Calcul des primitives

Calcul des primitives

1. Primitives & intégrales.

2. Tableau des primitives usuelles.

3. Changement de variable.

4. Intégration par parties.

5. Intégration des fractions rationnelles.

6. Intégration des fractions rationnelles en sin-cos.

7. Intégration des fractions rationnelles en exp, en ch-sh.

8. Intégrales abéliennes élémentaires.

Pierre-Jean Hormière

___________

« Sans technique un don n’est rien qu’une sale manie. » Georges Brassens

Introduction

A l’heure où des programmes de calcul formel sont implantés sur les calculatrices de poche, les traditionnels exercices de calcul de primitives et d’intégrales ont moins d’intérêt qu’avant. Ils permettent néanmoins d’évaluer la capacité d’initiative du candidat. De même qu’il faut savoir faire une multiplication à la main, il reste utile de savoir calculer à la main une intégrale simple :

• pour contrôler les résultats affichés par la machine,

• pour comprendre pourquoi tel logiciel échoue à calculer une intégrale, et savoir comment remédier à cette situation.

Par ailleurs, les algorithmes implantés en machine nécessitent des connaissances qui débordent ce chapitre, mais auxquelles ce chapitre introduit.

1. Primitives & intégrales ¹.

1.1. Rappels.

• Si I est un intervalle de R, et E un evn, la fonction f : I → E admet F pour primitive si (∀x ∈ I) F’(x) = f(x). Les autres primitives de f sont G(x) = F(x) + cte.

Une primitive de f se note

∫

^{f ).(x dx}par abus : cette notation désigne tantôt une des primitives, tantôt toutes les primitives.

• Si f est continue sur I, f admet une primitive, par exemple F(x) =

∫

_c^x

^{f ). ( t dt}

, où c ∈ I. Les autres sont alors G(x) =

∫

_c^x

^{f ). ( t dt}

^{+ cte.}

Si (a, b) ∈ I² et si G est une primitive de f, alors

∫

_a^b

^{f ). ( t dt}

= G(b) − G(a). Le calcul des intégrales définies de fonctions continues sur un segment est ainsi ramené à la recherche des primitives de f.

A noter que, lorsque c décrit I, x →

∫

_c^x

^{f ). ( t dt}

ne décrit pas l’ensemble des primitives de f : ainsi

∫

_c^x₁₊^dt_t² = Arctan x − Arctan c = Arctan x + k , avec k ∈

]

−

2 π

_,

2 π [

.

• Si f est seulement continue par morceaux sur I, il existe une subdivision σ = (x₀ = a < x₁ < … <

x_n = b) de I telle que, pour tout i, f|]xi, xi+1[ se prolonge en une fonction continue f_i sur [x_i , x_i+1], autrement dit que f soit continue en chaque point x ∈ I−σ et ait des limites à droite et à gauche en les x_i . f n’a pas de primitive dans I, i.e. n’est pas une fonction dérivée : en effet elle ne vérifie pas la propriété des valeurs intermédiaires. On peut cependant calculer

∫

_a^b

^{f ). ( t dt}

^{. Si Gi} est une primitive de f_i sur [x_i , x_i+1], on a :

∫

_a^b

^{f ). ( t dt}

⁼

^∑

⁻

=¹ + −

0

1) ( )]

( [

n

i

i i i

i x G x

G .

• Il faut prendre garde que les techniques de primitivation que nous allons voir ne donnent pas toujours des primitives sur tout le domaine de définition de f.

Exemple : Calculer I =

∫

₋^π_πa²cos^ab_²x+^.dx_b²sin²x ( a, b > 0 ).

Il s’agit d’une fraction rationnelle en sinus-cosinus. La forme différentielle f(x).dx étant invariante par x → x + π, on peut poser t = tan x (cf. règle de Bioche, § 6.2).

Le changement de variable donne I =

∫

₀⁰_a^ab_²+^._b^dt_²t² = 0 … ce qui est manifestement faux !

Lorsque x varie de −π à π, t = tan x varie bien de 0 à 0, mais en réalité de 0 à +∞, de −∞ à +∞, et de

−∞ à 0, de sorte que I = 2

∫

₋^+∞_∞a^ab_²+^._b^dt_²t² ^{= 2}

[

^Arctanbt_a

]

^+∞_−∞ ^{= 2π.}

L’erreur vient de ce que l’égalité

∫ _{a ² cos} ^ab _{² x}

₊

^{. dx} _{b ² sin ² x}

^{= Arctan(}_a^{b tan. x}) ne vaut que sur les inter- valles

]

−

2 π

_+kπ,

2

π

_{+ kπ}

[

.

∫

_a²cos²^ab_x+^.dx_b²sin²x est une fonction C^∞ sur R, tandis que Arctan (

x a b tan .

) est discontinue sur R. En réalité, la primitive de

∫

_a²cos²^ab_x+^.dx_b²sin²x nulle en 0 est donnée par F(x) = Arctan( x

ab tan. ) + kπ pour −

π 2

+ kπ < x <

π 2

+ kπ , F(−

π 2

_{+ kπ) = k}

π 2

_. Exercice 1 : Calculer F(x) =

∫

₀^x_a²cos^ab_²t+^.dt_b²sin²t ( a, b > 0 ).

Exercice 2 : Calculer J =

∫

₀^2π_a²+b²−^dx_2abcosx ( a > b > 0 ).

1.2. Intégration élémentaire.

Calculer la primitive

∫

^{f ).(x dx} d’une fonction f(x) usuelle, c’est exprimer cette primitive à l’aide des fonctions usuelles. Par « fonction usuelle », on entend ici les fonctions rationnelles, exponen- tielles et logarithmes, trigonométriques et hyperboliques, ainsi que leurs réciproques et leurs composées.

Malheureusement, la classe des fonctions usuelles n’est pas stable par primitivation. On peut démontrer − c’est l’objet d’une théorie appelée algèbre différentielle, fondée par Liouville dans une série d’articles parus entre 1833 et 1841, et approfondis par Alexander Ostrowski et Maxwell Rosenlicht et liée à la théorie de Galois différentielle − que les fonctions

∫

^{exp(−x²).dx,}

∫

^exp_x^x.dx,

∫ _ln ^dx _x

et bien d’autres, ne peuvent s’exprimer à l’aide des fonctions élémentaires. Qu’à cela ne tienne ! on peut les adjoindre à la liste des fonctions connues, après les avoir nommées, étudiées et

tabulées (ce qui est facile²). C’est bien ce que font les ingénieurs et probabilistes, qui nomment la première Erf, la seconde exponentielle intégrale, la troisième logarithme intégral, etc.

C’est aussi le cas des intégrales elliptiques, que l’on rencontre notamment lors de la rectification de l’ellipse : L =

∫

₀^2π

^{a ² sin ² t}

⁺

^{b ² cos ² t . dt}

, du calcul de la période du pendule simple ou de la durée du printemps : ces intégrales ne se calculent pas élémentairement, mais on peut les nommer, les étudier, les tabuler, et les adjoindre à la liste des fonctions connues. La bibliothèque des fonctions connues de Maple inclut les fonctions usuelles, et en contient bien d’autres.

Il bien connu que

∫

^{f(x)+g(x).dx =}

∫

^{f ).(x dx+}

∫

^{g ).(x dx}, mais il faut un peu se méfier de cette formule du point de vue de l’intégration élémentaire : il peut se faire que

∫

^f(x)+g(x).dx se calcule élémentairement, sans que

∫

^{f ).(x dx et}

∫

^{g ).(x dx} ne se calculent élémentairement.

Exercice 3 : Calculer les intégrales :

x x . dx

2 exp ²

²).

1

∫ (

^{− − ,}

∫

^{xx(1+lnx).dx et}

∫ ^{

ln|x + 1|.ln|x − 1| −

. 1 2

+

x

^{ln|x − 1|}

}

.dx .

Toutes ces remarques sur l’intégration élémentaire s’appliquent à la résolution des équations différentielles : certaines équations différentielles s’intègrent élémentairement (équations linéaires, de Bernoulli, de Riccati, à variables séparées, homogènes, etc.), c’est-à-dire peuvent se ramener à des calculs de primitives ou « quadratures », d’autres pas. Les solutions de ces dernières peuvent néanmoins être étudiées qualitativement, nommées, etc.

1.3. Remarques complémentaires.

Certains changements de variables ou d’autres astuces permettent de calculer des intégrales définies

∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

, alors même qu’on ne peut primitiver f élémentairement.

Exercice 4 : Montrer que

∫

₀^/2 ₄

⁻ ₊

₄

^.

sin cos

cos

π

sin

x dx x

x

x

_{= 0 ,}

∫

₁²_/2¹_x^.cos(₁₊^x_x²^{).lnx.dx = 0.}

Exercice 5 : Soit f réglée sur [a, b] telle que ∀x ∈ [a, b] f(a + b − x) = f(x).

Montrer que :

∫

_a^b

^{x . f ( x ). dx}

⁼

^a+ ₂ ^b ∫

_a^b

^{f ). ( x dx}

^.

Applications : calculer

∫

₀^π₁₊^x._cos^sin_²^x_x^.dx,

∫

₀^πcos4 ₊sin4

. x x

dx

x _,

∫

₀^/2 4 ₊ 4 . sin cos

cos . sin

π .

xdx x

x x

x _.

Exercice 6 : Calculer dx x

x.

² 1

) 1 ln(

1

∫

0 ₊^{+ [} Indication : poser x = tan ϕ .]

Ajoutons que certaines intégrales impropres (Frullani, Gauss, etc.) peuvent se calculer sans que les fonctions ne se primitivent : pour cela, on peut, soit rester dans le domaine réel, soit passer par la variable complexe (calcul et formule des résidus).

2 Après tout, qu’est-ce que le logarithme, sinon la fonction ln x =

∫

^x

^{dt / t}

supposée connue, c’est-à-dire appri-

2. Tableau des primitives usuelles.

Toute table de dérivées usuelles fournit ipso facto une table de primitives, mais certaines des primitives ci-dessous seront trouvées grâce aux méthodes indiquées dans les § suivants.

f(x)

∫

^{f ).(x dx}

x^a , a ∈ C−{−1}

1/x

exp(ax) , a ∈ C*

sin x cos x tan x cotan x

x sin

1

x cos

1

x

² sin

1

= 1 + cotan²x

x

² cos

1

= 1 + tan²x

x x cos . sin

1

sh x ch x th x coth x

shx 1

chx 1

x sh²

1

= coth² x − 1

x ch²

1

= 1 − th² x

chx shx.

1

²

² 1

a

x

+ , a ∈ R*

²

² 1

a x

−

²

² 1

x a

−

²

² 1

x a

+

²

² 1

a x

−

1

1

+

+

a x^a ln |x|

exp(ax)/a − cos x sin x − ln | cos x | ln | sin x | ln | tan

2 x

_| ln

|

tan(

2 x

₊

4 π

₎

|

− cotan x tan x ln | tan x | ch x sh x ln ch x ln | sh x | ln

|

th

2 x |

2 Arctan e^x − coth x th x ln | th x |

a

1

_Arctan

a x

a 2

1

_ln

|

a x

a x

+−

|

Arcsin ax Argsh

ax = ln (x + x²+a² ) Argch

ax = ln (x + x²−a²) si x > a

3. Changement de variables.

Théorème : Soit Φ une fonction de classe C¹ de I dans R. Pour toute fonction f continue de J = Φ(I) dans E, on a :

∫

^{f ).(x dx =}

∫

^{f(Φ(t)).Φ'(t).dt.}

Preuve : Considérer les deux fonctions y →

∫

_Φ^Φ₍⁽_a^y₎^{)f(x).dx et y →}

∫

_a^y

^{f (}

^Φ

^{( t )).}

^Φ

^{'( t ). dt}

^…

Remarque : En pratique, ce théorème s’utilise dans les deux sens :

− dans le sens

∫

^{f(Φ(t)).Φ'(t).dt =}

∫

^{f ).(x dx}, il suffit de poser x = Φ(t) et le changement de variable « se fait tout seul » dans la forme différentielle ω = f(Φ(t)).Φ’(t).dt = f(x).dx.

Exemples :

∫

^{Φ(t).Φ'(t).dt = Φ}₂^{(t)² ,}

∫

^Φ_Φ^'₍⁽_t^t₎^).dt= ln | Φ(t) | ,

∫

_Φ^Φ_²(^'_t⁽₎^t₊⁾₁^.dt = Arctan Φ(t).

− dans le sens

∫

^{f ).(x dx =}

∫

^{f(Φ(t)).Φ'(t).dt}, on doit s’assurer que Φ est C¹ et strictement monotone.

Exercice : Calculer

∫

^{1−x .²dx ,}

∫

^{1+x .²dx ,}

∫

^{x²−1.dx ,}

∫

^{ax²+bx+c.dx.}

Pour calculer la première, définie sur [−1, 1], on peut poser x = sin t, ou plutôt t = Arcsin x.

Pour calculer la seconde, définie sur R, on peut poser x = sh t, c’est-à-dire t = Argsh x.

Pour calculer la troisième, définie sur [1, +∞[ et sur ]−∞, −1], on peut poser x = ch t, ou plutôt t = Argch x, resp. x = − ch t, ou plutôt t = Argch(−x). Je renvoie au § 8.

4. Intégration par parties.

Proposition : Soient u et v deux fonctions I → K de classe C¹ ; on a :

∫

^{u(x).v'(x).dx} = u(x).v(x) −

∫

^{u'(x).v(x).dx.}

L’intégration par parties a de nombreuses applications.

4.1. Exponentielles polynômes.

Définition : On appelle exponentielle-polynôme toute fonction f : R → C de la forme : f(x) =

∑ ^P

^j

^{( x ). exp( a}

^j

^{. x )}

, où P_j ∈ C[X] et a_j ∈ C .

Exemples : f(x) = ( x² + x − 3 ).exp(2x) , g(x) = x.ch(x).cos(3x) + sh(2x).sin(x) (linéariser).

Proposition : Les exponentielles-polynômes forment une sous-algèbre de C^∞(R, C), stable par dérivation et primitivation. Une base de cet espace est formée des xⁿ e^ax , où (n, a) décrit N×C.

On a pour a ∈ C*

∫

^{P(x).exp(ax).dx} = Q(x).exp(ax) + cte , où deg Q = deg P.

Remarque : pour calculer

∫

^{P(x).exp(ax).dx}, on peut chercher Q par coefficients indéterminés, ou procéder par des intégrations par parties répétées.

Exercice 1 : calculer :

∫

^{ch(ax).cos(bx).dx ,}

∫

^{ch(ax).sin(bx).dx ,}

∫

^{sh(ax).cos(bx).dx ,}

∫

^{sh(ax).sin(bx).dx.}

Exercice 2 : calculer

∫

^{(x²+3x+1).e−x.dx .}

4.2. Calculs récurrents d’intégrales.

Exercice 3 : Intégrales de Wallis. W_n =

∫

₀^π/2

^sin

ⁿ

^{t . dt}

⁼

∫

₀^π/2

^cos

ⁿ

^{t . dt}

^.

1) Montrer que (∀n ≥ 2) n.W_n = ( n − 1 ).W_n−1 ; calculer W₀ et W₁, puis W_n pour tout n.

2) Montrer que W_n ↓ 0 , et que W_n∼ W_n−1 . En déduire la formule de Wallis :

π ²

^{= limn→+∞ 1.3.3.5.25....(2.42.4n...(−1).(2n2).(n−21n).() 2n+1) =}

∏

_n^+∞₌₁⁽¹⁻_4.¹_n²^).

3) Que dire de la suite n.W_n.W_n−1 ? En déduire l’équivalent W_n∼

n . 2 π

_.

Exercice 4 : On considère plus généralement les intégrales I_p,q =

∫

₀^π/2

^sin

^p

^{t . cos}

^q

^{t . dt}

, (p, q) ∈ N². Trouver une formule de récurrence liant les I_p,q , et en déduire leur expression générale. ³

Cas où (p, q) ∈ Z² ?

Les relations de récurrence obtenues par intégration par parties sont souvent du type : (1) a_n u_n + b_n u_n−1 + c_n = 0 , où (∀n) a_n≠ 0 .

Ces suites se calculent élémentairement par une méthode analogue à celle des équations différen- tielles linéaires d’ordre 1.

1) Supposons d’abord (∀n) b_n≠ 0, et notons A_n = a₁.a₂ … a_n et B_n = b₁.b₂ … b_n . L’équation homogène a_n v_n + b_n v_n−1 = 0 a pour solutions v_n = (−1)ⁿ

n n

A B _v

0 . Cherchons u_n sous la forme u_n = v_n z_n (variation des constantes).

Il vient z_n − z_n−1 = −

n n

n

v a

c

. . Il suffit d’additionner ces relations pour obtenir z_n : u_n = (−1)ⁿ

n n

A B

[

z₀−

1 1

1

.v a

c ₋

2 2

2

.v a

c ₋

…

n n

n

v a

c

.

]

v₀ .

On s’aperçoit ensuite que cette formule reste vraie si certains b_n sont nuls.

2) Une autre façon de présenter le calcul est de multiplier (1) par (−1)ⁿ

n n

B A−1.

Cela fait apparaître une loi de simplification. Il ne reste plus qu’à additionner les relations obtenues.

Exercice 5 : Calculer les intégrales I_n(x) =

∫

^x t ₊ n

dt

0(² 1) . Lien avec les intégrales de Wallis ? Exercice 6 : Calculer les intégrales I_n(x) =

∫

₀^x

^t

ⁿ

^{. e}

^−t

^{. dt}

pour tout entier n.

Calculer l’intégrale F(x) =

∫

₀^x

^{P ( t ). e}

^−at

^{. dt}

pour tout polynôme P ∈ C[X] et tout a ∈ C*.

Calculer les intégrales I_n(x) =

∫

₋^x_∞

^t

ⁿ

^{. e}

^−t

^{. dt}

pour tout entier n.

Exercice 7 : Calculer les intégrales

∫

x^α.lnⁿx.dx pour tout réel α et tout naturel n.

Exercice 8 : Calculer les intégrales F_n(x) =

∫

₋^x_∞

^t

ⁿ

^{. e}

^−t²

^{. dt}

pour tout entier n.

3 A noter que les W_n et les I_pq sont des cas particuliers de la fonction Bêta : I_pq = (1/2).B((p+1)/2,(q+1)/2).

On suppose connue Erf(x) =

1 π ∫

₋^x_∞

^{e .}

^−t²

^dt

, et on distinguera deux cas.

Exercice 9 : Calculer les intégrales I_n = dx x xⁿ

². 1

1

∫

0 ₊ pour tout entier n.

4.3. Primitives de fonctions transcendantes élémentaires.

Les fonctions transcendantes élémentaires ont des dérivées rationnelles ou algébriques. Une inté- gration par parties permet de les primitiver :

∫

^{ln(x).dx = x.ln x −}

∫

^{dx = x.ln x − x .}

∫

^Arctan(x).dx = x.Arctan x −

∫ ₁ ^x

₊

^{. dx} _{x ²}

= x.Arctan x −

2

1

_{ln(1 + x}²_).

∫

^Arcsin(x).dx = x.Arcsin x −

∫

₋

² 1

. x dx

x

= x.Arcsin x + 1 x− ²^.

∫

^Arccos(x).dx = x.Arccos x +

∫

₋

² 1

. x dx

x

= x.Arccos x − 1 x− ².

∫

^{Argsh ).(x dx} = x.Argsh x +

∫

₊₁

² . x

dx

x

= x.Argsh x + x²+1.

∫

^{Argch ).(x dx} = x.Argch x +

∫

₋

1

² . x

dx

x

= x.Argch x + x²−1.

∫

^{Argth ).(x dx} = x.Argth x +

∫ ₁ ^x

₋

^{. dx} _{x ²}

= x.Argth x −

2

1

_{ln( 1 − x}² _).

∫

^{Argcoth(x).dx} = x.Argcoth x +

∫ ₁ ^x

₋

^{. dx} _{x ²}

= x.Argth x −

2

1

_{ln | 1 − x}² _|.

Plus généralement, l’IPP permet de faire disparaître des fonctions transcendantes élémentaires : Calcul de

∫

^{P(x).lnx.dxet}

∫

^{P(x).Arctanx.dx} pour tout polynôme P ∈ C[X].

Calcul de

∫

^{P(x).lnR(x).dx et}

∫

^{P(x).ArctanR(x).dx} pour tout P ∈ C[X] et toute fraction R∈ R(X).

Cette méthode se généralise encore au cas où P est une fraction à primitive rationnelle, mais ne marche pas sinon : elle échoue pour

∫ ₁ ^ln

₊

_x ^{x .} _² ^dx

^,

∫ ₁ ^ln

_±

^x. _x ^dx

^,

∫

^ln(₁₊¹⁺_x²^{x).dx ,}

∫ ^Arc _x ^{tan x . dx}

^,

intégrales dont on peut démontrer qu’elles ne se calculent pas élémentairement.

Exercice 10 : Calculer les primitives :

∫

^ln(x+1_x^{).dx ,}

∫

^{x.(Arctanx)².dx ,}

∫

_(x3^x₊^²_1)²^{.lnx.dx ,}

∫ ^{Arc tan(} _x ^x

₊⁻

₁ ^{1 ). dx}

dx

x x Arc .

²

∫ tan

^,

∫

^{ln( 1+x+ 1−x).dx ,}

∫ ^{Arc sin} _x

₊

^x ₁ ^{. dx}

^,

∫ _x ^x _²

₊

^² ₁ ^{. Arc tan x . dx}

^.

Exercice 11 : Calculer

∫

₀^3Arcsin(₁₊^2x_x²^).dx. Qu’en pense Maple ?

5. Intégration des fractions rationnelles.

5.1. Méthode de décomposition en éléments simples dans C.

Pour calculer

∫

^{R ).(x dx, où R(X) ∈} C(X), décomposer R(X) en éléments simples dans C(X) (dits

« de première espèce »).

R(X) est combinaison linéaire de monômes xⁿ et de _n a x ) (

−1 , où a ∈ C et n ∈ N*. Or :

∫

^{xn.dx =} _n^xn₊⁺₁^{1 ,}

∫

_(x−^dx_a)^{n =}

₁

₋

¹ _n

₍x−¹a₎ⁿ−^{1 pour n ≥ 2 ,}

∫ _x ^dx

₋

_a

^{= ln | x −} a | pour a réel,

∫ _x ^dx

₋

_a

⁼

₂ ¹

^{ln { (x −α)2 + β2 }} + i.Arctan

βα

−

x pour a = α + i.β , (α, β) ∈ R×R*.

Si R(X) ∈ R(X), il conviendra de regrouper en fin de calcul les termes deux à deux conjugués, afin de donner le résultat sous forme réelle.

Dans tous les cas, la primitive d’une fraction rationnelle est la somme d’une fraction rationnelle et d’une partie transcendante formée de logarithmes et d’arctangentes, provenant des éléments simples du type

x− 1 a

, où a est un pôle de la fraction.

Exercice 1 : Soient a, b, c réels. Montrer que :

∫ _{ax ²}

₊

^dx _bx

₊

_c

⁼

² 4

2

ac− b

^Arctan

4 ²

2 b ac

b

ax

+− _{si b}² – 4ac < 0

∫ _{ax ²}

₊

^dx _bx

₊

_c

⁼

ac b 4 ²

−

1

^ln ax b b ac ac b b ax

4

² 2

4

² 2

− + + − −

+ _{si b}² − 4ac > 0

∫ _{ax ²}

₊

^dx _bx

₊

_c

⁼

_{2 ax+}

⁻

² _b

^{si b2− 4ac = 0}

Exercice 2 : cns pour que

∫

^{R ).(x dx} soit une fraction rationnelle.

On appelle résidus de la fraction R(X) les coefficients des termes en

x− 1 a

_.

1) Montrer que, pour que

∫

^{R ).(x dx} soit une fraction rationnelle, il faut et il suffit que tous ses résidus soient nuls.

2) Applications : a) Trouver a ∈ R tel que F(x) =

∫

₃^x _t−^at3⁺_t− 3.^dt ) 2 .(

) 1 (

5 soit une fraction rationnelle.

b) Trouver les triplets (a, b, c) ∈ R³ tels que dx x

c bx

ax .

)² 1

² (

∫

²⁺₊ ⁺ soit une fraction rationnelle.

c) Soit P un polynôme unitaire de degré n ayant n racines réelles simples.

Montrer que

∫

^(x_P^²₍⁺_x¹_)²^)n.dx est une fraction rationnelle ssi P vérifie une certaine équation diffé- rentielle du second ordre à préciser. Trouver P et ses racines.

5.2. Méthodes particulières.

Proposition : R(X) est paire ssi ∃S ∈ C(X) R(X) = S(X²), impaire ssi ∃T ∈ C(X) R(X) = X.T(X²).

Preuve : La propriété est facile à établir pour des polynômes.

Si R est une fraction paire, R(X) = ) (

) (

X D

X N =

) (

) (

X D

X N −−

= ( ) ( )

) ( ) (

X D X D

X N X N ++ −−

= ( ²)

²) (

X B

X

A = S(X²).

Si R est une fraction impaire, R(X)/X est paire.

Exercice 3 : Montrer que l’ensemble PP PPdes fractions paires est un sous-corps de C(X), isomorphe à C(X), et que C(X) est un PPPP -espace vectoriel de dimension 2.

Exercice 4 : Plus généralement, soient ω = exp

n i π

2

et R(X) ∈ C(X).

Montrer que R(X) = R(ω.X) ⇔ ∃S ∈ C(X) R(X) = S(Xⁿ).

Montrer que l’ensemble K des fractions R ∈ C(X) telles que R(X) = R(ω.X) est un sous-corps de C(X), isomorphe à C(X), et que C(X) est un K-espace vectoriel de dimension n.

• Lorsque la fraction R est paire, la recherche de sa décomposition en éléments simples est facilitée. Mais il reste à les intégrer.

• Le cas où R est impaire est plus agréable encore : le changement de variable y = x² donne :

∫

^{R ).(x dx =}

∫

^x.T(x²).dx=

∫

^T(y).dy₂ , où T est de degré plus petit.

Il suffit de décomposer T en éléments simples.

Exercice 5 : Calculer

∫

_(x²+a²)(^dx_x²+b²) ^et

∫

_(x²+a^x_²)(^.dx_x²+b²) ^,

∫

_(x²−a²)(^dx_x²+b²) ^et

∫

_(x²−a^x_²)(^.dx_x²+b²) ^,

∫

_(x²−a²)(^dx_x²−b²) ^et

∫

_(x²−a^x_²)(^.dx_x²−b²) ^.

Exercice 6 : Calculer

∫

_x.(x^dx100₊₁₎ ^,

∫

_(x^x125.₊^dx_1)² ^,

∫

_x⁶_.(x^dx10₊₁₎ ^,

∫

_(x^x38₊^.dx₁₎^{3 ,}

∫

_(x³₊₁^x_).(^5.dx_x³₊₈₎ ^.

5.3. Méthode de décomposition en éléments simples dans R.

Pour calculer

∫

^{R ).(x dx}, où R(X) ∈ R(X), on peut aussi décomposer R(X) en éléments simples dans R(X). On obtient alors des éléments simples de première et de seconde espèce.

R(X) est combinaison linéaire de monômes xⁿ , de _n a x ) (

−1 ^{où a ∈ R et n ∈} N*, et enfin d’éléments

d n

cx x

x )

²

( + + ^et (x² cx d)ⁿ 1+

+ ^{, où c2−} 4d < 0 et n ∈ N*.

On a :

∫

^xn.dx= _n^x₊ⁿ⁺₁^{1 ,}

∫

_(x−^dx_a)^{n =}

₁

₋

¹ _n

₍x−¹a₎ⁿ−^{1 pour n ≥ 2,}

∫ _x ^dx

_−a ^{= ln | x −} a | pour a réel, Reste à calculer A_n =

∫

_(x²+^x_cx^.dx_+d)^{n et Bn =}

∫

_(x²+cx^dx_+d)^n.

Or 2A_n + c.B_n se calcule élémentairement : 2A₁ + c.B₁ = ln( x² + cx + d ), et 2A_n + c.B_n =

−

n 1

1

) 1

² (

1+ −

+cx d ⁿ

x pour n ≥ 2. Il reste à calculer Bn.

Une mise sous forme canonique et un chgt de variable affine ramènent les intégrales

B_n =

∫

_(x²+cx^dx_+d)ⁿ aux intégrales I_n =

∫

_(u^du_²+1)ⁿ , qui se calculent par récurrence et par parties : I₁ = Arctan u , ( 2n − 2 ).I_n = ( 2n − 3 ).I_n−1 + ₁

) 1

² (u + ⁿ⁻

u _. Exercice 7 : En déduire une formule exacte donnant I_n.

Exercice 8 : Calculer

∫

₀^{1 x4(}_x¹_²⁻₊₁^x)4.dx. En déduire π <

7 22

_.

Exercice 9 : Calculer

∫

x3₋₁

dx _{, puis}

∫

(x3₋1)3

dx _.

Exercice 10 : Calculer les intégrales J_n =

∫

_(x²^dx₋₁₎^{n .}

Exercice 11 : Ramener le calcul des intégrales

∫

_Q^P_x^x n.^dx )]

( [

)

( où n ∈ N, P & Q ∈ C[X], Q n’ayant que

des racines simples, à celui de

∫

_Q^P₍⁽_x^x)₎^.dx [ Indication : ∃(U, V) 1 = U.Q + V.Q’. ] Exercice 12 : Calculer

∫

_(x²+^dx_x+1)² par 4 méthodes. En déduire

∫

₋^+∞_∞

_{( x ²}

₊

^dx _x

₊

_{1 )²}

⁼

⁴ ₉ ^{3 . π}

^.

Exercice 13 : Calculer I =

∫

_x^dx4₊₁ et J =

∫

^x_x^².4₊^dx₁ directement, puis en formant I + J et I − J et en effectuant les chgts de variable t = x +

x

1

_{et u = x −}

x

1

. Calculer I =

∫

_x⁴₊^dx_x²+1 ^{et J =}

∫

_x^4x₊^²._x^dx_²+1^.

Exercice 14 : Inégalité arithmético-géométrique.

Soient p₁, …, p_n des réels > 0 de somme 1. Si x₁, …, x_n sont des réels > 0, on définit leurs moyennes arithmétique A et géométrique G pondérées, par : A =

∑

= n

i i i x p

1

. et G =

∏

= n

i p iⁱ

x

1

. 1) Calculer I(x, a) =

∫

₀^+∞

_{( 1}

₊

_{u ).(} ^{u . du} _x

₊

_{au )²}

pour x et a > 0.

En déduire ln

G

A

₌

∑

= −

n

i

i i

i x A I x A

p

1

) , ( )².

( , puis A ≥ G ; cas d’égalité ? 2) On suppose tous les x_i≤

2

1

et on pose y_i = 1 − x_i . Soient A’ et G’ les moyennes arithmétique et géométrique des y_i pondérées par les p_i . Montrer que

G A

_≥

' ' G

A

; cas d’égalité.

Exercice 15 : Intégrales binômes.

1) Soient (p, q) ∈ Q². Montrer que, si p ∈ Z ou q ∈ Z ou p + q ∈ Z, on peut calculer élémen- tairement des primitives

∫

^{(1+t)p.tq.dt.}

2) Soient (a, b, c) ∈ Q³. Montrer qu’on peut calculer les primitives

∫

^{xa.(l.xb+m)c.dx}dans les trois cas suivants : c ∈ Z ,

b

a 1

+ _{∈ Z ,}

b

a 1

+ _{+ c ∈ Z.}

3) Exemples : Calculer

∫

^{x1/5.(a.x3/5+b)1/6.dx} ( a et b > 0 ) ,

∫

¹_x ^{x6+1.dx ,}

∫

+

1

3 3

x dx

_.

5.4. Méthode d’Ostrogradski-Hermite (1872).

Pour calculer

∫

^{R ).(x dx}, les algorithmes de calcul formel ne décomposent pas R en éléments simples, car cela imposerait de trouver tous les pôles de R. En calcul formel, on préfère effectuer les calculs dans le sous-corps de C engendré par les coefficients de R. Le problème suivant indique une méthode possible :

Problème Tous les corps considérés ici sont des sous-corps de C.

1) Soient K un corps, P ∈ K[X] un polynôme non constant. Montrer l’équivalence des propriétés : a) Le polynôme P est premier à sa dérivée dans K[X] ;

b) P est sans facteurs multiples, i.e. s’écrit P = P₁ … P_r, où P₁, …, P_r sont irréductibles et distincts dans K[X] ;

c) Les racines de P dans C sont simples.

On dit alors que P est séparable sur K.

Déduire de ce qui précède que si L est un sur-corps de K et si P ∈ K[X] est séparable sur K, alors P est séparable sur L. En revanche, P peut être irréductible dans K[X] sans l’être dans L[X].

2) Décomposition séparable d’un polynôme.

Montrer que tout polynôme A ∈ K[X] non nul s’écrit de façon unique sous la forme A = λ.P1.(P₂)²…(P_k)^k… , où λ ∈ K*, les Pk sont unitaires séparables premiers entre eux deux à deux.

3) On considère l’algorithme suivant, où A est unitaire, et P∧Q désigne le pgcd unitaire de P et Q : Entrer A ;

i = 1 ; A₁ = A ; B₁ = A₁ ∧ A’₁ ; C₁ =

1 1

B

A ; D₁ = B₁ ∧ C₁ ; P₁ =

1 1

D C ; Tant que D_i ≠ 1, faire :

A_i+1 = B_i ; B_i+1 = A_i+1 ∧ A’i+1 ; C_i =

i i

B

A ; D_i = B_i ∧ Ci ; P_i =

i i

D

C ; i = i + 1 ; Fin.

Montrer que cet algorithme détermine la décomposition séparable de A.

Exemple : A = X⁶ + X⁴ +3.X²− 2.X + 2 ;

4) On se propose de déduire de l’algorithme précédent un algorithme de calcul formel de primi- tives de fractions rationnelles (Ostrogradski-Hermite, 1872).

Soit R(x) = P₀(X) + ) (

) (

X B

X

A , où P₀ est la partie polynomiale de R, B =

∏

_k

^Q

^kk la décomposition séparable de B. Comme Q_k ∧ Q’k = 1, ∃(U, V) ∈ K[X]² 1 = U.Q_k + V.Q’_k , donc :

∫

_Q^Akx_x ^dx

k

k .

) (

)

( =

∫

^{A x U x Q}_Q^kx_x^{+V x Q x dx}

k

k k

k .

) (

)]

( ' ).

( ) ( ).

( ).[

( .

Indiquer comment ce calcul se ramène à celui de

∫

− dx x Q

x A

kk

k .

) (

) (

1 , et en déduire une méthode générale de calcul de

∫

^{R ).(x dx.}

6. Intégration des fractions rationnelles en sin-cos.

Soit à calculer f(x) =

∫

^{R(cosx,sinx).dx} , R(X, Y) ∈ C(X, Y) étant une fraction rationnelle à deux indéterminées.

6.1. Méthode générale.

Elle consiste à faire le changement de variable t = tan

2 x

_. On a cos x =

² 1

² 1

t

+

t

− , sin x =

² 1

2 t

+

t

, tan x =

² 1

2 t

+

t

^{, dx =}

1 ² . 2

t

+

dt

, donc f(x) =

∫

_R(

² 1

² 1

t

+

t

− _,

² 1

2 t

+

t

^).

1 ²

. 2

t

+

dt

^. On est ainsi ramené à intégrer une fraction rationnelle en t.

6.2. Méthodes particulières.

Règles de Bioche ⁴ relatives au calcul des intégrales

∫

R(cos x, sin x).dx de fractions rationnelles en sinus-cosinus. Notant f(x).dx la forme différentielle R(cos x, sin x).dx , alors :

♣ si f(x).dx est invariante par x →−x , alors le changement de variable u = cos x est possible ; ♦ si f(x).dx est invariante par x →π−x , alors le changement de variable u = sin x est possible ; ♥ si f(x).dx est invariante par x → π+x , alors le changement de variable u = tan x est possible ; ♠ si f(x).dx est invariante par deux de ces transformations elle est invariante par la troisième et le changement de variable u = cos(2x) est possible.

Démonstration : Tout découle du lemme suivant : Lemme : Soit R(X, Y) ∈ C(X, Y).

Il existe des fractions A et B ∈ C(X) telles que (∀x) R(cos x, sin x) = A(cos x) + sin x.B(cos x).

Il existe des fractions C et D ∈ C(X) telles que (∀x) R(cos x, sin x) = C(sin x) + cos x.D(sin x).

Il existe des fractions S et T ∈ C(X) telles que (∀x) R(cos x, sin x) = S(tan x) + sin x.T(tan x).

Montrons la première assertion, et laissons les deux autres au lecteur.

On a : R(X, Y) =

2

) , ( ) ,

(XY R X Y

R + −

+ 2

) , ( ) ,

(XY R X Y

R − −

= S(X, Y²) + Y.T(X, Y²), d’où : R(cos x, sin x) = S(cos x, sin²x) + sin x.T(cos x, sin²x)

= S(cos x, 1 − cos²x) + sin x.T(cos x, 1 − cos²x) = A(cos x) + sin x.B(cos x).

La première règle de Bioche s’en déduit, car f(x).dx = f(−x).d(−x) ⇔ A = 0.

Alors

∫

R(cos x, sin x).dx =

∫

sin x.B(cos x).dx =

∫

₋B(u).du. cqfd.

Exercice 1 : Calculer

∫ _sin ^dx _x

^,

∫ _cos ^dx _x

^,

∫

^{tanx.dx ,}

∫

^cotanx.dx.

Exercice 2 : Calculer

∫

_cos(^cos₃^{x .}_x)^{dx ,}

∫

_cos(^sin(2₃^x_x⁾₎^{.dx ,}

∫

_cosx.cos(^dx _2x) ^,

∫

_cos(^sin₃^{x .}_x) ^dx.

Exercice 3 : Calculer

∫

¹⁻_sin(^cos(_x/^x₂^/3₎^).dx.

Exercice 4 : Calculer

∫ _a

₊

_b ^dx _{. cos x}

^,

∫ _a

₊

_b ^dx _{. sin x}

^,

∫ _a

₊

_b ^dx _{. tan x}

( b ≠ 0 ).

Exercice 5 : Calculer

∫ _{cos x} ^dx

₋

_{cos a}

^,

∫ _{sin x} ^dx

₋

_{sin a}

^,

∫ _{tan x} ^dx

₋

_{tan a}

^.

Exercice 6 : Calculer

∫

_cos^sin4_x^x₊^.cos_sin^x4_x^{.dx ,}

∫

_cos⁴_x^dx_+sin⁴_x^.

Dans les 3 exos suivants, on évitera le recours à tan(x/2) grâce à des techniques de translations⁵. Exercice 7 : Calculer

∫

cos3_x^dx₊sin³_x ^et

∫ _{sin x . cos x .(sin} ^dx _x

₊

_{cos x )}

^.

Exercice 8 : Calculer

∫

_{+ +}

1 sin . 3

cos x x

dx

_.

Exercice 9 : Calculer

∫ _{A . cos x}

₊

^dx _{B . sin x}

₊

_C

^{, puis}

∫ _A ^a _{. cos} ^{. cos} _x ^x

₊⁺

_B ^{b .} _{. sin} ^{sin x} _x

⁺₊

_C ^{c . dx}

^.

4 Charles BIOCHE (Paris, 1859 – Ferrières-en-Brie, 1949) a réellement existé. Elève de l’École normale supérieure de 1879 à 1882, il fut professeur de mathélém au lycée Louis-le-Grand de 1897 à 1925. Il a adhéré à la Ligue de la Patrie française, nationaliste et antidreyfusarde, fondée en décembre 1898. Et dire que des générations de taupins ont appliqué les règles de Bioche sans le savoir !

5 Jeune homme, ressentez-vous l’effet de cette translation ?