1S:Dm 1 Devoir maison 1 2014-2015
EXERCICE 1 :
On considère l’hyperboleHd’équationy= 2
x et les droites Dmd’équation y=m(x+ 1)−2 avecm∈R,
1. Vérifier que les droitesDmpassent par un point fixeC, indépendant demet queC∈ H. 2. Que représentempour les droitesDm?
3. Déterminer le (ou les) réel(s)mde telle sorte queDmet Haient seulememt le point Cen commun.
4. On suppose quem >0.
(a) Justifier queDmet Hse coupent deux fois.
(b) Déterminer les abscissesx1et x2 des points d’intersection deDmet H. (c) x1et x2 sont-ils de même signe ?
EXERCICE 2 :
SoitM N P Q un parallélogramme. Le pointRest le symétrique du pointQpar rapport au point N. Les pointsS etT sont définis par :
−−→
M S =−4−−→
M P et −−→
M T = 4−−→
M N Le but de l’exercice est de montrer que les pointsT, RetS sont alignés
1. Première méthode : calcul vectoriel (a) Exprimer les vecteurs−→
T Ret −→
T S en fonction des vecteurs−−→
M N et −−→ P N.
(b) En déduire une expression du vecteur−→
T S en fonction du vecteur−→
T Ret conclure.
2. Seconde méthode : avec des coordonnées On se place dans le repère (M;−−→
M N;−−→
M Q).
(a) Donner les coordonnées des points T,Ret S dans ce repère.
(b) En déduire les coordonnées des vecteurs−→
T Ret−→ T S.
(c) Conclure
EXERCICE 3 :
ABCD est un parallélogramme.E est le point tel que−→
AE = 1 3
−→AC, I est le milieu de [AB], J celui de [DC]. On considère le repère (A,−−→
AB,−−→ AD).
1. Faire une figure.
2. (a) Quelles sont les coordonnées des pointsA, B, D etC dans le repère choisi ? (b) Montrer que les coordonnées des pointsI, J etE sont :I
1 2; 0
,J
1
2; 1
et E
1
3;1 3
3. Démontrer que les pointsI, E etD sont alignés.
4. (a) Trouver une équation cartésienne de la droite (BJ).
(b) Montrer que les droites (BJ) et (ID) sont parallèles.
5. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AC).
6. (a) SoitF le point d’intersection des droites (BJ) et (AC). Déterminer les coordonnées deF. (b) Prouver queF est le milieu de [EC].
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