7 e. En avant, les maths! année septième année. Une approche renouvelée pour l enseignement et l apprentissage des mathématiques MINILEÇON

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7 _année ^e

septième année

En avant, les maths!

Une approche renouvelée pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques

MINILEÇON

RÉSUMÉ

Dans cette minileçon, l’élève calcule des plus grands facteurs communs et des plus petits communs multiples pour les utiliser dans diverses situations.

PISTES D’OBSERVATION L’élève :

• montre sa compréhension des concepts de plus grand facteur commun et de plus petit commun multiple;

• reconnaît quand utiliser le PGFC et/ou le PPCM dans diverses situations;

• utilise une variété de stratégies pour calculer les PGFC et PPCM.

MATÉRIEL

• calculatrices;

• feuilles blanches.

CONCEPTS MATHÉMATIQUES

Le concept mathématique nommé ci-dessous sera abordé dans cette minileçon.

Une explication de celui-ci se trouve dans la section Concepts mathématiques.

Domaine d’étude Concept mathématique

Nombres

Représentation du plus grand facteur commun et du plus petit

commun multiple

PARTIE 1 – EXPLORATION GUIDÉE

Déroulement

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Consulter, au besoin, la fiche Représentation du plus grand facteur commun et du plus petit commun multiple de la section Concepts

mathématiques afin de revoir avec les élèves les calculs relatifs au PPCM et PGFC ainsi que la terminologie liée à ces concepts en vue de les aider à réaliser l’activité.

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Présenter aux élèves l’Exemple 1, soit déterminer le plus grand facteur commun dans une situation de préparation d’un repas et déterminer le plus petit commun multiple dans une situation d’horaire d’autobus.

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Allouer aux élèves le temps requis pour effectuer le travail. À cette étape-ci, l’élève découvre diverses stratégies pour déterminer et représenter les plus grands facteurs communs et les plus petits communs multiples.

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Demander à quelques élèves de faire part au groupe-classe de leur solution et d’expliquer les stratégies utilisées pour déterminer les plus grands facteurs communs et les plus petits communs multiples. Inviter les autres élèves à poser des questions afin de vérifier leur compréhension.

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À la suite des discussions, s’assurer que les élèves établissent des liens entre les diverses stratégies et leur utilité.

Note : Au besoin, consulter le corrigé de la partie 1 pour obtenir des exemples de stratégies.

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Encourager les élèves à améliorer leur travail en y ajoutant les éléments manquants.

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Au besoin, présenter aux élèves l’Exemple 2, soit déterminer le plus petit commun multiple dans une situation d’achat de nourriture pour animaux et déterminer le plus grand facteur commun dans une situation d’arrangement floral.

CORRIGÉ

EXEMPLE 1

a) Pour une fête, on prépare des rouleaux de printemps de différentes saveurs.

Il y en a 60 au poulet et 144 aux crevettes. Si on veut présenter un maximum d’assiettes identiques sans qu’il y ait de restants, combien de rouleaux de chaque saveur doit-il y avoir dans les assiettes?

STRATÉGIE

Utiliser l’arbre des facteurs premiers pour déterminer le PGFC de nombres naturels Pour déterminer le nombre d’assiettes de rouleaux de printemps, je décompose d’abord le nombre 144 et le nombre 60 en produit de facteurs premiers à l’aide de l’arbre des facteurs. J’encercle ensuite les facteurs premiers qu’ont en commun 144 et 60.

Je détermine ensuite le plus grand facteur commun de 144 et de 60 en multipliant les facteurs premiers encerclés pour trouver le nombre d’assiettes : . Il y aura donc 12 assiettes de rouleaux de printemps à la fête.

Pour identifier la quantité de rouleaux de printemps aux crevettes à mettre dans chaque assiette, je divise le nombre de rouleaux de printemps aux crevettes par le nombre d’assiettes : . Il y a donc 12 rouleaux de printemps aux crevettes dans chaque assiette.

Pour trouver la quantité de rouleaux de printemps au poulet à mettre dans chaque assiette, je divise le nombre de rouleaux de printemps au poulet par le nombre d’assiettes : . Il y a donc 5 rouleaux de printemps au poulet dans chaque assiette.

Pour vérifier si mes calculs sont justes, je calcule le nombre de rouleaux de printemps au poulet et aux crevettes que l’on peut mettre dans une assiette : 12 + 5 = 17 rouleaux.

Je multiplie ensuite le nombre de rouleaux de printemps par le nombre d’assiettes :  rouleaux de printemps.

Je sais qu’il y a 144 rouleaux aux crevettes et 60 rouleaux au poulet. Je détermine la quantité de rouleaux de printemps en tout : 144 + 60 = 204 rouleaux de printemps.

Je remarque que j’ai utilisé des stratégies efficaces pour déterminer le nombre de rouleaux de printemps aux crevettes et au poulet à mettre dans chaque assiette sans qu’il y ait de reste.

b) Trois autobus de ville quittent la station de départ à 8 h, font leurs trajets

et reviennent à la station de départ entre chacun de ceux-ci. Le premier autobus réalise chaque trajet en 30 minutes, le deuxième autobus parcourt ses trajets en 25 minutes chacun et le troisième autobus met 40 minutes à faire chaque trajet. À quelle heure les 3 autobus se rejoindront-ils à la station de départ?

STRATÉGIE 1

Énumérer les multiples de chaque nombre pour déterminer le PPCM

Afin de trouver le plus petit commun multiple de 30, de 25 et de 40, j’énumère tous les multiples jusqu’à ce qu’il y en ait un commun aux 3 nombres.

30 : 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360, 390, 420, 450, 480, 510, 540, 570, 600

25 : 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250, 275, 300, 325, 350, 375, 400, 425, 450, 475, 500, 525, 550, 575, 600

40 : 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440, 480, 520, 560, 600

Je peux ainsi déterminer que le PPCM de 30, de 25 et de 40 est 600. Les 3 autobus se rejoindront à la station de départ après 600 minutes de trajet. Puisqu’il y a 60 minutes dans 1 heure, 600 minutes équivalent à 10 heures. Les autobus se rejoindront à 18 h.

STRATÉGIE 2

Utiliser l’arbre des facteurs premiers pour déterminer le PPCM de nombres naturels Pour déterminer l’heure à laquelle les 3 autobus se rassemblent à la station,

je décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers. J’identifie les facteurs qui sont communs aux 3 nombres en les encerclant en rouge. J’identifie les facteurs premiers qui sont communs à 2 nombres en les encerclant en vert.

J’encercle, en violet, les facteurs premiers qui sont uniques.

Pour trouver le PPCM, je multiplie les facteurs premiers, en n'inscrivant qu’une seule fois les facteurs qui sont communs à 2 nombres ou plus :

Le plus petit commun multiple est 600 minutes. Je sais qu’il y a 60 minutes dans 1 heure, donc 600 minutes équivalent à 10 heures. Alors, les 3 autobus se rassembleront au même endroit à 18 h.

EXEMPLE 2

a) Il faut faire l’achat de la même quantité de nourriture pour 2 types d’animaux : des poulets et des porcs. Les sacs de nourriture pour les poulets sont de 12 kg et ceux de nourriture pour les porcs sont de 30 kg. Combien de sacs devrait- on acheter?

STRATÉGIE 1

Utiliser les multiples pour déterminer le PPCM de nombres naturels

Pour trouver la quantité de nourriture à acheter, je dresse d’abord une liste des multiples de 12 et de 30. Je sélectionne ensuite le plus petit commun multiple.

Je peux donc déterminer qu’il faut acheter 60 kg de nourriture pour chaque type d'animal.

12 : {12, 24, 36, 48, 60, 72}

30 : {30, 60}

Pour trouver le nombre de sacs de nourriture nécessaire pour les poulets, je divise la quantité de nourriture totale par la quantité contenue dans un sac :

. 5 sacs de nourriture devront être achetés pour les poulets.

Pour trouver le nombre de sacs de nourriture nécessaire pour les porcs, je divise la quantité de nourriture totale par la quantité contenue dans un sac : . 2 sacs de nourriture devront être achetés pour les porcs.

b) Un fleuriste a reçu 90 roses rouges, 120 marguerites blanches et 50 lys bleus.

Le fleuriste aimerait composer des bouquets identiques avec les fleurs qu’il a reçues. Combien de bouquets peut-il faire? Combien de fleurs de chaque catégorie peut-il mettre dans un bouquet?

STRATÉGIE 2

Utiliser les diviseurs pour déterminer le PGFC de nombres naturels

Je dresse d’abord la liste des diviseurs de chacun des nombres pour trouver le nombre de bouquets que je peux composer avec les fleurs que le fleuriste a reçues. J’identifie ensuite le plus grand facteur commun : 10. Il y aura donc 10 bouquets de fleurs.

90 : {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}

120 : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

50 : {1, 2, 5, 10, 25, 50}

Pour déterminer le nombre de roses rouges, je divise la quantité de roses rouges par le nombre de bouquets de fleurs :  roses rouges par bouquet.

Je détermine ensuite le nombre de marguerites dans chaque bouquet en divisant le nombre de marguerites par le nombre de bouquets de fleurs :

 marguerites par bouquet.

Enfin, je réalise la même démarche pour déterminer le nombre de lys bleus par bouquet :  lys bleus par bouquet.

Pour vérifier si mes calculs sont exacts, je fais la somme des fleurs qui composent un bouquet :  fleurs. Je multiple ensuite le nombre de fleurs par le nombre de bouquets :  fleurs.

Je sais qu’il y a 90 roses rouges, 120 marguerites blanches et 50 lys bleus.

Je détermine la quantité de fleurs en tout :  fleurs. Ce total correspond au total de fleurs qui composent les bouquets.

Je remarque que j’ai utilisé des stratégies efficaces pour déterminer le nombre de bouquets en tout et déterminer le nombre de fleurs qui composent

chaque bouquet.

PARTIE 2 – PRATIQUE AUTONOME

Déroulement

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Au besoin, demander aux élèves de faire quelques exercices de la section À ton tour!. Ces exercices peuvent servir de billet de sortie ou autre.

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Recueillir les preuves d’apprentissage des élèves et les interpréter pour déterminer leurs points forts et cibler les prochaines étapes en vue de les aider à s’améliorer.

Note : Consulter le corrigé de la partie 2, s’il y a lieu.

CORRIGÉ

1. En utilisant les arbres de facteurs, détermine le plus grand facteur commun et le plus petit commun multiple de chaque ensemble de nombres.

a) 64 et 12 b) 56 et 49 c) 144 et 108

2. Chaque bol de fruits doit contenir le même nombre de poires, le même nombre de pommes et le même nombre de bananes. S’il y a un total de 24 poires, 18 pommes et 48 bananes, quel est le nombre de bols maximal possible?

Quelle quantité de chaque fruit puis-je déposer dans un bol?

J’utilise l’arbre des facteurs premiers pour déterminer le PGFC des 3 nombres donnés. Je pourrai ainsi trouver le nombre maximal de bols de fruits pouvant être créés à partir des fruits donnés.

Pour trouver le PGFC, je multiplie les nombres premiers que j’ai identifiés dans les arbres de facteurs premiers : . Je peux ainsi déterminer qu’il y a 6 bols de fruits en tout. Pour trouver la quantité de fruits qui sera déposée dans chacun des bols, je divise le nombre de fruits de chaque catégorie par le nombre de bols qu’il y a en tout.

Je vérifie si ma démarche est juste. Chaque bol possède un total de 15 fruits : 4 poires + 3 pommes + 8 bananes. Pour trouver le nombre de fruits,

je multiplie le nombre de bols par le nombre de fruits que contient chaque bol : , ce qui correspond au nombre de fruits en tout : 24 poires + 18 pommes + 48 bananes = 90 fruits.

3. Dans une chambre d’hôpital, un patient reçoit ses médicaments toutes les 12 heures, tandis que la seconde patiente reçoit les siens toutes les 18 heures.

Dans combien d’heures recevront-ils leur dose en même temps?

En dressant la liste des multiples, je peux trouver le PPCM.

Multiples de 12 : {12, 24, 36, 48, 60, 72}

Multiples de 18 : {18, 36, 54, 72, 90, 108}

Le plus petit commun multiple des 2 nombres est 36.

Les 2 patients auront leur dose de médicaments en même temps au bout de 36 heures, soit 2 jours et demi.

4. Le PPCM est d’une grande utilité lorsque tu souhaites mettre des fractions sur le même dénominateur. En déterminant le dénominateur commun, tu peux ainsi comparer, ordonner et opérer sur des fractions. Place les fractions suivantes en ordre croissant :

Je dresse d’abord la liste des multiples de chaque dénominateur afin d’identifier le dénominateur commun des 3 fractions. Le PPCM est 72.

Multiple de 8 : {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72}

Multiple de 6 : {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72}

Multiple de 9 : {9, 18, 27, 36, 45, 63, 72}

Je détermine ensuite les fractions équivalentes en multipliant le numérateur et le dénominateur de façon à ce que le produit corresponde au PGFC trouvé précédemment.

Je place enfin les fractions en ordre croissant :

5. Le PGFC est d’une grande utilité lorsque tu souhaites réduire une fraction à sa plus simple expression. Trouve les fractions irréductibles des fractions suivantes : a)

Je dresse d’abord la liste des diviseurs du numérateur et du dénominateur de chaque fraction afin de déterminer leur plus grand facteur commun :

Diviseurs de 32 : {1, 2, 4, 8, 16, 32}

Diviseurs de 90 : {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}

Pour réduire la fraction, je divise le numérateur et le dénominateur par leur PGFC, soit 2. J’obtiens ainsi une fraction irréductible.

b)

Je dresse d’abord la liste des diviseurs du numérateur et du dénominateur de chaque fraction afin de déterminer leur plus grand facteur commun : Diviseurs de 120 : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

Diviseurs de 80 : {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80}

Pour réduire la fraction, je divise le numérateur et le dénominateur par leur PGFC, soit 40. J’obtiens ainsi une fraction irréductible.

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7 _année ^e

NOMBRES Déterminer le PGFC et le PPCM

En avant, les maths!

Une approche renouvelée pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques

MINILEÇON

Version de l’élève

septième année

PARTIE 1 – EXPLORATION GUIDÉE

TA STRATÉGIE EXEMPLE 1

a) Pour une fête, on prépare des rouleaux de printemps de différentes saveurs.

Il y en a 60 au poulet et 144 aux crevettes. Si on veut présenter un maximum d’assiettes identiques sans qu’il y ait de restants, combien de rouleaux de chaque saveur doit-il y avoir dans les assiettes?

b) Trois autobus de ville quittent la station de départ à 8 h, font leurs trajets et reviennent à la station de départ entre chacun de ceux-ci. Le premier autobus réalise chaque trajet en 30 minutes, le deuxième autobus parcourt ses trajets en 25 minutes chacun et le troisième autobus met 40 minutes à faire chaque trajet. À quelle heure les 3 autobus se rejoindront-ils à la station de départ?

EXEMPLE 2

a) Il faut faire l’achat de la même quantité de nourriture pour 2 types d’animaux : des poulets et des porcs. Les sacs de nourriture pour les poulets sont de 12 kg et ceux de nourriture pour les porcs sont de 30 kg. Combien de sacs devrait-on acheter?

b) Un fleuriste a reçu 90 roses rouges, 120 marguerites blanches et 50 lys bleus.

Le fleuriste aimerait composer des bouquets identiques avec les fleurs qu’il a reçues. Combien de bouquets peut-il faire? Combien de fleurs de chaque catégorie peut-il mettre dans un bouquet?

TA STRATÉGIE

PARTIE 2 – PRATIQUE AUTONOME

À ton tour!

1. En utilisant les arbres de facteurs, détermine le plus grand facteur commun et le plus petit commun multiple de chaque ensemble de nombres.

a) 64 et 12 b) 56 et 49 c) 144 et 108 TA STRATÉGIE

2. Chaque bol de fruits doit contenir le même nombre de poires, le même nombre de pommes et le même nombre de bananes. S’il y a un total de 24 poires, 18 pommes et 48 bananes, quel est le nombre de bols maximal possible?

Quelle quantité de chaque fruit puis-je déposer dans un bol?

TA STRATÉGIE

3. Dans une chambre d’hôpital, un patient reçoit ses médicaments toutes les 12 heures, tandis que la seconde patiente reçoit les siens toutes les 18 heures.

Dans combien d’heures recevront-ils leur dose en même temps?

TA STRATÉGIE

4. Le PPCM est d’une grande utilité lorsque tu souhaites mettre des fractions sur le même dénominateur. En déterminant le dénominateur commun, tu peux ainsi comparer, ordonner et opérer sur des fractions. Place les fractions suivantes en ordre croissant :

TA STRATÉGIE

5. Le PGFC est d’une grande utilité lorsque tu souhaites réduire une fraction à sa plus simple expression. Trouve les fractions irréductibles des fractions suivantes : a)

b)

TA STRATÉGIE