Calculs de probabilit´ es

Universit´e de Reims Champagne Ardenne UFR Sciences Exactes et Naturelles

Ann´ee universitaire 2012-2013 MA 0804 - Master 1

Espaces probabilis´ es

TD1

Calculs de probabilit´ es

Exercice 1 Une boˆıte de chocolats contient 10 chocolats blancs, 12 au lait et 6 noirs. Une personne en mange six.

1. Probabilit´e pour que tous les chocolats mang´es soient blancs ? 2. Probabilit´e pour que deux soient blancs, trois au lait et un noir ?

Exercice 2 Un mercier daltonien fait tomber deux boˆıtes de fils `a broder de couleurs diff´erentes, contenant chacune dix ´echeveaux. Il les range comme il peut. Calculer les probabilit´es pour que

1. Les vingt ´echeveaux soient bien rang´es.

2. Chaque boˆıte contient cinq ´echeveaux de la bonne couleur et cinq de la mauvaise.

3. Une boˆıte contient six ´echeveaux de la bonne couleur et quatre de la mauvaise.

Exercice 3 Les 1000 billets d’une loterie sont mis en vente. Trois num´eros gagnants sont tir´es au sort. Un joueur fanatique acquiert 500 billets. Probabilit´e pour qu’il ait

(a) Un billet gagnant et un seul. (b) Aucun billet gagnant.

(c) Au moins deux billets gagnants. (d) Trois billets gagnants.

Exercice 4 Une urne contient huit boules rouges et sept blanches. On en tire une premi`ere boule puis, sans la remettre, une deuxi`eme.

1. Probabilit´e pour que les deux boules soient rouges ? Blanches ? de couleurs diff´erentes ? 2. Mˆemes questions si l’on suppose que l’on remet la premi`ere boule avant de tirer la seconde.

Exercice 5 Un cadenas `a combinaison ne peut s’ouvrir que si l’on forme le nombre de 4 chiffres (de 0 `a 9) qui a ´et´e programm´e lors de sa fabrication. L’acheteur a oubli´e le code, mais il se souvient que ses 4 chiffres sont diff´erents.

1. On suppose d’abord que notre acheteur essaie au hasard des combinaisons de 4 chiffres diff´erents, sans essayer deux fois la mˆeme. Quel est le nombre maximal d’essais?

Quelle est la probabilit´e qu’il r´eussisse en moins (au sens large) de 100 essais?

2. Que devient cette probabilit´e s’il est incapable de se souvenir des essais pr´ec´edents?

Exercice 6 SoitAet B deux ´ev´enements d’une mˆeme exp´erience pour lesquels on connaˆıt:

P(A∩B) = 0,1 , P(A/B) = 0,3 , P(A∩B^c) = 0,3.

Calculer les probabilit´es: P(A),P(B),P(B∩A^c),P(A^c∩B^c).

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Probabilit´ es conditionnelles, ind´ ependance

Exercice 7 SoitAet B deux ´ev´enements relatifs `a la mˆeme exp´erience tels que P(A/B) =P(A/B^c).

Montrer que les ´ev´enements AetB sont ind´ependants.

Exercice 8 Montrer qu’une condition n´ecessaire et suffisante pour que deux ´ev´enements A et B soient ind´ependants est que:

P(A∩B).P(A∩B) =P(A∩B).P(A∩B).

Exercice 9 Un joueur a dans sa poche deux pi`eces de monnaie. L’une N est ´equilibr´ee, l’autre T est pip´ee de mani`ere que face sorte 2 fois plus souvent que pile.

Il prend au hasard l’une des deux pi`eces et la lance 6 fois. Il obtient 4 fois face. Quelle est la probabilit´e qu’il ait choisi la pi`ece T?

Exercice 10 Le tiers d’une population a ´et´e vaccin´e contre une maladie contagieuse. Au cours d’une ´epid´emie, on a constat´e que 5% des malades avaient ´et´e vaccin´es et que 8% des personnes vaccin´ees ont ´et´e malades.

1. Quelle ´etait la probabilit´e pour un individu de la population de tomber malade lors de l’´epid´emie?

2. Quelle ´etait celle de tomber malade pour un individu non vaccin´e?

Exercice 11 n urnes sont num´erot´ees de 1 `a n. L’urne num´ero k contient k boules blanches et n-k boules noires. On choisit une urne au hasard et on tire deux boules. Quelle est la probabilit´e d’avoir tir´e deux boules blanches

ˆ si on tire avec remise?

ˆ si on tire sans remise?

Exercice 12 Les lampes de poche que l’on trouve dans un supermarch´e sont fabriqu´ees par deux usines: 75%

proviennent de l’usine A, et le reste de l’usine B.

On suppose que le pourcentage des lampes de mauvaise qualit´e estp= 5% pour l’usine A et 2p= 10% pour l’usine B.

1. On pr´el`eve avec remise deux lampes au hasard dans le supermarch´e. Quelle est la probabilit´e qu’elles soient toutes les deux de mauvaise qualit´e?

2. On pr´el`eve avec remise deux lampes au hasard dans le supermarch´e. Sachant qu’elles sont toutes les deux de mauvaise qualit´e, quelle est la probabilit´e qu’elles proviennent de la mˆeme usine?

Exercice 13 Des observations r´ep´et´ees conduisent `a penser que si un employ´e se pr´esente en retard `a son travail, il r´ecidive le lendemain avec une probabilit´e 1/10. Par contre, s’il est `a l’heure un jour, c’est avec une probabilit´e 3/10 qu’il est en retard le lendemain.

On appellep_n la probabilit´e qu’il soit en retard le n-i`eme jour. En outre, on suppose quep₁= 0,5.

1. Former une relation entrep_n etp_n+1.

2. On poseu_n =p_n−¹₄. Former une relation entreu_netu_n+1. (On doit reconnaˆıtre une suite g´eom´etrique.) 3. En d´eduire la valeur deun puis celle depn.

4. La suite (pn)n a-t-elle une limite quandntend vers l’infini, et si oui laquelle?

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