CALCUL DE PRIMITIVES ET D’INTÉGRALES

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CHAPITRE 9

CALCUL DE PRIMITIVES ET D’INTÉGRALES

I Calcul de primitives . . . . 3

I.1 Primitive d’une fonction continue sur un intervalle . . . . 3

I.2 Primitives usuelles . . . . 4

I.3 Techniques de calcul . . . . 5

Reconnaître une combinaison linéaire . . . . 5

Fonctions de la formex7→eâ×x×cos(b×x) etx7→eâ×x×sin(b×x) oùa∈R^?êt^b∈R^? . . . . 5

Reconnaître les dérivées de fonctions composées. . . . 6

II Calcul d’intégrales . . . . 9

II.1 Propriétés de l’intégrale . . . . 9

II.2 Fonctions de classeC¹: rappels et compléments. . . . 12

II.3 Intégration par parties . . . . 13

II.4 Changement de variable . . . . 15

III Primitives de f:x7→ 1 a×x²+b×x+c où(a,b,c)∈R³^avec^a,⁰ . . . . 19

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Extrait du programme

CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES

a) Calcul de primitives

Primitives d’une fonction définie sur un intervalle à valeurs complexes. Lien entre intégrales et primitives.

Description de l’ensemble des primitives d’une fonction sur un intervalle connaissant l’une d’entre elles.

On rappelle sans démonstration que, pour une fonction continuef, x7→

Z_x x0

f(t).ta pour dérivéef. On pourra noter

Z _x

f(t).tune primitive générique def.

Calcul des primitives, application au calcul d’intégrales. Primitives dex7→e^λx pourλ∈C, application aux primitives de x7→e^axcos(bx) etx7→e^axsin(bx).

Primitives des fonctions exponentielle, logarithme, puissances, trigonométriques et hyperboliques, et des fonctions x7→ 1

1+x², x7→ 1

p 1−x²

.

Les étudiants doivent savoir calculer les primitives de fonctions du typex7→ 1

ax²+bx+c et reconnaître les dérivées de fonctions composées.

Intégration par parties, changement de variable. Pour les applications pratiques, on ne demande pas de rappeler les hypothèses de régularité.

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CALCUL DE PRIMITIVES ET D’INTÉGRALES I. CALCUL DE PRIMITIVES

I. Calcul de primitives

Dans tout ce chapitre, les fonctions sont définies sur unintervalledeR^{, et}K^désigneR^ouC^. I.1. Primitive d’une fonction continue sur un intervalle

Définition 9.1 – Primitives

SoitI un intervalle et f :I→K. On appelleprimitive de f sur I, toute fonctionFdérivable surI et dont la dérivée est égale àf :

∀x∈I, F⁰(x)=f(x).

1. Soitn∈N. Une primitive dex7→xⁿsurR^est^x7→ xⁿ⁺¹ n+1. 2. Une primitive dex7→1

xsurR^?₊est la fonction ln . 3. Une primitive de exp surRest la fonction exp.

4. Une primitive de R → C

x 7→ _1+x¹2+i sin(x)

surRest la fonctionx7→Arctan(x)−i cos(x).

5. Soit_α∈C^?. Une primitive dex7→e^α×xsurR^est _α¹×e^α×x. Exemple 9.1

Pour déterminer une primitive d’une fonction f à valeurs complexes, il suffit de déterminer une primitive de Re(f) et Im(f).

Remarque 9.1

Théorème 9.1

SoitI unintervalleet f:I→K^.

SiF est une primitive de f surI, alors toutes les primitives de f sont de la formeF+λ, où_λ∈K^. Autrement dit, deux primitives de f sont égales à une constante additive près.

Démonstration

ÏPour toutλ∈K, la fonctionF+λest dérivable surIcomme somme de fonctions dérivables et, de plus, (F+λ)⁰=F⁰=f. Donc,F+λest une primitive def.

ÏRéciproquement, siGest une primitive de f, alors,G−F est dérivable comme différence de fonctions dérivables et, de plus, (G−F)⁰=G⁰−F⁰=f−f=0.

Donc, commeIest un intervalle,G−Fest une fonction constante : il existeλ∈K^{tel que}^G−F=λ.

Avec les notations de la proposition précédente :

• Une fonctionGest une primitive de f surI si, et seulement si, il existe_λ∈K^{tel que}^G=F+λ.

• L’ensemble des primitives de f surIest© F+λ¯

¯_λ∈K^ª^. Remarque 9.2 – Reformulation

(4)

I. CALCUL DE PRIMITIVES CALCUL DE PRIMITIVES ET D’INTÉGRALES

Les fonctions x7→Arcsin(x), x7→Arcsin(x)+1 etx7→Arcsin(x)−5 sont des primitives dex7→ 1

p1−x² sur ]−1, 1[

Exemple 9.2

On admet le résultat suivant pour le moment.

Théorème 9.2

Toute fonctioncontinuesur un intervalleI admet des primitives surI.

Une fonction continue possède une infinité primitive. On veillera à dire «Festune(article indéfini) primitive de f ».

Attention

I.2. Primitives usuelles

Dans le tableau suivant,F désigne une primitive de la fonction f sur l’intervalleIetC∈Kest une constante (K=R ouC^).

f(x) I F(x)+C

xⁿ (n∈N⁾ R ^x

n+1

n+1+C 1

xⁿ (n∈N^?^{\ {1})} ^]− ∞, 0[ ou ]0,+∞[ −1 n−1× 1

xⁿ⁻¹+C 1

x ]− ∞, 0[ ou ]0,+∞[ ln(|x|)+C

x^α (_α∈R^\Z⁾ ^]0,+∞[ x^α+¹

α+1+C

e^a×x (a∈C^?⁾ R ^e

a×x

a +C

ch(x) R ^sh(x)+C

sh(x) R ^ch(x)+C

sin(x) R −cos(x)+C

cos(x) R ^sin(x)+C

tan(x) i

−^π

2+k×π,^π

2+k×πh

(k∈Z⁾ −ln¡

|cos(x)|¢ +C 1

¡cos(x)¢2 =1+¡

tan(x)¢2 i

−^π

2+k×π,^π

2+k×πh

(k∈Z⁾ ^tan(x)+C p 1

1−x² ]−1, 1[ Arcsin(x)+C

p 1 1−x²

]−1, 1[ −Arccos(x)+C 1

1+x² R ^Arctan(x)+C

1

x²+a² (a,⁰⁾ R ¹

a×Arctan³x a

´ +C p 1

a²−x² (a>0) ]−a,a[ Arcsin³x

a

´ +C

ln(x) ]0,+∞[ x×ln(x)−x+C

(5)

I.3. Techniques de calcul

Il n’existeaucuneformule générale pour déterminer une primitive d’un produit f×g, d’un quotient f g ou d’une composéef◦gde fonctions continues.

Reconnaître une combinaison linéaire

Proposition 9.1 – Combinaison linéaire

Soientf₁et f₂deux fonctions continues définies sur un intervalleIdeRet à valeurs dansK^{. Soit (}λ,_µ)∈K²^. SiF₁(resp.F₂) est une primitive de f₁(resp. f₂) surI, alors_λ.F₁+µ.F₂est une primitive de_λ.f₁+µ.f₂ surI.

Démonstration

La fonctionλ.F₁+µ.F₂est dérivable surIcomme combinaison linéaire de fonctions dérivables.

De plus, (λ.F1+µ.F2)⁰=λ.F₁⁰+µ.F₂⁰=λ.f₁+µ.f₂.

Une primitive de x7→3+x²+5x⁵ surR^est^x7→3x+x³ 3 +5x⁶

6 . Exemple 9.3

Fonctions de la formex7→eâ^×^x×cos(b×x)et x7→eâ^×^x×sin(b×x)oùa∈R^? êt^b∈R^?

Méthode 9.1 – Fonctions de la formex7→eâ×x×cos(b×x)etx7→eâ×x×sin(b×x)oùa∈R^? êt^b∈R^? Soientaetbdes réels non nuls.

Pour déterminer une primitives dex7→eâ^×^x×cos(b×x) etx7→eâ^×^x×sin(b×x) surR^: 1. on écrit, pour toutx∈R^, êâ^×^x×cos(b×x)=Re¡

e^(a⁺^ib)^×^x¢

ete^a^×^x×sin(b×x)=Im¡

e^(a⁺^ib)^×^x¢

; 2. on donne une primitive dex7→e^(a⁺^ib)^×^xsurR^:

x7→ 1

a+ib×e^(a+ib)×x= e^a^×^x

a²+b²×(a−ib)×eⁱ^b×x; 3. Une primitive de x7→e^a×x×cos(b×x) surR^est

x7→Re µ e^a^×^x

a²+b²×(a−ib)×e^ib^×^x

¶

= e^a^×^x a²+b²×¡

a×cos(b×x)+b×sin(b×x)¢

; une primitive dex7→e^a^×^x×sin(b×x) surR^est

x7→Im µ e^a×x

a²+b²×(a−ib)×e^ib^×^x

¶

= e^a×x a²+b²×¡

a×sin(b×x)−b×cos(b×x)¢ .

Exercice 9.1

Déterminer une primitive def :x7→e²^x×cos(x) surR^. Résolution

Pour toutx∈R, on a :f(x)=e²^x

|{z}

∈R

×Re¡ eⁱ^x¢

=Re¡ e⁽²⁺^i)x¢

(6)

Une primitive dex7→e⁽²⁺ⁱ⁾^xsurR^est ¹

2+i×e⁽²⁺ⁱ⁾^x=2−i

5 ×e^2x×¡

cos(x)+i sin(x)¢ . Donc, une primitive def estF:x7→e^2x

5 ×¡

2 cos(x)+sin(x)¢ .

Reconnaître les dérivées de fonctions composées Proposition 9.2

Soientf :I→Kune fonction définie sur un intervalleIetF une primitive de f surI.

Soituune fonction dérivable sur un intervalleJ deRtelle que : pour tout x∈J,u(x)∈I.

Une primitive deg: J → K x 7→ u⁰(x)×f¡

u(x)¢

surJest la fonctionG: J → K x 7→ F¡

u(x)¢ . Démonstration

La fonctionGest dérivable surJcomme composée de fonctions dérivables.

De plus, par la formule de dérivation d’une composée de fonctions, on a, pour toutx∈J,G⁰(x)=u⁰(x)×F⁰¡ u(x)¢

=u⁰(x)×f¡ u(x)¢

=g(x).

1. Pour toutx∈R^{, on pose}^g(x)=ch(x)×¡ sh(x)¢5

.

On considère la fonctionu:x7→sh(x). La fonctionuest dérivable surRet, pour toutx∈R^,^u⁰^(x)=ch(x).

Donc, pour toutx∈R^, ^g(x)=u⁰(x)×¡ u(x)¢5

. Donc, une primitive degest :x7→

¡u(x)¢6

6 =

¡sh(x)¢6

6 .

Remarque: ici f :t7→t⁵etF:t7→ t⁶ 6. 2. Pour toutx∈R^{, on pose}^h(x)= 1

x²+3.

Cette fonction me fait penser à la dérivée deArctan!On a, pour toutx∈R^,^h(x)=1

3× 1

1+ µ x

p3

¶2. On considère la fonctionu:x7→ x

p3. La fonctionuest dérivable surRet, pour toutx∈R^,^u⁰^(x)= 1 p3. Donc, pour toutx∈R^,

h(x)= 1 p3× 1

p3× 1 1+

µ x p3

¶2 = 1

p3× u⁰(x) 1+¡

u(x)¢2.

Donc, une primitive dehest :x7→ 1

p3×Arctan¡ u(x)¢

= 1

p3×Arctan µ x

p3

¶ . Remarque: ici f :t7→ 1

1+t² etF=Arctan.

Exemple 9.4

Soituune fonction dérivable sur un intervalleI deR^.

• Soitn∈N^?. Une primitive deu⁰×uⁿsurI est uⁿ⁺¹ n+1.

• Soitn∈N^?\ {1}. On suppose queune s’annule pas surI. Une primitive de u⁰

uⁿ sur Iest− 1

n−1× 1 uⁿ⁻¹. Remarque 9.4

(7)

• Soitn∈N^?\ {1}. On suppose queune s’annule pas surI. Une primitive de u⁰

u surI est ln(|u|).

• On suppose queuest strictement positive surI. Une primitive de u⁰

pu surIest 2p u.

• Soit_α∈R^{\ {}−1}. On suppose queuest strictement positive sur I. Une primitive deu⁰×u^αsurIest u^α+¹ α+1.

• Une primitive deu⁰×e^usurI este^u.

• Une primitive deu⁰×cos(u) surI est sin(u).

• Une primitive deu⁰×sin(u) surI est−cos(u).

• Une primitive deu⁰×ch(u) surIest sh(u).

• Une primitive deu⁰×sh(u) surI est ch(u).

• Une primitive de u⁰

1+u² surIest Arctan(u).

• On suppose queuest à valeurs dans ]−1, 1[. Une primitive de u⁰ p1−u²

surI est Arcsin(u).

• On suppose queuest à valeurs dans ]−1, 1[. Une primitive de− u⁰ p1−u²

surI est Arccos(u).

Exercice 9.2

On considère la fonctionf :x7→ 1 x²−x−2

1. Résoudrex²−x−2=0. On note_αet_βles solutions avec_α<β.

2. En déduire l’ensemble Ade définition def. ÉcrireAcomme la réunion de 3 intervalles notésI₁,I₂,I₃. 3. Détermineraetbdeux réels tels que, pour toutx∈I₂, f(x)= a

x−α+ b x−β. 4. En déduire une primitive de f surI₂.

5. De la même manière, déterminer une primitive de f sur I₁, puis surI₃. Résolution

1. On trouveα= −1 etβ=2.

2. On aA=I₁∪I₂∪I₃avecI₁=]− ∞,−1[,I₂=]−1, 2[ etI₃=]2,+∞[.

3. On trouvea= −1 3etb=1

3.

4. Soitx∈I₂, on ax+1Ê0 etx−2É0.

Une primitive def surI₂estF₂:x7→ −1

3ln(|x+1|)+1

3ln(|x−2|)= −1

3ln(x+1)+1

3ln(2−x).

5. Une primitive def surI₁estF₁:x7→ −1

3ln(|x+1|)+1

3ln(|x−2|)= −1

3ln(−x−1)+1

3ln(2−x).

Une primitive def surI₃estF₃:x7→ −1

3ln(|x+1|)+1

3ln(|x−2|)= −1

3ln(x+1)+1

3ln(x−2).

Exercice 9.3

Déterminer une primitive def :x7→¡

cos(x)¢3

surR^. Résolution

Pour toutx∈R^{, on a}^¡^cos(x)^¢³=cos(x)×¡ cos(x)²¢

=cos(x)×¡

1−sin(x)²¢

=cos(x)−cos(x)×¡ sin(x)¢2

. La fonction sin est dérivable surRet sa dérivée est cos, donc,

(8)

une primitive def surRestx7→sin(x)−

¡sin(x)¢3

3 .

On pouvait aussi penser à linéariser¡ cos(x)¢3

. Soitx∈R. Par la formule d’Euler,

¡cos(x)¢₃

=

Ãeⁱ^x+e⁻ⁱ^x 2

!₃ . En développant ensuite par la formule du binôme de Newton, il vient :

¡cos(x)¢3

=e^{3 i}^x+3eⁱ^x+3e^−ix+e^{−3 i}^x

2³ .

On applique ensuite de nouveau les formules d’Euler

¡cos(x)¢3

=2 cos(3x)+6 cos(x)

2³ =cos(3x)

4 +3 cos(x) 4 Ainsi,

une primitive def surR^est^x7→sin(3x)

12 +3 sin(x)

4 .

Exercice 9.4

Déterminer une primitive def :x7→ x²+2x x²+1 . Résolution

La fonctionf est une fraction rationnelle et son dénominateur ne s’annule pas surR. Son ensemble de définition estR^. Pour toutx∈R^{, on a :}^f^(x)= x²

x²+1+ 2x

x²+1=x²+1 x²+1− 1

x²+1+ 2x

x²+1=1− 1

x²+1+ 2x x²+1. Or,

Ï une primitive dex7→1 surR^est^x7→x; Ï une primitive dex7→ 1

x²+1surRest Arctan ;

Ï la fonctionu:x7→x²+1 est dérivable surR^et^u⁰^(x)=2x. Donc, une primitive dex7→ 2x

x²+1=u⁰(x)

u(x) surR^est^x7→ln(|x²+1|).

Or, pour toutx∈R^,^x²+1>0.

Ainsi,

une primitive de f surR^est^x7→x−Arctan(x)+ln(1+x²).

(9)

CALCUL DE PRIMITIVES ET D’INTÉGRALES II. CALCUL D’INTÉGRALES

II. Calcul d’intégrales

Pour le moment, on reprend la présentation de l’intégrale donnée en Terminale et on la généralise pour les fonctions à valeurs complexes. On donne aussi plusieurs résultats qui seront démontrés dans un prochain chapitre.

II.1. Propriétés de l’intégrale

Soit (a,b)∈R²^avec^a<b.

ÏSoit f : [a,b]→Rune fonction continue. L’intégrale de f sur lesegment[a,b], notée Z b

a

f(t) dt, est l’aire algébrique de la partie du plan situé entre la courbe représentative de f, l’axe des abscisses et les droites verticalesx=aet x=b.

L’aire de chaque partie située au dessus de l’axe des abscisses est comptée positivement et l’aire de chaque partie située en dessous de l’axe des abscisses est comptée négativement.

Intégrale f sur le segment [a,b]

L’aire en pointillés est comptée positivement et l’aire hachurée est comptée négativement ÏSoit f: [a,b]→Cune fonction continue. L’intégrale def sur [a,b] est le réel noté

Z b a

f(t) dtet est définie par : Z b

a

f(t) dt= Z b

a

Re¡ f(t)¢

dt+i Z b

a

Im¡ f(t)¢

dt.

ÏLorsquea=b, on pose Z a

a

f(t) dt=0.

ÏLorsquea>b, on pose Z b

a

f(t) dt= − Z a

b

f(t) dt.

Proposition 9.3 – Propriétés de l’intégrale

Soient (a,b)∈R²âvecâ<b, et f : [a,b]→Kêt^g^{: [a,}^b]→Kdeux fonctions continues. Soit (_λ,_µ)∈K²^. Ï Linéarité de l’intégrale:

Z b

a λ×f(t)+µ×g(t) dt=λ× Z b

a

f(t) dt+µ× Z b

a

g(t) dt.

Ï Relation de Chasles: pour toutc∈[a,b], Z b

a

f(t) dt= Z c

a

f(t) dt+ Z b

c

f(t) dt.

(10)

II. CALCUL D’INTÉGRALES CALCUL DE PRIMITIVES ET D’INTÉGRALES

Ï Positivité de l’intégrale(K=R^{) : si}^f ^{est à}valeurs positives, alors Z b

a

f(t) dtÊ0.

Ï Croissance de l’intégrale(K=R) : si, pour toutt∈[a,b], f(t)Êg(t), alors Z b

a

f(t) dtÊ Z b

a

g(t) dt.

Ï (K=R) On suppose f àvaleurs positives. On a l’équivalence : Z b

a

f(t) dt=0 si, et seulement si,f est la fonction nulle sur [a,b].

Théorème 9.3

SoientI un intervalle deR^,^a∈Iet f:I→Kune fonction continue.

La fonction I → K x 7→

Z x a

f(t) dt

est l’unique primitive de f qui s’annule ena.

Démonstration

Donnons uns justification graphique de ce résultat. Une démonstration rigoureuse de ce résultat sera donné plus tard.

On noteF: I → K x 7→

Z _x a f(t) dt.

Γf

h f(x₀)

x₀ x₀+h

L’aire grisée est égale à Z _x₀_+h

x0

f(t) dt. Par le relation de Chasles, Z _x₀_+h

x0

f(t) dt= Z _x₀_+h

a

f(t) dt− Z _x₀

a

f(t) dt=F(x₀+h)−F(x₀).

Lorsque «hest petit » ett∈[x₀,x₀+h], la continuité def permet d’approcher la valeur def(t) parf(x₀). On peut alors approcher l’aire grisée par l’aire du rectangle de largeurf(x₀) et de longueurh.

Donc,F(x₀+h)−F(x₀)≈f(x₀)×h. Autrement dit, lim h→0

F(x₀+h)−F(x₀)

h =f(x₀). Cela permet de comprendre pourquoiFest dérivable enx₀etF⁰(x₀)=f(x₀).Attention ! Cette explication manque de rigueur et n’est pas une démonstration.

Soit (a,b)∈I². D’après le théorème précédent, les fonctionsx7→

Z x a

f(t) dtet x7→

Z x b

f(t) dtsont des primitives def. On sait que ces deux primitives différent d’une constante et, plus précisément, par le relation de Chasles, on a :

∀x∈I, Z x

a

f(t) dt= Z b

a

f(t) dt+ Z x

b

f(t) dt.

Autrement dit, le choix deadans le théorème précédent importe peu pour déterminer une primitive def, ce qui justifie la notation suivante.

Remarque 9.5

(11)

Notation 9.1 –x7→

Z x

f(t) dt

SoientI un intervalle deR^et^f ^:^I→Kune fonction continue.

On utilise la notationx7→

Z x

f(t) dtpour désigner une primitive de f.

On a : Z x

cos(t) dt=sin(x) et

Z x 2u

1+u⁴dt=Arctan¡ x²¢ Exemple 9.5

Dans l’écriture Z x

cos(t) dt=sin(x), le symbole «=» est trompeur !Ce n’est pas une égalité.

En effet, on a aussi Z x

cos(t) dt=sin(x)+10.

Il faut comprendre le symbole «=» comme une « égalitéà une constante additive près».

Attention

Théorème 9.4

SoientI un intervalle deR^{, (a,}^b)∈I² etf :I→Kune fonction continue.

Pour toute primitiveF de f surI, on a : Z b

a

f(t) dt=F(b)−F(a)^Notation= £ F(t)¤b

a. Démonstration

On sait queG: I → K x 7→

Z _x a f(t) dt

etFsont des primitives def.

Or, deux primitives def diffèrent d’une constante additive.

Donc, il existeλ∈K^{tel que,}^G=F+λ. D’où,G(b)−G(a)=F(b)−F(a).

Or,G(b)= Z _b

a f(t) dtetG(a)= Z _a

a f(t) dt=0.

Donc, Z _b

a f(t) dt=F(b)−F(a).

Le théorème9.3ramène la recherche de primitive au calcul d’une intégrale. Le théorème9.4permet de réaliser l’opération inverse.

Remarque 9.7 – Déterminer une primitive, c’est calculer une intégrale ; et réciproquement

1. On a :

Z 1 0

xdx=

·x² 2

¸¹

0

=1 2,

Z 2 1

xdx=

·x² 2

¸²

1

=3 2 et

Z 3 2

xdx=

·x² 2

¸³

2

=5 2. Voilà d’où viennent les expressions : « trois demis » et « cinq demis ».

2. On a :

Z _π

0

sin(x) dx=£

−cos(x)¤_π

0= −cos(_π)+cos(0)=2.

Exemple 9.6

(12)

II.2. Fonctions de classeC¹ : rappels et compléments

Soitf une fonction dérivable sur [a,b] oùa<bsont des réels.

La fonction f⁰est une primitive sur [a,b] de f. Mais attention, pour pouvoir écrire : Z b

a

f⁰(t) dt=f(b)−f(a) on a besoin de supposer la fonction f⁰continue.

Définition 9.2 – Fonction de classeC¹ SoientI un intervalle deR^et^f ^:^I→Kune fonction.

On dit que f estde classeC¹ sur Ilorsquef est dérivable surI etf⁰est continue surI.

1. Les fonctions cos, sin, exp, ch, sh, Arctan, polynomiales sont de classeC¹surR^. 2. Les fonctions Arcsin et Arccos sont de classeC¹sur ]−1, 1[.

3. La fonction ln est de classeC¹sur ]0,+∞[.

4. Les fonctions rationnelles sont de classeC¹sur tout intervalle où leur dénominateur ne s’annule pas.

Exemple 9.7

Proposition 9.4 – Opération sur les fonctions de classeC¹ SoitI un intervalle deR^.

1. Une combinaison linéaire de fonctions de classeC¹ surIest de classeC¹ surI.

2. Le produit de fonctions de classeC¹ surIest de classeC¹surI.

3. Le quotient de fonctions de classeC¹ surI dont le dénominateur ne s’annule pas est de classeC¹ surI.

4. Une composée de fonctions de classeC¹est de classeC¹. Démonstration

Conséquences des propriétés des opérations sur les fonctions continues et de fonctions dérivables.

Proposition 9.5

Soitf une fonction continue sur un intervalleIdeR^. Toute primitiveFde f surIest de classeC¹surI.

Démonstration

En effet, dans ce cas,Fest dérivable surIetF⁰=f est continue surI.

Théorème 9.5

Soientf une fonction de classeC¹sur un intervalle IdeR^et^a∈I. On a :

∀x∈I, f(x)=f(a)+ Z x

a

f⁰(t) dt.

Démonstration

Il suffit d’utiliser quef est une primitive def⁰surI.

(13)

II.3. Intégration par parties

Théorème 9.6 – Intégration par parties

SoientI un intervalle deR^,^u^et^vdeux fonctions de classeC¹sur I, et (a,b)∈I². Alors,

Z b a

u(t)×v⁰(t) dt=£

u(t)×v(t)¤b a−

Z b a

u⁰(t)×v(t) dt.

Démonstration

Les fonctionsuetvsont de classeC¹sur [a,b], doncu×vaussi et (u×v)⁰=u⁰×v+u×v⁰. Donc,

Z _b a

(u×v)⁰(t) dt= Z _b

a

u⁰(t)×v(t)+u(t)×v⁰(t) dt.

Or, Z_b

a

(u×v)⁰(t) d=£

u(t)×v(t)¤b

aet, par linéarité de l’intégrale, Z _b

a

u⁰(t)×v(t)+u(t)×v⁰(t) dt= Z _b

a

u⁰(t)×v(t) dt+ Z_b

a

u(t)×v⁰(t) dt.

Donc,£

u(t)×v(t)¤b a=

Z_b

a u⁰(t)×v(t) dt+ Z _b

a u(t)×v⁰(t) dt.

Méthode 9.2 – Intégrer par parties

Pour intégrer par partie Z b

a

f(t) dt,

1. on décompose f(t) sous la formef(t)=u(t)×v⁰(t) ; 2. on définit les fonctionsuetv;

3. on justifie queuetvsont de classeC¹ sur [a,b] ; 4. on applique la formule d’intégration par parties ;

Il est parfois nécessaire de réaliser plusieurs intégrations par parties successives.

Calculons I= Z p¹

2

0

¡Arcsin(t)¢2

dt.

Ï On a :I= Z p¹

2

0

1×¡

Arcsin(t)¢2

dt.

On pose, pour toutt∈

· 0, 1

p2

¸

,u(t)=¡

Arcsin(t)¢2

etv(t)=t.

Les fonctions uetvsont de classeC¹ sur

· 0, 1

p2

¸

et, pour toutt∈

· 0, 1

p2

¸

,u⁰(t)=2 Arcsin(t) p1−t²

etv⁰(t)=1.

Par intégration par parties, on a : I=h

t×¡

Arcsin(t)¢2ip¹ 2

0 −

Z p¹ 2

0

2t×Arcsin(t)

p1−t² dt= ^π

2

16×p 2−2

Z p¹ 2

0

t×Arcsin(t) p1−t² dt.

Ï On noteJ= Z p¹

2

0

t×Arcsin(t) p1−t²

dt= Z p¹

2

0

p t

1−t²×Arcsin(t) dt.

On pose, pour toutt∈

· 0, 1

p2

¸

,u₁(t)=Arcsin(t) etv₁(t)= −p 1−t². Les fonctions u₁ etv₁sont de classeC¹sur

· 0, 1

p2

¸

et, pour toutt∈

· 0, 1

p2

¸

,u⁰₁(t)= 1

p1−t² etv₁⁰(t)= t p1−t². Exemple 9.8

(14)

Par intégration par parties, on a : J=

h

−p

1−t²×Arcsin(t)ip¹ 2

0 −

Z p¹ 2

0

p 1

1−t²×

³

−p 1−t²´

dt= − r1

2×^π 4−

Z p¹ 2

0 −1 dt= − ^π 4×p

2+ 1 p2.

Ainsi,I= ^π

2

16×p 2−2

µ

− ^π 4×p

2+ 1 p2

¶

=^π

2×p 2

32 +^π×p 2

4 −p

2 Ainsi,

I=(_π²+8_π−32)×p 2

32 .

En utilisant la notation Z x

f(t) dt, on obtient le résultat suivant.

Corollaire 9.1 – Intégration par parties

SoientI un intervalle deR^{, et}^u^et^vdeux fonctions de classeC¹surI. Alors, pour toutx∈I,

Z x

u(t)×v⁰(t) dt=u(x)×v(x)− Z x

u⁰(t)×v(t) dt.

La fonction ln est continue surR^?₊, donc possède des primitives sur cet intervalle.

Soitx>0.

On a ln(t)=1×ln(t). On pose, pour toutt>0,u(t)=ln(t) etv(t)=t.

Les fonctions uetvsont de classeC¹ surI=R^?₊et, pour toutt>0,u⁰(t)=1

t etv⁰(t)=1.

Par intégration par parties, Z x

ln(t) dt= Z x

u(t)×v⁰(t) dt=u(x)×v(x)− Z x

u⁰(t)×v(t) dt=x×ln(x)− Z x

1 dt=x×ln(x)−x.

Ainsi, une primitive de ln surR^?₊ ^est^x7→x×ln(x)−x.

Exemple 9.9 – Primitive de la fonctionln

Méthode 9.3 – Produit d’une fonction polynomiale et d’une exponentielle SoitI un intervalle deR. On considère_λ∈K^?^et^P^:^I→Kune fonction polynomiale.

Pour déterminer une primitive det7→P(t)×e^a×t ou pour calculer l’intégrale Z b

a

P(t)×e^λ×tdtavec (a,b)∈I², on effectue des intégrations successives en dérivant la partie polynomiale et en primitivant l’exponentielle.

Déterminons une primitive de f :t7→(t²+3t+1)×e²^tsurR^. Soitx∈R^.

Ï Pour toutt∈R^{, on note}^u(t)=t²+3t+1 etv(t)= e²^t 2 .

Les fonctions uetvsont de classeC¹ surRet, pour tout t∈R^,^u⁰^(t)=2t+3 etv⁰(t)=e²^t. Par intégration par parties,

Z x

(t²+3t+1)×e²^tdt=(x²+3x+1)×e²^x 2 −

Z x

(2t²+3)×e²^t

2 dt=(x²+3x+1)×e²^x 2 −1

2 Z x

(2t+3)×e²^tdt.

Ï Pour toutt∈R^{, on note}^u1(t)=2t+3 etv₁(t)= e²^t 2 . Exemple 9.10

(15)

Les fonctionsu₁ etv₁ sont de classeC¹surRet, pour toutt∈R^,^u⁰1(t)=2 etv₁⁰(t)=e²^t. Par intégration par parties, Z x

(2t+3)×e²^tdt=(2x+3)×e²^x 2 −

Z x

2×e²^t

2 =(2x+3)×e²^x 2 −

Z x

e²^t=(2x+3)×e²^x 2 −e²^x

2 =(x+1)×e²^x. Ï Ainsi,

Z x

(t²+3t+1)×e²^tdt=(x²+3x+1)×e²^x 2 −1

2×(x+1)×e²^x=1

2×(x²+2x)×e²^x.

II.4. Changement de variable

Théorème 9.7 – Changement de variable

SoientI un intervalle deR^, ^f ^:^I→Kune fonction continue surI,a<b des réels et_ϕune fonction de classe C¹sur [a,b] et à valeurs dansI.

Alors,

Z b a

f¡ ϕ(x)¢

×ϕ⁰(x) dx= Z _ϕ(b)

ϕ(a)

f(t) dt.

Démonstration

SoitFune primitive def surI.

La fonctionF◦ϕest de classeC¹sur [a,b] comme composée de fonctions de classeC¹. De plus, (F◦ϕ)⁰=(F⁰◦ϕ)×ϕ⁰. La fonction (F◦ϕ)⁰est continue sur [a,b], d’où,

Z _b

a (F◦ϕ)⁰(x) dx= Z _b

a (F⁰◦ϕ)(x)×ϕ⁰(x) dx.

Or, Z_b

a (F◦ϕ)⁰(t) dt=F¡ ϕ(b)¢

−F¡ ϕ(a)¢

= Z _ϕ(b)

ϕ(a) F⁰(t) dt= Z _ϕ(b)

ϕ(a) f(t) dt.

Donc, Z _b

a f¡ ϕ(x)¢

×ϕ⁰(x) dx= Z _ϕ(b)

ϕ(a) f(t) dt.

Méthode 9.4 – Changement de variable (1)

Pour calculer l’intégrale Z _β

α f(t) dtavec le changement de variablet=ϕ(x) : 1. on cherche les nouvelles bornesaetbtels que :

• α=ϕ(a) et_β=ϕ(b) ;

• ϕest de classeC¹sur le segment d’extrémitésaetb;

• pour tout xcompris entreaetb,_ϕ(x)∈I; On présente cette étape dans un tableau :

t _α _β

x a? b?

On prendra bien soin de vérifier que_ϕ(x) est défini lorsquexest compris entreaetb.

2. on applique le changement de variable :

• on écrit dt=ϕ⁰(x) dx;

• on applique la formule.

Calculons Z ¹₂

−^p¹₂

p1−t²dtavec le changement de variablet=sin(x).

Exemple 9.11

(16)

On a t −^p¹₂ ¹₂ x −^π₄ ^π₆

et dt=cos(x) dx.

Donc, par la formule de changement de variable : Z ¹₂

−^p¹₂

p1−t²dt= Z ^π₆

−^π₄

q 1−¡

sin(x)¢2

×cos(x) dx.

De plus, pour toutx∈h

−^π 4,^π

6 i

, on a : cos(x)Ê0 et q

1−¡

sin(x)¢2

= q

¡cos(x)¢2

= |cos(x)| =cos(x).

D’où,

Z ¹

2

−^p¹₂

p1−t²dt= Z ^π

6

−^π₄

¡cos(x)¢2

dx= Z ^π

6

−^π₄

cos(2x)+1 2 dx=1

2

·sin(2x) 2 +x

¸^π₆

−^π₄

=5_π 24+

p3+2 8 .

Méthode 9.5 – Changement de variable (2)

Pour calculer l’intégrale Z b

a

g(x) dxavec le changement de variablet=ϕ(x) : 1. on calcule_ϕ(a) et_ϕ(b). On présente cette étape dans un tableau :

x a b

t _ϕ(a) _ϕ(b) 2. on applique la formule de changement de variable :

• on écrit dt=ϕ⁰(x) dx;

• on fait apparaître_ϕ⁰(x) dans g(x) en factorisant ;

Calculons Z ^π

2 π 3

1

sin(x)dxavec le changement de variablet=tan³x 2

´. On a x ^π₃ ^π₂

t p¹

3 1

et dt=1 2×

µ 1+³

tan³x 2

´´2¶ dx.

De plus, on a

sin(x)=2 sin³x 2

´

×cos³x 2

´

=2 tan³x 2

´

×³ cos³x

2

´´2

= 2 tan¡_x

2

¢ 1+¡

tan¡_x

2

¢¢2. D’où,

1

sin(x)= 1 tan¡_x

2

¢×1 2×

µ 1+³

tan³x 2

´´2¶

Par la formule de changement de variable, on a : Z ^π

2 π 3

1 sin(x)dx=

Z ^π

2 π 3

1 tan¡_x

2

¢×1 2×

µ 1+³

tan³x 2

´´2¶ dx=

Z 1

p1 3

1 tdt=£

ln(t)¤1

p1

3=ln(3) 2 . Exemple 9.12

Méthode 9.6 – Exprimercos(x)etsin(x)en fonction det=tan³x 2

´

Dans l’exemple précédent, on a vu que :

sin(x)= 2 tan¡_x

2

¢ 1+¡

tan¡_x

2

¢¢2 = 2t 1+t².

(17)

De la même manière, cos(x)=³

cos³x 2

´´2

−³ sin³x

2

´´2

=³ cos³x

2

´´2

× µ

1−³ tan³x

2

´´2¶

=1−¡ tan¡_x

2

¢¢2

1+¡ tan¡_x

2

¢¢2 =1−t² 1+t². Ainsi, on retiendra que :

sin(x)= 2t

1+t² et cos(x)=1−t² 1+t².

Ces relations apparaissent régulièrement lors du changement de variable classiquet=tan³x 2

´

. Il est bon de savoir refaire ces calculs.

En utilisant la notation Z x

f(t) dt, on obtient le résultat suivant.

Corollaire 9.2 – Changement de variable

Soient I un intervalle de R^, ^f ^:^I→Kune fonction continue sur I et_ϕ une fonction de classeC¹ sur un intervalleJet à valeurs dans I.

Alors, pour toutx∈J,

Z x

f¡ ϕ(u)¢

×ϕ⁰(u) du= Z _ϕ(x)

f(t) dt.

On cherche une primitive de f :_θ7→ 1

cos(_θ) suri

−^π 2,^π

2 h. Pour cela, on utilise le changement de variableu=sin(_θ) dans

Z x 1 cos(_θ)d_θ. On a du=cos(_θ) d_θ. De plus, pour toutx∈i

−^π 2,^π

2 h, Z x 1

cos(_θ)d_θ=

Z x 1

¡cos(_θ)¢2×cos(_θ) d_θ=

Z x 1

1−¡

sin(_θ)¢2×cos(_θ) d_θ=

Z sin(x) 1 1−u²du.

Or, 1

1−u² = 1

(1−u)×(1+u)=1 2×

µ 1

1+u+ 1 1−u

¶ . Donc,

Z x 1

cos(_θ)d_θ=1 2×

Z sin(x) 1

1+u+ 1

1−udu=1 2×¡

ln(|1+sin(x)|)−ln(|1−sin(x)|)¢ . De plus, comme sin est à valeurs dans [−1, 1], une primitive de f est :

x7→1 2×ln

µ1+sin(x) 1−sin(x)

¶

=ln

Ã s1+sin(x) 1−sin(x)

! . Exemple 9.13

Méthode 9.7 – Primitivet7→¡

cos(t)¢m

×¡

sin(t)¢n

Soit (m,n)∈N². Pour déterminer une primitive det7→¡

cos(t)¢m

×¡

sin(t)¢n

ou calculer Z b

a

¡cos(t)¢m

×¡

sin(t)¢n

dt avec (a,b)∈R²^:

• on linéarise lorsquenetmsont pairs (voir le chapitre NOMBRES COMPLEXES: formules d’Euler) ;

• on utilise le changement de variable u=sin(t) simest impair ;

• on utilise le changement de variable u=cos(t) sinest impair ;

• on applique un des deux points précédents lorsquenetmsont impairs.