Rapport de stage. Calcul sur un faisceau de tubes : Changement de raideur au sein du faisceau

(1)

CEA/ SACLAY INSTN/ UERTI

1

FR9806019 Avril-Juin 1998

DEA S

³

M OPTION : VIBRATIONS DES STRUCTURES

Rapport de stage

Calcul sur un faisceau de tubes :

Changement de raideur au sein du faisceau

Goasdoué Joël Responsable: D. Brochard

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A - ETUDE DU MODELE

A1 - HYPOTHESES DE MODELISATION 2 A2 - PROGRAMMATION CASTEM 2 0 0 3 A/ CHOIX DES PARAMETRES 4 B/ RESULTATS CASTEM 5

B - ANALYSE DES DIFFERENTES COURBES §

B1 - MODES DE RESPIRATION ET D'ENSEMBLE 8 B11 - RAPPELS DE L'ETUDE THEORIQUE 9 Bl2-CONCLUSIONS 13 B2 - MODE TOURNANT 14

C - CONCLUSIONS 15

•

D - ANNEXES 16

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calcul d'un faisceau de tubes I.N.S.T.N. Vibrations des structures

Introduction

Les faisceaux de tubes sont des éléments essentiels pour certains composants industriels, et en particulier dans le nucléaire ou de nombreux crayons combustibles interagissent entre eux et avec le fluide caloporteur.

Il est donc important de connaître le comportement dynamique de tels faisceaux. Si jusqu'à maintenant on connaît ce comportement pour des faisceaux vibrant dans l'air, on ne connaît pas encore parfaitement le comportement dynamique de faisceaux vibrant dans un fluide. En effet, la présence du fluide influence de façon importante le comportement global des faisceaux. Ceci est dû à une interaction fluide-structure, interaction entre les tubes composants le faisceau et le fluide les entourant.

L'étude d'un faisceau de tubes ayant tous la même raideur K a déjà été traitée lors de précédents stages, je présenterai donc l'étude d'un faisceau de tubes que je qualifierai par la suite de « faisceau inhomogène », c'est à dire présentant au sein du faisceau une zone dans laquelle les tubes n'ont pas la même raideur. Cette situation quelque peu théorique peut se retrouver dans certaines centrales avec la présence de tubes avec des caractéristiques mécaniques différentes, ou bien plus généralement avec des caractéristiques physiques différentes. Le but de cette étude est donc d'analyser l'influence de ces raideurs sur le comportement global de la structure avec en particulier l'étude plus poussée de ses modes de respiration, d'ensemble et tournant.

Après un bref exposé des conditions générales de la modélisation, nous exposerons dans une seconde partie l'étude menée sur un faisceau de 4x4 tubes dont les raideurs des tubes intérieurs sont différentes de tubes extérieurs et enfin dans une troisième partie nous tenterons d'expliquer le comportement vibratoire du faisceau par l'analyse théorique d'un faisceau de 2x2 tubes.

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- A - Etude du modèle

- A l - Hypothèses de modélisation

- dans cette étude on considère que le fluide est dans une cuve indéformable qui est très proche des tubes: ainsi il y a un débit nul autour du faisceau de tubes. Il y a donc pas de conditions limites à ajouter au modèle CASTEM.

- nous utiliserons des tubes carrés. Cette forme éloignée de la réalité - qui est généralement circulaire ou hexagonale - permet de paver la structure en respectant la symétrie d'ordre 4, et permet lors de l'étude théorique d'intégrer facilement les équations. Par ailleurs cette géométrie permet de fixer la quantité de fluide entre les tubes.

- passage d'un problème 3D à un problème 2D: en supposant que la longueur des poutres est grande devant leur section, et que nous sommes suffisamment loin des bords, alors nous pouvons étudier ce qui se passe dans une tranche de notre faisceau. Cette hypothèse a été vérifiée par les travaux de Mr Dessombz.

Chaque tube sera donc modélisé par:

Ky

L

Kx

- l'ensemble des calculs est fait dans le cadre du régime linéaire: les amplitudes de vibration sont infiniment petites devant la géométrie du système, et on considère que le fluide (de l'eau) est incompressible (étude faite par Nicolas Chevaugeon), et on peut considérer que le régime est laminaire dans les lames fluides (voir l'étude de Mr Rossignol).

Le système étudié est du type (ici avec 4x4 tubes) :

(5)

- raideur Kd

raideur K

y

On a pris pour le reste de l'étude 1 = 10 x h

- on considérera que le bord extérieur de notre faisceau est constitué par une coque parfaitement rigide, encastrée. Cette hypothèse paraît tout à fait raisonnable: en effet, sur les faisceaux réels, la rigidité de la coque est bien plus grand que celle des poutres, (donc pas de conditions de débits aux limites).

y

ta

L

I

- A 2 - Programmation Castem 2000

A partir de ces hypothèses on a programmé à l'aide du logiciel Castem 2000 le calcul des modes propres en eau d'un faisceau de tubes qualifié (voir introduction) d'inhomogène.

Il s'agissait donc « d'implanter » au sein du faisceau une zone dans laquelle les pavés ont une raideur Kd, zone qui pouvait être soit centrée soit excentrée, de dimension arbitraire contenant un nombre arbitraire de pavé (tout en respectant les hypothèses précédemment énoncées).

Voici les différents paramètres qui ont été utilisés lors de la programmation.

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Domaine extérieur Domaine intérieur

Jl

Nombre de pavés: MxM, raideur Kd

Vous retrouverez en annexe quelques exemples de maillage avec des paramètres différents.

a / Choix des paramètres

- La raideur K du domaine extérieur a été définie pour avoir une fréquence en air de 100 Hz. La raideur Kd du domaine intérieur, qui est variable, est choisie comme un multiple de cette raideur.

Par ailleurs, dans toute l'étude qui va suivre, nous avons fixé le nombre de pavés du domaine intérieur à 2x2, et le nombre de pavés du domaine extérieur à 4x4, ainsi que la hauteur de la lame fluide du domaine intérieur qui est égale à h.

En conclusion par rapport aux études qui ont été faites jusqu 'à présent, on ne s'intéresse qu 'à l'influence de la seule la raideur du domaine intérieur.

- Choix des paramètres du maillage: vu le nombre important de tubes et le nombre important de calculs qu'il fallait lancer pour analyser l'influence de la raideur Kd, il était important de choisir correctement les paramètres du maillage. Deux idées principales nous ont guidés:

- le temps de calcul qui ne devait pas excéder la journée (on se limite à 16 tubes)

- il fallait utiliser les propriétés de l'écoulement du fluide dans la lame, c'est à dire écoulement laminaire et fluide parfait (pas de viscosité).

on a donc un écoulement de la forme:

(7)

et une pression qui varie linéairement dans la lame (on se place loin des coins).

D'autre part, d'après les études de Mr Chevaugeon et de Mr Rossignol les fréquences convergent assez rapidement en fonction de la discrétisation du domaine. (En particulier, on retiendra de leurs études qu'avec une discrétisation faible du domaine les fréquences seront légèrement supérieures aux valeurs réelles, mais l'erreur faible).

Aussi avons nous retenu les valeurs suivantes: NDISC = 4 et NDISC2 = 1

NDISC2

NDISC

Les temps de calcul sont d'environ une heure pour rechercher l'ensemble des fréquences d'un faisceau à 4x4 tubes.

b / Résultats Castem

Dans un premier temps nous avons vérifié que nous retrouvions bien les résultats d'un calcul de structure homogène c'est à dire pour Kd = K .

Enfin pour pouvoir comparer nos résultats nous nous sommes limités à l'étude de trois modes particuliers:

- le mode de respiration - le mode d'ensemble - le mode tournant

Ces modes sont les modes les plus caractéristiques et d'autre part ils ont déjà été étudiés lors de précédentes études.

L'allure « physique »de ces modes est donnée en annexe.

(8)

De plus, pour rechercher l'influence du domaine extérieur sur le domaine intérieur nous nous sommes intéressés à l'étude d'un faisceau homogène de 2x2 tubes pour lequel nous avons fait varier la raideur.

Voici les résultats obtenus par Castem

Faisceau 4x4

Faisceau « homogène » mode respiration : 65,966 Hz mode d'ensemble : 66,894 Hz mode tournant : 97,253 Hz Faisceau « inhomogène » mode de respiration

raideur kd fréquence raideur kd fréquence

0.55 65.33

1.25 67.866

0.65 65.346

1.3 68.074

0.71 65.36

1.4 68.384

0.8 65.397

1.6 68.759

0.83 65.417

1.7 68.878

0.85 65.435

2 69.107

0.9 65.45

3 69.394

0.95 65.652

0.97 65.753

1 65.966

1.05 66.439

1.1 66.894

1.15 67.288

1.2 67.609

70

o

I

^{6 8}

f 67

65

mode de respiration 4x4 inhomogene

0,5 1 1,5 2

raideur Kd

2,5.

Remarque: en deçà et au-delà d'une certaine fréquence il est quasiment impossible avec Castem de retrouver le mode de respiration.

mode d'ensemble

raideur kd fréquence

raideur kd fréquence

0.05 65.,32

0.87 65,571

0.1 65,324

0.9 65,693

0.2 65,324

0.93 65,959

0.25 65,326

0.95 66,191

0.3 65,329

0.97 66,458

0.35 65,332

1 66,894

0.45 65,339

1.05 67,567

0.5 65,345

1.2 68,856

0.55 65,351

1.4 71,819

0.6 65,361

1.6 72,793

0.63 65,368

1.7 72,793

0.7 65,401

2 73,243

0.77 65,407

0.85 65,514

(9)

rrodedensentle4«4irticrrogàn

Même remarque que pour le mode de respiration

mode tournant

0.35 97.168

1.1 97.155

0.4 97.168

1.2 97.166

0.45 97.169

1.3 97.163

0.5 97.169

1.6 97.165

0.55 97.169

2 97.166

0.60 97.169

5 97.167

0.65 97.17

10 97.167

0.7 97.17

0.75 97.171

0.8 97.171

0.85 97.173

0.9 97.176

0.95 97.184

1 97.253

100

S

90 - 80 - 70 - 60 - 50 40 - 30 20 10 -

04

mode tournant inhomogène

0,2 0,4 0,6 ^{0,8 1 1,2}

raideur Kd

1,4 1,6 1,8

-Sériel

Pour ce mode, on retrouve toujours, quelque soit la raideur K,j, le mode tournant. (Il s'agit toujours du mode à plus haute fréquence)

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- B - Analyse des différentes courbes

- B 1 - Modes de respiration et d'ensemble:

Nous avons cherché dans un premier temps à comparer les courbes obtenues par rapport aux courbes d'un faisceau « homogène » dont nous avons fait varier la raideur K (voir courbes en annexe).

Les courbes d'un faisceau homogène correspondent à des courbes du type *JKI M . En effet la variation de la raideur est prépondérante à la variation de masse (variation éventuelle de masse ajoutée, qui est négligeable du fait que la pression dans les lames fluides est quasiment constante dans l'hypothèse d'amplitudes de vibrations faibles devant les dimensions des solides).

Or lorsque nous faisons varier la raideur K<j du domaine intérieur, les valeurs des fréquences du mode de respiration et du mode d'ensemble semblent comprises entre deux valeurs asymptotiques.

t f

69.

65"

domaine de fréquence pour le mode de respiration

De plus il faut rappeler qu'au-delà de certaines valeurs de Kd (ou en deçà) il était extrêmement difficile d'extraire des modes de respiration ou d'ensemble. C'est pour cette raison que nous sommes limités aux valeurs données dans les tableaux.

=> II semble donc qu'au-delà d'une certaine valeur de Kd, les domaines intérieurs et extérieurs ont des cinématiques qui soient indépendantes.

De plus à l'intérieur du domaine de fréquences (c'est à dire 65 Hz à 69 Hz) on retrouve en partie une courbe de la forme J~ pour des valeurs proches de « Kd = 1 x K ».

Pour comprendre précisément le phénomène de découplage nous avons travaillé sur l'étude théorique d'un faisceau de 2x2 tubes. Il s'agit d'étudier les fréquences « théoriques » à partir des hypothèses de départ que nous avons précisées plus haut à partir du logiciel Maple.

Cette étude théorique a été faite précisément par Mr Rossignol pendant son stage et je vais donc rapidement en donner les principales étapes pour s'intéresser essentiellement aux résultats qui vont nous servir.

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- B 11 - Rappels de l'étude théorique.

La symétrie du système peut être utilisée pour alléger les calculs numériques: la pression est forcément paire ou impaire aux axes x=0 et y=0 .

P/I

Où P/I signifie que, par rapport à cet axe, la pression est soit paire soit impaire. Du fait de la continuité de la pression et de sa dérivée, l'imparité correspond à une pression nulle et la parité à un débit nul.

Aussi peut on travailler sur un seul tube avec des conditions aux limites bien choisies.

— = 0 (débit nul) ôy

P= 0 ou — = 0

dx — = 0 débit nul

dx

P= 0 ou — = 0 Ôy

On peut maintenant construire le champ de pression autour du tube ainsi que construire les équations de la dynamique qui nous intéressent.

Modélisation

Les hypothèses faites sont celles justifiées plus haut:

- fluide incompressible (il s'agira de l'eau) - fluide parfait (incompressible)

- les coins sont ponctuels (vis à vis de la pression) - h 11 = 1 et on néglige h devant h²

Les notations sont les suivantes, le calcul est fait selon l'axe des ordonnées

PI ^P2

!U

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Calcul de la pression

L'incompressibilité donne AP=0 que l'on intègre sur l'épaisseur.

La pression P(x,y) est donnée au deuxième ordre par:

Calcul de la force exercée sur le tube

L'intégration le long du tube de la pression donne la force exercée par le fluide sur le tube. En projetant sur l'axe des abscisses on obtient trivialement:

Le principe fondamental de la dynamique nous donne dans l'espace de Fourrier:

Conservation de la masse

La conservation de la masse, dans un milieu incompressible, s'écrit: divV = 0 et en utilisant le théorème d'Euler on a dzvgradP =0 d'où finalement on trouve l'équation

Le calcul est exactement le même aux quatre coins et on obtient, dans l'espace de Fourrier, avec la notation :

rr^P u^h

n = r,et h = — co² 2

— ( n , + n

³

- 2 n

⁰

) -

—(n

²

+n -211,)-

7 (l

— r n , + n -211,) +

+ri) = O -rj) = 0 +n) = 0

—(n

^o+

n

²

-2n

³

)-

^P

/K+T

¹

) = o

système à 6 équations et 6 inconnues

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Ainsi si on veut que l'ensemble des solutions ne soit pas réduit à la solution triviale il faut annuler le déterminant. La matrice correspondant à un seul tube dans une cuve indéformable est l'équivalent d'un mode symétrique/symétrique pour quatre tubes.

Or, si l'on veut pouvoir comparer nos résultats Castem avec ce calcul analytique on doit prendre le cas antisymétrique/antisymétrique défini par Mr Rossignol c'est à dire:

dy

dx

p = o

P = 0

Dans le cas antisymétrique/antisymétrique le problème devient alors l'annulation de la matrice donnée ci-dessous:

1 0 0 0

- ©

2

0

2h_

l 0

—©

2

0 0 2 ^

0

2

0 0 2h_

l 1

0 0 p/

0

f /

³

'

-oo2 m+p—^

l I2h.

0

+K

0 0 p/

0 0

/^J

-co" m+p—— + K

l I2h )

Après avoir défini cette matrice élémentaire nous avons donc pu définir une matrice 17x17 représentative du faisceau 2x2 dont l'un des tubes avait une raideur Kd.

Raideur Kd

Raideur K

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Nous nous sommes intéressés dans ce modèle théorique uniquement aux modes de respiration et d'ensemble. Voici les résultats donnés par Maple

Mode de respiration « théorique »

0.1 60.142

1.5 64.451

0.2 60.157

1.6 64.725

0.3 60.177

1.7 64.941

0.4 60.2

1.8 65.116

0.5 60.238

1.9 65.259

0.6 60.292

2 65.379

0.7 60.379

3 65.96

0.8 60.537

4 66.168

0.9 60.86

1 61.484

1.1 62.3

1.2 63.046

1.3 63.641

1.4 64.099

frequence théorique de respiration

3,5 4,5

Mode d'ensemble « théorique »

0.1 67.968

1.5 76.081

0.2 68.118

1.6 76.693

0.3 68.3

1.7 77.214

0.4 68.53

1.8 77.656

0.5 68.812

1.9 78.032

0.6 69.173

2 78.353

0.7 69.635

3 79.994

0.8 70.221

4 80.589

0.9 70.95

1 71.792

1.1 72.7

1.2 73.66

1.3 74.558

1.4 75.37

82

fréquence théorique d'ensemble

1.5 2 2,5 3

raideur kd

3,5 4,5

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- B 12 - Conclusion :

On retrouve bien l'allure des courbes données par Castem. D'autre part, l'allure des courbes semble confirmer l'hypothèse que nous avions formulée, à savoir qu'au-delà d'une certaine fréquence il semble y avoir un découplage entre le tube de raideur Kd et les autres tubes.

Physiquement, cette hypothèse semble cohérente, à savoir qu'à partir d'une certaine raideur Kd le tube qui lui est associé va « voir » les autres tubes fixes, et on se retrouve (toujours dans un faisceau 2x2) alors dans le cas ci dessous:

tubes fixes

On ne peut plus alors parler de mode de respiration pour l'ensemble des tubes

Nous avons donc cherché à savoir quelle est la raideur Kd qui « découplait » le tube au reste de la structure. Pour cela nous avons repris l'étude par Maple d'un seul tube entouré d'une paroi fixe mais « excentré » comme le laissait supposé la figure ci-dessus:

h/2

Résultats:

Pour le tube présenté ci-dessus le mode de vibration est de 67.296 Hz . Pour le faisceau de 2x2 tubes on obtient quasiment la même raideur pour une raideur de Kd = 99xK . Ainsi pour cette valeur, le tube de raideur Kd a exactement le même comportement que le tube seul présenté ci- dessus, confirmant donc l'hypothèse de départ.

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- B 2 - Analyse du mode tournant

Ce mode (dont vous pouvez voir l'allure en annexe) correspond au mode de plus haute fréquence. Les résultats donnés par Castem donne des fréquences comprises entre 97,155 Hz et 97,253 Hz . En remarquant que la courbe donnée page 7 amplifie énormément la variation de fréquence autour de la valeur Kd = 1 on peut conclure que la fréquence du mode tournant est quasiment inchangée par la variation de raideur du domaine intérieur.

En effet pour le mode tournant le couplage fluide-structure s'effectue « exclusivement » entre les pavés du domaine extérieur d'une part et entre les pavés du domaine intérieur d'autre part. Ainsi la raideur du domaine extérieur étant constante, la fréquence du mode tournant est quasiment constante.

—

(17)

calcul d'un faisceau de tubes l.N.S.T.N. Vibrations des structures

- C - Conclusions

Les résultats que nous obtenons sont satisfaisants: en effet malgré une discrétisation peu fine du domaine fluide, les résultats Castem sont en accord avec l'étude théorique que nous avons faite.

Cependant, dans un coeur d'une centrale nucléaire, le faisceau n'est bien évidemment pas un faisceau de 4x4 tubes mais plutôt de l'ordre de plusieurs dizaines de tubes. Il aurait été intéressant d'étudier un domaine avec beaucoup plus de tubes et surtout pour se rapprocher davantage de la réalité, de faire varier l'épaisseur de la lame fluide , de façon stochastique, modélisant ainsi la mise en place réelle des crayons au sein du coeur. Néanmoins une pré-étude a été faite par Mr Rossignol sur ce thème et il semblerait que la variation de l'épaisseur de la lame fluide n'ait guère d'influence sur le spectre des fréquences, confirmant là aussi un certain nombre des calculs effectués sur mon modèle.

D'autre part, les courbes données par Castem ont été faites avec des variations de raideur Kd très importantes. Que peut-on en conclure par rapport à un problème industriel ? Il est clair que la raideur du domaine intérieur n'aura pas une valeur très éloignée de la raideur du domaine extérieur. En conséquence si on s'intéresse au mode de respiration par exemple il faudrait certainement observer la courbe sur un domaine tel que 0.7 < Kd < 1.3, c'est à dire analyser la courbe donnée ci-dessous.

70 -, 60

fréquence g ë è g

10 0 <

() 0,2 0,4

mode de respiration inhomogène

« • • • > • • • " • —

i i

0,6 0,8 1 raideur Kd

;

1

1,2 1,4

Cette répartition serait bien évidemment la même pour le mode d'ensemble.

De plus ne sont pas modélisés les chocs ce qui pourrait permettre de conclure que la varation de raideur n'a que très peu d'influence sur le comportement global de la structure

En conclusion, ce stage, intéressant, m'aura appris à me servir d'un code éléments finis puissant faisant intervenir l'interaction fluide-structure et me sensibiliser à l'analyse de résultats « bruts » donnés par Castem.

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Annexes

1/ listing du programme pg_P27.dgibi.

2 / quelques exemples de maillage

3 / modes de respiration, d'ensemble, tournant pour Kd=0.95xK 4/ résultats pour Kd=1.7xK et Kd=1.8xK

5/ modes de respiration, d'ensemble et tournant pour des faisceaux homogènes 2x2 et 4x4

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LISTING DU PROGRAMME

pg_P27.dgibi

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—' * calcul d'un pave inhomogene

OPTI DIME 2 ELEM TRI3 ; OPTI NORM AUTO ;

OPTI SAUV 2D44 ;

***********************************************************

* 1/ DONNEES

***********************************************************

RHOS - 7800. ; RHOF = 1000. ; NUI = 0.3 ; YO = 2.1E11 ; L = 0.05;

Z = 0.005 ; NI = 4 ; N2 = 4 ; VEN = 0 . 0 . ; VEC1 =(L+Z) 0. ; VEC2 =0. (L+Z) ;

********************************************************************

** **

** DEFINITION DE LA ZONE PAVE M*M SITUATION ET SURFACE **

** **

* emplacement de la zone pavée 11=1 ;

Jl=l ;

* surface de la zone pavée X =2 ;

ELEMENTS CARACTERISTIQUES DU DOMAINE D **

JEUX ET NOMBRE DE PAVE **

T=((X*(L+Z))/M)-Y;

111=J l l =

**

Y = M =

11+(X- J1+(X-

0 . 0 0 5 ; 2 ;

*********************** ********************************

VE1 = (T+Y) 0. ; VE2 = 0. (T+Y) ; NPAV = 1 ;

NPAV2 = M*2 ; ALPHA = 0.000001 ;

K = ((100.*2.*pi)**2)*L*L*RHOS ; K = 2*K ;

KD = ((100.*2.*pi)**2)*T*T*RHOS ;

*KD = 0.750*KD ;

************************************* **********************

(21)

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * \r * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

P01=(0.5*(L+Z)) (Û.5*(L+Z));

P02=(-0.5*(L+Z)) (0.5*(L+Z));

P03=(-0.5*(L+Z)) (-0.5* (L+Z));

P04=(0.5*(L+Z)) (-0.5*(L+Z));

Pll=(0.5*L) (0.5*L);

P12=(-0.5*L) (0.5*L);

P13=(-0.5*L) (-0.5*L);

P14=(0.5*L) (-0.5*L);

PA11=P11 PLUS VEN;

PA12=P12 PLUS VEN;

PA13=P13 PLUS VEN;

PA14*=P14 PLUS VEN;

PI3=P03 PLUS VEN;

PI2=P02 PLUS VEN;

* 3/ MAILLAGE

* MAILLAGE DU FLUIDE

*****************************************************************************

* MAILLAGE DE LA POUTRE

*****************************************************************************

SPOU= DALL (PAU D NPAV2 PA12) (PA12 D NPAV2 PA13) (PA13 D NPAV2 PA14) (PA14 D NPAV2 P A U ) 'PLAN';

1 -1; ' ' • : • . - • • • • .

J=l;

SPOUT = TABLE;

SPOUT.(0) = TABLE ; SPOUT.(0).(0)=SPOU ;

M

J

SFLU1= DALL (P01 D NPAV Pli) (Pli D NPAV2 P12) (P12 D NPAV P02) J (P02 D NPAV2 P01) 'PLAN'; • SFLU2= DALL (P02 D NPAV P12) (P12 D NPAV2 P13) (P13 D NPAV P03)

(P03 D NPAV2 P02) 'PLAN';

SFLU3= DALL (P04 D NPAV P14) (P14 D NPAV2 Pli) (Pli D NPAV P01) I (P01 D NPAV2 P04) 'PLAN'; — SFLU4= DALL (P03 D NPAV P13) (P13 D NPAV2 P14) (P14 D NPAV P04)

(P04 D NPAV2 P03) 'PLAN';

SFLU0= (SFLU1 ET SFLU2 ET SFLU3 ET SFLU4); "~

SFLU=SFLUO ;

d à

1 S

REPETER LOOP1 (Nl-1) ;

VEC = ( (FLOTTANT I) * VEC1) ; SFI=SFLU0 PLUS VEC ;

SPOUT.(0).(I)=SPOU PLUS VEC ; M SFLU=SFLU ET SFI ; • 1=1+1 ;

FIN LOOP1 ;

REPETER LOOP0 (N2-1) ; I SPOUT.(J)=TABLE ;

1=0 ;

REPETER LOOP1 NI ; 10= (Il-I) > 0 ;

J0= (Jl-J) > 0 ;

1 I

(22)

SI ( ( 1 0 OU JO OU IS OU JS)) ;

VEC= ( ((FLOTTANT I) * VEC1) PLUS ( (FLOTTANT J)*VEC2) ) ; SFI=SFLU0 PLUS VEC ;

SPOUT.(J).(I)=SPOU PLUS VEC ; SFLU=SFLU ET SFI ;

FINSI ; 1=1+1 ; FIN LOOP1 ; J=J+1;

FIN LOOP0 ; w ELIM ALPHA SFLU ;

*******************************************

* 2/ GEOMETRIE DU DOMAINE D

******

^ PW01=(X*0.5*(L+Z)) (X*0.5*(L+Z)) ; PW02=(X*(-0.5)*(L+Z)) (X*0.5*(L+Z)) ; PW03=(X*(-0.5)*(L+Z)) (X*(-0.5)*(L+Z)) PW04=(X*0.5*(L+Z)) (X*(-0.5)*(L+Z)) ; PD01=(0.5*(T+Y)) (0.5*(T+Y)) ;

PD02=(-0.5*(T+Y)) (0.5*(T+Y)) ; PD03=(-0.5*(T+Y)) (-0.5*(T+Y)) ; PD04=(0.5*(T+Y)) (-0.5*(T+Y)) ; PD11=(O.5*T) (0.5*T) ;

_ PD12=(-O.5*T) (0.5*T) ; PD13=(-0.5*T) (-0.5*T) ; PD14=(0.5*T) (-0.5*T) ; PB11=PD11 PLUS VEN ; PB12=PD12 PLUS VEN ; PB13=PD13 PLUS VEN ; PB14=PD14 PLUS VEN ; PID3=PD03 PLUS VEN ; PID2=PD02 PLUS VEN ;

*****************************************************************************

* 3/ MAILLAGE DU DOMAINE D

* MAILLAGE DU FLUIDE D

NPAV3 = (NPAV2*X)/M ;

SFLUD1= DALL (PD01 D NPAV PD11) (PD11 D NPAV3 PD12) (PD12 D NPAV PD02) (PD02 D NPAV3 PD01) ' P L A N ' ;

I SFLUD0= (SFLUD1 ET SFLUD2 ET SFLUD3 ET SFLUD4) ;

te * MAILLAGE DE LA POUTRE D

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

(23)

SPOUD= DALL ( P B 1 1 D NPAV3 P B 1 2 ) ( P B 1 2 D NPAV3 P B 1 3 ) ( P B 1 3 D NPAV3 P B 1 4 ) (PB14 D NPAV3 P B 1 1 ) ' P L A N ' ;

* CONSTRUCTION ET DEPLACEMENT DU DOMAINE D

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * VECD = ( ( L + Z ) * ( I l - ( 0 . 5 ) ) + ( ( 0 . 5 ) * ( T + Y ) ) ) ( ( L + Z ) * ( J l - ( 0 . 5 ) ) +

( ( 0 . 5 ) * ( T + Y ) ) ) ; SPOUD = SPOUD PLUS VECD ; SFLUDO = SFLUDO PLUS VECD ; SFLUD = SFLUDO ;

J-i ;

SPOUTD = TABLE ; SPOUTD.(0) = TABLE ; SPOUTD.(0).(0)=SPOUD;

***************************************.. *******************************

RACCORD DU DOMAINE EXT REPETER LOOPD1 (M-l) ;

VE = ( (FLOTTANT I) * VE1) ; .

SFDI=SFLUDO PLUS VE ; il

SPOUTD. (0).(I)=SPOUD PLUS VE ; * SFLUD=SFLUD ET SFDI ;

1=1+1 ;

FIN LOOPD1 ;

I

i

REPETER LOOPD0 (M-l) ; SPOUTD.(J)=TABLE ; 1=0 ;

REPETER LOOPD1 M;

VE= ( ((FLOTTANT I)*VE1) PLUS ((FLOTTANT J)*VE2) ) ; • SFDI=SFLUD0 PLUS VE ; * SPOUTD.(J).(I)=SPOUD PLUS VE ;

SFLUD=SFLUD ET SFDI ; kl

1=1+1 ; (I

FIN LOOPD1 ; J=J+1 ; FIN LOOPD0 ;

*TRAC SFLUD ; ELIM ALPHA SFLUD ;

*TRAC SFLUD ;

SFLUD = SFLUD COUL (VERT) ;

I

* RACCORDEMENT DES 2 DOMAINES FLUIDES SFLU ET SFLUD

**********************************************************************

SFLUTOTA « SFLU ET SFLUD ;

ELIM ALPHA SFLUTOTA ; J

*TRAC SFLUTOTA ; tg

SPOUD = SPOUD COUL (BLEU) ; il SPOU = SPOU COUL (ROUGE) ; .

*TRAC (SFLUTOTA ET SPOU ET SPOUD) ;

I

4/ ELEMENTS DJ& RACCORD J

I

(24)

J=0 ;

REPETER LOOPEX N2 ; 1=0 ;

RAC.(J)=TABLE ; REPETER LOOP2 NI ;

10= (Il-I) > 0 ; J0= (Jl-J) > 0 ; IS= (I-Ill) > 0 ; JS= (J-Jll) > 0 ;

RAC.(J).(I) = RACC 0.000001 SFLU (SPOUT.(J).(I)) FINSI ;

1=1+1 ; FIN LOOP2 ; J=J+1 ; FIN LOOPEX ;

* 4/ ELEMENTS DE RACCORD DU DOMAINE D

*************************************************

RACD=TABLE ; J=0 ;

REPETER LOOPEXD M ; RACD.(J)=TABLE ; REPETER LOOPD2 M ;

RACD.(J).(I) = RACC 0.0000001 SFLUD (SPOUTD.(J).(I)) 1=1+1 ;

FIN LOOPD2 ; J=J+1 ; FIN LOOPEXD ;

*****************************************************

* 5/ MODELES

* MODELE DU GRAND DOMAINE

it * * ** * * * ** * * * ** * * ** * * * ** * * ** * * * ** * * * ** * * ** * *

MODPOU= TABLE ; J=0 ;

REPETER LOOPEX3 N2 ; MODPOU.(J)=TABLE ;

1=0 ;

REPETER LOOP3 NI ; 10= (Il-I) > 0 ; J0= (Jl-J) > 0 ; IS= (I-Ill) > 0 ; JS= (J-Jll) > 0 ;

MODPOU.(J).(I)=MODELE SPOUT.(J).(I) MECANIQUE ELASTIQUE TRI3 ; FINSI ;

1=1+1;

FIN LOOP3 ; J=J+1;

FIN LOOPEX3 ;

MODRAC = TABLE ; J=0 ;

REPETER LOOPEX4 N2 ;

(25)

MODRAC.(J)=TABLE ; 1=0;

SI (( 10 OU JO OU IS OU JS)) ;

MODRAC. (J) . (I)= MODELE RAC. (J) . (I) LIQUIDE MECANIQUE RAC2 ; FINSI ;

1=1+1 ; FIN LOOP4 ; J=J+1 ; FIN LOOPEX4 ;

* 5/ MODELES DE D ET DU FLUIDE

*************************************************

*************************************************************************

* 6/ MATERIAUX

*************************************************************************

MATPOU=TABLE ; J=0 ;

REPETER LOOPEX5 N2 ; MATPOU.(J)= TABLE ; 1=0;

SI ( ( 10 OU J0 OU IS OU JS)) ;

MATPOU. (J) . (I)=MATER MODPOU. (J) . (I) YOUN YO NU NUI RHO RHOS ; FINSI ;

J

M I

MODPOUD= TABLE ; J=0 ;

REPETER LOOPEXD3 M ; MODPOUD.(J)=TABLE ;

1=0 ;

REPETER LOOPD3 M ;

MODPOUD.(J).(I)=MODELE SPOUTD.(J).(I) MECANIQUE ELASTIQUE TRI3 ;

1=1+1; • FIN LOOPD3 ; • J=J+1;

FIN LOOPEXD3 ; MODRACD = TABLE ;

I

J=0; , REPETER LOOPEXD4 M ;

MODRACD. (J)=TABLE ; 1=0 ;

REPETER LOOPD4 M ;

MODRACD.(J).(I)= MODELE RACD.(J).(I) LIQUIDE MECANIQUE RAC2 ; 1=1+1 ;

FIN LOOPD4 ;

J = J + 1 ; -'--^ ::'; '••' : •• - •

F I N L O O P E X D 4 ; ' -.,.>* g

j

MODFLU = MODELE SFLUTOTA LIQUIDE LTR3 ;

I

I I J

I

(26)

J=J+1 ; FIN LOOPEX5 ;

MATRAC= TABLE ; J=0 ;

REPETER L00PEX6 N2 ; MATRAC.(J) = TABLE ;

1=0 ;

SI ( ( 1 0 OU J0 OU IS OU JS)) ;

MATRAC. (J) . (I) = ( CARA MODRAC. (J) . (I) LIQU SFLU) ET (MATE MODRAC. (J) . (I) RHO RHOF RORF 1. CSON 1435. CREF 1.

LCAR 1. G 9.81) ; FINSI ;

1=1+1 ; FIN LOOP6 ; J=J+1 ;

— FIN LOOPEX6 ;

* 6/ MATERIAUX DE D ET DU FLUIDE

*************************************************

MATPOUD=TABLE ; J=0 ;

REPETER LOOPEXD5 M ; MATPOUD.(J)= TABLE ;

1=0 ;

REPETER LOOPD5 M ;

MATPOUD. (J) . (I)=MATER MODPOUD. (J) . (I) YOUN YO NU NUI RHO RHOS;

1=1+1 ; FIN LOOPD5 ;

J=J+1 ; FIN LOOPEXD5 ;

MATRACD= TABLE ; J=0 ;

REPETER LOOPEXD6 M ; MATRACD.(J) = TABLE ;

1=0 ;

REPETER LOOPD6 M ;

MATRACD. (J) . (I) = ( CARA MODRACD. (J) . (I) LIQU SFLUD) ET (MATE MODRACD. (J) . (I) RHO RHOF RORF 1. CSON 1435. CREF 1.

LCAR 1. G 9.81) ; 1=1+1 ;

FIN LOOPD6 ; J=J+1 ; FIN LOOPEXD6 ;

MATFLU = MATE MODFLU RHO RHOF RORF 1. CSON 1435. CREF 1.

LCAR 1. G 9.81 ;

****************************************************************************

* 7/ MATRICES DE MASSE ET DE RIGIDITE ( avec conditions limites )

***********************************************

(27)

DOMAINE DE RACCORDEMENT MASFLU = MASS MODFLU MATFLU ; RIGFLU = RIGI MODFLU MATFLU ; MASTOT

RIGTOT

MASFLU ; RIGFLU ; ORI=0. 0. ;

PO = TABLE ; J=0 ;

REPETER EXBLOCO N2 ; PO.(J) =TABLE ; 1=0;

REPETER BLOCO Nl ; 10= (Il-I) > 0 ; J0= (Jl-J) > 0 ; IS= (I-Ill) > 0 ; JS= (J-Jll) > 0 ;

P0.(J).(I)= ORI PLUS ((FLOTTANT I)*VEC1 PLUS ((FLOTTANT J)*VEC2));

PO.(J).(I) = PO.(J).(I) ET PO.(J).(I) ; FINSI ;

1=1+1 ; FIN BLOCO ; J=J+1 ;

FIN EXBLOCO N2 ;

PN3=PI3 PLUS (((L+Z)*N1) 0.) ; PN2=PI2 PLUS (((L+Z)*N1) 0.) ;

TABLE ; TABLE ; TABLE ; TABLE ; TABLE ; TABLE ; TABLE ; MASPOU

MASRAC RIGPOU RIGRAC RBLPOU ENSPOU RAXPOU 1=0 ; J=0 ;

REPETER LOOPEX22 N2 ; MASPOU.(J) = TABLE ; MASRAC.(J) = TABLE ; RIGPOU.(J) = TABLE ; RIGRAC.(J) = TABLE ; RBLPOU.(J) = TABLE ; ENSPOU.(J) = TABLE ; RAXPOU.(J) = TABLE ;

SI ( ( 1 0 OU J0 OU IS OU JS)) ;

MASPOU.(J).(I)= MASS MODPOU.(J).(I) MATPOU.(J).(I) ; RIGPOU.(J).(I)= RIGI MODPOU.(J).(I) MATPOU.(J).(I) ;

u

i

I

i

I

j j

I I 1

i

• i

(28)

RBLPOU.(J).(I)= BLOQ 'ROTA' SPOUT.(J).(I) ; ENSPOU.(J).(I)= RELA ENSE 'UX' 'UY'

(SPOUT.(J).(I) ET (PO.(J).(I))) ;

RAXPOU.(J).(I)= RIGI 'UX' 'UY' (K) (POINT SPOUT.(J).(I) 'INITIAL') ;

MASTOT = MASTOT ET MASPOU.(J).(I) ET MASRAC.(J).(I) ; RIGTOT = RIGTOT ET RBLPOU.(J).(I) ET ENSPOU.(J).(I)

ET RAXPOU.(J).(I) ET RIGPOU.(J).(I) ET RIGRAC.(J).(I) ; FINSI ;

1=1+1 ; FIN LOOP22 ; J=J+1 ;

FIN LOOPEX22 N2 ;

— * 7/ MATRICES DE MASSE ET DE RIGIDITE D( avec conditions limites )

• • • • • • • i t * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

MASTOTD = MASTOT ; RIGTOTD = RIGTOT ;

m

ORI=0. 0. ;

ORI = ORI PLUS VECD ; POD = TABLE ;

J=0 ;

REPETER EXBLOCOD M ; POD.(J) =TABLE ; 1=0;

REPETER BLOCOD M ;

P0D.(J).(I)= ORI PLUS ((FLOTTANT I)*VE1 PLUS ((FLOTTANT J)*VE2));

POD.(J).(I)= POD.(J).(I) ET POD.(J).(I) ; FINSI ;

1=1+1 ; FIN BLOCOD ; J=J+1 ;

" FIN EXBLOCOD ;

PID3 = PID3 PLUS VECD ; PID2 = PID2 PLUS VECD ;

PND3=PID3 PLUS (((T+Y)*M) 0.) ; , PND2=PID2 PLUS (((T+Y)*M) 0.) ;

MASPOUD = TABLE ; MASRACD = TABLE ;

" RIGPOUD = TABLE ; RIGRACD = TABLE ; RBLPOUD = TABLE ; J ENSPOUD = TABLE ; RAXPOUD = TABLE ;

J

^{I=0 ;}J=0 ;

REPETER LOPEXD22 M ; MASPOUD.(J) = TABLE ; MASRACD.(J) = TABLE ;

* RIGPOUD.(J) = TABLE ; RIGRACD.(J) = TABLE ; RBLPOUD.(J) = TABLE ;

- ENSPOUD.(J) = TABLE ; RAXPOUD.(J) = TABLE ;

(29)

1=0 ;

REPETER LOPD22 M ;

MASPOUD.(J).(I)= MASS MODPOUD.(J).(I) MATPOUD.(J).(I) ; _ RIGPOUD.(J).(I)= RIGI MODPOUD.(J).(I) MATPOUD.(J).(I) ;

MASRACD.(J).(I)= MASS MODRACD.(J).(I) MATRACD.(J).(I) ; RIGRACD.(J).(I)= RIGI MODRACD.(J).(I) MATRACD.(J).(I) ;

RBLPOUD.(J).(I)= BLOQ 'ROTA' SPOUTD.(J).(I) ; — ENSPOUD.(J).(I)= RELA ENSE 'UX' 'UY'

(SPOUTD.(J).(I) ET (POD.(J).(I))) ;

RAXPOUD.(J).(I)= RIGI 'UX' 'UY' (KD) (POINT SPOUTD.(J).(I)

' INITIAL') ; — MASTOTD = MASTOTD ET MASPOUD.(J).(I) ET MASRACD.(J).(I) ;

RIGTOTD = RIGTOTD ET RBLPOUD.(J).(I) ET ENSPOUD.(J).(I) _ ET RAXPOUD.(J).(I) ET RIGPOUD.(J).(I) ET RIGRACD.(J).(I) ;

1=1+1 ; FIN LOPD22 ;

J=J+1 ; — FIN LOPEXD22 ;

MASTOT = MASTOTD ; RIGTOT = RIGTOTD ;

J-l;

REPETER EXBLPCEN (N2-1) ; 1=0 ;

REPETER BLPCEN NI ; 10= (Il-I) > 0 ;

* * * * * * * * I

* 8/ RESOLUTION PB VIBRATIONS 2 DOMAINES

************************************************* ^

SO = VIBR 'INTERVALLE' 66. 75. RIGTOT MASTOT I 'IMPR' 'TBAS' ;

•declaration de mode en tant que tableau J MODE = TABLE ;

FREQ = TABLE ; . • DF = TABLE ; •- DFR = TABLE ;

PCENTRE = TABLE ; ' • PCENTRED = TABLE ;

VERF = TABLE;

PPR = TABLE ; TAB1 = TABLE ; TAB1 = SO.MODES ;

PCENTRE = PO.(0).(0) ; I COSPOU = CONT (SPOUT.(0).(0)); •»

i=i ;

REPETER BLK (Nl-1); M

PCENTRE = PCENTRE ET PO.(O).d); • COSPOU = COSPOU ET (CONT SPOUT.(0).(I)); '

1=1+1 ; FIN BLK

I I

I

(30)

JS= (J-Jll) > 0 ;

SI ( ( 1 0 OU JO OU IS OU JS)) ; PCENTRE=P0.(J).(I) ET PCENTRE ;

COSPOU=COSPOU ET (CONT SPOUT.(J).(I)) FINSI ;

1=1+1 ; FIN BLPCEN ; J=J+1 ; FIN EXBLPCEN ;

PCENTRED = POD.(0).(0) ;

COSPOUD = CONT (SPOUTD.(0).(0)) ; i=i ;

REPETER BLKD (M-l) ;

PCENTRED = PCENTRED ET POD. (0).(I) ;

COSPOUD = COSPOUD ET (CONT SPOUTD.(0).(I)) ; 1=1+1 ;

FIN BLKD ; J=i;

REPETER EXBLPCD (M-l) ; 1=0 ;

REPETER BLPCD M ;

PCENTRED = PCENTRED ET POD.(J).(I) ; COSPOUD=COSPOUD ET (CONT SPOUTD.(J).(I)) 1=1+1 ;

FIN BLPCD ; J=J+1 ; FIN EXBLPCD ;

1=1 ;

NMO = (DIME TAB1) - 2 ; REPETER BLAFF NMO ;

MODE.I = SO.MODES.I ;

FREQ.I = (MODE.I).FREQUENCE ; DF.I = MODE.I.DEFORMEE_MODALE ; LIST FREQ.I ;

TITRE 'SOLUTION FAISCEAUX NON CENTRES' FREQ.I ; PPR.I = EXCO DF.I P ;

TRAC PPR.I (SFLU ET SFLUD) ; VERF.I=VECT DF.I 1E5 ROUG ;

DFR.I=REDU DF.I (PCENTRE ET PCENTRED) ; VERF.I = VECT DFR.I 1E6 ROUG ;

COSPOU = COSPOU ET COSPOUD ; TRAC COSPOU VERF.I ;

I =1+1 ;

FIN BLAFF FIN ; FIN ; FIN ;

(31)

EXEMPLE DE MAILLAGE

(32)

u

^m

(33)

o

H tu

m

M

o

B

J

u

j

I

J

I

1

(34)

U I

m

(35)

MODES DE RESPIRATION D'ENSEMBLE ET TOURNANT

K ^d = 0,95 x K

(36)

\

COMPOSANTE;

VECTEURS

UX UY

(37)

COMPOSANTE;

VECTEURS

UX UY

(38)

\ \ ¥

COMPOSANTE!

VECTEURS

UX UY

(39)

RESULTATS POUR K ^d = 1,7 x K

et K,i=l,8xK

(40)

t \

COMPOSANTE;

VECTEURS

UX UY

(41)

SOLUTION FAISCEAUX NON HOMOGENE KD=1.7*K 72.7 93

COMPOSANTEÏ VECTEURS

UX UY

(42)

r •» ^ ^ . . .

COMPOSANTE;

VECTEURS

UX UY

(43)

SOLUTION FAISCEAUX inhomogene Kd-1.8*K 68.971

COMPOSANTES VECTEURS

UX UY

(44)

CCMPOSANTEJ VECTEURS

UX UY

(45)

FAISCEAUX HOMOGENE 2x2 ET 4x4

(46)

Mode de respiration

raideur K frequence

0,05 14,469

0,1 20,462

0,2 28,938

0,25 32,354

0,3 35,442

0,35 38,281

0,4 40,924

0,45 43,707

0,55 47,988

0,6 50,122

0,63 51,359

0,65 52,168

0,7 54,138

0,72 54,905

0,75 56,038

0,77 0,83 56,78 58,95

0,85 59,656

0,87 60,354

0,9 61,386

0,93 62,401

140

120

100

§ 80

freq

60

40

20

C

/ y^

) 0,5 1 Y9

1,5

mode de respiration 2x2

1 ^

2 2,5 3 raideur

3,5 4

^

4,5 ;

—•—14,469

(47)

Mode d'ensemble

raideur K frequence

0,05 14,751

0,1 20,861

0,2 29,502

0,25 32,894

0,3 36,132

0,35 39,027

0,4 41,722

0,45 44,252

0,55 48,923

0,6 51,098

0,63 52,36

0,65 53,184

0,7 55,192

0,72 55,975

0,75 57,129

0,77 0,83 57,885| 60,098

0,85 60,818

0,87 61,529

0,9 62,281

0,93 63,615

160 140 120 f 100

80

60

40

20

0 0

mode d'ensemble 2x2

14,751

0,5 1,5 2,5

raideur

3,5 4,5

(48)

250

200 -

150 -

I

100 50

0,5

mode tournant 2x2

-20,566

4,5

(49)

Faisceaux 4x4 Homogène

Mode de respiration

raideur frequence

0,25 32,984

0,3 36,132

0,35 39,027

0,4 41,722

0,45 44,252

0,5 46,646

0,55 48,923

0,6 51,098

0,65 53,184

0,7 55,192

0,75 57,129

0,8 59,002

0,85 60,818

0,9 62,581

0,95 64,296

1 65,966

1,05 67,595

1,1 69,185

1,2 72,261

1,3 75,212

1,4 78,05

1,5 80,789

Mode de respiration 4x4 Homogène

(50)

Mode d'ensemble

raideur frequence

0,25 33,452

0,3 36,644

0,35 39,58

0,4 42,312

0,45 44,879

0,5 47,306

0,55 49,614

0,6 51,82

0,65 53,935

0,7 55,971

0,75 57,935

0,8 59,834

0,85 61,675

0,9 63,463

0,95 65,201

1 66,894

1,05 68,545

1.1 1,2 73,276

1,3 76,267

1,4 79,144

1,5 81,92

120

100

80

I

⁶⁰

40

20

Mode d'ensemble 4x4 Homogène

0,5 1,5

raideur

-33,452

2,5