Calcul de résonances dimensionnelles « hélicon »

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Submitted on 1 Jan 1967

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Calcul de résonances dimensionnelles “ hélicon ”

P. Alais

To cite this version:

P. Alais. Calcul de résonances dimensionnelles “ hélicon ”. Journal de Physique, 1967, 28 (5-6),

pp.436-444. �10.1051/jphys:01967002805-6043600�. �jpa-00206537�

CALCUL DE

RÉSONANCES DIMENSIONNELLES

«

HÉLICON

^»

Par P.

ALAIS,

Laboratoire de Physique, ^{École Normale} Supérieure

(1).

Résumé. - La

propagation

^{des ondes}

électromagnétiques

^du

type

^{« hélicon » est}

généra-

lement déterminée à l’aide d’une

décomposition

^{en ondes}

planes polarisées

circulairement. La formulation

proposée

^{ici fait}

appel

^{à une}

analyse

^du

champ électromagnétique

^{mettant en}

évidence le caractère

gyroscopique

^du

phénomène

^et

peut

^être

avantageusement

utilisée pour les

montages

^à

symétrie

de translation ou de révolution. Le traitement par calcul

analogique

des deux

premières

résonances dimensionnelles d’un échantillon de section carrée et de

grande longueur

^est

présenté

^{à titre}

d’exemple.

Abstract. ²⁰¹⁴

Usually,

^the

propagation

^of e.m. waves in the ^« helicon » mode is determined

using

^a

décomposition

ⁱⁿ

circurlarly polarized plane

^{waves. A} formulation based on an

adequate analysis

^{of the}

electromagnetic

field shows the

gyroscopic properties

^{of this}

phenomenon

^and

may be used

successfully

^for

simple geometries

with translational or circular symmetry. ^The

analogue computation

^{of the two} first dimensional resonances of a square section barrel is

given

^{as an}

example.

1. Introduction. ^- On

d6signe

par h6licons les

oscillations, analogues

^{aux siffleurs}

atmosphériques,

^de

l’induction

magn6tique appliqu6e

^{a un}

plasma

^solide.

Elles ont ete ainsi

baptis6es

par

Aigrain [1]

^{du fait}

que la structure instantan6e de l’induction

magn6tique,

du

champ

^{et du courant}

6lectriques

^{associ6s a une onde}

progressive

^est

h6licoldale,

^{les memes}

grandeurs phy- siques

6tant dans tous les cas

polaris6es elliptiquement.

Legendy [2]

^a

pr6sent6

^une

bibliographie

^{tres com-}

pl6te

des recherches

th6oriques

^et

expérimentales

^sur

ce

sujet

que ^{nous ne}

r6p6terons

pas ici. Tous les calculs effectu6s en th6orie

macroscopique

utilisent les

6qua-

tions de Maxwell sans courant de

deplacement

^et

1’equation constitutive, justifi6e

par des considerations

macroscopiques,

reliant le

champ 6lectrique

^{E au}

courant

6lectrique j

^selon

ou

p est

la resistivite de 1’echantillon et S2 le vecteur sans dimension

parallèle

^a l’induction

magn6tique

^non

perturbee Bo

^et

d’amplitude 6gale

^au

rapport co,/v

^de

la

frequence cyclotron

wc ^et de la

frequence

^{de colli-}

sion v des

porteurs responsables

^{du courant}

6lectrique.

Ces

hypotheses

reviennent a

negliger

^{dans une oscilla-}

tion

harmonique

^de

pulsation

^{w tant}

1’energie

^di6lec-

(1)

^{Le calcul}

analogique

^{a ete effeetué au} Laboratoire de

M6canique Physique

^de

Saint- Cyr-l’Ecole-78.

trique

^{associ6e au courant de}

deplacement

que 1’ener-

gie cin6tique 6lectronique (m «

^v, p

reel).

^{Il ne reste}

donc en

jeu qu’un

^seul

type d’6nergie reactive,

^{a savoir}

1’energie magn6tique.

L’oscillation est

cependant

rendue

possible

par le

couplage gyroscopique

^{du au}

champ

^{de Hall}

p(M

^X

j)

^{entre les}

energies magn6- tiques

^{associ6es aux}

composantes

^{de la}

perturbation magn6tique

selon deux directions

orthogonales

^{dans le}

plan

^{normal a} l’induction

Bo.

^{Dans cette}

optique,

^les

h6licons sont aux ondes

électromagnétiques qui

^rel6-

vent d’un

6change d’6nergie di6lectrique

^et

d’énergie magn6tique

^ce que les oscillations d’un gyroscope ^ou

ne

participe

que la seule

6nergie cin6tique

^{sont à}

l’oscillateur

pendulaire échangeur d’énergie cin6tique

et

d’energie potentielle.

De meme que les oscillations

gyroscopiques

^se

traitent par la

separation explicite

^des

energies

^cin6-

tiques

^{associ6es aux deux}

degr6s

de libert6 de 1’axe du

volant,

^{il est}

possible

d’effectuer un calcul des h6licons

reposant

^{sur une scission}

adequate

^du

champ

^6lectro-

magn6tique

^{et de}

1’energie magn6tique

correspon- dante. A la difference de la m6thode habituelle de

decomposition

^{en ondes}

planes polaris6es elliptique-

ment

presentee

^de

façon syst6matique

par

Legendy [2],

ce mode de calcul conduit a 1’etude de

champs polarises rectilignement,

ais6s a raccorder au

champ électromagnétique

^{ext6rieur a} 1’echantillon. La

pr6sen-

tation

math6matique

^du

probl6me

^{n’est toutefois}

simple

que pour des

geometries d’échantillon,

^d’induc-

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01967002805-6043600

437

FIG. 1. ^-

Montages exp6ritnentaux

a caract6re bidimensionnel.

tion

magn6tique

^et

d’excitation,

invariantes dans une

direction ou a

sym6trie

de revolution.

2.

Expérimentalement,

^le

premier type

d’invariance

Olax

^{= 0 ne}

peut

^{etre realise}

qu’approximativement

a

partir

d’un 6chantillon en forme de barreau

cylin- drique

^orient6

parall6lement

^{a Ox et assez}

long

pour que les

ph6nom6nes

d’extr6mit6 soient _peu

importants.

La

figure

^{1 a}

repr6sente

^{un cas}

particulier d’exp6ri-

mentation sur un barreau de section

rectangulaire.

On peut aussi concevoir une

experience

^ou l’échantil-

lon,

^le

systeme

excitateur et le

champ

d’induction

Bo impose

^{soient a}

sym6trie

de revolution. Un 6chantillon toroidal biconnexe se

prete

^{aux memes} excitations _que le barreau

precedent

^{et la}

figure

^{1 a} peut ^aussi

repre-

senter le cas d’un ^tore de section

rectangulaire

^{si on}

substitue les variables 0 et r A x et z. La creation d’un

champ longitudinal

^{ou azimutal}

B2

^de

perturbation magn6tique apportee

^a l’induction

Bo (selon x

^ou

0)

par ^un

bobinage

excitateur

dispose

^comme

l’indique

la

figure

^{1 a entraine alors}

l’apparition

^d’un

champ B,

de

perturbation

^{dans le}

plan yOz

^{ou dans le}

plan

meridien.

Par contre, ^un 6chantillon de revolution a connexit6

simple

^ne

peut

^{subir une} telle excitation. La

figure

^{1 b}

repr6sente

^{le cas d’un} 6chantillon ayant la forme d’un

cylindre

^de revolution excite par ^un

bobinage

^coaxial.

C’est alors le

champ

^meridien

B,

^de

perturbation

^cree

par ^ce dernier

qui

^fait

apparaitre

^un

champ

^azimu-

tal

B2

dans l’échantillon exclusivement.

Dans les deux

types d’excitation,

^un

bobinage

d6tecteur

dispose

^contre la surface meme de 1’6chan- tillon

permet

de d6celer l’anomalie de

penetration

du

champ B2

^ou

B,

^créé par le

bobinage

excitateur.

D’une maniere

g6n6rale,

^{ne retenant} que l’invariance

aj ax

^{= 0 ou}

al aO = 0

^du montage

experimental,

^on

peut

^{effectuer une} scission du

champ électromagné- tique

^de

perturbation

^{selon :}

On v6rifie élémentairement _que ^cette scission

respecte

les

equations

^{de Maxwell}

s6par6ment

pour les

champs

et courants 1 et

2,

^{soit dans}

F approximation adoptée :

2.1. A l’int6rieur de

l’échantillon, 1’6quation

^consti-

tutive

(1)

^se scinde selon

Les interactions

6nerg6tiques

^{de ces}

champs

^{avec la}

matiere,

c’est-a-dire avec le seul

courant j

^induit par l’oscillation dans

l’échantillon,

s’6crivent :

ce

qui

^{met en} evidence le terme

d’6change energe- tique P[121 ill j2]

par

couplage gyroscopique

^et

permet

^{de définir} pour ^une oscillation stationnaire une

surtension locale

la surtension

globale

^du

phenomene

^{observe 6tant}

obtenue _par

integration

^{sur le volume de} l’échantillon

A

partir

^des

equations

de Maxwell sans courant de

deplacement

6crites pour les

champs

^{1 et 2 et des}

equations (3),

^{on obtient en} supposant 1’echantillon

homogene (p, v, ^(i)clBo

⁼

^cste)

ou 9

peut

^ne pas avoir ^un

champ

uniforme mais

respecte

^les

sym6tries

^{retenues. Ces}

equations

^se

traduisent _par les deux seules

equations

^{scalaires non}

triviales relatives aux mesures E ^et B de

E1

^et

B2

selon

Ux, e

ou

d’oii on deduit

1’equation

^commune

pour E

^{et B}

En milieu infini et en

presence

d’une induction

magn6- tique Bo

⁼

Bo uy uniforme,

^{on retrouve} pour ^une onde

plane compatible

^{avec la}

sym6trie

^retenue

1’equation

^de

dispersion classique :

qui

livre deux modes de

propagation parallèlement

a

Bo

^{ou n}

dont l’un

(k,) peut

^se propager ^{avec une} faible att6- nuation

pour Q >>

^1.

2.2. A l’extérieur de

1’echantillon,

^le

champ

^elec-

tromagn6tique peut

^{aussi etre decrit a}

partir

^des

mesures E et B selon x ou 0 des

champs El

^et

B2.

Dans

1’espace

^{ou ne} circulent pas de ^courants excita- teurs, les

equations gouvernant

^{ces derni6res se r6dui-}

sent a :

et le raccordement aux

equations (7’)

^et

(8’)

^{a la}

surface de 1’echantillon s’effectue en

imposant

^la

continuite de

B,

^{celle de E et de sa} d6riv6e normale

8Ej8n,

^ce

qui

suppose

qu’il

n’existe que des courants

6lectriques

^{de volume.}

L’harmonicit6 de B et le caract6re irrotationnel de

B2 impliquent

des solutions

simples.

^{Dans le cas}

d’excitation decrit a la

figure

^{1 a, B est}

impose

^dans

1’espace compris

^entre 1’echantillon et le

bobinage

excitateur a

partir

de l’intensit6 circulant dans ce

dernier selon :

suivant

qu’il s’agit

^d’un

montage

invariant suivant x

et d’un

bobinage

^{a n}

spires

par unite de

longueur

^ou

d’un

montage

de revolution et d’un

bobinage

^toroidal

a N

spires

uniformément

r6parties

azimutalement.

L’excitation d6crite a la

figure

^{1 b}

impose que B

^reste

nul en dehors de

1’echantillon,

^ce

qui

^{conduit a la}

condition B ⁼ 0 _pour

1’equation (8’)

^a la surface de ce dernier.

Les solutions

harmoniques gouvernant E

^sont par contre en

general

^moins

simples

ainsi que les condi- tions a la limite a

appliquer

^a

1’6quation (12).

^Une

id6alisation raisonnable consiste a

imposer

^1’annula-

tion de E sur une surface tres conductrice devant 1’echantillon

dispos6e

^a l’extérieur du

bobinage

^exci-

tateur comme

l’indiquent

^les

figures

^{1 a et 1 b.}

^Even- tuellement,

^{cette surface}

peut

^etre

rejet6e

^{a l’infini.}

Dans tous les cas, ^cette surface constitue une limite à

1’espace

^{laisse au}

champ

^de

perturbation Bl,

^{et un}

r6sultat int6ressant de 1’etude

analogique presentee

au

paragraphe

^{4 est de montrer}

quelles

peuvent ^etre les

repercussions

^sur les resonances observees a

partir

du

bobinage

^d6tecteur

quand

^on modifie les dimen- sions de cet espace.

3.

Plaque

^infinie

perpendiculaire

^{a une induction}

imposde

^{uniforme. - Dans ce cas}

particulier

^{de la}

sym6trie

^{de la}

figure

^{1 a, on est}

ramene,

pour des excitations

convenables,

^{a un}

probl6me

^unidimen-

sionnel

susceptible

d’etre trait6 aussi _par une superpo- sition d’ondes

planes [2, §

⁵

A].

^La

plaque

^6tant

d’6paisseur 2a,

^on verifie ais6ment _que les conditions

aux limites aux interfaces

439

qui

fournissent une solution

paire

en y pour

B, impaire pour E repr6sentent

^une id6alisation de

1’experience

sch6matis6e a la

figure

^{2 ou on admet}

FIG. 2. ^-

Montage experimental approchant

^{le cas de la}

plaque

^infinie.

que les dimensions transversales de 1’echantillon ^sont suffisamment

grandes

^{devant son}

6paisseur.

^La

plaque

6chantillon ^est soumise a une induction

magn6tique Bo

uniforme normale a son

plan

^{et a un}

champ

^d’exci-

tation

B2

^{= B* eiwt} ux

6galement

^{uniforme et cree}

par ^un sol6noide de

longueur

^nettement

sup6rieure

aux dimensions de la

plaque.

^Deux

bobinages

^de

detection crois6s sont

disposes

de maniere a 6tudier l’anomalie de

penetration

de l’induction excitatrice

et

1’apparition

de l’induction crois6e

B, qui

^reste,

pour ^cette

experience particuliere,

sensiblement

paral-

16le a Oz dans le volume de 1’echantillon. Le r6sultat cherche s’obtient _par

superposition

de modes du

type

v6rifiant du fait de

(7’)

^et

(8’)

les relations

1’6quation (11)

livre deux modes d’oscillation

k,

^et

k_,

^{le mode}

k,

6tant le seul a

pouvoir poss6der

^une

surtension effective

pour Q »

1. Pour chacun de ces

modes,

^on v6rifie que

et que le flux associé à

Bt

^sur

1’6paisseur

^{de la}

plaque

est donne _par

Les conditions aux limites

(13) imposant

la solution est entierement d6termin6e et s’identifie à celle

propos6e

par

Legendy [2, §

⁵

A].

^En

particulier, le

champ E(a)

^{observe pour le}

bobinage

¹ de detection

( fig. 2)

^{s’6crit :}

alors que le

champ E.l.(a)

^{observe par le}

bobinage

²

dans la direction

perpendiculaire s’exprime

^a

partir

du flux _cp associe h B dans

l’épaisseur

^{2a de la}

plaque

selon

Dans le cas ou

Q >> 1,

^aux resonances

marquees

observ6es

lorsque

^et

Ei- (a)

sont

égaux

^{et en}

quadrature

^de

phase.

4. Calcul

analogique.

^{- 4.1. La} resolution num6-

rique

^des

equations (7’), (8’), (12)

^et

(13) peut

^etre

envisag6e

^au moyen d’un ordinateur ou d’un reseau

analogique.

Nous allons

presenter

^{cette deuxi6me}

m6thode et montrer

qu’il

^est

possible

^{de r6aliser avec}

les composants

6lectriques

ordinaires ^un reseau

repre-

sentatif du

type d’expérimentation qui

^{nous int6resse}

dans une gamme de

fréquences permettant

^d’observer les deux

premieres

resonances dimensionnelles. L’ana-

logie

^{dont les}

principes

^sont

exposes

de manière

plus precise

^en

[3]

^{consiste a}

representer

^les

energies

r6actives et

dissip6es

^{au cours du}

phénomène

^{reel dans}

un volume 616mentaire de 1’echantillon ou de

l’espace

ext6rieur intervenant dans le calcul _par les

energies

associ6es aux

composants

^{du reseau} constituant la maille

figurant

^ce volume 616mentaire. A

chaque type

d’energie,

^{on associe une}

puissance exprim6e

^a

partir

des

amplitudes complexes

^{A et B = rA des} gran- deurs

conjugu6es correspondantes (li6es

par

l’imp6-

dance ou admittance

g6n6ralis6e r)

^selon

laquelle puissance

^est

representee

^{dans le reseau à}

1’aide de la conductance

complexe

^C par la

puissance

associ6e a cette dernière

I ⁿ B I A B

oii V,

^{I = Cv}

amplitudes complexes

^du

potentiel

et du ^courant

imposes

^{a cette} conductance sont relies

aux

grandeurs physiques

^{A et B a}

partir

^{de la corres-}

pondance

a

ou P

^reel

arbitraire,

^ce

qui impose

la valeur de la conductance C en fonction de l’admittance

(ou imp6- dance) g6n6ralis6e

^r

La

pulsation

^w’ d’excitation du reseau

peut

^ne pas s’identifier a celle w du

phenomene

simulé pourvu que la

correspondance (25)

^soit

respect6e.

Nous ne

pr6senterons,

par souci de

simplicité, qu’une

etude des

ph6nom6nes

invariants selon Ox. L’état du

champ électromagnétique peut

^{alors etre}

repre-

sent6 de

façon approch6e

par les valeurs de ^{E et} B

aux sommets d’un

maillage Aj

^{Az du}

plan yOz

^et

traduit dans

1’analogie

par les

potentiels

cp

et §

^des

n0153uds M et N du r6seau. La

correspondance

permet

^{alors en}

principe

^{de fixer les} conductances du reseau selon

(25)

^et les elements

permettant

^d’obtenir

ces derni6res a la

pulsation

w’ d’excitation du reseau

qui

reste, ^{dans ce}

choix, proportionnelle

^{a la}

frequence

du

phenomene

^reel.

Les

6changes 6nerg6tiques

^{associ6s au} volume élé- mentaire

reposant

^sur l’unit6 de

longueur

^{et la maille}

616mentaire

Aj

^{Az sont} ainsi traduits a

partir

^de

E, B(cp, §)

^et de leurs variations elementaires

Ay

^ou

^A,

sur un pas de

maillage

^selon

Oy

^{ou Oz.}

a)

^La

puissance magn6tique

reactive associ6e a l’induction

B2

par la

capacite

^{reliant le}

n0153ud N a la masse.

b)

^La

puissance dissip6e

^{associ6e au courant elec-}

trique

par les resistances

reliant le n0153ud N a ses voisins dans les directions

Oy

et Oz.

c)

^La

puissance magn6tique

reactive associ6e à l’induction

par les inductances

reliant le n0153ud M a ses voisins dans les directions

Oy

et Oz.

d)

^La

puissance dissip6e

par le courant

6lectrique

associe dans

1’analogie

^{au courant I debite au noeud M}

par les conductances

pr6c6dentes

en sorte que

se trouve associ6e dans le reseau a la

puissance dissip6e

par la resistance

RM

⁼

(X2YJ2 p/Lly Llz

d6bitant l’in- tensit6 v6hicul6e au n0153ud M par les inductances

Ly

et

Lz.

e)

^La

puissance

^de

couplage gyroscopique,

^{dans le}

cas ou M ⁼

Quy,

est convenablement

6chang6e

^entre le reseau M et

le reseau N

grace

^{a un} transformateur de

rapport

¹ dont le

primaire

^{est branch6 en}

parall6le

^{sur l’induc-}

tance

Ly

^et le secondaire en s6rie avec la resistance

R,,

a la condition que la relation

soit v6rifi6e. Se donnant un pas de

maillage

441

et

posant

Cù1 ⁼

ypjyo ^a2,

^{on constate} que ^cette condi- tion fixe a

partir

d’une valeur choisie pour les induc-

tances

Ly

⁼

L,

⁼

L,

les valeurs des autres compo- sants, ^{a savoir :}

La

figure

^{3 montre} le reseau ainsi obtenu. Il est

avantageux

de d6caler de

Ayl2,

^suivant

Oy,

^les

FIG. 3. ^- Reseau helicon bidimensionnel.

maillages respectifs

determinant les n0153uds M et N du fait du fonctionnement

particulier

des transfor-

mateurs. Ces derniers doivent etre census de mani6re que

1’6nergie

^{reactive et}

dissip6e qui

^{leur est associ6e}

n’introduise

qu’une perturbation

mineure. Pour

cela,

il est n6cessaire de compenser l’inductance

parasite qui

^{lui est associ6e} par ^une

capacite

^calcul6e pour la

frequence

d’excitation du r6seau. On v6rifie élémen- tairement

qu’il

^est

possible

^{d’aboutir au meme reseau}

a

partir

d’un modèle aux differences finies des

6qua-

tions

(7’)

^et

(8). L’avantage

^{de la}

presentation

^6ner-

g6tique

de la simulation obtenue est de fournir une

interpretation

int6ressante pour le

diagnostic experi-

mental de

l’imp6dance apparente

du reseau dans certains cas

simples d’excitation,

^ce

qui

^{va etre illustre}

par la suite.

4.2. EXEMPLES ^{DE CALCULS ET} RESULTATS. ^- 4.2.1. Afin de ^tester la

precision

^{de cette}

technique

de

calcul,

^{on a tout} d’abord édifié un reseau unidi- mensionnel

simple

^{associe a la}

plaque

infinie constitue de

cinq

mailles pour

representer

^la

demi-plaque (en

bénéficiant de la

sym6trie

^du

probl6me),

^{decrit a la}

figure

^4. L’excitation

pr6vue

^{a la}

figure

^{2 se traduit}

par

l’imposition

^du

potentiel § repr6sentant

^{la valeur}

de B au bord de la

plaque

^{et on} verifie ais6ment du

FIG. 4. ^- Reseau helicon unidimensionnel.

fait de la simulation

6nerg6tique adoptee

que la conductance du reseau ainsi excite doit varier en

amplitude

^{et en}

phase

^en fonction de la

frequence

comme le

signal

observe par le

bobinage

^{2 dans le}

montage experimental approximatif

a niveau d’exci- tation constant, c’est-a-dire comme le r6sultat th6o-

FIG. 5. ^- Résultats

analogiques

du reseau unidimen- sionnel

compares

^{aux résultats}

analytiques ( x , n

= 10 ; +, n ⁼

3)

^et résultats fournis par le réseau bidimen- sionnel associé a un 6chantfllon de section carr6e.

rique (21).

^La

figure

5 fournit la confrontation des résultats

analogiques

^obtenus

pour Q

^{= 10 et 3 et}

des valeurs d6termin6es a

partir

^{de la formule}

(21)

pour

quelques fréquences

^couvrant 1’etendue des deux

premi6res

resonances. Les

fréquences

adimensionnelles

utilis6es sont

rapport6es

pour

chaque

^{valeur de Q a la}

valeur

th6orique approch6e

^{de la}

fréquence 11

^de

resonance telle que

On constate que la resonance I est ainsi d6termin6e

analogiquement

^{avec une}

precision

^tres

satisfaisante,

se

d6gradant

toutefois pour les

fréquences sup6rieures

du fait du faible nombre de mailles retenu.

Il 6tait int6ressant d’6valuer a

partir

^{du meme reseau}

1’effet sur la resonance ainsi observ6e de la

presence

de deux

plans

infiniment conducteurs situ6s en

y

= ± b

= ::I:: ^ota

( a > 1 ) obligeant

^{le flux}

magn6- tique

^{associe a} l’induction

Bi

^{a se} refermer dans

1’espace

^de

largeur

2b ainsi d6limit6. La solution unidi- mensionnelle fournit dans ce cas une solution pour ^E lin6aire _{en y} s’annulant _{pour y}

= ± b

^{et se raccordant}

continument en valeur et en

pente

^a la solution à l’int6rieur de 1’echantillon. La traduction

analogique

se r6duit a

l’adjonction

d’une inductance

adequate

comme

l’indique

^la

figure

^{4. La solution}

(21)

^corres-

pondant

^{a une} valeur infinie de _oc, on observe sur la

figure

^{5 les}

d6calages

^de

fréquences

^{observes a}

partir

du reseau

correspondant

^{A Q = 10}

pour b

^{= 3 et}

2a,

les

fréquences

adimensionnelles de resonance 6tant sensiblement

1,13

pour ^{a =} 3 et

1,27

pour ^{cx =} 2.

La surtension est par ^contre peu affectée ^comme le

montrent les courbes de

phase correspondantes.

4.2.2. La validite du calcul

analogique ayant

^6t6 confirmee par la confrontation

pr6c6dente

^{dans le}

domaine de

frequence

^{couvrant les deux}

premi6res

resonances avec une definition relativement

grossi6re

de dix mailles pour

representer 1’epaisseur

de 1’echan-

tillon,

^{on a} ete conduit a r6aliser le reseau bidimen- sionnel associe a une

experimentation analogue

^{a celle}

representee

^{a la}

figure

^{1 a sur un} 6chantillon de section carr6e de côté a et de

longueur grande

^{devant a.}

Une definition

6quivalente

^{a la}

pr6c6dente

^{conduit à}

representer

la section par 10 ^X 10 ⁼ 100 mailles et a r6aliser en beneficiant de la double

sym6trie

^un

reseau de 25 mailles associe au

quart

de 1’echantillon.

Le

champ

^B cree par le

bobinage excitateur,

^uniforme

dans

1’espace compris

^{entre ce dernier et}

1’echantillon,

n’a pas lieu d’etre

represente analogiquement,

^1’exci-

tation se traduisant par

l’imposition

^de

B,

c’est-a-dire du

potentiel §

des n0153uds

6lectriques

^N

repr6sentant

la surface de l’échantillon. Par contre, la distribution

harmonique

^{de E dans}

1’espace

ext6rieur a 1’echan- tillon n’est

plus simple

^{comme dans le cas unidimen-}

sionnel et

1’energie magn6tique

^{associ6e a la}

pertur-

bation

B, correspondante

de l’induction

magn6tique

doit etre

representee

par le reseau d’inductances pro-

longeant

^dans

1’espace

^{ext6rieur a} 1’echantillon celui des inductances

Ly

^et

^{L, reposant}

^sur les n0153uds

M(cp).

Ce reseau ext6rieur est delimite _par la section de la surface tr6s conductrice

representee

^{a la}

figure

^{1 a et}

introduite au

paragraphe

^{2.2 ou les}

potentiels

^des

noeuds M s’annulent. Cette section ^a ete elle aussi choisie

carr6e,

^{de côté b = oca} par

analogie

^{avec le}

cas unidimensionnel.

LA aussi on v6rifie élémentairement que la conduc-

tance du reseau total ainsi

édifié,

^{excite au niveau des}

noeuds M

périphériques,

^{varie en} fonction de la

frequence

^{comme le}

signal

^du

bobinage

d6tecteur de la

figure

^{1 a a niveau} d’excitation constant. Aux basses

fréquences,

la diffusion du

champ

d’excitation ^est

complete

dans 1’echantillon et le

signal

^{observe corres-}

pond

^{a une} distribution uniforme de B dans la section de ce

dernier,

c’est-a-dire varie

proportionnellement

^à

la

frequence,

^{de meme} que la conductance du reseau s’identifie alors a celle

jcoE(Cm)

^des

capacités Cm

M

mises en

parall6le.

^La

figure

5 fournit les résultats obtenus a Q ⁼ 10 _pour les valeurs 2 ^et 3 de oc : les courbes

d’amplitude

^sont

exprim6es

^en valeurs adi- mensionnelles

rapport6es

^{a la} conductance

co(ECm)

M

de mani6re a

permettre

^la

comparaison

^{avec le cas}

unidimensionnel. On constate que le passage de la

plaque

^{infinie a} 1’echantillon de section carr6e modifie

FIG. 6. ^- Profils de variation de E et B,

lignes

d’induction de

perturbation 81

^et

lignes

^de

courant j2

^{a la resonance I}

(0

= 10, ^{oc =}

2).

443

*- FIG. 7. ^- Profils de variation de E et B,

lignes

^d’induc-

tion de

perturbation B1

^et

lignes

^de

courant 1"2

^{a la ré-}

sonance I

(n

⁼ 10, ^{« =}

3).

FIG. 8. ^- Profils de variation de E et B,

lignes

^d’induc-

tion de

perturbation B1

^et

lignes

^de

courant j2

^{a la ré-}

sonance II

(2

= 10, oc ⁼

3).

FIG. 9. ^- Profils de variation de Pa et B et

lignes

^d’induc-

tion de

perturbation BL

^et

lignes

de courant

j2

^{a la}

résonance II

(0

^{= 10, « =}

2).

assez considérablement et la surtension de la reso-

nance I reduite d’un facteur 3 et sa

frequence qui

^se

trouve

augment6e approximativement

^{de 25}

%

^dans

le ^cas a ⁼ 3 et de 20

%

pour ^{a =}

2,

modifications

qui

doivent raisonnablement se maintenir _{pour le}

cas a oo non realisable en calcul bidimensionnel. Les courbes

isopotentielles

^des

§(B)

^{et des}

cp (E )

^s’identi-

fient

respectivement

^aux courbes de densite de courant

électrique j2

dans 1’echantillon et aux

lignes

de l’induc- tion

magn6tique

^de

perturbation B,

^{et sont}

repr6sen-

t6es aux resonances I et II _pour les valeurs 2 et 3 de _oc, par les

figures 6, 7, 8,

^9.

5. Conclusion. ^- La formulation

th6orique adoptee

au

paragraphe

^{2 et les}

equations correspondantes paraissent

^mieux

indiqu6es

dans la determination de resonances dimensionnelles que la

technique

de super-

position

^d’ondes

planes

des que la

géométrie

^de

l’expé-

rience se

complique

^{tout en} relevant des

sym6tries

retenues a la

figure

^1.

La tentative de resolution

analogique qui

^vient

d’etre

presentee

^illustre

l’importance

^{de la}

géométrie

du

champ

^{ext6rieur a} 1’6chantillon et montre

qu’il

faut etre

prudent

^{dans la mesure des}

param6tres

helicon a

partir

des resonances observ6es

lorsque

^des

raisons

technologiques

^ne

permettent

pas de ^{se trouver}

approximativement

^{dans un cas tres} pur ^comme celui de la

plaque

infinie. Le calcul

analogique

^ne permet

gu6re pratiquement

d’aller au-dela des deux

premi6res

resonances

dimensionnelles, mais, malgr6

^{cette limita-}

tion, peut

^s’av6rer

int6ressant,

par

exemple

pour

opti-

miser un

dispositif ou

l’onde helicon est utilis6e ^comme

un outil

permettant

^{de creer un}

champ

^{tournant à}

l’int6rieur d’un conducteur.

Manuscrit reçu le 2 aout 1966.

BIBLIOGRAPHIE

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^AIGRAIN

(P.), Proceedings

^{of the} International

Conférence on Semiconductor

Physics, Prague,

1960.

[2]

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[3]

^ALAIS

(P.),

^{Article à}

paraître

^en 1967 dans les Annales de l’Ass. Int. pour ^{le Calcul}

Analogique,

Bruxelles.