Inégalités de Sobolev logarithmiques et hypercontractivité en mécanique statistique et en E.D.P.

(1)

HAL Id: tel-00001145

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001145

Submitted on 26 Feb 2002

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Inégalités de Sobolev logarithmiques et

hypercontractivité en mécanique statistique et en E.D.P.

Ivan Gentil

To cite this version:

Ivan Gentil. Inégalités de Sobolev logarithmiques et hypercontractivité en mécanique statistique et en

E.D.P.. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2001. Français. �tel-00001145�

(2)

! #"%$&'("%))*%+,

-/.02135476 -83 9;:<47=7>@?)3568AB>C1D EGFH489 ABF)I2F1J>K356

L

'MN'( ('M2OQP7+RSTU+RV'(WX

Y

ZN'M+[M'\HOZ]^"%$_+[$'(('<

`Racb

>@degfihjQklnmpo

qrKsutwv

aGxuyzb|{~}~py rK

xu{uX

jQ^

,;w¡ ;¢ £¤¦¥¤¨§ª©« ¬^®¯5° ±³²;¢w´¢B

¶µ· ¢B_¸¹¬ºX_¸Q®»®¢w ° w¸B;±³²;¢¼½^½~±²;¢

¢B¾¢w À¿ÂÁ ¿Ã)¿

q&rKs

p{

s

{ v

{ÄÅ³ÆªÇ}{~ÈGÉub!{GÊ@Ë@ËÌÄxu{~Íca

v

{QÎ

s

bÐÏ;}

r

È`

rKt

Ç^xÌ{

Ñ { t!t

yÒ{

s b tªv

{

twÓ

b

r@Ô

{

t!t

{ s b tºÕ

Æ r Èy

yÒÖ

s { ×nØÙÚÛ Ü

yÝÍK{b

t

yÝpÇ Ó a

sÌvq

a@ÉRac|yÒ{~b Þ_ßÌa@È³y

acp{

s b

àá

yz{b!b!Ï ×ªâ_ãä\åæRØXç Ü

yÝÍK{b

t

yÝpÇxu{

Ó

a@b!y tBèé|é

Þ_ßÌa@È³y

acp{

s b

ê

bpa

}y

t ë

âì^æ[íî Ü

yÝÍK{b

t

yÝpÇxu{

Ó

a@b!y

tBèé|é ï

a@`Ì`

r

bÐp{

s b

Ñ

yz}

á { v ð

æ[ãâ_çñ Ü

yÝÍK{b

t

yÝpÇ Ó a

sÌvq

a@ÉRac|yÒ{~b ÆyÒb!{}~|{

s b

ò a s

b!{

óôä\õXö&â Ü

yÝÍK{b

t

yÝpÇ Ó a

sÌvq

acp{

s b

÷

{a

&ø Ñ

yÒ}

á { v¾ù

â_ú_çæ[ûâ_üuüÌÚæ Ü

yÝÍK{b

t

yÝpÇ Ó a

sÌvq

acp{

s b

ý

Ç~xub|yz} þä\ööØåä ÿ }

rKv

{ r b|Èa

v{ q&s

`,Çb!yÒ{

s

b|{xu{

ò Ï

rK ï

a@`Ì`

r

bÐp{

s b

! " #$%&'()

*,+.-0/21-43#5#5#67*,89;:) <;(, =>$'?@%$) A7BC$'$DEEE

FAGIHJLKMNPOOQRSKM>TVUWFYXIZ[

ε^\ M]_^a`cbVdVO%dVK>[_e@fI]RSK^@gINPK[_h_hci_j

(3)

(4)

÷

{w|yÒ{

ut

rKs

g`Racb!pyz}

suv

y~b|{È³{

b|{~È{~b|}~yÒ{b

Ñ

yÒ}

á { vXð

æ[ãâçñxaÍ

r

yzb a@}}~{`Ì|Çxu{wÈ³{

xuyÒb!yK{~b^`%{

xRa

º}{

t a

u

Ç{

t

xu{ á t

{³{~ºxaÍ

r

yÒb}

r@ut

a@}~b|Ç³É%{a s }

rKs

`ôxÌ{³|{È³`

t

¦È³{

Ô<r

b!È{~b

÷

{Gb|{~È{~b|}yz{È³{

t

bpa@`u`

r

bÐp{

s b t ê

bpa

}~y të

âì^æ[íîG{

ý

Çxub!yÒ}GþGä\ö&öØåä

xaÍ

r

yÒbx{ Ôø

Ô

{}~

s

Ç^}{||{

vÒrKs

b|xu{@}

á

{uÞ

`Ra@bÐpyÒ}

suv

yz{b v

{

tBÌr

ÈGÉub!{

sut

{ t {~By

ut

pb

s

}~pyÝÍK{

t

xuy t }

sut!t

y

rKut

aÍ@{}

ý

Çxub!yÒ}wÈ rK

É,{a s }

rKs

`a@yÒxÌÇx sÌ

{ª`ua@b!gxRa

Ìtgv

a^}

r

È³`ub|Ç á {

Ìt

y

r@

{

v

a^b|Ç t|rKvzs

py rK

xu{}{bÐ a@y

ut

`ub r É v

~È{

t

xa a vÏ t

{^{~nxa s

pb!{`Ra@b!wxua

utwv

aGb!ÇxRa@}py rK

xu{}{Èa

sÌt

}b!yz

ò

aJb!ÇxRac}~py rK

xu{;}~{~!p{ á t { { t

{b|a@yz`Ra tv

aÈ~È{

t a

Ìtv

a@yÒxu{xu{

àá

yz{b!b!Ï ×ªâ

ãä\åæ[Ø½ç Ö s

y`Ra@b su

{ v {}~

s

b|{pb

t

ac||{

pyÝÍK{xu{È r@

Èa

sut

}~b|yÝ

Èa³a

sut!t

yÉ,{a s }

rKs

`

a@`u`

r

b!|Ç

Ó

acbªacy vÒv

{ s b t

Î!{

t a vzs

{ q

{bK{y_×ªâ Ùâ!U{

ý

Ï&b!y vù

â æ[Ú&íâ ` rKs

bxu{

s

ß¦}

rKvzv

a ø

É r b|acpy

rKut

|b"

t

a@b|ÇacÉ v{ t

÷

{gb!{È³{b!}yÒ{ga sÌt|t

y v{ t a s

|b|{

t

È³{ÈGÉÌb|{

t x s Î s

bÐÏ Õ Æ r

È³y

yzÖ

s

{¹×nØÙ_ÚÛ¦Ö

s

yÈa

t|rKs

ÍK{

a@yÒxuÇn{

|b|{ a s

pb!{

t ` rKs

bQxu{

t

`ub r É v

È³{

t

xu{

Γ

₂ ^ò ^a ^s ^b|{ wóôä\õXö&â ` r@s

b t a}

rK

}{~`Ìpy rK

xÌ{

t

Èac

á

t

{~{

$#R

÷

{a

&ø

Ñ

yÒ}

á { vªù

âú_çæ[û~â_üuüuÚæHxaÍ

r

yÒbac}}{~`ÌpÇ5xu{;`ua@b!|yÒ}yz`%{~b%JÈ rK

Î s b!Ï

÷

{nb!{È³{b!}yÒ{

v{ t

È³{ÈGÉub!{

t x s³v

acÉ

r

b|ac

r

yÒb|{Q{~g`

vzsut

`Ra@b!|yÒ}

suv

y&b|{~È{

v

a^ÉRa

xu{

(')"*+

,

)-

;Ö s y

rK

nb|{

x s

}~{

t a

u

Ç~{

t

aKb!Ça@É v{ t

Þ

.#R

Î!{`ub r#

p{xu{

v r

}~}a t y

rK

`

rKs

bb|{

xub!{

á r

ÈÈaK{/È³{

t

a@È³y

t

{~0 Èa

Ô

a@È³y vzv

{

Ö s yÈ³{

t|s

`u`

r

b!p{

ªxÌ{`

s yt

Èa@y

p{

a

wÖ

s { vÖ s { t a

u

Ç{

t

(5)

(6)

')&9' ()

ÿ }~b|yÝ{

} rKvÒv

a@É

r

bpac|y rK

aÍK{}

ý

Ïb|y vù

â æ[Úíâ

' *

,

) , "!$# ,% ,&' ,)(

, )

'*'+,#

) # + )

#-./,01 ,23/4.'

' , ÷ ê su

} 5

a v

76 58:9

Ê@ËKËÌÄ2;

,ur

_Ä

`=<<

ø

Å.>

ÿ }~b|yÝ{

} rKvÒv

a@É

r

bpac|y rK

aÍK{~}

q

{b"@{y×nâ Ùâ!H{~

Ñ

yÒ}

á { vð

æ[ãâ_çXñ @?A%B

)

#C

+

!$-2!$D%

)

,?E.'*!

' ) # +GF

C )-

!HJI)KL.D!

)

#$,

÷ Ñ a á ÓZs

=5`Ì`

vy 58M9

ÊcËKËÌÄN;

½ur

O

`

<<P

ø

<P<$

' )8Q9 (49 < 8

SR

'

DC

)

#CD!$-.

- )

KT#"U , )

#WVØì^ä\öíâ_åXØXõXâ %ä , ) '

KTD!

)

#$,)Y

C;:a

ÿ }~b|yÝ { } rKvÒv

a@É

r

bpac|y rK

aÍK{~}

ý

Ç}~y

v

{[ZGå\

q

Ç~ÉRa

t

|yÒ{

×ªöØ½õ=]_^[Úæ

ÆZÎ|a vy

vë

]Ø

ü~Ø=`

CÓ

yÒ{b!b|{ba_â_çcd^[Úæ,î ê vÒr

b!{

¹ó2Øö&Úä\æ[ç ý

Ïb|y v[ù

â %æ,ÚíâJ{~fe^b|{

r

b!Ï3g,õ=]æ[ü

üuæ[Ú 4@KC

' ,h!$#ji

* '

!$ i ,UCkg,â %â_ö&æ ! ')"*

.l!$$0C'*!DI)K@ , Ó a

ur

b|a@Èa

t

{

q Ï á t

{^ÄË

q Ñ ê

Ê@ËKË@Ë

ßÍy$mÊ&ÄNOG`Ra@{

t

(7)

(8)

- A )8

9' # <1$ A <D898)''

ED8 <9 8

P

6

C >' #L9 # )9 8

HÄ

ÄzÄ éÂ

pb r x s

}py rK

HÄ

ÄÊ Væ[öüuüuæ[Ú t È³{~

á r x Ô<r

b t

`%{~}~pb|a

v

Ca@`5y

{Ö s a v

yzÂÏ UÄNO

Ä.VØÚã%ÛUÂÏ`,{ºy

{Ö s a v

yz|yÒ{

t a

x¨a@`u`

v

yÒ}acpy rKut

Ê

Ä>$L5

{ } va t|twr@Ô

È{a t|s

b!{

t JÊ@Å

ED8(%';($ ' ; $

Ê.zÄ éÂ

pb r x s

}py rK

!

Ê.Ê éÂ

ÇKa

v

yÝpÇ xu{*g,â â_öæ ! vzr

Ca@b!yz

á

ÈyzÖ s {

t!s

b

R

^<

Ê..

ý

b|yÝb!{

t È suv

py

ø

xuyzÈ{

ut

y

rK

{

vzt

>CË

Ê.>$

éÂ

ÇKa

v

yÝpÇ xu{*g,â â_öæ ! vzr

Ca@b!yz

á

ÈyzÖ

s { q Ï t

~È{

t

xu{

t

`uy

ut

>CÅ

6

"

=A 8 ;:;#

" '8%$'& #& )8$

. (

$zÄ éÂ

pb r x s

}py rK

$Ê *)a@È³y v

rKø ÷

a@}

r

Éuy,{Ö

s

ac|y rKut

a x vzr

Ca@b!yz

á

Èyz}

qr

É

r@v

{~Íy

{~Ö s a v

yÝpyz{

t .$(@Å

$.*)ª{~b|É t t

a@b

s

È³{

na

x5pb|a

ut

` r bÐ ac|y

rK

y {Ö

s a v

yz|yÒ{

t <

$>$

q

{È³y@b rKs

` r&r@vÒt

a x+)-,

é y

{Ö s a v

yzpyz{

t [<KÅ

$. à

b|a

ut

` r bÐ ac|y

rK

}

rKt

Ô<r

bB

á

{^{ß&`

rK

{

|ya v È³{a

t!s

b|{ O >

$<.*/¹b sÌu&ø

Ñ y

ut10@r

t20

yy

{~Ö s a v

yÝpyÒ{

t a x á

Ï`%{~b|}

rK

pbpac}~pyÝÍyzÂÏ O.P

3 * '; 8 :;( )!()89!54687:9;<=8>?@6BA9

(9)

> zÄ éÂ

pb r x s

}py rK

ÅC

> Ê àá

{

R

ⁿ ^}a ^t ^{ ^ÅKÅ

> .

Ñ

aVÎ

r

b|acpy rK;su

xÌ{bªÞ s } v

yzxu{a

&ø

ÂÏ`,{,g,â âö&æ ! y {~Ö

s a v

yÝÂÏ $ WP

> >$

Ñ

aVÎ

r

b|acpy rK;su

xÌ{b r á

{~bAg,â %â_ö&æ ! y {Ö

s a v

yzÂÏ PKÅ

3

ED8(%';() $ >89

VÄËC

.zÄ éÂ

pb r x s

}py rK

VÄËC

.Ê RÆÇ

#u

yz|y rKut

{n`ub

r

`Ìb|yÒÇpÇ t Ç v

Ç~È{

pa@yÒb!{

t

VÄË<

..

ý a t

xu{

v

aÈ³{

t|s

b|{xu{G×ªæ[Úåâ_çöö&ä VÄKÄKÄ

.>$L5`u`

v

yÒ}acpy rKut

v aG}

rK

}~{

pb|acpy rK

xu{

v

aGÈ³{

t|s

b|{ ÄKÄ >

.. RÆy%Çb!{

p{

t

b!{`ub!Ç

t { ac|y rKÌt

xu{

t y Ç Ca

v

yÝpÇ

t

xu{^pb|a

ut

` r

bÐ VÄKÄ

.<.L5`u`

v

yÒ}acpy rK

a

su

È r x v{ xu{È³Ç}a

yÒÖ

s { t ac|y

t

|yÒÖ

s { ÄVÊKÊ

.O ò yÒ{

Ìt

aÍ@{}xuy%Çb!{

p{

t y

ÇKa

v

yÝpÇ

t

xu{*g,â âö&æ ! vÒr

Ca@b|yÝ

á

È³yÒÖ

s { @ÄVÊ

.Å.

ý a t

xu{

v

axuyzÈ{

ut

y

rK

y

$#u

yÒ{ VÄ KË

9' # <1$

Ä P

(10)

Æ a

ut

}~{~!p{J

á t {

ÌrKsut ur@sut

y

|Çb|{

t|t!rKut

ôxu{

t y Ç Ca

v

yzpÇ t³Ô<r@

}~|y rKu

{

vÒv

{ t } r È³È³{

v{ t y Ç Ca

v

yÝpÇ

t

xÌ{Bâ_ä\åõ½ØÚ \

g,â â_öæ !

g,â âö&æ ! vzr

Ca@b!yz

á

ÈyzÖ s {

{}{

vÒv

{ t ac`u`%{

v

Ç~{

t

y Ç Ca

v

yÝpÇ

t

xu{|bpa

Ìt

` r b![Æ{

Ô

a rK

KÇ

Çbpa v{

[v

{|bpaÍca@y vt

{b|Ç`ua@b!|yÒ{

t { vÒrK

xu{

s

ß}~{

pb!{

t

y

pÇ~b"~

t ò

{`ub|{~Èyz{bº`

r

bÐp{

t|s

b v Ç~

s

xu{ {~

v a@È³Ç vyr

bpa py r@

xu{

t

È³Ç~

á r

xu{

t

`%{~b|È³{~|pa

xÇ a@É

v

yÒb}{

t y

ÇCa

v

yz|Ç

t

{~

v{ t

{}

rK

x

t|s

b v aw}

r

È³`ub!Ç á {

ut

y

rK

xu{

t

xuy%Çb!{

tv

yÒ{

ut

{ß&y t a

{

pb!{º}~{

vÒv

{

tø

}y

ÆÇ}~b|yzÍ rKut

Éub|y&~Í@{È³{

v{ t

xÌy%Çb|{

p{

t y

ÇCa

v

yz|Ç t Ö s {

ur@sut

a

vÒvzrKut

Ç

s

xuyz{b Ó v a

r@ut

urKsut

yz}y `

rKs

b t yzÈ`

vy#

{b Rt!s

b

R

ⁿ ^ò ^y ^Ç ^Ca ^v^yÝpÇ ^v^a³` ^vÒsÌt ^yÒÈ³` ^r ^b!pa ^p{Ö ^s ^{ ^urKsÌt ^Ç~ ^s ^xuy^r@ut

{ t }~{

vzv

{xÌ{[g,â %â_ö&æ ! vzr

Ca@b!yz

á

ÈyzÖ

s

{

xuyÝGÖ s

su

{5È³{

t|s

b|{ xu{`ub

r

Éua@Éuy

v

yz|Ç

µ

^t!s ^b

R

ⁿ ^t ^acpy^t!Ô^a@yÝ( ^sÌ ^{5y ^Ç ^Ca ^v^yÝpÇ ^xÌ{ ^g[â ^â_öæ ^! ^vÒr ^Cacb|yz ^á ^È³yÒÖ ^s ^{ ^t ^y^v ^{ß&y^t ^p{ ^su ^{5} ^rKut ^pa ^p{

α(µ) > 0

^p{ ^vÒv^{ ^Ö ^s ^{ ^` ^rKs ^bB ^r@s ^p{ ^Ô<rK ^}~py^rK

f

^xu{

R

ⁿ ^xRa ^Ìt

R

^a ^t!t ^{{ b!Ç} ^suv^y~b|{ ^Ìv^y ^Ç ^Ca ^v ^yÝpÇ

t|s

yÝÍ@a

|{{

t t

acpy t!Ô

a@yÝp{

Õ

Ent

_µ

f

²

= Z

f

²

log

f

²

R f

²

dµ

dµ 6 α(µ) Z

|∇ f |

²

dµ.

ý

{~||{ y Ç Ca

v

yÝpÇº{

t

y

|b r x s

yÝp{`ua@bÚ%â_îVî³{

Ä2PO {~Ç a@É

v

yÒ{G`

rKs

b v aÈ³{

t|s

b|{(Ca sutø

t

yÒ{

u

{aÍK{~}

su

{º}

rKut

pa

p{

r

`Ì|yÒÈa v{

α(µ)

^ÇKa ^v^{/³Ê ^{e^b} ^r ^O

Ü {¨a

s

|b|{¦y

Ç Ca

v

yÝpÇ |b"

t

yÒÈ³`

r

b! a

|{;}

rKÌt

yÒxÌÇb|Ç~{yz}y{

t }~{

vÒv

{5xu{Bâ_ä\åõ½ØÚ\

9 rKs

y Ç Ca

v

yÝpÇwxu{|b rKst

`,{}~|bpa v; &Ü

{È{

t|s

b!{xu{ `Ìb

r

ÉRacÉuy

v

yzpÇ

µ

^t ^acpy^t!Ô ^a@yÝ ^su ^{ ^y ^ÇKa ^v^yÝpÇwxu{

âä\åõ½ØÚ \ t

yy

v

{®ßÌy

t

|{

su

{ } rKÌt

a

|{

β(µ) > 0

^p{ ^vzv^{GÖ ^s ^{ ^` ^rKs ^b ^rKs ^|{ ^Ô<rK ^}~|y^rK

f

^xu{

R

ⁿ ^xRa ^ut

R

â ^t|t ^{ºb!Ç ^sÌv^y~b|{ ûrK â ^v^y ^ÇKa ^v^yÝpÇ ^t|s ^yÝÍ@a ^|{

Var

_µ

f

²

= Z

f − Z

f dµ

2

dµ 6 β(µ) Z

|∇ f |

²

dµ.

ý

{~||{y

ÇCa

v

yz|Ç `

vÒsut

a }~yÒ{

Ì

{Ö

s { v y Ç Ca

v

yÝpÇGxÌ{ g,â %â_öæ ! vÒr

Ca@b|yÝ

á

È³yÒÖ s { { t

GyzÈ

ø

v s 2rKs v v rKJt!s v t t