Famille de modes 3
2.6 Méthodes de prédiction de la réponse forcée
2.6.1 Calculs instationnaires
Une simulation instationnaire permet de calculer l’évolution du champ aérodynamique au cours du temps. Le pas utilisé pour permettre l’avance en temps du calcul est le même pour toutes les cellules du maillage. Le choix de ce pas de temps dépend de l’ordre du schéma temporel et de la taille des longueurs d’ondes que l’on désire capter dans la solution temporelle. En outre, la stabilité du schéma numérique n’est assurée que pour certaines valeurs de CFL [16].
Pour le schéma de Roe [17], la valeur du CFL local ne doit pas être supérieure à 1. Le schéma centré de Jameson [18] est plus tolérant et les instabilités n’apparaissent qu’à partir d’un CFL> 2√
2 [19].
Dans la méthode Backward Euler, l’intégration temporelle se fait sur un pas de temps global basé sur les échelles de temps rencontrées dans la configuration. Dans la méthode DTS [20], des sous-itérations sont réalisées entre deux pas de temps physiques et permettent de réaliser une convergence sur une pseudo échelle temporelle qui est propre à chaque cellule [21]. La méthode GEAR [22] repose aussi sur le principe de sous-itérations. Ici, la convergence entre deux itérations physiques est assurée par le schéma de Newton qui, on le rappelle, a un taux de convergence en exponentiel d’exponentiel [23].
Prise en compte de la périodicité
Dans la problématique de la réponse forcée, les sources d’excitation proviennent des in-teractions entre les différentes roues de la machine. Les travaux de Tyler & Sofrin [24] ont montré que chaque aube perçoit des fluctuations aérodynamiques dont les fréquences sont des combinaisons linéaires des nombres d’aubes des roues adjacentes. La simulation du champ instationnaire doit donc prendre en compte l’ensemble des aubes des rangées adja-centes. La solution la plus simple pour prendre en compte l’interaction entre deux roues, consiste à effectuer un calcul de la circonférence complète de la machine. Il est toutefois pos-sible de réduire la circonférence à calculer à condition qu’il existe un dénominateur commun entre les rangées d’aubes4. Pour des critères d’excitabilité, les nombres d’aubes des roues de turbomachines sont souvent premiers entre eux. La méthode RNA (Réduction du Nombre d’Aube) propose de modifier légèrement la configuration pour permettre une réduction de la taille du domaine de calcul5 . L’hypothèse de périodicité spatio-temporelle permet de ne calculer qu’un seul canal de l’écoulement pour représenter toute la circonférence d’un étage. La méthode chorochronique6[25] consiste à faire le postulat que les champs aérodynamiques des canaux voisins correspondent à un déphasage temporel du canal calculé. La méthode permet ainsi de prendre en compte les interactions rotor/stator pour des rangées d’aubes adjacentes, mais aussi d’imposer un diamètre particulier et donc un déphasage inter-aube pour effectuer des calculs d’amortissement.
Des développements récents de la méthode chorochronique ont permis de prendre en compte plusieurs fréquences et autorisent à présent les interactions entre rangées éloignées [26].
Méthodes fréquentielles et spectrales
La réponse forcée est un phénomène périodique. L’excitation ainsi que le mouvement de l’aube peuvent être représentés au moyen de fonctions périodiques. He et Ning [27] ont
4. e.g. : une configuration composée d’un stator de 10 aubes et d’un rotor de 12 aubes peut être réduite à 5 et 6 aubes
5. e.g. : une configuration 9 :19 peut être apparentée à 9 :18 et donc réduite à 1 :2 6. choro = espace & chrono = temps
introduit la méthode harmonique non-linéaire (NLH) en faisant l’hypothèse que le champ aérodynamique instationnaire est la combinaison d’un champ moyen et d’un champ oscillant de manière harmonique. La méthode a été étendue à plusieurs harmoniques par [28] et à plusieurs fréquences par [29]. Ces méthodes sont dites fréquentielles car la résolution a lieu dans l’espace de Fourier.
Hall et al. [30] ont introduit la méthode HBT (Harmonic Balance Technique) qui repré-sente une alternative aux formulations fréquentielles. L’idée est d’utiliser une transformée de Fourier pour obtenir une série harmonique de problèmes à résoudre puis de repasser dans le domaine temporel à l’aide d’une transformée inverse. Les travaux complémentaires de Go-pinath et Jameson [31] ont permis d’introduire la méthode TSM (Time Spectral Method). Le système à résoudre devient donc un ensemble de calculs stationnaires qui correspondent à des instants équi-répartis sur la période. La méthode obéit à la loi de Shannon, qui précise qu’il faut calculer 2n + 1 instants de la période par harmonique. La TSM a été testée sur des cas d’interactions rotor/stator dans [10] et sur un cas d’aile en mouvement dans [32].
Ces méthodes excluent les systèmes pseudo-périodiques. Les méthodes de couplage fort dans lesquelles l’amplitude du mouvement est une fonction du temps, ne peuvent a priori pas utiliser les formulations spectrales ou linéarisées.
2.6.2 Prédiction de l’amortissement aérodynamique
Calcul du travail
Cette méthode consiste à effectuer un calcul dans lequel on évalue la quantité d’énergie échangée entre le fluide et la structure en mouvement, sur une période d’oscillation. Pour cela, on impose un mouvement d’amplitude donnée à l’aubage et l’on collecte les efforts perçus par l’aubage au cours d’une période vibratoire. On peut ainsi calculer le travail des forces aérodynamiques : Waero,i= Z T I S p(t)xi(t)Φi· ndS (2.22) ξaero,i= −Waero,i 2πkiX2 i ω=ωi (2.23)
Il est aussi possible de calculer l’amortissement en projetant les efforts sur le mode propre du mouvement. On obtient les forces aérodynamiques généralisées d’amortissement qui donnent le coefficient d’amortissement via :
ξaero,i= Im(FAGi) 2ki
(2.24)
En imposant le mouvement, on suppose évidemment que le coefficient d’amortissement est indépendant de l’amplitude ; c’est l’hypothèse de linéarité.
Méthode du décrément logarithmique
Le décrément logarithmique δ, bien qu’il n’intervienne en réalité que dans les systèmes en régime transitoire, peut aussi être utilisé pour décrire l’amortissement du système. Il correspond au décrément d’amplitude observé entre deux périodes d’oscillations successives lors du transitoire du régime vibratoire. Au début du transitoire, la solution homogène est présente dans le mouvement. On rappelle que l’équation différentielle du mouvement sans second membre s’écrit :
¨
x(t) + 2ξω0˙x(t) + ω2
En résolvant le polynôme caractéristique suivant :
−ω2+ 2jξω0ω + ω20 = 0 (2.26)
on obtient :
ω = ω0(jξ±p1− ξ2) (2.27)
La solution homogène s’écrit donc : x(t) = Xejωt= Xejω0(jξ±√
1−ξ2)t= Xe−ξω0tejω0
√
1−ξ2t (2.28)
Le solution homogène est donc une oscillation pseudo-périodique de période T = 2π ω0
√
1−ξ2
et d’amplitudeX(t) = Xe−ξω0t. Le terme dans l’exponentiel est négatif, ce qui traduit une solution homogène qui est amortie. Il est important de noter que la pseudo pulsation propre ω = ω0
p
1− ξ2 est différente de la pulsation naturelle (pulsation à la résonance) ωn = ω0
p
1− 2ξ2. Le décrément logarithmique est le ratio entre deux amplitudes successives, exprimé en base logarithmique. En d’autres termes :
δ = ln u(t) u(t + T ) = ln e−ξω0t e−ξω0(t+T ) = 2πξp 1 1− ξ2 (2.29) 2.6.3 Couplage fluide-structure 2.6.3.1 Méthode découplée
La méthode découplée représente l’approche classique de prédiction de la réponse forcée. Dans le cas d’un système accordé, la procédure décrite dans [33, 34, 35] et présentée sur la figure 2.11, consiste en un système ouvert dans lequel il n’y a pas d’itération entre les solutions fluide et structure.
Analyse El´ements-Finis
ωi, Φi
Diagramme de Campbell
Co¨ıncidence modale Vitesse de rotation Calcul stationnaire (RANS)
Calcul de |FAGi|
(U-RANS) maillage fixe
Calcul de ξaero,i
(U-RANS & ALE) maillage mobile
Calcul de Xi(ω)
Equation d´ecoupl´ee ξi,struct
Figure 2.11 – Prédiction de la réponse forcée par la méthode découplée
L’analyse éléments finis de la structure associée au diagramme de Campbell permettent d’identifier les régimes de coïncidences. Un calcul fluide stationnaire permet ensuite d’ob-tenir le champ aérodynamique au régime de coïncidence identifié. A partir de ce champ stationnaire, un calcul d’excitation permet de collecter les efforts instantanés sur la paroi de l’aubage étudié. La projection de ces efforts sur le mode propre étudié permet d’obte-nir les efforts aérodynamiques généralisés. Simultanément, un autre calcul instationnaire est conduit pour obtenir l’amortissement aérodynamique. Ici, l’aube est mise en mouvement dans l’écoulement grâce à un maillage mobile. La méthode repose entre autre sur l’hypothèse de linéarité de l’amortissement, ce qui autorise d’imposer une amplitude de mouvement ar-bitraire. Le calcul du travail des forces aérodynamiques sur une période d’oscillation permet alors d’extraire l’amortissement aérodynamique.
En utilisant l’équation modale fréquentielle (équation 2.12) sur laquelle repose la mé-thode découplée, et en incluant l’amortissement structurel dans le système, la courbe de réponse Xi(ω) du mode Φi peut être tracée.
Xi(ω) = q FAGi/mi
(−ω2+ ω2
i)2+ (2(ξaero,i+ ξmeca,i)ωωi)2
(2.30)
2.6.3.2 Couplage temporel
La méthode découplée repose sur le principe de superposition. Cette hypothèse forte permet de s’affranchir du couplage qui existe entre l’excitation et le mouvement de l’aube. La méthode de couplage temporel, décrite et utilisée dans [36, 37] permet de calculer la réponse libre de la structure qui correspond au niveau d’excitation imposé et à l’amortissement total de la structure.
La procédure décrite sur la figure 2.12 est similaire à l’approche découplée. La différence
Analyse El´ements-Finis
ωi, Φi
Diagramme de Campbell
Co¨ıncidence modale Vitesse de rotation Calcul stationnaire (RANS)
Calcul coupl´e temporel de xi(t)
(U-RANS & ALE & Newmark) r´eponse libre des modes propres
calcul de xi(t) `a chaque dt fluide
ξi,struct
Figure 2.12 – Prédiction de la réponse forcée par la méthode de couplage temporel réside dans le fait qu’un seul calcul instationnaire est réalisé. Dans ce calcul, la position, la vitesse et l’accélération de l’aubage correspondant au chargement aérodynamique instan-tané sont calculées à chaque itération par le biais d’un schéma d’intégration temporelle. La méthode utilise classiquement un schéma de Newmark [38] ou le schéma de Runge-Kutta pour résoudre l’équation couplée suivante :
mix¨i(t) + ci˙xi(t) + kixi(t) = fagi(t, u(t), ˙u(t), ¨u(t)). (2.31) A partir d’un seul calcul instationnaire, la méthode permet donc de calculer l’amplitude vibratoire de l’aubage et ainsi de prendre en compte le couplage entre l’excitation et le mouvement de l’aube comme l’indique le second membre de l’équation 2.31.
2.6.3.3 Couplage fort
La méthodologie de calcul en couplage fort, présentée dans la figure 2.13, est très similaire à l’approche du couplage temporel. La différence réside dans la définition de la structure.
Analyse El´ements-Finis
ωi, Φi
Diagramme de Campbell
Co¨ıncidence modale Vitesse de rotation Mise en donn´ee El´ements-Finis
M, C, K Calcul stationnaire (RANS) Calcul coupl´e temporel de ⃗u(t)
(U-RANS & ALE ) r´eponse libre de la structure
ξi,struct
Figure 2.13 – Prédiction de la réponse forcée en couplage fort
L’approche modale est remplacée par une description complète au travers des matrices de masse, raideur et amortissement. Le système à résoudre est donc le suivant :
M¨u(t) + C ˙u(t) + Ku(t) = f(t, u(t), ˙u(t), ¨u(t)). (2.32)
Cette méthode présente l’intérêt d’autoriser la modification des modes propres sous l’effet des chargements aérodynamiques. Il est aussi possible d’intégrer des non-linéarités structurelles comme des dispositifs de friction en pied de pale ou encore des effets d’hystéresis dans le matériau.
La méthode monolithique décrite et testée dans [39] représente le niveau ultime de couplage. Ici, les équations de la structure et du fluide sont résolues simultanément. Cette méthode garantit qu’il n’existe aucun retard entre la dynamique de la structure et le champ aérodynamique. A la connaissance de l’auteur cette méthode n’a pas encore été évaluée sur un cas d’aéroélasticité en turbomachine.
2.6.4 Hypothèses de calcul
Chaque niveau de couplage est associé à un certain nombre d’hypothèses de modélisa-tion. Dans un premier temps, nous proposerons une définition de ces hypothèses puis nous préciserons lesquelles sont associées à chaque méthode de couplage fluide-structure.
Amortissement structurel constant
L’amortissement structurel est souvent considéré comme une composante externe au pro-blème aéroélastique de la réponse forcée.
L’hypothèse d’un amortissement constant suppose que la valeur du coefficient d’amor-tissement est indépendante de l’amplitude vibratoire, du mode et du diamètre de vibration et ne change pas avec les chargements aérodynamique, centrifuge et thermique. Pour les DAM, l’amortissement structurel provient en majeure partie du matériau, l’hypothèse est alors justifiée. Dans le cas des roues aubagées, la friction en pied de pale induit un amortisse-ment non linéaire. Le comporteamortisse-ment de ces dispositifs de frotteamortisse-ment dépend des chargeamortisse-ments centrifuges et des caractéristiques de lubrification.
Fluide léger
Le fluide qui entoure l’aubage en mouvement possède une masse qui en toute logique dans le système, s’ajoute à la masse m de la structure. En faisant l’hypothèse de fluide léger, on estime que l’apport de masse par le fluide est suffisamment faible au regard de la masse de l’aubage pour être négligé.
Modes et fréquences propres constants
Les déformées modales des aubages calculées par l’analyse éléments finis, sont influencées par l’ensemble des sollicitations extérieures que subit la pale. Dans l’analyse de Campbell, on prend en compte l’augmentation des efforts centrifuges et la modification du module d’Young par l’augmentation de température. Les fréquences propres et les déformées modales évoluent avec le régime. En revanche, le chargement aérodynamique imposé sur l’aubage n’est pas pris en compte dans le calcul des modes propres. En faisant l’hypothèse de modes constants, on néglige les effets des efforts aérodynamiques sur les formes modales et sur les fréquences propres.
Linéarité de l’amortissement
L’amortissement structurel ou aérodynamique est le ratio entre l’énergie dissipée au cours du mouvement et l’énergie nécessaire pour effectuer ce mouvement. Le coefficient d’amor-tissement aérodynamique s’écrit :
ξaero,i=− Waero,i 2πmiω2X2
i
(2.33) L’hypothèse de linéarité de l’amortissement suppose que les forces aérodynamiques généra-lisées engendrées par le mouvement sont proportionnelles à son amplitude. Cela revient à dire que l’énergie dissipée évolue de façon quadratique avec l’amplitude du mouvement. Il en résulte donc un coefficient d’amortissement qui ne dépend pas de l’amplitude du mou-vement. Cette hypothèse est très importante puisqu’elle permet de choisir arbitrairement l’amplitude vibratoire imposée dans les calculs d’amortissement.
Peu d’études ont été publiées sur cette hypothèse. On notera toutefois [40, 41] où le principe de linéarité de l’amortissement aérodynamique a été observé sur des aubes de soufflantes transsoniques.
Principe de superposition
Les systèmes dynamiques aéroélastiques possèdent la particularité du couplage entre réponse et sollicitation. Ainsi, le second membre est une fonction du temps, mais aussi de la position, la vitesse et l’accélération du système. En toute rigueur il faudrait donc écrire le système suivant pour prendre en compte le couplage entre le fluide et la structure :
Le principe de superposition des équations différentielles indique que la solution générale est égale à la somme :
– d’une solution homogène obtenue en résolvant le système sans second membre ; – des solutions particulières qui s’obtiennent en résolvant le système avec second membre. Pour résoudre le système et donc trouver la solution générale, il convient de redistribuer le second membre. Pour cela, il faut formuler 2 hypothèses :
– l’excitation est indépendante du mouvement ; – l’amortissement est indépendant de l’excitation.
Ces hypothèses sont décrites plus en détail dans les paragraphes suivants. On suppose donc que l’excitation aérodynamique (défilement de sillage, effet potentiel ...) ne dépend pas de la position, vitesse et accélération de la structure ; c’est donc une force extérieure. On définit ensuite les efforts d’amortissement aérodynamiques comme résultant uniquement du mouvement de la structure. On exclut alors les termes temporels qui ne proviennent pas du mouvement. On peut ainsi décomposer le second membre comme suit :
M¨u(t) + C ˙u(t) + Ku(t) = fexcitation(t) + famort(u(t), ˙u(t), ¨u(t)) (2.35) C’est l’équation découplée dans laquelle excitation et amortissement seront calculés séparé-ment.
Mouvement et excitation harmonique
En faisant l’hypothèse que le terme d’excitation peut être décomposé en une série harmo-nique, on postule alors que le mouvement de la structure sera aussi harmoharmo-nique, une fois le régime établi. Cela permet de simplifier le problème dynamique en passant d’une formulation temporelle à une formulation fréquentielle.
Excitation indépendante du mouvement
Cette hypothèse concerne le niveau de couplage entre le fluide et la structure. Cela consiste à supposer que les sollicitations extérieures qui génèrent l’excitation ne sont pas affectées par le mouvement qu’elles engendrent. Dans l’équation modale du système aéroélastique, on remarque que le second membre embarque des termes de couplage :
mix¨i(t) + ci˙xi(t) + kixi(t) = fagi(t, u(t), ˙u(t). ¨u(t)) (2.36) Cette hypothèse permet donc de calculer l’excitation aérodynamique à l’aide d’un calcul dans lequel la structure est immobile. Sous cette hypothèse, l’équation de la dynamique s’écrit donc :
mix¨i(t) + ci˙xi(t) + kixi(t) = fagi(t) (2.37)
Amortissement indépendant de l’excitation
Cette hypothèse consiste à supposer que l’amortissement aérodynamique n’est pas influencé par l’excitation. Le calcul d’amortissement peut alors se faire dans un écoulement sain dans lequel les éléments excitateurs ont été filtrés. Seules les fluctuations aérodynamiques induites par le mouvement imposé à l’aubage produisent l’amortissement du système.
2.6.5 Comparaison des approches
Le tableau 2.1 présente les hypothèses formulées pour chaque méthode de couplage fluide-structure. Le symbole (4) indique que l’hypothèse est requise par la méthodologie
tandis que le symbole (8) indique que la méthode de couplage permet de s’affranchir de l’hypothèse. On remarque alors que lorsque le niveau de couplage augmente, le nombre d’hypothèses utilisées décroit.
Découplé Couplage temporel Couplage fort
Amortissement structurel constant 4 4 4
Fluide léger 4 8 8
Modes propres constants 4 4 8
Fréquences propres constantes 4 4 8
Excitation indépendante du mouvement 4 8 8
Amortissement indépendant de l’excitation 4 8 8
Linéarité de l’amortissement 4 8 8
Mouvement harmonique 4 8 8
Excitation harmonique 4 8 8
Tableau 2.1 – Hypothèses de modélisation en fonction de la méthode de couplage fluide-structure
Il existe peu d’études publiées dans lesquelles les méthodes de couplage fluide-structure ont été comparées. Schmitt et al. [40] ont montré des résultats similaires entre méthodes couplée et découplée sur un cas d’hélices contra-rotatives transsoniques. Il est toutefois im-portant de noter que les amplitudes vibratoires calculées dans cette étude sont très faibles (' 1mm pour un diamètre de 1m) et les auteurs indiquent qu’elles sont par ailleurs sures-timées. Les études de Marshall et al. [42] et Tran et al. [43] ont elles aussi montré de faibles écarts entre les deux niveaux de couplage.
Moffat et He [36] ont présenté une comparaison de la méthode découplée avec la méthode de couplage temporel modale. Cette étude est sans doute la plus complète à ce jour et porte sur un cas de distorsion d’entrée d’air de la configuration Rotor67 de la Nasa. Les auteurs ont mis en évidence de fortes différences entre les deux méthodes qu’ils ont imputées à un glissement de la fréquence de résonance. Le décalage observé ne peut cependant pas être la conséquence de l’amortissement total du système qui n’est que d’environ 4%. Les auteurs affirment que c’est l’alignement des forces d’amortissement sur les termes d’inerties du système i.e. les parties réelles, qui agissent comme un terme de masse supplémentaire. En regardant les courbes de convergence des calculs couplés qui sont présentées dans cette étude, on observe tout de même que le transitoire n’est pas régulier et que des effets non-linéaires d’amortissement peuvent être présents. Il est encore plus probable que le raidissement de l’aube induit par le chargement statique soit important et décale la fréquence de résonance7. En effet, il s’agit d’une aube de soufflante qui, étant souple et de grande surface est prône au phénomène de divergence8. Les auteurs ont donc conclu que la méthode couplée requiert des calculs supplémentaires pour capter la fréquence de résonance alors que cela n’est pas nécessaire pour les calculs basés sur la méthode découplée.
Pour conclure, il peut être tentant de vouloir réaliser des calculs avec le plus fort niveau de couplage possible. Toutefois, le principal défaut des méthodes couplées est que l’amplitude obtenue correspond uniquement à la fréquence d’excitation imposée dans le calcul. Si cette fréquence est éloignée de la vraie fréquence de résonance, les amplitudes calculées seront systématiquement sous-estimées.
7. On rappelle que ωn' ω0= r
k
m, avec k fonction du chargement statique de l’aube 8. voir définition au chapitre 2.1.1