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application à un cas de compresseur haute pression
Florent Payer
To cite this version:
Mécanique, Énergétique, Génie civile et Acoustique
N˚ Ordre 2013-53 Année 2013
Thèse présentée par
Florent PAYER
en vue de l’obtention du grade de docteur de l’École Centrale de Lyon
Prédiction et Analyse du Phénomène de Réponse Forcée Application à un cas de Compresseur Haute Pression
Spécialité : Mécanique des Fluides
Le 19 Décembre 2013
Jury :
A. COMBESCURE Professeur - LAMCOS - INSA de Lyon président
P. ARGOUL Professeur - Laboratoire Navier - Ecole des Ponts rapporteur
N. TAUVERON Docteur HDR - CEA Grenoble rapporteur
P. FERRAND Docteur HDR - LMFA - Ecole Centrale de Lyon directeur
F. THOUVEREZ Professeur - Ecole Centrale de Lyon directeur
E. DE JAEGHERE Ingénieur - Snecma examinateur
Y. MAUFFREY Docteur-Ingénieur - ONERA examinateur
L’enjeu de cette thèse est d’améliorer la compréhension et la prédiction du phénomène de réponse forcée des aubages de turbomachines en situation de résonance. L’étude a été menée au moyen de simulations numériques U-RANS 3D et en s’appuyant sur le compres-seur d’essai ERECA, dédié au phénomène de réponse forcée.
Pour prédire les amplitudes de vibration des aubages excités aérodynamiquement, la méthode de prédiction la plus répandue consiste à effectuer séparément un calcul d’excita-tion et un calcul d’amortissement aérodynamique ; on parle alors de calcul découplé. C’est cette méthode qui a été mise en œuvre dans un premier temps. Les calculs d’excitation et d’amortissement aérodynamiques ont été comparés individuellement aux résultats d’es-sais. Pour cela une méthode de traitement du signal fréquence/amplitude a été développée dans le but d’extraire l’amortissement et l’excitation des résultats d’essais. Les analyses des simulations ont permis de mieux comprendre les mécanismes d’excitation et d’amortisse-ment aérodynamique. On a ainsi pu montrer que le phénomène d’interaction rotor/stator s’apparente par son caractère discontinu à une percussion périodique. Quant au phénomène d’amortissement, il se caractérise par le bilan des contributions de chaque zone d’échange d’énergie sur la paroi de l’aubage. En outre, les amplitudes vibratoires calculées à partir de cette méthode sont très proches des valeurs d’essais. Toutefois, cette procédure de calcul requiert la mise en œuvre de 2 calculs instationnaires différents et ne permet pas à l’heure actuelle d’être utilisée dans un cycle de conception.
Dans le but de simplifier et d’améliorer la qualité de prédiction des analyses de ré-ponse forcée, la méthode du couplage dynamique a été mise en œuvre et évaluée. Avec cette méthode, l’aubage répond librement aux sollicitations engendrées par le fluide. Une fois le régime transitoire évacué, l’aubage oscille en régime permanent. Cette méthode permet donc de prédire une amplitude vibratoire à partir d’un seul calcul instationnaire. En revanche, le calcul s’avère bien plus onéreux que la méthode découplée de par l’existence du régime transitoire. Dans le but de rendre accessible cette méthode à un niveau industriel, deux méthodes d’accélération du calcul ont été mises en place. Les résultats obtenus sont très encourageants et devraient permettre de réduire drastiquement les temps de restitution des analyses de réponse forcée.
A la connaissance de l’auteur, cette thèse constitue une étude inédite de comparaison entre méthode découplée et couplage dynamique, qui par ailleurs s’appuie sur des résultats d’essais dédiés exclusivement au phénomène de réponse forcée.
The purpose of this PhD thesis is to provide a better understanding of the forced res-ponse phenomena of turbomachinery bladings in resonance conditions. The study will use 3D U-RANS calculations relying on experimental results obtained on the ERECA test case, dedicated to the forced response phenomenon.
In order to predict the vibrating amplitudes of aerodynamically excited bladings, the most commonly used prediction methodology consists in separated calculations for the diction of the aerodynamic excitation and damping ; it is the decoupled method. The pre-dictions of these two components have been compared to the experiment individually. For this, a special signal treatment analysis has been developed so as to extract the damping and excitation from the experimental amplitude/frequency signal. The analysis of the re-sults presented hereafter has provided a better understanding of the mechanisms involved in the aerodynamic damping and excitation. The results obtained match very closely the experiment. However, this procedure requires two different unsteady calculations and is the-refore hardly usable within the design process of an engine.
In order to simplify and improve the quality of the forced response analysis, the time marching method has been developed and analyzed. With this method, the blade responses freely to the aerodynamic solicitations. Once the transient regime is evacuated, the blade oscillates on its permanent regime. In order to enable access to this methodology on an industrial level, several speed-up methodologies have been implemented and the results are very encouraging.
To the knowledge of the author, this thesis is the first comparison between the decoupled and the time marching methods that relies on test results from an experiment dedicated to the forced response phenomenon.
Je souhaite commencer par dire un grand merci à Pascal Ferrand qui a encadré cette thèse. Pascal, merci pour ta patience et tes lumières, merci aussi d’avoir su m’accorder beaucoup d’autonomie. Dans l’aéroélasticité, il y a de l’aérodynamique mais aussi de la mé-canique vibratoire. Merci donc à Fabrice Thouverez pour avoir co-encadré cette thèse. J’ai toujours beaucoup apprécié les échanges que nous avons eu tous les trois, même s’ils étaient parfois laborieux ; à quand le dictionnaire de mécanique des fluides à l’usage des mécaniciens des solides (et vice versa) ?
Ma thèse s’est déroulée à Snecma à Villaroche au sein de la section Méthode Aérodyna-mique. Je tiens à remercier l’ensemble des ingénieurs et des stagiaires qui se sont succédés aux cours de ces trois années et sur qui j’ai toujours pu compter. Je tiens à remercier par-ticulièrement Simon qui, avec son sujet de thèse très proche (la différence tient uniquement dans le second membre de l’équation différentielle !) m’a beaucoup apporté. Antoine, mon tuteur de thèse et Michel qui a proposé le sujet et sur qui je me suis souvent appuyé.
Ce travail de thèse a été le fruit d’une coopération fructueuse avec les équipes DADS de l’ONERA. A ce titre, je tiens à remercier Alain Dugeai, Antoine Placzek pour leurs contri-butions.
Je souhaite aussi remercier vivement toutes les personnes qui ont participé au jury de cette thèse, et particulièrement Nicolas Tauveron et Pierre Argoul pour avoir accepté de rapporter ce travail et pour les critiques constructives dont ils ont fait preuve à cet égard. Je tiens à exprimer ma reconnaissance à Alain Combescure pour avoir accepté d’être président du jury. Enfin, je remercie chaleureusement l’ensemble des personnes qui ont assisté à la soutenance.
Par ailleurs, j’aimerais adresser mes remerciements à toutes ces personnes qui n’avait aucune idée de ce que j’ai bien pu faire durant ces trois années mais qui y ont grandement contribué.
– Papa, Maman, Clément et Juju. Pépère, Mémère et Mamie ; Thomas et les parents de Marine ;
– LeC2B, à savoir : Dams, Jérem, Gigi, Pierro, L’couz, Loys, Pouline, Fred, Djé, Djo,
Maëlle, Gorio, Célia, Ramouch, Eul’tos, Audrey, Fab, Auréline ;
– Jean-Nanard, Hugo, Ron, Mike, Toutnu, Bastien et Marion, JB et Delphine.
1 Introduction 1
2 Phénomène et prédiction de la réponse forcée 3
2.1 Aéroélasticité dans les turbomachines . . . 5
2.1.1 Aéroélasticité statique . . . 5
2.1.2 Flottement . . . 5
2.1.3 Réponse Forcée . . . 6
2.1.3.1 Dynamique des roues aubagées . . . 8
2.1.3.2 Problématique du désaccordage . . . 8
2.1.4 Fréquence réduite . . . 9
2.2 Mise en équations de la réponse forcée . . . 9
2.2.1 Oscillateur mécanique . . . 9
2.2.2 Approche modale fréquentielle . . . 11
2.3 Les sources d’excitation aérodynamique . . . 11
2.3.1 Effets potentiels et ondes de choc . . . 11
2.3.2 Interactions de sillages . . . 12
2.3.3 Distorsions d’entrée d’air . . . 14
2.4 Amortissement aérodynamique . . . 14
2.4.1 Mise en équation . . . 14
2.4.2 Le phénomène de flottement . . . 15
2.5 Amortissement mécanique . . . 15
2.6 Méthodes de prédiction de la réponse forcée . . . 16
2.6.1 Calculs instationnaires . . . 16
2.6.2 Prédiction de l’amortissement aérodynamique . . . 17
2.6.3 Couplage fluide-structure . . . 18
2.6.3.1 Méthode découplée . . . 18
2.6.3.2 Couplage temporel . . . 19
2.6.3.3 Couplage fort . . . 20
2.6.4 Hypothèses de calcul . . . 20
2.6.5 Comparaison des approches . . . 22
2.7 Positionnement de la recherche . . . 24
2.8 Bilan et positionnement du travail de thèse . . . 24
3 La configuration ERECA 27 3.1 Description du banc ERECA . . . 29
3.2 Analyse modale . . . 29
3.3.2.1 Calibration des jauges de déformation . . . 31
3.3.2.2 Dépouillement des essais . . . 32
3.3.2.3 Analyse du signal . . . 33
3.3.3 Mesures aérodynamiques . . . 35
3.4 Conclusion . . . 36
4 Mise en place de la simulation 39 4.1 Notations . . . 41
4.2 Génération du bloc d’injection de sillage . . . 42
4.2.1 Mise en place de la simulation étage . . . 42
4.2.2 Résultats du calcul étage . . . 44
4.3 Génération du bloc d’injection de sillage . . . 44
4.4 Génération du maillage en vue des calculs instationnaires . . . 45
4.4.1 Discrétisation temporelle, le NQO . . . 45
4.4.2 Maillage instationnaire . . . 47
4.5 Résultats et validation stationnaires . . . 48
4.5.1 Analyse de la convergence . . . 49
4.5.2 Répartitions radiales . . . 50
4.5.3 Comparaison entre PIV et calcul . . . 52
4.5.4 Analyse des grandeurs à la paroi . . . 52
4.5.5 Ecoulement de jeu . . . 53
4.6 Bilan . . . 55
5 Calculs découplés 57 5.1 Calculs d’excitation . . . 59
5.1.1 Mise en place de la simulation . . . 59
5.1.1.1 Paramétrage numérique . . . 59
5.1.2 Résultats du calcul . . . 59
5.1.2.1 Résultats moyennés en temps . . . 62
5.1.3 Analyse du champ instationnaire . . . 62
5.1.3.1 Interaction sillage-aubage : le mécanisme de l’excitation . . 62
5.1.4 Calcul des Forces Aérodynamiques Généralisées . . . 65
5.1.5 Prise en compte du frottement fluide . . . 67
5.1.6 Effet du jeu . . . 69
5.1.6.1 Influence du schéma d’intégration temporelle . . . 71
5.1.7 Effet du vannage . . . 72
5.1.8 Effet de la fréquence réduite . . . 74
5.1.9 Bilan sur les calculs d’excitation . . . 77
5.2 Calculs d’amortissement . . . 79
5.2.1 Mise en place de la simulation . . . 79
5.2.2 Résultats . . . 79
5.2.2.1 Fluctuations de débit . . . 79
5.2.2.2 Propagation de l’information dans le domaine . . . 80
5.2.3 Le mécanisme d’échange d’énergie . . . 81
5.2.3.1 Étude sur la surface de l’aube . . . 82
5.2.3.2 Étude des grandeurs 1D à h/H=50% . . . 84
5.2.3.3 Étude des grandeurs 1D à h/H=75% . . . 85
5.2.7 Evaluation de la linéarité de l’amortissement . . . 88
5.2.8 Bilan sur les calculs d’amortissement . . . 90
5.3 Calculs d’amplitude vibratoire . . . 91
5.3.1 Réponse vibratoire du mode 3 . . . 91
5.3.2 Prise en compte de plusieurs modes . . . 92
5.3.3 Sensibilité au régime de rotation . . . 93
5.3.4 Le phénomène de glissement en fréquence . . . 95
5.4 Conclusions . . . 96
6 Couplage fluide structure 97 6.1 Couplage Twin . . . 98
6.1.1 Principes de l’approche Twin . . . 98
6.1.2 Mise en œuvre sur ERECA . . . 98
6.1.3 Résultats . . . 98
6.2 Couplage dynamique . . . 101
6.2.1 Le couplage dynamique dans elsA . . . 101
6.2.2 Mise en place de la simulation . . . 102
6.2.2.1 Paramètres structuraux . . . 102
6.2.2.2 Paramètres numériques . . . 102
6.2.2.3 Annulation du chargement stationnaire . . . 103
6.2.3 Résultats . . . 103
6.2.3.1 Convergence des signaux temporels . . . 103
6.2.3.2 Convergence des harmoniques . . . 104
6.2.3.3 Bilan de la méthode . . . 105
6.2.4 Accélération du transitoire . . . 106
6.3 Méthode du Transitoire (MdT) . . . 108
6.3.1 Principe de la méthode . . . 108
6.3.2 Résultats . . . 109
6.3.3 Robustesse de la méthode du transitoire . . . 110
6.4 Conclusions . . . 111
7 Conclusion et perspectives 113
2.1 Position et nature des zones de flottement dans le champ de fonctionnement
d’un compresseur . . . 6
2.2 Position et nature des zones de flottement dans le champ de fonctionnement d’une turbine . . . 6
2.3 Diagramme de Campbell . . . 7
2.4 Diagramme nombre de diamètres nodaux/fréquence . . . 8
2.5 Illustration de la fréquence réduite d’interaction . . . 10
2.6 Interactions d’ondes de choc dans un étage de turbine . . . 12
2.7 Propagation des sillages (contours d’entropie) . . . 12
2.8 Intéraction sillage/aubage . . . 13
2.9 Interaction entre sillage et tourbillons de jeu . . . 13
2.10 Phénomène de distorsion d’entrée d’air . . . 14
2.11 Prédiction de la réponse forcée par la méthode découplée . . . 18
2.12 Prédiction de la réponse forcée par la méthode de couplage temporel . . . . 19
2.13 Prédiction de la réponse forcée en couplage fort . . . 20
3.1 Modèle et caractéristiques du banc ERECA . . . 29
3.2 Modes propres normés à 1mm . . . 30
3.3 Diagramme de Campbell du compresseur ERECA . . . 31
3.4 Schéma de la position de la jauge 9 de contrainte sur l’aube ERECA . . . . 32
3.5 Amplitudes vibratoires mesurées . . . 33
3.6 Amplitudes maximales et régimes de résonance sur les aubes du rotor . . . . 34
3.7 Extraction des grandeurs d’essais . . . 35
3.8 Position des plans de mesures aérodynamiques . . . 35
3.9 Mesures de Mach (gauche), Pt (centre) et angle (droite) à l’amont du rotor 36 3.10 Mesures PIV de vitesse absolue . . . 36
4.1 Positions des plans de coupe dans le calcul . . . 41
4.2 Convention pour le tracé des profils sur la peau de l’aube . . . 41
4.3 Convention de signe pour l’angle d’incidence absoluα . . . 42
4.4 Maillage étage de la configuration ERECA . . . 42
4.5 Convergence du débit massique . . . 44
4.6 Coupe à h/H=50%. Champ instantané d’entropie . . . 45
4.7 Génération du bloc en H . . . 46
4.8 Champs aérodynamique à l’entrée du bloc d’injection de sillage . . . 46
4.9 Topologie O-4H et répartition des points du maillage . . . 48
4.10 Maillage à h/H=50% . . . 49
4.14 Convergence des résidus . . . 50
4.15 Evolution des grandeurs parietale à h/H=50% . . . 51
4.16 Répartitions radiales d’angle et de Mach, comparaison calcul/essais . . . 51
4.17 Illustration de la composition des vitesses . . . 52
4.18 Champs de vitesse relative V r dans le plan h/H=50% . . . 52
4.19 Contours de Pression statique . . . 53
4.20 Evolution des grandeurs pariétales à h/H=50% . . . 53
4.21 Iso-surface de critère Q positif . . . 54
4.22 Profil de Ps en tête de pale (k=69) . . . 54
5.1 Conditions limites du calcul d’excitation . . . 59
5.2 Signal de débit massique à l’entrée et à la sortie du domaine . . . 60
5.3 Spectre des fluctuations de débit massique sur un tour complet . . . 61
5.4 Champ instantané d’entropie reconstruit à 360◦ . . . 61
5.5 Répartitions radiales d’angle, de Pta et de Mach . . . 62
5.6 Mise en évidence du phénomène de sur-incidence induite par le sillage. . . . 63
5.7 Interaction entre le sillage et l’aubage . . . 63
5.8 Profil de Ps moyenne et amplitude des 5 premiers harmoniques à h/H=50% 64 5.9 Signaux temporels pour différents points sur le profil. . . 65
5.10 Déformée modale du mode 3, 2F/9D . . . 66
5.11 Convergence de fag3(t) et FAG3 sur 17 périodes . . . 67
5.12 Cartographie de FAG3 sur la dernière période du calcul . . . 67
5.13 Cartographie de l’amplitude modale du mode 3 (normée de 0 à 0,1 mm). Les bords de fuite sont au centre de la figure . . . 68
5.14 Evolution de fag3(t) avec et sans prise en compte du frottement fluide en paroi. 68 5.15 Position des coupes en sommet de pale et maillage de la zone de jeu . . . . 69
5.16 Profil de Ps moyenne et du module de Ps en tête de pale à k=65 . . . 69
5.17 Interaction entre le sillage et les tourbillons de jeu . . . 70
5.18 Convergence de fag3(t) et FAG3 sur 17 périodes . . . 70
5.19 Cartographie de FAG3 (Nmm) . . . 71
5.20 Convergence des FAG3 en fonction des paramètres d’intégration temporelle 71 5.21 Signal de fag3(t) sur la dernière période des calculs . . . 72
5.22 Instantanés d’entropie à h/H=50% . . . 72
5.23 Profil de pression statique à h/H=50% moyenné sur la dernière période . . . 73
5.24 Convergence des fag3(t) en fonction du vannage . . . 74
5.25 Illustration de l’effet de la fréquence réduite d’interaction . . . 75
5.26 Evolution des harmoniques de FAG3 en fonction de la fréquence réduite d’in-teraction . . . 76
5.27 Calcul de la fréquence réduite d’interaction . . . 76
5.28 Évolution du signal de débit massique en entrée et sortie du domaine du rotor 79 5.29 Évolution des harmoniques de débit massique et de la phase entre entrée et sortie du domaine du rotor . . . 80
5.30 Evolution de la moyenne et du 1er harmonique de Ps le long d’une ligne de contrôle, de l’entrée du domaine au BA . . . 80
5.31 Evolution de la moyenne et du 1er harmonique de Ps le long d’une ligne de contrôle, du BF à la sortie du domaine . . . 81
5.32 Moyenne temporelle du champ d’entropie à h/H=50% . . . 81
du déplacement de l’aube . . . 83 5.36 Travail des forces aérodynamiques sur un cycle d’oscillation ramené à une
amplitude modale d’1mm . . . 83 5.37 Amplitude de déplacement du mode Φ3 . . . 84
5.38 Contour de travail et position de la coupe à h/H=50% . . . 84 5.39 Module, Phase de Ps et Travail à h/H=50%, pour un mouvement ramené à
1mm d’amplitude . . . 85 5.40 Contour de travail et position de la coupe à h/H=75% . . . 86 5.41 Module, Phase de Ps et Travail à h/H=75%, pour un mouvement ramené à
1mm d’amplitude . . . 86 5.42 Évolution des fag(t) et du coefficient d’amortissement pour un mouvement
ramené à 1mm d’amplitude. La portion grisée correspond aux valeurs d’essai 87 5.43 Contours de travail Wamort,3 du modeΦ3 . . . 89
5.44 Convergence deξaero,3 . . . 89
5.45 Valeur calculée deξaero,3 en fonction de l’amplitude vibratoire imposée . . . 90
5.46 Courbe de réponse vibratoire : comparaison calcul/essais . . . 91 5.47 Projection des efforts sur les modes propres 1 à 5 . . . 92 5.48 Répartition de pression statique sur la pale à h/H=50% moyennée sur la
dernière période . . . 93 5.49 Convergence de l’excitation en fonction du régimeΩ . . . 94 5.50 Convergence de l’amortissement en fonction du régimeΩ . . . 95 6.1 Déformée initiale du mode Φ3 pour 3 valeurs de déphasage : φ = 0.0, φ =
−π/2,φ =−π. . . . 99
6.2 Évolution de l’effort généralisé fag3(t) et de l’amplitude vibratoire x3(t) . . 99
6.3 Comparaison des FAG3 obtenues pour 3 déphasage et pour le calcul avec
aube fixe . . . 100 6.4 Comparaison des fag3(t) sur la dernière périodes des calculs. . . 101 6.5 Évolution de la coordonnée x3(t) et des efforts généralisés fag3(t) . . . 104
6.6 Évolution des harmoniques des efforts généralisés et de l’amplitude vibratoire X3 . . . 105
6.7 Comparaison des réponses vibratoires pour un amortissement structurel de 0,17% . . . 106 6.8 Signal de fag(t) obtenu sur la dernière période du calcul couplé . . . 107 6.9 Convergence de la coordonnée généralisée x3(t) pour différentes valeurs de
ξstruct . . . 108
6.10 Évolution du premier harmonique des efforts généralisés en fonction de l’am-plitude. Régression linéaire sur la fenêtre grisée . . . 109 6.11 Évolution de l’amortissement, excitation et amplitude en fonction de la
pé-riode à laquelle le calcul est arrêté . . . 110 6.12 Comparaison des réponses vibratoires pour un amortissement structurel de
α Angle d’incidence absolu ¨
u Vecteur accelération de la structure δ Décrément logarithmique
˙u Vecteur vitesse de la structure λ Déphasage (◦)
C Matrice d’amortissement (structurel) K Matrice de raideur
M Matrice de masse Im Partie imaginaire Re Partie réelle
ω Pulsation d’excitation (rad.s−1) ωi Pulsation propre du mode i (rad.s−1)
ωn Pulsation naturelle (rad.s−1)
Π Taux de compression
ρu Quantité de mouvement suivant x ρv Quantité de mouvement suivant y ρw Quantité de mouvement suivant z ρ Masse volumique
FAG 1er Harmonique des forces aérodynamiques généralisées (N.m)
fag Forces aérodynamiques généralisées (N.m) ~
Φi Vecteur propre du mode i
ξaero,i Coefficient d’amortissement aérodynamique modal (%)
ξi Coefficient d’amortissement modal (%)
ξmeca,i Coefficient d’amortissement mécanique modal (%)
e Energie
f Vecteur des forces extérieures fr,int Fréquence réduite d’interaction
fr Fréquence réduite
h/H Position radiale relative k Energie cinétique turbulente ki Raideur modale (N.m2)
mi Masse modale (kg.m2)
M dT Méthode du Transitoire
N Nombre d’aube
P s Pression statique P ta Pression totale absolue P tr Pression totale relative Q Débit massique (kg.m.s−1) t Variable de temps
Tex Temps d’excitation
Tf Temps associé au fluide
Ts Temps associé au mouvement de la structure
T t Température totale
u Vecteur de coordonnée de la structure Waero Travail des forces aérodynamiques
Xi Amplitude de la coordonnée généralisée
xi(t) Coordonnée généralisée
y+ Distance à la paroi adimensionnelle
ALE Arbitrary Lagrangian Eulerian BA Bord d’Attaque
BF Bord de Fuite
C Corde
CFL Nombre de Courant-Friedrichs-Levy CHP Compresseur Haute Pression
DAM Disque Aubagé Monobloc DTS Dual Time Stepping
PIV Particule Image Velocimetry RANS Reynolds Averaged Navier-Stokes RNA Réduction du Nombre d’Aube TBP Turbine Basse Pression
Chapitre
1
Introduction
Les structures aubagées comptent parmi les éléments les plus sensibles des turbomachines aéronautiques. Leur dimensionnement est contraint par des exigences de performances et de sureté de fonctionnement accrues. En plus d’un environnement concurrentiel fort, l’union européenne à travers l’ACARE1 a fixé des objectifs très ambitieux aux industriels de l’aéro-nautique. L’enjeu étant de réduire d’ici 2020 la consommation et le bruit des avions par 2 et de diminuer de 80% l’émission d’oxydes d’azote (NOx). Les conséquences sur la conception des moteurs en sont multiples :
– sur les soufflantes, le diamètre ainsi que les pas relatifs sont augmentés au maximum, ce qui implique des aubages plus chargés aérodynamiquement et mécaniquement. Les mé-thodes d’optimisation mises en œuvre sur le dessin des aubes de soufflante conduisent à des formes fortement tridimensionnelles ;
– la réduction des masses et des coûts de possession sur les compresseurs HP et BP favorise l’utilisation de structures aubagées monoblocs ;
– les turbines sont elles aussi optimisées et fonctionnent de façon clockées pour profiter des effets bénéfiques de la turbulence sur les performances des aubages.
Ainsi ces nouveaux concepts peuvent avoir des comportements différents des éléments issus des conceptions antérieures, dont le dessin était plus simple et qui ont fait l’objet de nom-breuses campagnes d’essais. En conséquence, les industriels doivent inclure des marges de sureté dans la conception d’une nouvelle machine ; limitant ainsi les progrès réalisés.
Parmi les différents phénomènes aéroélastiques rencontrés dans les turbomachines, le problème de la réponse forcée demeure une source majeure d’incertitudes lors du dévelop-pement d’une nouvelle machine. Dans les roues de turbomachines, chaque rangée d’aubages perçoit des fluctuations du champ aérodynamique provoquées par le défilement des rangées adjacentes. Ces fluctuations aérodynamiques peuvent provenir des sillages issus de la roue amont ainsi que des ondes de choc ou de détente où bien même des distorsions d’entrée d’air engendrées à l’amont ou à l’aval de l’écoulement. Dans tous les cas, les fluctuations du champ aérodynamique induisent une force d’excitation sur les aubages. A un régime de rotation nul, les sources d’excitation n’existent plus ; on dit alors qu’il s’agit d’une interaction corrélée avec la vitesse de rotation de la machine. Les fréquences d’excitation sont donc des multiples de la vitesse de rotation. Lorsque la fréquence d’excitation se rapproche de la fréquence propre d’un des modes de la structure, les amplitudes vibratoires augmentent fortement ; c’est le phénomène de résonance.
Au sein de la plage de régimes sur laquelle un moteur est utilisé, il existe forcément des régimes qui correspondent à des fréquences propres. C’est ce que l’on appelle une coïncidence modale. A ce régime, la fréquence d’excitation correspond à une fréquence de résonance. Les sollicitations sur l’aubage induisent des oscillations de forte amplitude qui peuvent conduire à une usure prématurée ou même à la rupture. L’enjeu du concepteur est dans un premier temps de s’assurer que les coïncidences sont éloignées des régimes clés (décollage, croisière, ralenti...) du cycle d’utilisation du moteur. Cependant, durant les phases de variation du régime, les zones de coïncidence seront forcement croisées. Le concepteur doit donc dans un second temps s’assurer que les niveaux de contraintes rencontrées lors de ces traversées de résonances permettent de conserver une marge satisfaisante par rapport au seuil de rupture. Toute la difficulté réside donc dans la prédiction de l’amplitude à laquelle vibreront les aubages à cette fréquence de résonance.
Le besoin des industriels est donc de disposer d’une méthode de prédiction fiable, robuste et dont le temps de restitution permette d’en disposer au plus tôt dans le cycle de conception.
Organisation du mémoire
La problématique principale de ce travail de thèse est la prédiction de l’amplitude vi-bratoire d’un aubage en situation de réponse forcée. La prédiction de ce phénomène repose sur 4 piliers fondamentaux :
– les modes et fréquences propres de la structure (problématique du désaccordage) ; – l’amortissement mécanique (frottement, visco-élasticité, dispositif amortisseurs ...) ; – la méthode de couplage fluide/structure ;
– l’excitation et l’amortissement aérodynamiques.
Le cadre de cette thèse ne concerne que les deux derniers points. Il s’agira de comprendre, au moyen de simulations numériques et sur la base de données d’essais, les mécanismes d’interactions entre l’écoulement et le mouvement de la structure, et enfin d’analyser la fiabilité des prédictions.
Dans le chapitre 2, le phénomène de vibration forcée sera décrit. Un état de l’art concer-nant les différentes techniques de calcul sera présenté. Pour chacun des schémas de couplage entre le fluide et la structure, nous présenterons les différentes hypothèses de modélisation sous-jacentes.
Le chapitre 3 permettra de présenter la configuration d’essai sur laquelle nous confron-terons les prédictions des simulations numériques. Une analyse nouvelle sera conduite sur les résultats d’amplitudes vibratoires pour en extraire les niveaux d’excitation et d’amortis-sement associés.
La mise en place de la simulation aérodynamique de la configuration d’essai sera pré-sentée dans le chapitre 4. Les critères retenus pour la construction du maillage ainsi que les premiers résultats stationnaires seront discutés.
Dans le chapitre 5, la méthode de calcul découplée sera mise en œuvre. Au moyen de simulations instationnaires, l’excitation et l’amortissement aérodynamiques seront d’abord prédits puis ils seront rassemblés afin d’obtenir l’amplitude vibratoire de l’aube du com-presseur ERECA. Les différents calculs présentés permettront d’évaluer la sensibilité de la simulation aux paramètres numériques.
Chapitre
2
Phénomène et prédiction de la réponse
forcée
Sommaire
2.1 Aéroélasticité dans les turbomachines . . . 5
2.1.1 Aéroélasticité statique . . . 5
2.1.2 Flottement . . . 5
2.1.3 Réponse Forcée . . . 6
2.1.4 Fréquence réduite . . . 9
2.2 Mise en équations de la réponse forcée . . . 9
2.2.1 Oscillateur mécanique . . . 9
2.2.2 Approche modale fréquentielle . . . 11
2.3 Les sources d’excitation aérodynamique . . . 11
2.3.1 Effets potentiels et ondes de choc . . . 11
2.3.2 Interactions de sillages . . . 12
2.3.3 Distorsions d’entrée d’air . . . 14
2.4 Amortissement aérodynamique . . . 14
2.4.1 Mise en équation . . . 14
2.4.2 Le phénomène de flottement . . . 15
2.5 Amortissement mécanique . . . 15
2.6 Méthodes de prédiction de la réponse forcée . . . 16
2.6.1 Calculs instationnaires . . . 16
2.6.2 Prédiction de l’amortissement aérodynamique . . . 17
2.6.3 Couplage fluide-structure . . . 18
2.6.4 Hypothèses de calcul . . . 20
2.6.5 Comparaison des approches . . . 22
2.7 Positionnement de la recherche . . . 24
2.1
Aéroélasticité dans les turbomachines
2.1.1 Aéroélasticité statique
L’aéroélasticité statique est une discipline dans laquelle on étudie les efforts et les dé-formations engendrés par un écoulement stationnaire sur une structure. Dans les turboma-chines, les aubages perçoivent différentes contraintes liées aux conditions de fonctionnement. D’une part, les efforts centrifuges tendent à dévriller et à allonger les aubages des roues mo-biles. D’autre part, l’écoulement stationnaire induit une déformation des aubages par un effet de portance ; ce phénomène est appelé la divergence. Ainsi, la forme et les niveaux de contraintes seront différents pour un aubage en fonctionnement (ou à chaud) et pour un aubage au repos (aubage usiné ou à froid).
Dans un cycle de conception, les aubages sont d’abord dimensionnés pour obtenir les meilleures performances aérodynamiques. Pour connaitre la forme de l’aube qui devra être usinée à partir de la forme à chaud, il est nécessaire de recourir à une mise à froid. Il s’agit d’une méthode de déchargement de l’aubage.
2.1.2 Flottement
Le flottement est un phénomène d’instabilité engendré par un couplage entre le fluide et la structure. Les efforts sur la structure sont engendrés par son propre mouvement ; lorsque la structure est immobile, il n’existe plus aucune source d’instationnarité dans l’écoulement. Ce postulat permet de distinguer le flottement des autres phénomènes aéroélastiques, comme la réponse forcée.
Quand une structure s’écarte de sa position d’équilibre, la nouvelle position de l’aube ainsi que son mouvement provoquent une modification de l’écoulement qui l’entoure. Les efforts liés à l’action du fluide sont alors modifiés et la position de la structure tend à évoluer de nouveau. Il y a donc un échange d’énergie qui se produit entre le fluide et la structure. Quand l’orientation de l’échange d’énergie entretient le mouvement, les amplitudes vibratoires de la structure grandissent de façon exponentielle et peuvent altérer l’intégrité mécanique de la structure [1].
Dans les turbomachines, la nature du phénomène de flottement dépend fortement des conditions de fonctionnement. Les zones de flottement se situent en générale dans les ex-trémités du champ de fonctionnement du compresseur (figure 2.1), et de la turbine (figure 2.2).
Il existe toutefois un flottement dit classique qui résulte de la superposition de modes propres (combinaison flexion/torsion) et qui peut survenir n’importe où dans la plage de fonctionnement. Ce type de flottement reste rare car les aubages conventionnels de turbo-machine ont des fréquences propres qui sont bien dissociées les unes des autres [2]
Les autres types de flottement sont engendrés par les décollements et le couplage aube à aube mais aussi par les ondes de chocs ou les interactions ondes de choc / couches limites. Ces types de flottements apparaissent donc plutôt dans les conditions de fonctionnement éloignées des points de dessin.
Chapitre 2. Phénomène et prédiction de la réponse forcée
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En turbomachine la structure de flottement qui peut apparaître est fortement dépendante des conditions de fonctionnement, principalement pour les compresseurs. La Figure 14 présente la localisation des flottements dans le plan débit / pression et la structure de l’écoulement associé.
La zone 1 correspond à un flottement associé au décollement du bord d’attaque. Le couplage aérodynamique des aubes n’intervient pas nécessairement. Une aube seule peut entrer en flottement et plutôt en torsion compte tenu de l’origine de l’instabilité localisée au bord d’attaque. Historiquement, l’apparition de ce type de flottement s’est accru par suite des évolutions de la forme des profils, tendant à reculer l’axe élastique et le centre de gravité, ce qui est déstabilisant. Ce flottement se rencontre principalement sur les coupes de tête des compresseurs axiaux supersoniques, mais peut aussi affecter les turbines lorsqu’elles opèrent en incidence fortement négative.
Le flottement de la zone 2 est produit par une onde de choc fort produisant un décollement sur l’extrados. La localisation de l’onde de choc droit à mi-corde conduit à une excitation plutôt sur le mode de flexion avec ou sans couplage interaube.
Figure 14 Carte des flottements possibles pour un compresseur aéronautique
Les autres flottements (zones 3 à 5) sont caractérisés par des ondes de choc qui affectent les deux aubes du canal. Il y a donc couplage par l’intermédiaire de ces ondes de choc et par conséquent couplage interaube dans l’organisation du flottement.
La zone 3 est caractérisée par une incidence négative, un col sonique (redresseur en situation d’inversion de poussée) et une onde de choc pouvant éventuellement produire un décollement. Le mode de flexion ou de torsion peut être rencontré. Les caractéristique de ce type de flottement peut se retrouver sur des configurations de turbine.
Figure 2.1 – Position et nature des zones de flottement dans le champ de fonctionnement d’un compresseur
Cours ETIT ECL
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La zone 4 est caractérisée par une incidence unique, par des charges faibles et des ondes de choc obliques engendrant peu d’effets visqueux. L’onde de choc part du bord d’attaque coté intrados, se réfléchit sur la mi-corde arrière de l’extrados de l’aube adjacente et impactant à nouveau l’intrados de la première aube. Cette structure d’ondes de choc obliques en mouvement vibratoire produit des forces localisées le long de la corde qui vont produire des couples éventuellement instable en torsion.
Dans les zones 1, 2, 5 et éventuellement 3, les effets visqueux peuvent être prépondérants. Ce sont dans ces zones que les méthodes numériques sont les moins bien prédictives. A l’inverse, dans la zone 4, les charges sont faibles, de même que les ondes de choc et les méthodes potentielles ont pu très tôt donner des résultats intéressants.
A notre connaissance, il n’existe pas de classification spécifique pour le flottement des turbines. Cependant le laboratoire de thermique de l’EPFL, qui a une longue pratique de l’étude des turbines supersoniques, propose la distinction de trois types de flottement possible suivant le point de fonctionnement (Figure 15). Tout comme pour les compresseurs, la classification repose sur la présence d’ondes de choc obliques (zone 3), d’ondes de choc forte (zone 2) ou sur l’absence d’onde de choc (zone 1). Dans ce dernier cas, on retrouvera le flottement classique ou couplage de modes flexion torsion.
La spécificité des turbines est d’avoir des conditions d’opération qui présentent dans les canaux des zones quasi-soniques très étendues qui peuvent être sources d’instabilité. L’étendue des zones de recouvrement intrados-extrados des aubes adjacentes crée (hors courbure) une similitude avec les tuyères. Les analyses peuvent ainsi s’appuyer sur les études réalisées sur des tuyères.
Figure 15 Carte des flottements possibles pour une turbine
Figure 2.2 – Position et nature des zones de flottement dans le champ de fonctionnement d’une turbine
2.1.3 Réponse Forcée
Les turbomachines sont constituées d’une succession d’étages eux-mêmes constitués d’une alternance de roues mobiles et de roues fixes. Dans le repère associé à ces roues, les rangés adjacentes et l’écoulement qu’elles induisent sont vus comme étant en rotation. Chacune des rangées d’aubages qui constituent les roues de turbomachines perçoit donc des fluctuations du champ aérodynamique provoquées par le défilement des singularités prove-nant des rangées adjacentes. Ces singularités peuvent être les sillages de la roue amont, les ondes de choc ou de détente, où même des distorsions d’entrée d’air. Dans tous les cas, les fluctuations du champ aérodynamique induisent une force d’excitation sur les aubages.
résultent de l’excitation produite par les lachers tourbillonaires aux bords d’attaque ou de fuite des aubages, le phénomène de la réponse forcée est une interaction corrélée avec la vitesse de rotation de la machine. En l’absence de rotation, les sources d’excitation n’existent plus. Les fréquences d’excitation sont donc des multiples de la vitesse de rotation. Lorsque la fréquence d’excitation se rapproche de la fréquence propre d’un des modes de la structure, les amplitudes vibratoires augmentent fortement ; c’est le phénomène de résonance.
L’analyse de Campbell permet d’identifier les coïncidences entre les fréquences propres des aubages et les ordres moteur. Sur la figure 2.3, on remarque que les familles de modes propres, représentées en traits continus, croisent irrémédiablement un ordre moteur.
Régime moteur
Fréquence propre Famille de modes 1
Famille de modes 2
Famille de modes 3
Ordre moteur
--Figure 2.3 – Diagramme de Campbell
Sur la plage de régimes sur laquelle un moteur est censé opérer, il existe forcément des régimes qui correspondent à des fréquences propres. C’est ce que l’on appelle une coïncidence modale. A ce régime, la fréquence d’excitation correspond à une fréquence de résonance. Les sollicitations sur l’aubage induisent des oscillations de forte amplitude qui dans le meilleur des cas, produisent un cycle à haute fatigue1 et dans le pire des cas peuvent conduire à la ruine de la structure. L’enjeu du concepteur est dans un premier temps de s’assurer que les coïncidences sont éloignées des régimes clés du cycle d’utilisation du moteur (décollage, croisière, ralenti...). Pour cela, il est possible de modifier la fréquence de résonance en rai-dissant ou en assouplissant la structure. En vol, durant les phases de variation du régime, les zones de coïncidence seront forcement croisées. Le concepteur doit donc s’assurer que les niveaux de contrainte rencontrés lors de ces traversées de résonances permettent de conser-ver une marge satisfaisante par rapport au seuil de rupture. Toute la difficulté réside dans la prédiction de l’amplitude à laquelle vibreront les aubages à cette fréquence de résonance. L’amplitude du mouvement d’un aubage en situation de résonance dépend du niveau d’ex-citation aérodynamique et de l’amortissement total qui sont présents dans le système à la
fréquence de résonance. Dans la suite de ce chapitre, nous tenterons de décrire les différentes sources d’excitation et la façon dont les oscillations sont amorties.
2.1.3.1 Dynamique des roues aubagées
Les roues aubagées sont des structures à symétrie cyclique. D’une part, les modes associés aux différents secteurs se caractérisent par leurs diamètres nodaux. Ce terme permet de connaitre le déphasage entre les mouvements de deux secteurs adjacents (voir [5]). D’autre part, les aubages sont caractérisés par leurs modes propres de vibration. Ainsi en combinant ces deux modes vibratoires, on obtient les modes de vibrations de la structure complète. La figure 2.4 illustre ce couplage entre le disque et les aubes.
0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 Zone d’influence du disque
Modes d’aubes ”encastr´ees”
Nombre de diam`etres nodaux
F r´e q u en ce p rop re n or m al is ´ee
Figure 2.4 – Diagramme nombre de diamètres nodaux/fréquence
Chaque ligne représente une famille de modes vibratoires ; par exemple le premier mode de flexion. Ainsi, on s’aperçoit que pour de faibles diamètres nodaux (et donc des valeurs importantes de déphasage inter-aubes), le disque influence les fréquences propres de la struc-ture. Dans la zone grisée, les modes d’aubes sont prépondérants et les fréquences ne varient que légèrement en fonction du diamètre nodal.
2.1.3.2 Problématique du désaccordage
Le désaccordage provient d’une variation de la géométrie résultant des dispersions d’usi-nage et d’une variation du module d’Young de la structure. Lorsque le module d’ Young varie, seuls les fréquences propres de la structure sont affectées, et les formes modales restent inchangées. A l’opposé, lorsque la géométrie varie, les fréquences propres ainsi que les formes modales sont perturbées [6].
la symétrie cyclique de la roue.
Les systèmes faiblement couplés sont très sensibles aux faibles niveaux de désaccordage. Pour les systèmes fortement couplés (DAM), le couplage inter-aube tend à distribuer l’éner-gie de vibration et réduit le phénomène de localisation (vibration individuelle) induit par le désaccordage. C’est sur ce transfert d’énergie entre aubages en résonance et aubages hors résonance que repose le principe de désaccordage intentionnel mis en œuvre pour réduire l’amplitude vibratoire des aubages [7].
2.1.4 Fréquence réduite
La fréquence réduite permet d’évaluer le degré de couplage entre le fluide et la structure. Il s’agit du ratio de deux échelles de temps du système aéroélastique. D’une part le temps nécessaire à une particule pour franchir la structure Tf qui pour les aubages dépend de la
corde et de la vitesse de l’écoulement, et d’autre part, la période de vibration de la structure Ts.
fr =
Tf
Ts
(2.1)
Quand fr<< 1, le système est quasi-stationnaire. En effet, les particules passent tellement
vite qu’elle ne peuvent pas percevoir le mouvement de la structure. A l’inverse, pour les grandes valeurs de fréquence réduitefr >> 1 , les particules perçoivent plusieurs oscillations
de la structure lors de leur passage et sont donc perturbées. C’est le cas par exemple du battement des ailes des oiseaux. Le niveau de couplage maximal s’obtient pour les valeurs proches de l’unité. Le comportement du système peut alors devenir fortement non-linéaire. Cette définition de la fréquence réduite est très utilisée pour les cas de flottement ou d’amortissement aérodynamiques. En ce qui concerne les interactions rotor/stator, la dé-finition n’est plus applicable. En effet, il existe un 3e temps caractéristique à prendre en
compte et qui correspond au temps de passage de l’instationnarité sur l’aubage. Afin d’évi-ter toute confusion avec la notion de fréquence réduite, on parlera alors de fréquence réduite d’interaction dont la définition sera :
fr,int=
Tex
Ts
(2.2)
Il s’agit en fait du ratio entre le temps de passage de la source d’excitation sur l’aube Tex et la période d’excitation Ts. La figure 2.5 illustre la notion de temps caractéristique.
Le pic d’impulsion dans le signal correspond au passage de la perturbation (excitation) sur la paroi de l’aubage. Entre 2 excitations, il existe une période de calme.
Cette notion de fréquence réduite d’interaction sera développée plus en détail dans le chapitre dédié aux calculs d’excitation.
2.2
Mise en équations de la réponse forcée
2.2.1 Oscillateur mécanique
L’équation de la dynamique des structures linéaires dans sa forme générale s’écrit :
M¨u(t) + C ˙u(t) + Ku(t) = f(t) (2.3)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Fraction de la période 4 2 0 2 4 Effort d'excitation Tc
Figure 2.5 – Illustration de la fréquence réduite d’interaction
i.e non-homogène. La résolution d’un tel système passe par la recherche de la solution homogène de l’équation sans second membre :
M¨u(t) + C ˙u(t) + Ku(t) = 0 (2.4)
Dans le cadre d’une analyse dynamique on cherche la solution non-trivial (u(t) = 0). On uti-lise pour cela les valeurs propres du système conservatifM¨u(t)+Ku(t) = 0 qui s’obtiennent en résolvant l’équation suivante :
| − ω2M + K|u(t) = 0 (2.5)
Un système à N degrés de liberté admet donc N valeurs propres associées à N vecteurs propres. Ainsi on peut exprimer le vecteur des déplacements u(t) comme une combinaison linéaire de tous les modes propres du système.
u(t) =
N
X
i=1
xi(t)Φi (2.6)
Pour diagonaliser le système, on pré-multiplie par la transposée du vecteur propreΦT i .
ΦTi MΦix¨i(t) + ΦTi CΦi˙xi(t) + ΦTi KΦixi(t) = ΦTi f (t) (2.7)
On peut alors définir les grandeurs modales avec des indices simplifiés2 telles que :
ΦTi MΦj = miδi,j masse modale ; (2.8a)
ΦTi CΦj = ciδi,j amortissement modal ; (2.8b)
ΦTi KΦj = kiδi,j raideur modale ; (2.8c)
ωi2= ki mi pulsation propre ; (2.8d) ξi = ci 2miωi
coefficient d’amortissement modal ; (2.8e) ΦT
i f = fagi force aérodynamique généralisée (temporelle). (2.8f)
2. La notation usuelle utilise les indices doubles i, j pour les termes non-diagonaux. On a alors par exemple ΦT
On obtient ainsi l’équation modale de la dynamique dans l’espace temporel : ¨ xi(t) + 2ξiωi˙xi(t) + ωi2xi(t) = 1 mi fagi(t) (2.9)
Il est toutefois important de préciser que cette approche n’est valable que si la dimension du sous-espace propre est 1, i.e. si les modes sont indépendants entre eux. Enfin, la matrice d’amortissement C n’est diagonalisable que sous l’hypothèse de Basile.
2.2.2 Approche modale fréquentielle
En faisant l’hypothèse que le mouvement et la force d’excitation sont harmoniques, on peut passer dans le domaine fréquentiel :
xi(t) = Xiejωt; (2.10a) ˙ xi(t) = jωXiejωt; (2.10b) ¨ xi(t) =−ω2Xiejωt; (2.10c) fagi(t) = FAGiej(ωt+λi). (2.10d)
la référence de Les scalairesXiet FAGisont respectivement les modules de la coordonnée et
des forces aérodynamique généralisée. En régime établi, un système dynamique répond sur la fréquence de sollicitation i.e. le mouvement oscille à la fréquence fixée par l’excitation. Les termes enej(ωt) peuvent donc être éliminés de part et d’autre de l’équation. Par usage,
la référence de phase est placée sur les termes de mouvement. La grandeur λ placée dans le terme d’excitation permet de prendre en compte le déphasage entre l’excitation et le mouvement. En injectant ces éléments dans l’équation temporelle, 2.7 on obtient l’équation modale de la dynamique dans l’espace fréquentiel :
(−ω2+ j2ξiωωi+ ω2i)Xi =
1 mi
FAGiejλi (2.11)
Il est utile de rappeler que l’amplitude Xi est complexe. Ainsi, le module de l’amplitude du
mode i s’écrit : Xi = FAGi/mi q (−ω2+ ω2 i)2+ (2ξiωωi)2
, avec la phaseλi = arctan
2ξiωωi
−ω2+ ω2 i
(2.12)
La pulsation à la résonance ou pulsation naturelle (indice n) s’obtient en cherchant le maxi-mum de la fonction de réponse et s’écrit :
ωn=±ωi
q 1− 2ξ2
i (2.13)
2.3
Les sources d’excitation aérodynamique
2.3.1 Effets potentiels et ondes de choc
Les écoulements dans les turbomachines sont en général associés à des vitesses élevées. Les effets de compressibilité du fluide deviennent non-négligeables. Quand la distance inter-roue devient faible, les effets potentiels induits au bord d’attaque d’un aubage peuvent être perçues par l’aube située à l’amont.
Figure 2.6 – Interactions d’ondes de choc dans un étage de turbine, reproduit de [8]
2.3.2 Interactions de sillages
Transport et évolution des sillages Les sillages sont des zones de pertes qui se forment à l’aval d’un corps dans un écoulement. Dans les turbomachines, différents mécanismes interviennent pendant leur transport vers l’aval de la machine :
– dans les turbomachines multi-étages, ils sont principalement tronçonnés par les rangées d’aubes qu’ils traversent ;
– la conservation de la circulation du sillage induit une déformation non-visqueuse. Les sillages sont étirés (dans la direction des lignes de courant) quand l’écoulement moyen accélère et dilatés (dans la direction normale aux lignes de courant) quand l’écoulement ralenti [9] ;
– la déformation visqueuse étale le sillage dans le canal inter-aube. Comparée à la dé-formation non-visqueuse, son effet est toutefois minime.
La figure 2.7 illustre le transport des sillages. Les 2 configurations présentées exhibent des niveaux d’interaction différents. En effet, à tout instant, 3 sillages sont présents sur la paroi de l’aube de la figure 2.7(a) alors qu’il n’y en a qu’un seul sur la figure 2.7(b).
(a) Reproduit de Sicot [10] (b) Illustration (ERECA)
Figure 2.7 – Propagation des sillages (contours d’entropie)
y" x" Vr"sillage" Va"zone"saine" Va"sillage" Jet"néga2f"
(a) Vitesse de glissement (b) Impact du sillage sur l’aubage
Figure 2.8 – Intéraction sillage/aubage
Dans un compresseur, ce jet est orienté de l’intrados vers l’extrados de l’aube. Le pas-sage du sillage est perçu comme le défilement d’une onde de pression statique sur la peau de l’aube. Comme le montre la figure 2.8(b), le passage du sillage se matérialise par la pré-sence d’une paire de tourbillons contra-rotatifs dans le canal inter-aube, dont les extrémités atteignent la surface de l’aube. On peut alors parler d’un effet de percussion provoqué par le sillage. L’intensité de cette percussion dépend de la vitesse de glissement du sillage (vitesse négative). La durée de la percussion est fonction de la vitesse de passage et de l’étendue du sillage. Quand la périodicité circonférentielle des sillages est plus petite que le pas angulaire des aubes, les tourbillons de deux sillages consécutifs se rapprochent et l’intensité du jet négatif diminue [9].
Dans la figure 2.9, on remarque que le sillage interagit avec les tourbillons issus de l’écoulement de jeu. Au passage du sillage, des paquets de tourbillons contra-rotatifs sont émis et convectés dans le canal inter-aube. Il en résulte alors des fluctuations aérodynamiques dont les fréquences sont supérieures à la fréquence de passage du sillage.
be discussed with Fig. 6; the main features of it are summarized in the schematic in Fig. 7. In Fig. 6, the vorticity distribution for the reference stator-rotor position is depicted as contour. The vectors are the perturbation velocity, which is determined as described in Part I of the paper!Part I: Fig. 5, Eqs. !1" and !2"". A good accordance of the information from these two parameters concern-ing the vortex distribution is evident in Fig. 6. In the front of the blade passages!upstream of the TCV", the wakes can be identified as stripes of counter-rotating vortices, which are responsible for the negative jet effect, Figs. 6 and 7. A positive sign of the vor-ticity indicates a clockwise turning, a negative sign an anticlock-wise turning of the vortices.!Due to the scaling the counter-rotating vortices belonging to the wake are not clearly to be seen in Fig. 6." The perturbation velocity vectors confirm the turning direction and indicate the amplitudes of the induced velocities. Very large secondary flow velocities can be found due to the pe-riodical wake influence on the TCV.
Within the TCV, subsequent counter-rotating vortex pairs can be found at fixed points of time!fixed stator-rotor position". These vortex pairs are excited due to the periodical influence of the wakes, which divide the TCV into several parts. The results reveal that the dominant interaction takes place in the region of the origi-nation of the TCV, i.e., near rotor blade leading edge and SS. As depicted in the model in Fig. 7, the presumably dominant interac-tion takes place at the shear layer between the incoming wake and the tip clearance flow. There the pairs of counter-rotating vortices, inherent in the wake, induce a vortex pair within the tip clearance flow, turning into opposite direction.
Following this pair of counter-rotating vortices moves along the path of the tip clearance flow. The next arriving wake again in-duces a vortex pair within the tip clearance flow. As a result, at a given point of time in average four vortex pairs can be found in the TCV within a rotor blade passage in our case. Between the subsequent counter-rotating vortices successive jets appear, which are alternately directed toward the SS and the PS within a
consid-ered blade passage!Figs. 6 and 7". Presumably, this has an influ-ence on the aerodynamic blade excitation and the time-resolved blade boundary layer development.
The vortex pairs move along the path of the tip clearance flow and are still existent at the outlet plane of the rotor blade row. Thus, the tip clearance vortex is strongly periodic with the blade passing frequency of the upstream stator blade row, moving rela-tively to the considered rotor blades. As a result of the wake influence, the orientation and extension of the tip clearance vorti-ces as well as the flow blockage periodically vary in time.
2.3 Sequence of Periodical Unsteady Flow Field, Design Point (!=1.0, "=1.0). Figure 8 shows a sequence of the
time-resolved development of the periodical unsteady flow field. As stated in Part I, the flow field within Rotor 3 is resolved with 20 equidistant steps for a single stator blade passing. In Fig. 8, the flow field at four selected points of time during one stator blade passing period is shown. Starting with the reference rotor-stator position, in the subsequent figures the stator blades move 25% of its pitch to the right!see definition in Part I, Fig. 4". As an ex-ample, the axial velocity distribution is shown.
The downstream transport of the low-velocity patches within the TCV can be tracked in the subsequent figures. This way the low-velocity patches transverse the passage and hit the PS of the adjacent rotor blade. Due to the strong velocity fluctuations, a local periodical influence of these patches on the profile pressure distribution in this region of the rotor blade can be hypothesized. Finally, the rotor exit flow field is periodically disturbed by the TCV’s!later discussed with Fig. 12".
In the same way, the wake-induced alternating vortices within the tip clearance flow move downstream along the vortex trajec-tory in time!no figure". Since the stator blade passing is respon-sible for this TCV unsteadiness, the changes of the flow field parameters at a fixed position appear with the blade passing fre-quency of the upstream stator blades.
2.4 Periodical Unsteady Flow Field: Reference Rotor-Stator Position„#$=0…, Operating Point Near Stability Limit
at Design Speed (!=0.85, "=1.0). Exemplary results for an
op-erating point near stability limit with 85% of design mass flow at design speed!!=0.85, "=1.0" are shown in Fig. 9. !The stability limit of the compressor at design speed is at !=0.81". Again, the reference rotor-stator position is considered.
Due to the throttling of the compressor, the rotor blade loading in the leading edge region increases while the mean incoming flow velocity is reduced. Therefore, the momentum ratio of the tip clearance flow to the incoming flow increases. As a result, the TCV is shifted upstream and more aligned into circumferential direction!Fig. 9". This way the interaction zone of the TCV of a rotor blade with the flow around the adjacent blade also moves upstream.
The fundamental unsteady influence of the passing stator wakes is the same as discussed for the design point. Again strong varia-tions of the flow properties along the tip clearance flow path can be found as a result of the impact of the stator wakes, Fig. 9!a". The pairs of counter-rotating vortices and the strong secondary flow vectors are clearly visible in Fig. 9!b".
As already discussed for the design point, low-velocity patches periodically appear within the TCV. Qualitatively, the same effect is observed for the considered operating point near the stability limit!Fig. 9!a"". Since stochastical influences superimpose to the periodical flow pattern, axial reversed flow can appear in the low-velocity patterns of the TCV!discussed with Fig. 5". However, for the operating point near the stability limit the TCV is shifted upstream and interacts with the adjacent rotor blade already in the front part of it. For operating conditions more close to the stability limit, a further upstream shifting of the TCV will appear. Thus, the axial reversed flow can probably lead to a spillover of the tip clearance flow within these wake-affected low velocity patches. As shown in the investigations of Hoying et al.#4$ and Mailach et
Fig. 7 Schematic of tip clearance vortex influenced by the passing wakes, 2D view, near rotor blade tip„r=const, t =const…
Journal of Turbomachinery OCTOBER 2008, Vol. 130 / 041005-5
Figure 2.9 – Interaction entre sillage et tourbillons de jeu [12]
Les sillages sont des zones où la turbulence est élevée ; le défilement de sillages sur la
surface d’une aube provoque donc un apport de turbulence. Dans les turbines, ces bouffées turbulentes déstabilisent la couche limite et peuvent provoquer une transition laminaire/-turbulent intermittente. Dans les compresseurs, les couches limites sont laminaire/-turbulentes dès le bord d’attaque, l’influence du sillage sur la couche limite est donc limitée.
L’impact d’un sillage sur un aubage provoque une mise en sur-incidence brève de l’écou-lement. La charge augmente sur un court instant. En faisant le bilan sur un cycle complet, le taux de compression ainsi que le rendement du compresseur peuvent être augmentés [13].
2.3.3 Distorsions d’entrée d’air
Lors des manœuvres de l’avion ou au sol, lorsque la vitesse de l’écoulement en amont du moteur est faible (voir figure 2.10), des distorsions circonférentielles du champ aérody-namique peuvent apparaître à l’entrée du moteur. Ce défaut de pression totale est fixe dans le repère lié au moteur et il est vu comme tournant dans les repères liés aux roues mobiles. Les distorsions sont perçues comme des rafales de vent qui sollicitent les aubes et sont des sources d’excitations aérodynamiques.
(a) (b)
Figure 2.10 – Phénomène de distorsion d’entrée d’air d’après Murphy [14]
2.4
Amortissement aérodynamique
2.4.1 Mise en équation
En l’absence d’excitation aérodynamique, le second membre de l’équation différentielle de la dynamique du système disparait. L’air entourant la structure fait partie du système, il est donc normal que les efforts qu’il induit ne soient pas vus comme une source d’excitation. Il peut cependant être utile de dissocier les forces d’amortissement issues de la structure (cmeca˙u(t)) de celles provenant de l’air (caero˙u(t) = famort). Le système dynamique en
l’absence de source d’excitation (équation homogène) s’écrit :
ΦTi MΦix¨i(t) + ΦTi CmecaΦi˙xi(t) + ΦTiKΦixi(t) = ΦTi famort(u(t), ˙u(t), ¨u(t)). (2.14)
Tout comme au paragraphe précédent, il est possible de passer dans le domaine fréquentiel. Les FAG d’amortissement sont complexes, en utilisant l’hypothèse de Basile, on peut donc séparer leurs parties réelles et imaginaires :
(−ω2+ j2ξmeca,iωωi+ ωi2)Xi=
1 mi
On voit alors que la partie imaginaire des FAG va apporter de l’amortissement, tandis que les termes réels apporteront de l’inertie3 (apport de masse) et contribueront au
reposi-tionnement de la position d’équilibre (notion de divergence par apport de raideur). Dans le cas où les équations de la structure et du fluide sont résolues séparément, il est nécessaire de séparer les contributions mécaniques et aérodynamiques.
La force d’amortissement Dtotale d’un système est, dans les conditions d’un
amortisse-ment visqueux, une fonction de la vitesse. Ainsi, seuls les termes en ˙u(t) et donc en jωXi
contribuent à l’amortissement. On peut regrouper les composantes aérodynamique et struc-turelle de l’amortissement :
Dtotale= Dstructure+ Daero= jXiω
n 2ξmeca,iωi− Im(F AGi) Xiω o (2.16) Le coefficient d’amortissement aérodynamiqueξaero,i du modei peut alors être formulé :
ξaero,i= caero,i 2miωi =−Im(F AGi) 2miωiXiω (2.17) Dans les calculs de flottement, on utilise généralement le calcul du travail des forces aéro-dynamiques sur l’aubage pour caractériser l’amortissement aérodynamique :
Waero,i= Z T 0 Daero˙xi(t)dt = Z T 0 caero,i˙x2i(t)dt =−caero,iXi2ω2 π ω (2.18)
En utilisant la définition de ξ de l’équation 2.8e on peut donc écrire la seconde formulation du coefficient d’amortissement aérodynamique :
ξaero,i=−
Waero,i
2πmiωi2Xi2
(2.19) A la pulsation naturelle du système définie dans l’équation 2.13, le coefficient d’amor-tissement aérodynamique devient :
ξaero,i=− Waero,i 2πmiωi2(1− 2ξ2i)Xi2 =− Waero,i 2πki(1− 2ξ2i)Xi2 (2.20) Le coefficient d’amortissement total du mode Φi s’écrit :
ξi= ξaero,i+ ξmeca,i (2.21)
2.4.2 Le phénomène de flottement
Le travail des forces aérodynamiques exprime la quantité d’énergie provenant de l’écoule-ment qui est perçue ou dissipée par la structure au cours d’un cycle d’oscillation. Une valeur positive du travail traduit donc un apport d’énergie à la structure. L’amortissement aérody-namique est alors négatif. Le phénomène de flottement apparait quand ξaero,i+ ξmeca,i < 0.
2.5
Amortissement mécanique
Qu’il soit intentionnel ou bien intrinsèque au système, l’amortissement mécanique permet d’augmenter la marge au flottement et de réduire les amplitudes vibratoires des aubages en situation de réponse forcée.
Le coefficient d’amortissement mécanique ξmeca résulte de la contribution de
l’amor-tissement du matériau et de l’action des phénomènes de friction en pied de pale et des dispositifs amortisseurs. Sur les disques aubagés monobloc, l’amortissement mécanique est en général très faible (ξmeca 6 0,1%) [15]. Ces valeurs sont si faibles que l’amortissement
aérodynamique ξaero peut devenir non-négligeable.
2.6
Méthodes de prédiction de la réponse forcée
2.6.1 Calculs instationnaires
Une simulation instationnaire permet de calculer l’évolution du champ aérodynamique au cours du temps. Le pas utilisé pour permettre l’avance en temps du calcul est le même pour toutes les cellules du maillage. Le choix de ce pas de temps dépend de l’ordre du schéma temporel et de la taille des longueurs d’ondes que l’on désire capter dans la solution temporelle. En outre, la stabilité du schéma numérique n’est assurée que pour certaines valeurs de CFL [16].
Pour le schéma de Roe [17], la valeur du CFL local ne doit pas être supérieure à 1. Le schéma centré de Jameson [18] est plus tolérant et les instabilités n’apparaissent qu’à partir d’un CFL> 2√2 [19].
Dans la méthode Backward Euler, l’intégration temporelle se fait sur un pas de temps global basé sur les échelles de temps rencontrées dans la configuration. Dans la méthode DTS [20], des sous-itérations sont réalisées entre deux pas de temps physiques et permettent de réaliser une convergence sur une pseudo échelle temporelle qui est propre à chaque cellule [21]. La méthode GEAR [22] repose aussi sur le principe de sous-itérations. Ici, la convergence entre deux itérations physiques est assurée par le schéma de Newton qui, on le rappelle, a un taux de convergence en exponentiel d’exponentiel [23].
Prise en compte de la périodicité
Dans la problématique de la réponse forcée, les sources d’excitation proviennent des in-teractions entre les différentes roues de la machine. Les travaux de Tyler & Sofrin [24] ont montré que chaque aube perçoit des fluctuations aérodynamiques dont les fréquences sont des combinaisons linéaires des nombres d’aubes des roues adjacentes. La simulation du champ instationnaire doit donc prendre en compte l’ensemble des aubes des rangées adja-centes. La solution la plus simple pour prendre en compte l’interaction entre deux roues, consiste à effectuer un calcul de la circonférence complète de la machine. Il est toutefois pos-sible de réduire la circonférence à calculer à condition qu’il existe un dénominateur commun entre les rangées d’aubes4. Pour des critères d’excitabilité, les nombres d’aubes des roues de
turbomachines sont souvent premiers entre eux. La méthode RNA (Réduction du Nombre d’Aube) propose de modifier légèrement la configuration pour permettre une réduction de la taille du domaine de calcul5 . L’hypothèse de périodicité spatio-temporelle permet de ne
calculer qu’un seul canal de l’écoulement pour représenter toute la circonférence d’un étage. La méthode chorochronique6[25] consiste à faire le postulat que les champs aérodynamiques des canaux voisins correspondent à un déphasage temporel du canal calculé. La méthode permet ainsi de prendre en compte les interactions rotor/stator pour des rangées d’aubes adjacentes, mais aussi d’imposer un diamètre particulier et donc un déphasage inter-aube pour effectuer des calculs d’amortissement.
Des développements récents de la méthode chorochronique ont permis de prendre en compte plusieurs fréquences et autorisent à présent les interactions entre rangées éloignées [26].
Méthodes fréquentielles et spectrales
La réponse forcée est un phénomène périodique. L’excitation ainsi que le mouvement de l’aube peuvent être représentés au moyen de fonctions périodiques. He et Ning [27] ont
4. e.g. : une configuration composée d’un stator de 10 aubes et d’un rotor de 12 aubes peut être réduite à 5 et 6 aubes
introduit la méthode harmonique non-linéaire (NLH) en faisant l’hypothèse que le champ aérodynamique instationnaire est la combinaison d’un champ moyen et d’un champ oscillant de manière harmonique. La méthode a été étendue à plusieurs harmoniques par [28] et à plusieurs fréquences par [29]. Ces méthodes sont dites fréquentielles car la résolution a lieu dans l’espace de Fourier.
Hall et al. [30] ont introduit la méthode HBT (Harmonic Balance Technique) qui repré-sente une alternative aux formulations fréquentielles. L’idée est d’utiliser une transformée de Fourier pour obtenir une série harmonique de problèmes à résoudre puis de repasser dans le domaine temporel à l’aide d’une transformée inverse. Les travaux complémentaires de Go-pinath et Jameson [31] ont permis d’introduire la méthode TSM (Time Spectral Method). Le système à résoudre devient donc un ensemble de calculs stationnaires qui correspondent à des instants équi-répartis sur la période. La méthode obéit à la loi de Shannon, qui précise qu’il faut calculer 2n + 1 instants de la période par harmonique. La TSM a été testée sur des cas d’interactions rotor/stator dans [10] et sur un cas d’aile en mouvement dans [32].
Ces méthodes excluent les systèmes pseudo-périodiques. Les méthodes de couplage fort dans lesquelles l’amplitude du mouvement est une fonction du temps, ne peuvent a priori pas utiliser les formulations spectrales ou linéarisées.
2.6.2 Prédiction de l’amortissement aérodynamique
Calcul du travail
Cette méthode consiste à effectuer un calcul dans lequel on évalue la quantité d’énergie échangée entre le fluide et la structure en mouvement, sur une période d’oscillation. Pour cela, on impose un mouvement d’amplitude donnée à l’aubage et l’on collecte les efforts perçus par l’aubage au cours d’une période vibratoire. On peut ainsi calculer le travail des forces aérodynamiques : Waero,i= Z T I S p(t)xi(t)Φi· ndS (2.22) ξaero,i= − Waero,i 2πkiXi2 ω=ωi (2.23)
Il est aussi possible de calculer l’amortissement en projetant les efforts sur le mode propre du mouvement. On obtient les forces aérodynamiques généralisées d’amortissement qui donnent le coefficient d’amortissement via :
ξaero,i=
Im(FAGi)
2ki
(2.24)
En imposant le mouvement, on suppose évidemment que le coefficient d’amortissement est indépendant de l’amplitude ; c’est l’hypothèse de linéarité.
Méthode du décrément logarithmique
Le décrément logarithmique δ, bien qu’il n’intervienne en réalité que dans les systèmes en régime transitoire, peut aussi être utilisé pour décrire l’amortissement du système. Il correspond au décrément d’amplitude observé entre deux périodes d’oscillations successives lors du transitoire du régime vibratoire. Au début du transitoire, la solution homogène est présente dans le mouvement. On rappelle que l’équation différentielle du mouvement sans second membre s’écrit :
¨
