique : . . . . 23
3.1.5 Section efficace diff´ erentielle . . . . 25
3.1.6 Programmes de calcul de la section efficace . . . . 26
3.2 Calcul de la r´ eaction pp → tb + ¯ tb . . . . 27
3.3 Section efficace hadronique de la r´ eaction pp → tb + tb . . . . 31
3.4 Sections efficaces pour d’autres processus . . . . 35
3.4.1 La r´ eaction p p → µ
−ν
µ. . . . 35
3.4.2 La r´ eaction p p → t µ
−ν
µ. . . . 37
3.4.3 La r´ eaction p p → t b (t → b e
+ν
e) . . . . 38
3.4.4 Production directe de W
0: p p → t t W
0+. . . . 40
4 Production d’un top et d’un bottom ` a l’ordre NLO 43 4.1 Th´ eor` eme de factorisation . . . . 43
4.2 Section efficace partonique ` a l’ordre NLO . . . . 46
4.3 M´ ethode de soustraction . . . . 48
4.4 Parton shower . . . . 50
4.5 Calcul LO+PS et NLO+PS . . . . 51
5 Conclusion 55
Bibliographie 57
Introduction g´ en´ erale
Dans notre vie quotidienne nous utilisons beaucoup le mot mati` ere. Mais c’est quoi la mati` ere ? Quelle est sa structure ? Est ce qu’il existe plusieurs types de mati` ere ? On sait que la mati` ere ordinaire est constitu´ e de mol´ ecules, ces derniers sont compos´ e d’atomes.
L’atome est constitu´ e d’´ electrons et d’un nouveau compos´ e de protons et neutrons (ou nucl´ eon). Les nucl´ eon ne sont pas des particules ´ el´ ementaires mais ils sont form´ es de particules fondamentales appel´ ees quarks. Grˆ ace aux interactions fondamentales : l’interaction ´ electromagn´ etique et forte l’atome et le noyau reste stable. La physique de particule (ou physique des hautes ´ energies) est la branche de la physique qui ´ etudie la relation entre les constituants ´ el´ ementaires de la mati` eres (comme les ´ electrons, les protons et les neutrinos) et les forces fondamentales (interaction ´ electromagn´ etique, forte et faible). Elle permet aux physiciens d’en savoir plus sur la mati` ere en ´ etudiant ses constituants. Le mod` ele le plus connu de la physique des particules s’appellent mod` ele standard. Ce mod` ele d´ ecrit les trois interactions fondamentale dans le cardre de th´ eorie quantique des champs. Les responsable des interactions entre les fermions (quarks et leptons) sont les boson de jauge (m´ ediateur de l’interaction) : le photon, les bosons massifs W
±et Z et les gluons. Le photon est le m´ ediateur de l’interaction
´ electromagn´ etique, les bosons massifs sont les m´ ediateur de l’interaction faible et les gluons sont les m´ ediateurs de l’interaction forte. La th´ eorie ´ electrofaible est bas´ ee sur le groupe de sym´ etrie SU (2)
L⊗ U (1)
Y, qui est bris´ e spontan´ ement via le m´ ecanisme de Higgs. Ce m´ ecanisme permet de donner une masse pour les boson de jauge (W ,Z et H)[1].
Le mod` ele standard de la physique des particules fournit la meilleure description de toutes les donn´ ees exprimentale, mais il reste des probl` emes ouverts ou il n’a pu fournir des r´ eponses[2, 3, 4]. Comme : les constituant de la mati` ere noire, la masse des neutri- nos, ... etc. Pour cela, les physiciens ont propos´ e plusieurs extension de ce mod` ele pour r´ esoudre ces probl` emes. En g´ en´ eral, ces nouvelles th´ eories exigent l’existence de nou- velles particules qu’elles ne sont pas encore d´ ecouvertes dans les collisionneurs comme, par exemple, le boson massif W
0.
Le grand collisionneur hadronique teste de nombreux nouveaux mod` eles de physique
dans le domaine de l’´ energie ` a l’´ echelle de TeV[5]. La recherche de cette physique est
importante car elle peut r´ epondre ` a quelques questions, en particulier sur la composition
de l’univers. La nouvelle physique repr´ esente la physique associ´ ee au top quark, qui se
caract´ erise par des propri´ et´ es qui en font un outil merveilleux dans la recherche, o` u il
joue un rˆ ole cl´ e, Surtout en couplage avec de nouvelles grandes particules, l’une de ces
particules est W
0.
Le but de ce travail est ´ etudie la production directe et indirecte du boson W
0dans le collisionneur hadronique LHC ` a l’ordre de Born (LO) et au del` a de l’ordre de Born (NLO) en utilisant le programme du calcul automatique MadGraph et le mod` ele UFO V P rimeN LO.
Dans le deuxi` eme chapitre, on donne une introduction sur le mod` ele standard (SM) et ses extensions en pr´ esence d’un nouveau boson de jauge (appel´ e le boson W
0) .
Dans le troisi` eme chapitre, on ´ etude la r´ eaction p p → t b + ¯ tb dans des mod` eles au del` a du mod` eles standard avec le boson W
0` a l’ordre dominant (LO). en utilisant les programme de calcul ”hip” et ”MadGraph”.
Dans le quatri` eme chapitre, on utilise les mˆ emes programmes qu’on a utilis´ e dans le chapitre 3 pour calculer la section efficace hadronique (de la r´ eaction p p → t b + t b) en fonction de la masse du boson W
0et les ´ echelles de renormalisation de factorisation.
On s’int´ eresse aussi aux distributions diff´ erentielles en P
Tdes particules de l’´ etat final
calculer ` a l’ordre LO, NLO, LO+PS et NLO+PS
Introduction au Mod` ele standard et ses extensions
Dans ce chapitre, on donne une introduction sur le mod` ele standard (SM) et ses ex- tensions en pr´ esence d’un nouveau boson de jauge (appel´ e le boson W
0) . Dans la premi` ere section, on discute le mod` ele de Glashow-Weinberg-Salam, la brisure spon- tan´ ee de sym´ etrie et l’inclusion du quarks. On conclut cette section par les r` egles de Feynman du MS. Dans la deuxi` eme section, on pr´ esente une th´ eorie effective capable de d´ ecrire l’interaction du boson W
0avec les fermions du MS.
2.1 Mod` ele Standard
Le mod` ele standard est une th´ eorie quantique des champs, elle r´ eunit les trois inter- actions fondamentales (´ electromagn´ etique, faible et forte) en une seule th´ eorie (mais pas les interactions gravitationnelles)
1. Elle d´ ecrit l’interaction de toutes les particules
´ el´ ementaires connues dans la nature. Le mod` ele standard est aussi une th´ eorie de jauge non ab´ elienne bas´ ee sur le groupe de sym´ etrie SU (3)
C⊗ SU(2)
L⊗ U (1)
Y, o` u SU (3)
Cest le groupe de couleur (interaction forte), SU(2)
Lest le groupe d’isospin (interaction faible), et U (1)
Yest le groupe d’hypercharge.
2.1.1 Particules du SM et interaction
On regroupe les particules du mod` ele standard en fermions et boson. Les fermions sont des particules de spin demi-entier qui ob´ eissent ` a la statistique de Fermi-Dirac. La fonction d’onde associ´ ee ` a ces particules est antisym´ etrique (Les quarks et les leptons).
Les bosons sont des particules de spin entier qui ob´ eissent ` a la statistique de Bose- Einstein. La fonction d’onde associ´ ee ` a ces particules est sym´ etrique (les bosons de jauge et le boson de Higgs). Dans le tableaux suivant, on repr´ esente toutes les particules du mod` ele standard :
1. L’interaction gravitationnelle n’est pas unifie avec les deux autres interactions fondamentale, elle est juste rajourer had-hoc dans le SM.
F ermion Boson e µ τ
ν
eν
µν
τphoton γ u c t
d s b
W
±Z Higgs
Tous les processus physiques, peuvent ˆ etre expliqu´ es ` a l’aide des quatres interactions fondamentales. Chaque interaction a ses propres boson de jauge qui appel´ ees aussi m´ ediateur de l’interaction.
L’interaction gravitationnelle : c’est l’interaction la plus faible dans les quatre interactions fondamentales, le graviton c’est le m´ ediateur de cette interaction.
L’interactions ´ electromagn´ etiques : c’est la force de liaison des particules ´ electriquement charg´ ees. Elle est plus forte que l’interaction gravitationnelle, le photon c’est le m´ ediateur de cette interaction.
L’interactions faibles : est l’interaction responsables de la radioactivit´ e, et permet de d´ ecrire l’intrication des neutrinos avec la mati` ere. Il existe y trois m´ ediateurs de l’interaction faible : les bosons charg´ es W
−
+
(interaction courant charg´ e (CC)) et le boson neutre Z
0(interaction courant neutre (CN)).
L’interaction forts : la force nucl´ eaire forte est la force qui relie les quarks dans les protons et les neutrons. Cette force explique la stabilit´ e du noyau atomique malgr´ e la force de la dissonance ´ electrique entre les protons. Le gluon est le m´ ediateur de l’interaction forte. Comme les quark, il porte une charge de couleur.
2.1.2 Th´ eories de jauge
Dans cette section, on pr´ esente les th´ eories de jauge les plus connus. Il s’agit de l’´ electrodynamique quantique, la Chromodynamique quantique et le mod` ele de Glashow- Salam-Weinberg.
2.1.2.1 (I) ´ Electrodynamique quantique
L’´ electrodynamique quantique (QED) est une th´ eorie quantique des champs qui d´ ecrit l’interaction entre les particules charg´ es. C’est la th´ eorie de jauge la plus simple. Dans cette th´ eorie, les Fermions sont repr´ esent´ es par des spineurs ` a 4 dimensions, dont la dynamique est d´ ecrite par l’´ equation de Dirac [6] :
(iγ
µ∂
µ− m) ψ = 0 (2.1)
o` u γ
µ(pour µ = 0, 1, 2, 3) sont les matrices de Dirac, la densit´ e lagrangienne corres- pondante est :
L
D= ψ (iγ
µ∂
µ− m) ψ (2.2)
Cette ´ equation est invariante sous la transformation de jauge globale ψ (x) → ψ
0(x) = exp(ieα)ψ (x) (α ind´ ependant des coordonn´ ees), mais n’est pas invariante sous la trans- formation de jauge locale ψ (x) → ψ
0(x) = exp(ieα (x))ψ (x)(α (x) d´ epend des coor- don´ ees de l’espace temps). Le terme de masse reste toujours invariant, mais le terme cin´ etique n’est pas invariant ` a cause de la d´ eriv´ e ∂
µ. Pour r´ esoudre ce probl` eme, nous rempla¸cons la d´ eriv´ e normale ∂
µpar la d´ eriv´ e covariante D
µ= ∂
µ−ieA
µ, o` u A
µest un champ vecteur qui se transforme comme suit :
A
µ→ A
0µ+ 1
e ∂
µα (x) (2.3)
Le lagrangien apr´ es la quantification s’´ ecrit sous la forme, L
QED= − 1
4 F
µνF
µν+ ψ (iγ
µD
µ− m) ψ − 1
2α ∂
µA
aµ2. (2.4)
o` u le premier terme est le terme cin´ etique du champ A
µ, et
2α1∂
µA
aµ2est le terme de fixation de jauge
2.
Finalement, l’interaction entre les fermions charg´ es et le photon est d´ ecrite par ce lagrangien est repr´ esent´ ee par le vertex suivant :
2.1.2.2 (II) Chromodynamique quantique
La Chromodynamique quantique (QCD) est une th´ eorie quantique des champs qui d´ ecrit les interactions fortes entre les quarks et les gluons. Elle est bas´ ee sur le groupe de sym´ etrie SU(3)
C. Le lagrangien pour un quark libre L =q(iγ
µ∂
µ−m)q est invariant sous
2. Pour ´eliminer les degr´es superficiels du champ vectoriel, on doit fixer la jauge. Cette ´etape est indispensable pour la quantification.
la transformation de jauge globale q (x) = U q (x) (car la matrice U ne d´ epend pas de x), mais il n’est pas invariant sous la transformation local q (x) = U (x) q (x)(o` u U (x) = e
iαa(x)Taet les T
asont les g´ en´ erateur du groupe SU (3) , α
a(x) sont les param` etres du groupe ). Pour r´ esoudre ce probl` eme, on remplace la d´ eriv´ ee covariante par la d´ eriv´ ee normale [6, 7] :
D
µ= ∂
µ− ig
s8
X
j=1
λ
j2 G
jµ(2.5)
o` u g
sla constante de couplage forte, λ
jles matrices de Gell-Mann et G
jµsont les huit champs des gluons.
Donc, le lagrangien de QCD total comprend des champs de quarks et les champs de gluon :
L
QCD=
3
X
j=1
q
j(iγ
µD
µ− m
j)q
j− 1 4
8
X
j=1
F
µνjF
jµν(2.6) avec F
µνj= ∂
νA
jµ− ∂
µA
jν− gf
lmkA
lµA
mν( f
lmkest les constantes de structure). Apr´ es la quantification le lagrangien de QCD est donn´ e par :
L
QCD= L
G+ L
F+ L
GF+ L
Ghost(2.7)
o` u L
Gest le lagrangien du gluons, L
Fest le lagrangien du fermions, L
GFest le terme d’interaction entre les fermions et les gluons, et L
Ghostest le lagrangien des ghost
3. Les vertex d´ ecrivant les interactions entre les quarks et les gluons et les gluons entre eux sont donn´ es par,
2.1.2.3 (III) Th´ eorie des Fermi
Fermi a d´ evelopp´ e sa th´ eorie pour expliquer la d´ esint´ egration β (n → p + e
−+ ν
e). Il a propos´ e une interaction courant-courant d´ ecrite par le lagrangien suivant [8, 9] :
L
F= G
F√ 2 J
µ(x)J
µ+(x) (2.8)
3. Le lagrangien des ghosts vient de la fixation de jauge covariante. Si on utilise la jauge non- covariante, y auras pas de ghosts mais le propagateur du gluon devient tr`es compliqu´e.
o` u G
Fest la constante de Fermi, J
µest le courant faible (J
µ(x) = l
µ(x) + h
µ(x)).
La th´ eorie de Fermi soufre de probl` emes th´ eoriques et ph´ enom´ enologiques. D’abord, elle n’est pas renormalisable car sa constante de couplage (la constante de Fermi) est dimensionn´ e (sa dimension naturelle est [G
F] = −2). En plus, ses pr´ edictions sont va- lables que ` a basse ´ energie. A haute ´ energies, la section efficace augmente d’une mani` ere tr` es rapide et viole la condition de d’unitarit´ e de Froissart-Martin (σ ≤ ln(s)
2pour s → ∞). Pour am´ eliorer cette th´ eorie, on rajoute un boson interm´ ediaire massive (W ), au lieu d’interaction courant-courant (interaction directe entre 4 fermions) .
2.1.2.4 (IV) La th´ eorie de Yang-Mills
Une th´ eorie de Yang-Mills c’est toute th´ eorie des champs non-ab´ elienne bas´ ee sur le groupe SU(N )(o` u N > 1). Par analogies elle est construite comme ´ electrodynamique, elle est invariante sous transformation de jauge locale pour les champs fermioniques [16]
ψ (x) → ψ
0(x) = U (x) ψ (x) = exp(−iT
iθ
i)ψ (x) , U U
†= I (2.9) o` u θ
isont les param` etres de groupe et T
isont les g´ en´ erateurs de groupe. Ces g´ en´ erateurs v´ erifient :
T
a, T
b= if
abcT
cf
abc= −f
bacAlors le lagrangien :
L = ψ
i(iγ
µ∂
µ− m) ψ
i(2.10)
n’est pas invariant sous cette taransformation, et pour r´ esoudre ce probl` eme on in- troduit la d´ eriv´ ee covariante ∂
µ→ D
µ= ∂
µ+ igA
aµT
a. Pour que L soit invariant les champs A
aµdoivent suivant la transformation :
A
µ→ A
0µ= U A
µU
−1+ i
g (∂
µU ) U
−1(2.11)
donc le lagrangien de Yang-Mills est :
L
Y M= ψ
i(iγ
µD
µ− m) ψ
i− 1
4 T r F
aµνF
µνa(2.12)
o` u : F
µνa= D
µA
aν− D
νA
aµ+ gf
abcA
bµA
cνLes champs de jauge de cette th´ eorie ne peuvent pas avoir une masse. Car le terme de masse brise l’invariance de jauge. Dans la section suivant on montre comment r´ esoudre ce probl` emes.
2.1.3 Mod` ele de Glashow-Weinberg-Salam
Le mod` ele de Glashow-Weinberg-Salam (GWS) est une th´ eorie de jauge qui unifie l’interaction ´ electromagn´ etique avec l’interaction faible. Elle est bas´ ee sur le groupe SU (2)
L⊗ U (1)
Y, o` u SU (2)
L, U (1)
Yrepr´ esentent les groupes d’isospin faible et d’hy- percharge, respectivement [10].
2.1.3.1 Fermions dans le mod` ele GWS
Dans ce mod` ele, les leptons de chiralit´ e gauche sont repr´ esente sous forme de doublets [17] :
e
−ν
eL
, µ
−ν
µL
, τ
−ν
τL
(2.13) et les leptons de chiralit´ e droite sont repr´ esent´ es sous forme de singlets :
e
R, µ
R, τ
R(2.14)
Il existe deux types d’interaction ´ electrofaible. Interaction charg´ ee, elle est d´ ecrite par le courant :
J
µ+(x) = 1
2 ν
lγ
µ(1 − γ
5) l (2.15) J
µ−(x) = 1
2 lγ
µ(1 − γ
5) ν
l(2.16) On peut exprimer ces derniers sous forme vectoriel (en fonction des matrices de Pauli et les doublets L) :
J
µ+= Lγ
µτ
+L (2.17)
J
µ−= Lγ
µτ
−L (2.18)
avec τ
+=
τ1+iτ2 2=
0 1 0 0
et τ
−=
τ1−iτ2 2= 0 0
1 0
. Les partie gauches et droites des champs des fermions sont d´ efinit par, comme :
L = 1
2 (1 − γ
5) ψ
f(2.19)
R = 1
2 (1 + γ
5) ψ
f(2.20)
Dans les interactions faibles, nous devons inclure les composantes droite et gauche des fermions dans diff´ erentes repr´ esentations de groupes. Tous les fermions gauche sont regroup´ es comme des doublets, et les fermions droite sont des singlets de SU (2).
L’hypercharge faible est une quantit´ e invariante sous la transformation de groupe U(1)
Y, reli´ ee ` a la charge ´ el´ ectrique Q et l’isospin faible T
3par la relation de Gell- Man :
Q = T
3+ Y
2 (2.21)
o` u est Q la charge electrique, T
3est la troisi` eme composante de l’isospin faible.
2.1.3.2 Lagrangien invariant SU(2)
L⊗U(1)
YLe lagrangien invariant sous la transformation SU(2)
L⊗U(1)
Yest d´ efinit comme : L
F= R
iγ
µ∂
µ+ ig
0B
µR + L
iγ
µ∂
µ− i
2 gτ
iA
iµ+ i 2 g
0B
µL (2.22)
o` u L
i=
1−γ2 5ψ
νiψ
i, R
i=
1+γ2 5ψ
i, (i = 1, 2, 3) et A
iµet B
µsont des champs de bosons de jauge associ´ es ` a SU(2)
Let U(1)
Y, respectivement, g et g
0sont les constantes de couplage de jauge sont relie avec e par la relation suivante :
e = g g
0p g
2+ g
02(2.23)
Le lagrangien pour les champs de jauge est donn´ e par : L
gauge= −1
4 F
µνiF
iµν− 1
4 B
µνB
µν(2.24)
o` u F
µνi= ∂
µA
iν− ∂
νA
iµ+ gε
ijkA
jµA
kνet B
µν= ∂
µB
ν− ∂
νB
µRemarque : les champs de jauge sont de masse nulle. Pour g´ en´ erer la masse de ces derniers, on a besoins du m´ ecanisme de Higgs.
2.1.3.3 M´ ecanisme de Higgs et Brisure spontan´ ee de sym´ etrie
L’invariance de jauge de SU (2)
L⊗U (1)
Yest valable en absence des termes de masse, car si ils existent, le lagrangien ne deviendera pas invariant. Pour cela, Higgs, Braout e Englert ont propos´ e un m´ ecanisme appel´ e ”m´ ecanisme de Higgs” [11, 12, 13], qui permet de donner une masse aux bosons. Pour r´ esoudre ce probl` eme, nous devons briser la sym´ etrie suivante : SU(2)⊗U(1)→U(1)
em. On choisi le champ suivant pour r´ ealiser cette brisure de sym´ etrie.
φ = ϕ
+ϕ
0(2.25)
ϕ
+, ϕ
0sont des champs scalaires complexes.
Dans ce cas le lagrangien s’´ ecrit sous la forme :
L
φ= (D
µφ)
†(D
µφ) − V φφ
†(2.26) o` u le potentiel V est donn´ e par,
V φφ
†= −µ
2φ
†φ + λ φ
†φ
2(2.27) avec D
µφ = ∂
µ−
2igτ
iA
iµ−
2ig
0B
µφ est la d´ eriv´ ee covariante, λ, m sont des constantes r´ eelles (λ > 0).
Alors
L
φ= (D
µφ)
†(D
µφ) + µ
2φ
†φ − λ φ
†φ
2(2.28) L’´ etat fondamental du champ est appel´ e ”l’´ etat du vide” correspond ` a la valeur mini- male du potentiel :
∂V∂φ= 0
on a deux cas :
si µ
2≥ 0 :
∂V∂φ=
∂φ∂V†⇒ φ = φ
†= 0. Alors la valeur moyenne de φ dans l’´ etat fondamentale est : φ
0= hφi
0= 0 , φ
†0=
φ
†0
= 0 ⇒ la sym´ etrie existe (n’est pas bris´ e).
si µ
2≤ 0 :
∂V∂φ=
∂φ∂V†la valeur minimale est φφ
†= |φ|
2=
µ2λ2Cette ´ equation est une ´ equation de cercle de rayon R =
q
µ22λ
, donc φ
0prend plusieurs
valeur dans l’´ etat fondamentale. Alors l’´ etat du vide n’est pas invariante sous le groupe
SU(2)
L.
La brisure spontan´ ee de sym´ etrie se produit quand un ´ etat de vide est choisie. l’´ etat fondamentale que nous choisissons poss` ede une composante nulle et une composante neutre non nulle :
h0| φ |0i = 0
√v 2
avec v = µ
√ 2 (2.29)
Notons que l’isospin T
3e
−iα3T3φ
06= φ
0et l’hypercharge Y
e
−iβY2φ
06= φ
0sont des g´ en´ erateurs bris´ es car ils n’annihilent pas le vide φ
T
3φ
0= 1 2
1 0 0 −1
0
√v 2
= −1
2 φ
0(2.30)
Y φ
0= φ
0(2.31)
Mais la charge ´ electrique Q e
−iεQφ
0= φ
0n’est pas un g´ en´ erateur bris´ e car Qφ
0=
T
3+ Y 2
φ
0=
1 0 0 0
0
√v 2
= 0 (2.32)
Dans la jauge unitaire, le doublet du champ de Higgs s’´ ecrit : φ
0= U (ξ) φ =
0
(v+H)√ 2
= 1
√ 2 (v + H) χ (2.33)
o` u χ =
01, U (ξ) = e
−i−
→τ−→ ξ
2v
est une transformation unitaire du groupe SU(2), ξ
isont des bosons de Goldstone, et H est le boson de Higgs physique.
Dans le cas de jauge unitaire, le lagrangien de Higgs devient : L
φ= (D
µφ)
0(D
µφ)
0− V
φ
0†φ
0(2.34) avec :
(D
µφ)
0=
∂
µ− ig
−
→ τ 2
−
→ A
0µ− i 2 g
0B
µ0U (ξ)
v+H√0 2(2.35)
=
∂
µ− ig
−
→ τ 2
−
→ A
0µ− i 2 g
0B
µ01
√ 2 (v + H) χ
On montre que le terme de masse s’´ ecrit sous la forme, L
masse= v
22 χ
†g
−
→ τ 2
−
→ A
0µ+ g
02 B
µ0g
−
→ τ 2
−
→ A
0µ+ g
02 B
0µχ (2.36)
On utilisons la formule τ
iτ
j= δ
ij+ iε
ijkτ
kpour simplifier cette relation. On ´ ecrit donc L
masse= v
28
g
2A
0µ1A
01µ+ g
2A
0µ2A
02µ+
gA
0µ3− g
0B
µ02(2.37) On d´ efinit les champs associ´ es aux bosons de jauge charg´ es comme suit :
W
µ±= A
0µ1± iA
0µ2√ 2 (2.38)
et les champs associ´ es aux bosons de jauge neutres comme suit : v
28 A
0µ3B
µ0g
2−gg
0−gg
0g
02A
03µB
0µ(2.39) Apr´ es la diagonalisation de cette matrice, on trouve
v
28
Zµ Aµg
2+ g
020
0 0
Z
µA
µ= 0.A
µA
µ+ v
28
g
2+ g
02Z
µZ
µ(2.40) on consid` ere la transformation suivante
Z
µ= cos θ
WA
0µ3− sin θ
WB
µ0(2.41) A
µ= sin θ
WA
0µ3+ cos θ
WB
µ0(2.42) o` u θ
West appel´ e l’angle de Weinberg, il s’´ ecrit en fonction des constantes de couplage comme suit :
cos θ
W= g
p g
2+ g
02et sin θ
W= g
0p g
2+ g
02(2.43) Alors, les masses des bosons de jauge sont donn´ e par :
M
γ= 0 (2.44)
M
z= v 2
p g
2+ g
02(2.45)
M
W= gv
2 = M
zcos θ
W(2.46)
Le potentiel de Higgs apr´ es la brisure spontann´ es de sym´ etrie devient et la transfor- mation de jauge unitaire devient,
V φ
0†φ
= −µ
20
v+H√2
0v+H√ 2
U
†(ξ) U (ξ) + λ h
0
v+H√2
0v+H√ 2
i
2U
†(ξ) U (ξ)
2= −µ
2v
24 + µ
2H
2+ λvH
3+ λ
4 H
4(2.47)
On d´ eduit que : M
H= p
2µ
2. En terme des nouveaux champs, le lagrangien de Higgs s’´ ecrit sous la forme :
L
φ= 1
2 ∂
µH∂
µH − 1
2 M
H2H
2− λvH
3− λ
4 H
4+ g
28 H
2+ 2Hv
× 1
cos
2θ
WZ
µZ
µ+ 2W
µ+W
−µ+ M
W2W
µ+W
−µ+ 1
2 M
Z2Z
µZ
µ(2.48) Finalement, on montre que les masses des bosons de jauge, l’angle de Weinberg et les constante de couplage sont reli´ es par :
M
W2M
Z2=
g2v2 4 v2
4
(g
2+ g
02) = g
2g
2+ g
02= cos
2θ
W(2.49) 2.1.3.4 Lagrangien de Yukawa
Nous devons rajouter une terme qui donne un masse aux fermions et qui d´ ecrit l’inter- action entre les fermions et le boson de Higgs apr´ es la brisure de sym´ etrie spontan´ ee.
Ce terme est appel´ e le lagrangien de ”Yukawa”
Pour une seule g´ en´ eration de lepton (la 1` ere g´ en´ eration par exemple), le lagrangien de Yukawa est donn´ e par :
L
Y= −G
eLφR + Rφ
+L
+ h.c.. (2.50)
On applique la transformation de jauge unitaire, on trouve L
Y= −G
eL
0
φ
0R
0+ R
0
φ
0+L
0+ h.c..
= −G
e√ 2
e
0L(v + H) e
0R+ e
0R(v + H) e
0L+ h.c..
= −G
e√ 2
ve
0e
0+ He
0e
0(2.51) Le premier terme de la derni` ere ligne de cette ´ equation correspond au terme de masse de l’´ electron. Sa masse est donn´ e par :
m
e= G
e√ 2 v (2.52)
o` u G
eest la constante de couplage de Yukawa. Le deuxi` eme terme d´ ecrit l’interaction entre le Higgs et l’´ electron.
Finalement, le lagrangien totale du Mod` ele Standard est :
L
M S= L
QCD+ L
jauge+ L
F+ L
φ+ L
Y(2.53)
o` u L
QCDest le lagrangien de la Chromodynamique, L
jaugeest le lagrangien des bosons
de jauge, L
Fest le lagrangien de Dirac, L
φest le lagrangien de Higgs et L
Yest le
lagrangien de Yukawa.
2.1.3.5 Matrice de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa
Malgr´ e les diff´ erences entre les quarks et les leptons, le mod` ele de GWS a pu int´ egrer ces quarks en ajoutant un autre terme au lagrangien. Dans ce paragraphe, on va mon- trer bri` evement comment inclure les quarks dans le MS [14, 15]. On doit rajouter le lagrangien suivant au lagrangien des fermions :
L
quarksF=
3
X
i=1
Q
Liiγ
µ∂
µ− i 2 g − → τ − →
A
µ− i 6 g
0B
µQ
Li+
3
X
i=1
U
Riiγ
µ∂
µ− 2i 3 g
0B
µU
Ri+
3
X
i=1
D
Riiγ
µ∂
µ− i 3 g
0B
µD
Ri(2.54)
o` u Q
Li= U
iD
iL
pour i = 1, 2, 3. et au lagrangien de Yukawa, le terme suivant L
quarksY= − X
i,j
Γ
(D)ijQ
Li
φD
Rj+ Γ
(U)ijQ
Li
φU e
Rj+ h.c
(2.55)
o` u Γ
(D)ij, Γ
(U)ijsont des matrices complexes (3 × 3)(couplage de Yukawa), φ est le champs du Higgs (e φ est son complexe conjugu´ e), Q
Lisont des doublets de quark gauche, D
Ri(U
Ri) sont des singlets droit de quark down (up) dans la base des ´ etats faible.
On note que les autres termes (comme L
G, ... etc) reste les mˆ emes.
On remplace les doublets de Higgs, dans ce lagrangien, par φ → 1
√ 2 (v + H)
01(2.56) φ e → 1
√ 2 (v + H)
10(2.57) On montre que le terme de masse des quarks est,
L
(mQ)= − X
i,j
D
LiM
i,j(D)D
Rj− X
i,j
U
LiM
i,j(U)U
Rj+ h.c (2.58)
Alors, la masse de chaque quarks est : M
i,j(D)= Γ
(D)i,j √v2
et M
i,j(U)= Γ
(U)i,j √v2
.
Apr´ es la diagonalisation de la matrice de couplages et se mettre dans la base des ´ etats propres de masse, la forme finale du terme de masse est :
L
(mQ)= −D
0m
(D)D
0− U
0
m
(U)U
0(2.59)
o` u : D
0U
0sont des quarks de type down (up) dans les ´ etats propre de masse, et m
(D,U)sont des matrices diagonales d’´ el´ ements r´ eels. Elles s’´ ecrivent comme suit : comme :
m
(D)=
m
d0 0 0 m
s0
0 0 m
b
; m
(U)=
m
u0 0 0 m
c0
0 0 m
t
(2.60)
A partir de la relation (2.54), on extrait le terme qui d´ ecrit l’interaction entre les quarks et les bosons de jauge de l’interaction faible,
L
Qcc= g
√ 2 X
i
U
Liγ
µD
LiW
µ++ g
√ 2 X
i
D
Liγ
µU
LiW
µ−(2.61)
= g
2 √ 2 U
0