Chap1 :Electrostatique B.LEZZAR Année 2020-2021
Bases expérimentales de l’électrostatique Loi de Coulomb
.Introduction.
L’électrostatique étudie les phénomènes d’attraction ou de répulsion qui s’exercent entre des corps chargés ou électrisés. Les charges étant fixes.
I-1 Phénomènes fondamentaux.
a) Electrisation.
La plupart des corps (verre, résine, …..) acquièrent par le frottement la propriété d’attirer les corps légers (fragments de papier,……), on dit qu’ils sont électrisés. Des expériences montrent que l’on peut ranger les corps en 2 classes :
-) Ceux pour lesquels l’électrisation reste localisée au point frotté : Isolants ou diélectriques (verre, nylon, matière plastique,….).
-) Ceux pour lesquels, l’électrisation se répand en tous les points : Conducteurs (métaux, corps humain, eau,……).
Remarque.
*) Il est possible d’électriser par frottement une tige de verre en la tenant à la main, on ne peut le faire pour une tige de cuivre.
*) L’électrisation se répand dans le sol par l’intermédiaire du corps humain
*) L’électrisation s’explique par l’arrachement mécanique des électrons de l’un des corps neutres frottés et par leur transfert vers l’autre.
Expérience d’électrisation :
Lorsqu’on frotte une baguette de verre avec un morceau de soie et l’on approche à de petits bouts de papier, on voit que ces bouts sont attirés par la baguette ainsi on enlève des électrons de la baguette.
Première expérience :
On suspend par un fil une boule faite de sureau ou de polystyrène. On approche de cette boule une tige de verre ou d’ambre préalablement frotté : les deux tiges, chacune de son coté, l’attirent, puis la repoussent juste après l’avoir contactée (figure I.1-a). Par contre, si on approche simultanément les deux tiges côte à côte de la boule, rien ne se passe (figure I.1-b)
Chap1 :Electrostatique B.LEZZAR Année 2020-2021 (a) (b)
Figure I.1 : Expérience d'électrisation.
Tout se passe donc comme si chacune des tiges était, depuis son frottement, porteuse d’électricité, mais que celle-ci pouvait se manifester en deux états contraires (car capables d’annuler les effets de l’autre). On a ainsi qualifié arbitrairement de positive l’électricité contenue dans le verre (frotté avec de la soie), et de négative celle portée par l’ambre (idem, ou encore du plastique frotté avec de la fourrure).
Deuxième expérience :
Si deux boules de la figure I.2, ont été électrisées suite à leur contact avec la tige de verre frottée, elles se repoussent. Par contre les deux boules s’attirent si chacune d’elles a touché l’une des deux tiges qui a touché l’une des deux tiges qui a été frottée et qu’elle est de matière différente de celle de l’autre tige.
Figure I.2 : Electrisation, attraction et répulsion entre des charges.
Ces deux expériences montrent l’existence de deux états d’électrisation correspondant à 2 types de charges électriques positives et négatives.
Nous rappelons la règle suivante :
Deux corps qui portent une charge électrique de même signe se repoussent, s’attirent s’ils portent deux charges électriques de signes contraires.
Chap1 :Electrostatique B.LEZZAR Année 2020-2021 b) Charges ponctuelles – Distribution continues de charges.
On dit qu’on a affaire à des charges ponctuelles si les dimensions du volume chargé sont infiniment petites par rapport aux dimensions du corps qui le porte
Si l’on considère un volume de dimensions importantes et si ce volume est chargé, on peut considérer que l’électricité est continue.
Ainsi, un volume élémentaire dv, pris dans un volume chargé sera considéré comme ponctuelle de charge dq.
On appelle :
-) densité de charge volumique
-) densité de charge surfacique
-) densité de charge linéique
I-2 Loi de Coulomb.
Coulomb a mesuré la force d’attraction ou de répulsion entre 2 petites sphères chargées à l’aide d’une balance de Torsion.
Il a montré que la force d’attraction ou de répulsion des 2 charges à l’équilibre (force électrostatique) est inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare (1/r2) et proportionnelle au produit des 2 charges (q1.q2).
=
=
=
=
=
=
S Q cste
ds dq
Q ds ds dq
dq
s s
.
. .
=
=
=
=
=
=
L Q cste
Q dl dl dq
dq
.
dq λ.dl
. L
L
=
=
=
=
=
=
V Q cste
dq Q
v
.
ρ.dv ρ.dv
dv dq ρ dq
v
3 3 2
2 1 3
2 1 3
2 1
.
. . . .
. .
r AB alors r
AB et u AB AB puisque
r u q K q u r r
q K q AB AB
q K q
=
=
=
=
=
= F
F ) u
1(+
q q2(+)
A r B
Chap1 :Electrostatique B.LEZZAR Année 2020-2021 Conservation de la charge.
L’expérience nous demande d’admettre comme principe :
La charge électrique totale contenu dans un système isolé, c'est-à-dire la somme algébrique des charges + et – présentes à chaque instant reste constante.
Lorsqu’on électrise la règle en plastique ou la tige en verre, il n’y a pas création de charges électriques. Seulement un certain nombre d’électrons passent du chiffon à la règle ou de la tige au chiffon. Il y a transfert de charges d’un objet à l’autre : si un objet acquiert une charge +q, l’autre acquiert une charge –q. La somme des charges des deux objets reste nulle. Il s’agit d’un exemple de la loi de conservation de la charge électrique d’après laquelle :
La quantité nette de charge électrique produite au cours de n’importe quelle transformation est nulle.
Cette loi peut aussi s’exprimer sous la forme :
La charge électrique totale d’un système isolé reste constante.
Le terme "isolé" signifie qu’il n’existe pas de passage, tel un fil électrique ou de l’air humide, par lequel des charges pourraient entrer ou sortir du système.
II Champs et potentiel électrique.
II-1 champ électrique.
1) Définition.
Considérons 2 charges q1 et q2 placées en 2 points A et B.
On constate que la charge q2est soumise de la part de la charge q1à une force électrostatique,
La présence de la part de la charge q1situé au point A, a donc modifié les propriétés de l’espace qui l’entoure, car toute charge q2 introduite au voisinage de q1 est soumise à une force, alors qu’elle n’en subirait pas si elle n’y était pas.
On interprète ceci, en disant que l’espace qui entoure la charge q1, situé au point A, est le siège d’un champ électrostatique défini par la relation ci-dessous :
Etant donné que les champs et les forces électrostatique sont des vecteurs, on dira alors qu’ils sont dans le même sens ou dans le sens opposé, selon que les charges électriques sont
positives, (q>0 ou +q), négatives, (q < 0, ou –q).
Remarque.
De la même façon, on peut dire que la charge q1 est soumise de la part de la charge q2, a une force électrostatique, ,et qu’un champ électrostatique, est crée au point A, par la charge q2.
2 3 1
AB q AB Kq
AB = F
FAB
EA
EB
FBA
)
1(+
q q2(+)
A r B
1 3 2 3
1 2
2
, .
AB kq AB E
AB q AB kq F
E q q
E AB A AB A
AB
A = F F = comme = =
BA
AB F
F =− EB
FBA
2 3 2 3
1 1
1
, .
BA kq BA E BA
q BA kq F
E q q
EB= FBA FBA= B comme BA= B =
BA
AB F
F = BA
AB =
Chap1 :Electrostatique B.LEZZAR Année 2020-2021 Le champ électrique crée par une charge positive se représente de la façon suivante :
Alors que pour une charge négative, le champ crée sera représenté comme suit :
2) Champ crée par un nombre fini de charge ponctuelle.
Les forces exercées sur une charge q placée en un point M, par des charges q1, q2, q3,…….,qn s’ajoutent pour donner la résultante tel que :
Donc le champ électrique crée au point M par l’ensemble des charges q1, q2, q3,…….,qn et donné par la relation sera égal à la somme des champs électriques crées par ces mêmes charges, donc on peut écrire que :
3) Application. On appelle dipôle électrique, un système constitué de 2 charges électriques ponctuelles égales et de signe opposés, placés à une distance d l’une de l’autre.
Calculer le champ électrique , dans les 2 cas suivants : 1ière cas : sur l’axe portant les 2 charges
2ième cas : sur la médiatrice du segment qui sépare les 2 charges.
Fn
F F
F1; 2; 3;...;
F
n n
i
Fi
F F1 F2 F3 ...F
1
+ + +
=
=
=
n n
i
E E
E
E + + + +
=
=
=
3 ....
2 1 1
Ei
E q F/
= E
== + + + +
= + + + + + =
+ +
= +
=
= n
i n n
n E E E E
q F q
F q F q F q
F F
F F q q F
F
1 3
2 1 3
2 1 3
1 2
....
... ...
.E E Ei
E
F2
F1
F3
Fn
q2
• q1
• q3
•
q
•
•
• qn
•
r1
r2
r3
rn
) (−q
) (+q
Chap1 :Electrostatique B.LEZZAR Année 2020-2021 d i
d x x Kq xd d i
d x x
x d x d
Kq
d i d x
x d Kq
x d i x x d
d i x Kq EM
− +
= −
− +
+
−
= −
−
− +
=
−
− − +
= +
2 2
2 2
2 2
2 2
3 3
2) .(
2) (
2 2)
.(
2) (
2) ( 2) (
2) (
1 2)
( 1 2)
( 2) ( 2) (
2) (
Si x>>>>d ou d<<<<x ➔ x+(d/2) ≈x et x-(d/2) ≈x ce qui nous donne :
Si y>>>>d ou d<<<<y alors y2+d2/4≈y2 d’où
O q
q =+
•
1 q =−q
•
2
A B
2 d
) , 0 ( y
•P
2 d
) 0 , (x M
• X
Y
i
→j
Médiatrice
) arg 2 tan
(Axepor t les ch es
4 0
0 1
=
=
=d milieu de AB K AB
−
=
− + +
= +
= ( ) 3 ( ) 3 3 3
: 1
M B
M B M
A M Kq A M
B M q B K M A
M q A K E E E Cas
B A
M
3 3
2) 2 (
2)
( d
x M d A
x M A d i
x A O M O M
A = − = + = + = +
−
=
− + +
= +
= ( ) 3 ( ) 3 3 3
: 2
P B
P B P
A P Kq A P
B P q B K P A
P q A K E E E Cas
B A
P
2 / 3 2 3 2
2 2
4 ) 4 (
2 . d y
P A d y
P A j
y di A O P O P
A = − = + = + = +
2 / 3 2 3 2
2 2
4 ) 4 (
2 . d y
P B d y
P B j
y di B O P O P
B = − =− + = + = +
0 0
4 ) (
. . 4 )
(
) 2 .
( ) 2 .
(
2 / 3 2 2 2
/ 3 2
2 = + =
+
=
+
+
−
−
= + x y x y
P i Ep i Ep j Ep etEp
d y d q K d y
j y di j
y d i Kq
E
3 3
. . .
.
y d q E K
et i y
d q
EP = K P =
x i EM Kqd
3
−2
=
3 3
2) 2 (
2)
( d
x M d B
x M B d i
x B O M O M
B = − = − = − = −
Chap1 :Electrostatique B.LEZZAR Année 2020-2021 4) Champ dû à des charges réparties.
a) répartition linéaire. Soit un fil chargé uniformément en longueur et soit dl, un élément de la longueur l du fil et Q la charge totale. Cet élément va crée en un point M un champ défini par la relation suivante :
b) répartition de charge surfacique.
c) répartition de charge volumique.
5) Application.
Calculer le champ crée par un anneau chargé avec une densité linéique λ, en un point P de son axe.
dl1 et dl2 sont 2 éléments symétriques et portant la même charge.
La somme vectorielle + est porté par l’axe X.
On peut décomposer l’anneau en plusieurs petits éléments symétriques de telle façon que leurs résultante soit porté par OX. Les composantes suivant OY, s’annulent 2 à 2.
comme dEy=0 alors, le champ total est donné par :
E d
linéique densité
λ λ.dl et dq
avec = =
=
=
=
=
l l
l OM
dl OM k OM OM k dq d
OM OM k dq
dE 3 E E 3 .. 3
surfacique densité
σ
.
. 3
3 3
=
=
=
=
=
=
et .dS dq
avec
S S
S OM
dS OM k OM OM k dq d
OM OM k dq
dE E E
volumique et
.dv dq
avec ρ densité
.
. 3
3 3
=
=
=
=
=
=
v v
v OM
dv OM k OM OM k dq d
OM OM k dq
dE E E
: par défini E
d dl longueur, de
élement
chaque →
par défini E d dS surface, de
élement
chaque →
: par défini E d dv , volume de
élement
chaque →
+ ++ + + + +
l dl •M dE
•O
++
S
+ +
+ +
+ + +
E d
+
+ + + + +
+ +
E d
E1
d E2
d
2
1 dE
E
d
=
E1
d
j dE i dE E d E d E
d x y +
= +
= 1 2 dE dExi
=
== dE dE i E x
E d
E1
d E2
d
+
+ + +
+ +
+
++ + +
+
+
++ X
i
→j
Y
O dl1
dl2
+
1
1 dE
l
d
→ dl2 dE2
→
2 1 dl l d
=
Chap1 :Electrostatique B.LEZZAR Année 2020-2021 6) Ligne de champ.
Une ligne de champ est représentée de telle sorte qu’en chaque point, la direction du champ électrique soit tangente à la ligne qui passe par ce point.
Remarque.
- En chaque point de l’espace, il passe une seule ligne de champ - 2 lignes de champs ne peuvent pas se couper
- Les lignes de champ sont orientées dans le sens du champ
II-2Théorème de Gauss.
1) Orientation d’une surface fermée.
1ière cas : surface élémentaire dS.
On fait correspondre à cette surface élémentaire, un vecteur représente le vecteur unitaire de la normale à l’élément dS au point P.
2ième cas : surface (S) fermée.
Dans le cas d’une surface fermée, on continue d’orienter la normale positive vers l’extérieur de la surface.
2) Flux d’un champ de vecteur , à travers une surface :
On parle de champ de vecteur, lorsque le vecteur ne dépend que de la position.
Soit ce vecteur, et dS une surface élémentaire.
E
n où n dS.
dS que tel
dS =
A A
.dS n S d avec S .d Φ A
S .d A
dΦ= =S =
E E E
P
dS
n dSn
n n
n
n n
P
S d A
n
dS
Chap1 :Electrostatique B.LEZZAR Année 2020-2021 3) Application.
Calculer le flux envoyé à travers un cylindre d’axe OX par un vecteur
4) Notion d’angle solide.
Ainsi, depuis une capsule spatiale, on voit l'univers sous un angle solide de stéradians puisqu'il est visible dans toutes les directions. Si l'on est couché sur un terrain plat, on voit le ciel sous un angle solide de stéradians, puisque la terre nous cache exactement la moitié de l'espace.
-) Angle solide élémentaire.
5) Flux du champ électrostatique.
i A A=
= −=
−
=
=
−
= 1 1 1 1 1 1 1
1
1
. .
. A
: SB base de surface la
travers à
dS A d
dS A S d d
i dS S
d SB SB SB
==
=
= 2 2 2 2 2 2
2
2
. .
A
: SB base de surface la
travers à
dS A d
S d d
i dS S
d SB SB SB
Φ 0 Φ
Φ Φ : par donné sera totale flux le
0 :
à on S latérale surface
la travers à
SL SB2 SB1 tot
L
= + +
=
⊥
=
SL puisque A dSL
r2
S .d dΩ u
r OM u OM et OM r
avec
. u OM OM
=
=
=
=
=
=
r u
r
=
=
=
=
=
=
=
=
. .. . .
. . .
.
. .
. .
2 3
3 3
q k d
d q r k
S d qu k S r d
u qr k d
S d OM q OM k S d E d OM
q OM k E
4
0 4 et 0 entre
compris rs
est toujou solide
angle un , . 4.
vaut sphère une d' surface la
Puisque
R . Ω S stéradians en
exprime s'
Elle
cône.
solidedu angle
appelé est grandeur cette
sphère.
cette de R rayon
de carré le et O centre de sphère une sur délimite quil
S surface la
entre rapport le
définition par
est, ouverture son
de mesure la
O, sommet de
cône un donné Etant
sommet.
le : point même un d' issu droites demi
de faisceau un
est cône un
2 2
=
R
S d
u O M
d
Y
O n2
S2
d n1
S1
d
S3
d S dL
=
i
→j
X
SL 1
1 S
SBase = SBase2 =S2
O
S d
E M
q
Chap1 :Electrostatique B.LEZZAR Année 2020-2021 6) Flux du champ crée par une charge situé à l’extérieur d’une surface fermée.
7) Flux du champ crée par une charge situé à l’intérieur d’une surface fermée.
8) Enoncé du théorème de Gauss.
Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée est égale au quotient par 0de la somme des charges intérieures à travers cette surface, quelque soit les charges intérieures.
Remarque:
1) S’il n’y a pas de charges à la surface ➔Qsurf=0
2) Si on considère que les charges à la surface S ne sont pas nulles➔ En plus des charges à l’intérieur de la surface, il faut inclure dans les calculs, les charges sur la surface, alors le flux total sera donné par la relation suivante :
charge.
de nombre le
soit quelque valable
reste résultat ce
que Notons
. surface cette
travers à
nul est S fermée surface
la de extérieur l'
à situé ponctuelle charge
une par crée tique électrosta champ
du flux le conclusion En
0 d d d donc,
0 d ) /2 : aigu (angle S
d et E entre angle α :
0 d /2) : obtu (angle S d et E entre angle α :
. . S .d d
. . S .d d
2 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
=
+
=
=
=
=
=
d q k E
et d
q k E
espace) l'
(pour tout .
4.π. 4 k 1 puisque
ε .q.4.π q 4.π.
Φ 1
k.q.
dΩ k.q Φ dΦ
k.q.dΩ S
.d E dΦ
0 0 0
S
S
=
=
=
=
=
=
=
=
=
et
0
S .d Φ E
=
= qi
0
0 2.
S .d Φ E
+
=
= qi qSurf S1
d
S2
d
E E
O
• M E S d
Chap1 :Electrostatique B.LEZZAR Année 2020-2021 -) Intérêt du théorème de Gauss.
a) Evite les calculs compliqués
b) Ne fait intervenir que la charge globale
c) Ne nécessite que le calcul du flux de à travers une surface S qu’on peut choisir librement.
Donc, pour pouvoir appliquer, le théorème de Gauss, il faut :
Choisir, une surface fermée (surface fictive) appelé surface de Gauss, tel que le champ, soit constant en tous point de cette surface et tel que soit simple
C'est-à-dire
Donc, il faut choisir la surface, telle que
9) Conservation du flux du champ électrostatique.
On dit que le flux d’un vecteur est conservatif, s’il est nul à travers toute surface fermée dans une région donné de l’espace
II-3Potentiel électrostatique.
1) Circulation du champ électrostatique.
a) Cas d’une charge ponctuelle.
La circulation du champ électrostatique ne dépend pas du
chemin suivi, elle dépend uniquement de la position initiale et finale.
Si, en plus on a A=B, la circulation de est conservatif.
E
E S
d . E S
d . E
0
dS E.
= = = =
=
⊥
.S E Q
S E Φ E.S dS Φ E
S //d E
S d E
0 i
−
=
− − −
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
→
→
→
B A B
A A
B
B A
B
A B
A B
B A A
r q r
k r C
q r k
q r k dC
C dC où d
et
1 . 1
. 1)
1 ( . .
. 1 r k.q. dr r
k.q.dr r k.q.dr '
, dr MH l d u.
avec r ,
l d k.q.u.
l .d E dC
r k.q. u r
u k.q.r.
E r OM
; OM u OM u
OM OM
OM k.q OM E avec
l .d E C
C courbe la
sur M dupoint e
élementair n
Circulatio :
l .d E dC
2 2
2 2
2 3 3
B B A A
E
l d H
O M
' M
) (q A
B
dr E
l d
E
) (C
Chap1 :Electrostatique B.LEZZAR Année 2020-2021 b) Cas de d’un système de charge.
2) Fonction du potentiel électrique.
La circulation du champ électrostatique de A à B est donc égale à la différence entre les valeurs en A et B d’une fonction
Cette fonction est par définition appelé le potentiel électrostatique au point M ➔ V(M)
L’unité c’est le Volt.
Le potentiel est introduit par la différence entre 2 points. Il est donc défini à une constante près.
-) Potentiel absolu.
Si l’on choisit cette constante de façon à ce que le potentiel soit nul à l’infini, on dit alors que l’on a affaire au potentiel électrique absolu.
Dans le ca où toutes les charges sont situé dans un volume fini, il n ya pas de charges à l’infini. Il suffit alors de fixer la constante à zéro pour que V(M) tende vers zéro quand M s’éloigne vers l’infini.
Ainsi, dans le cas d’une charge unique q placé en O
Si l’on désigne par ri, la distance de la charge qi au point M,
3) Cas où la répartition des charges est continue.
−
=
− +
− +
− +
−
= +
+ +
=
=
+ + + +
=
=
→
→
=
i i
i
i i
i B
A
n n
n n
i i
B O
q A
O k q C
B O A O B
O A O B O A O B O A q O k
E E
E E E
.
1 ) ...( 1
1 ) ( 1
1 ) ( 1
1 ) .( 1
.
l .d E ...
l .d E l .d E l .d E l .d E C
....
E
1 3
3 2
2 1
1
B
A n
B
A 3
B
A 2
B
A 1
B B A A
3 2 1 1
=
=
=
=
+
=
=
dV V
dV V
r cste dl k V
r .1 .d k.
dV
r .dS.1 k.
dV
.1 . r .
.dl.1 k.
dV
v
E
= =→ = = − = n −
i
n
i i
i i
B i
A OB
q A
O B q
f A f l d E
1 0 1 0
B A
. 1 . . 4 . 1
. . ) 4
( ) ( .
C
) ( ) (
.dl V A V B
BE
A = −
M cste O M q
V
i n
i
i +
=
=
1 . . ) 4
(
1 0
M cste O M q
V
i n
i
i +
=
=
1 . . ) 4
(
1 0
M O O q
V
i abs
1 . . ) 4 (
0
=
== n
i i
i
abs r
O q V
0 1
. . 4 ) 1
(
E1
E2
En
E3
qn
q3
q2
q1
A
B
• • •
•
••• •
o1 o2 o3
on
Chap1 :Electrostatique B.LEZZAR Année 2020-2021 4) Travail de la force électrostatique.
5) Relation Champ-Potentiel-Equations générales.
- Relation Champ-Potentiel.
6) Surface équipotentielle.
Une surface équipotentielle est le lieu des points où le potentiel est constant➔V(x,y,z)=cste.
Sur une équipotentielle, on a : V=Cste➔dV=0➔, ce qui veut dire que le champ est donc perpendiculaire en tous points d’une surface équipotentielle.
Important : Unicité du potentiel : 2 équipotentielles ne se coupent jamais.
) (
.
. .
. .
. .
F
B A B
A B
A
B
A B
A B
A B A
V V q C
q W
l d E q l d E q l d F W
l d F dW et E q
−
=
=
=
=
=
=
=
→
→
→
l d E dV l d E dV dC r
q dr k dV r cste
q k V
r q dr k l d
. .
. 1 .
. .
. . . E dC
2
2 =− = =−
−
=
+
=
=
=
( )
V V grad
z dz dy V y dx V x dV V
. . E
: a on générale, façon
une d'
.d E .d E .d E donne
nous qui ce
.d E .d E .d E l .d E comme
k dz j dy i dx l d et k E j E i E E avec l .d E - dV
z z y y x x z
z y y x x
z y x
=
−
=
+ +
−
= +
+
=
+ +
=
+ +
= +
+
=
=
l
⊥d E E
q A
