SUR QUELQUES PROBLÈMES GÉNÉRAUX DE LA CONDUCTION THERMIQUE DE RÉSEAU DANS LES SOLIDES

(1)

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SUR QUELQUES PROBLÈMES GÉNÉRAUX DE LA

CONDUCTION THERMIQUE DE RÉSEAU DANS

LES SOLIDES

J. Tavernier

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(2)

SUR QUELQUES PROBLÈMES GÉNÉRAUX DE LA CONDUCTION

THERMIQUE

DE RÉSEAU DANS LES SOLIDES

J. TAVERNIER,

Laboratoire Central des Industries Électriques, Faculté des Sciences de Paris

Résumé. - Dans cet article nous effectuons une comparaison entre les principales théories élaborées pour traiter le problème de la conductivité thermique de réseau.

Les théories basées sur l'hypothèse de l'équilibre local, et développées par Ziman, Callaway et l'auteur, sont comparées et discutées.

La théorie originale proposée par' Erdos est décrite et comparée aux précédentes.

Les mécanismes, limitant la conductivité thermique et ayant été invoqués récemment, sont exposés.

Abstract.

-

In this paper the main features of lattice thermal conductivity theories are described and compared.

The theories founded on the local equilibriurn hypotheses, which have been worked Our by Ziman, Callaway and the author are discussed.

The original theory proposed by Erdos is described and compared with the preceding ones. An account of the mechanisms of the thermal resistance which have been snggested recently is given.

1. Introduction.

-

Les premiers travaux concernant la théorie de la conduction thermique de réseau dans les solides furent effectués par Peierls [Il en 1929, qui étudia l'influence des processus anharmoniques du troisième ordre.

Depuis cette date de nombreux chercheurs appor- tèrent leur contribution dans ce domaine. Citons :

Pomeranchuk [2] qui proposa de tenir compte des mécanismes du quatrième ordre.

Herpin [3] qui reprit l'étude des processus anhar- moniques du troisième ordre et suggéra de considérer l'influence des défauts ponctuels.

Klemens [4] qui développa une théorie devant rendre compte de la contribution simultanée des processus anharmoniques et des mécanismes liés aux imperfections ponctuelles à la résistance thermique. Herring [5] qui montra que l'anisotropie de la vitesse du son peut modifier notablement les résultats déterminés à l'aide d'un modèle isotrope.

Ziman [61 qui fournit une théorie basée sur une méthode variationnelle.

Callaway [7] et l'auteur [8] qui donnèrent un modèle dans lequel les processus anharmoniques normaux ont pour rôle d'assurer l'équilibre statistique entre les phonons dont la quantité de mouvement est modifiée

par les processus Umklapp, et les fluctuations de masse.

Carruthers [9] qui discuta l'influence de termes anharmoniques et mit en évidence la possibilité d'existence de diffusion résonnante des phonons. Erdos [IO] qui proposa une théorie originale dans laquelle l'hypothèse de l'équilibre thermique local est supprimée et seules les conditions aux limites sont prises en considération.

Nous n'insisterons pas davantage sur cette liste des principales contributions à la théorie de la conduc- tivité thermique de réseau dans les solides. Remarquons toutefois que d'autres travaux, bien que moins géné- raux, ont permis de préciser certains mécanismes et d'adapter certaines formulations à des cas particuliers. Dans le cadre de cet exposé, nous ne voulons pas reprendre en détail la description des différentes théo- ries, mais décrire les hypothèses qu'elles contiennent et en faire une analyse critique.

Dans une première partie nous examinerons les théories basées sur l'hypothèse de l'équilibre thermique local qui sont les seules à avoir été développées pour de nombreux mécanismes.

Ensuite nous consacrerons une seconde partie

à l'exposé de la théorie proposée par Erdos en 1965.

(3)

SUR QUELQUES PROBLÈMES GÉNÉRAUX DE LA CONDUCTION THERMIQUE C l - 4 1

2. Théories basées sur l'hypothèse de l'équilibre local.

-

THÉORIES DE ZIMAN ET TAVERNIER : Toutes

les théories élaborées avant celles d'Erdos supposent qu'en chaque point r du solide étudié, il est possible de définir une température T(r) caractérisant l'équilibre thermique que devraient prendre les phonons si le solide était homogène avec des propriétés identiques

à celles qu'il a au point u.

L'état ainsi défini est appelé état d'équilibre thermique local.

Notons qu'il ne représente pas l'état réel d'un solide soumis à un gradient de température puisqu'il ne rend pas compte du flux de chaleur s'écoulant de la source chaude vers la source froide.

Il est alors admis que la fonction de répartition N,(q, s ; P) des phonons, de vecteur d'onde q et de polarisation s, donnke par la loi de Planck :

peut être utilisée comme approximation d'ordre zéro pour le calcul de la fonction de répartition réelle N(q, s ; u) qui s'effectue généralement par iteration. (8, (q) représente l'énergie du phonon q, s).

Une meilleure approximation peut être obtenue à

partir de la remarque suivante.

En régime stationnaire, les phonons d'un solide soumis à un gradient de température transportent un flux de chaleur et, en conséquence, possèdent une

quantité de mouvement )) P non nulle :

p(p) = h

x

1

d 3 q ~ ( q 7 s ; r) q

=x

ps(r)

.

(2) Si les processus anharmoniques avec conservation du vecteur d'onde, dits processus-N, existaient seuls, la quantité de mouvement P serait une constante du mouvement sous l'influence des collisions phonon- phonon. La fonction de répartition que l'on calcule en tenant compte de cette condition supplémentaire est de la forme :

où il est un vecteur ayant les dimensions d'une vitesse et est déterminé par la relation (2).

Notons que cette fonction de répartiton ne repré- sente pas un état de régime puisque sa dépendance en r entraîne une variation de P par diffusion. Il est aisé (annexe 1) de calculer cette variation de

P

par unité de temps :

où nous faisons l'hypothèse de l'existence d'un spectre de Debye, c'est-à-dire que l'énergie E s'écrit :

C est la chaleur spécifique du gaz de phonons.

Précisons que ce résultat est obtenu pour des faibles valeurs de il.

11 est intéressant de remarquer que -

df

est un Idif vecteur colinéaire et de sens opposé à celui du vecteur grad T, ce qui montre que, au cours du temps et sous l'influence des processus-N, la (( quantité de mouve-

ment )) P orientée dans le sens opposé à celui du gra-

dient de température verra son module augmenter indéfiniment. Cette évolution entraînera celle de il.

Un calcul analogue au précédent permet d'évaluer les variations du flux d'énergie @ dues à la diffusion et de comparer ce résultat à celui concernant les variations de P. On trouve alors :

d@

=

--

5':"

- dP1

_{= < q > -}

dt dif Cs dt d i f Idif

est la contribution des phonons de polarisation s

à la chaleur spécifique.

Il en résulte que le flux d'énergie transporté par les phonons de la source chaude vers la source froide augmente indéfiniment avec le temps selon la loi

Un régime stationnaire ne pourra s'établir que si des mécanismes autres que les processus-N imposent une variation de P contrebalançant celle que nous venons d'évaluer. C'est le rôle des mécanismes ne conservant pas le vecteur d'onde (processus-Umklapp ;

fluctuations de masse ; parois de l'échantillon...), que nous noterons par la suite processus- U.

(4)

la valeur de R caractérisant le régime stationnaire est déterminée par l'équation :

Dans l'hypothèse où l'influence des processus-U peut se traduire par l'introduction d'un temps de relaxation z,(q) dans le terme de collision, il vient, au premier ordre en il (annexe 2) :

où As(q) = V, z,(q) est le libre parcours moyen imposé par les processus-U. Les résultats (4) et (7), reportés dans la condition d'équilibre (6), conduisent pour J à l'expression suivante :

Cette valeur de

R

étant acquise, le flux d'énergie @

transporté par les phonons peut s'expliciter à partir de la définition :

Le coefficient de conductivité thermique

x

est alors donné par :

selon la définition

Ce résultat, obtenu à partir d'une méthode variationnelle par Ziman [ 6 ] et démontré directement par l'auteur [8], suppose que l'efficacité des processus-N est suffisante pour assurer l'équilibre statistique des phonons selon la loi (3).

Dans certains cas cet équilibre peut n'être assuré que dans une partie de la première zone de BrilIouin [8].

Cette méthode a l'avantage de rendre compte de la limitation de la conductivité thermique imposée par les mécanismes pour lesquels le temps de relaxation croît plus vite que q U 3 pour les faibles nombres d'onde. Si l'on compare le résultat (10) à celui qui est donné par la théorie cinétique des gaz :

où V et A sont respectivement la vitesse et le libre parcours moyen.

Le produit VA s'écrit :

où Cs(q) est la contribution des phonons ( q , s) à la chaleur spécifique.

C'est ce type de moyenne qui élimine la divergence que l'on trouve dans un calcul de la conductivité thermique limitée uniquement par des mécanismes donnant une croissance rapide du temps de relaxation pour les faibles vecteurs d'onde.

2.2 THÉORIE DE CALLAWAY.

-

Une théorie analogue fut proposée par Callaway [7] qui admet que le terme de collision figurant dans l'équation de Boltzman est de la forme :

"1

-

N - N , N - N o

dt col1 7, 7, (12)

où 2 , et z,, sont respectivement les temps de relaxation imposés par les processus-N et les processus-U (La distinction entre les différentes polarisations est négligée dans cette théorie).

L'équation de Boltzmann.

associée à la condition de conservation du vecteur d'onde dans les processus-N :

permet de déterminer la fonction de répartition N. Tous calculs effectués, Callaway trouve une fonction de répartition qui au premier ordre en 3, est de la forme (3) : N = NA=.

(5)

SUR QUELQUES PROBLÈMES GÉNÉRAUX D E LA CONDUCTION THERMIQUE C l - 4 3 où le temps de relaxation combiné z, est défini par :

zc-= = 2;l

+

2;'

et

La vitesse Â. apparaît sous la forme

Ces résultats montrent que si z, 4 .tu, ce qui est l'hypothèse de la théorie présentée précédemment, on a :

L

=

L, (ce qui est évident d'après (12) puisque N

=

NA) où

Les formules (8) et (18) sont identiques.

Dans la limite où ~ l y = 0, l'équation de Boltzmann (1 3) donne alors simplement :

Il est bien connu que cette forme conduit à une divergence du coefficient de conductivité thermique pour les mécanismes tels que

7, o c q T n avec n >, 3

Cette remarque met en évidence l'intérêt de la théorie développée par Callaway puisque pour

(hypothèse vérifiée en pratique pour les processus-N). le quotient z,/zN tend vers 1 lorsque q tend vers zéro. Il en résulte que les intégrales intervenant dans la définition de /3 sont convergentes et que par suite :

IZ et

A,

sont bien définis.

2.3 DISCUSSION.

-

Dans les paragraphes précé- dents nous avons donné les grandes lignes du modèle actuellement retenu pour l'étude de la conductivité thermique de réseau.

Avant de montrer comment les résultats de la théorie

de Callaway ont été utilisés et étendus pour l'interpré- tation de certains travaux expérimentaux, nous tenons

à rappeler quelles sont les principales hypothèses utilisées.

Le terme de collision écrit sous la forme (12) peut être sujet à discussion car, à notre connaissance, aucune démonstration rigoureuse n'a été établie pour le justifier. Il est certain que cette expression (12) doit être correcte pour zN 4 z, puisque les calculs du paragraphe 2.1 fournissent le même résultat, mais il n'est pas évident que cette forme du terme de collision soit encore exacte lorsque z, est comparable à z,.

Toutefois, la relation zN = z, n'étant en général vérifiée que pour des nombres d'ondes q assez grands, c'est-à-dire pour des phonons ne contribuant prati- quement pas à la conduction thermique, il est fort possible que la théorie de Callaway soit valable pour tous les phonons intervenant effectivement dans le mécanisme de conduction.

Par ailleurs une autre objection peut être faite aux théories des paragraphes précédents en ce qui concerne l'utilisation d'une expression de la forme

pour le calcul de la variation de la valeur moyenne de la cc quantité de mouvement » par les formules :

- dP = 6

S

d3q

(

-

---

ioNO)

4 pour le

4

2.1 (21) dt

O =

1

d3q

(

----

;NN') p pour le

5

2.2

.

En effet, il est possible de démontrer, à partir de l'intégrale de collision, que tout se passe pour la réso- lution de L'équation de Boltzmann comme si le terme de collision était de la forme (20). Mais aucune justification n'est donnée de l'égalité intervenant

dans la formule (20).

(6)

1

+ x points expérimentaux

-

théorie de Callaway

~ e ' ~

Ge naturel

1 IO 102 103 1 IO 102

FIG. la.

-

Conductivité thermique du germanium FIG. l b .

-

Conductivité thermique du germanium (d'après M. G. Holland) (d'après J. Gallaway)

Les figures la, 2 et 3 montrent les résultats obtenus par ces auteurs pour le germanium, le silicium, et I'arséniure de gallium.

A titre de comparaison nous avons reporté sur la

figure l b la confrontation des résultats de Geballe, relatifs à la conductivité thermique du germanium naturel et du germanium 74 isotopiquement pur, avec la théorie de Callaway. Mais l'influence de l'aniso-

FIG. 2. - Conductivité thermique du silicium (d'après M. G. Holland)

m o d è l e de Bhandari

IO-' T ( O K )

1 10 10

FIG. 3. - Conductivité thermique de I'arseniure de gallium (d'après C . M. Bhandari).

tropie signalée par Herring n'a pas été étudiée quan- titativement.

(7)

SUR QUELQUES PROBLÈMES GÉNÉRAUX DE LA CONDUCTION THERMIQUE C l - 4 5

possible d'obtenir un très bon accord entre les résultats théoriques et expérimentaux.

Peut-on dire que ces méthodes de dépouillement qui font intervenir cinq ou six paramètres ajustables affirment la validité de la théorie ?

Sans répondre à cette question nous voudrions seulement faire remarquer que les principaux méca- nismes responsables de la limitation de la conductivité thermique sont maintenant bien connus et qu'une analyse fine du phénomène de conduction thermique demanderait une connaissance explicite des forces de liaison interatomiques et des courbes de dispersion. 2.4 SUR QUELQUES MÉCANISMES RÉCEMMENT IN-

vo~uÉs.

-

Les théories évoquées ci-dessus ne font intervenir dans leur développement que les principaux mécanismes suivants :

-

processus anharmoniques normaux,

-

processus anharmoniques Umklapp,

-

processus engendrés par les fluctuations de masse,

- processus engendrés par l'influence de la surface latérale des échantillons,

-

processus engendrés par les dislocations et tout autre type de contrainte.

Pour compléter la description des principaux mécanismes nous donnons maintenant quelques résultats concernant ceux qui ont été étudiés depuis quelques années seulement.

2.4.1 Dz#usion par les impuretés de type N non ionisées dans le germanium. - Des expériences très intéressantes effectuées sur le germanium par Keyes [13] ont montré que les donneurs tels que l'antimoine ou l'arsenic modifient notablement la valeur de la conductivité thermique et sa loi de variation avec la température dans le domaine des basses températures. Une théorie de ces phénomènes a été proposée par Griffin [14].

Ces auteurs ont montré que les impuretés de type N non ionisées se comportent, dans le germanium, comme des centres fortement diffusants. La diffusion des phonons provoquée par les défauts de masse qu'elles introduisent est insuffisante pour expliquer les résultats expérimentaux : un exemple est donné figure 4.

Un nouveau mécanisme est fourni par les transitions que peut effectuer un électron lié à un centre donneur entre le niveau singulet et le niveau triplet qui lui sont permis. La distance en énergie entre ces deux niveaux étant de l'ordre de 4. eV il en résulte une diffusion importante des phonons de fréquence voisine de 10'' S-l.

-1 1 10

FIG. 4. - Conductivité thermique du germanium dopé à l'antimoine (N = 17.1016 cm -3)

Pour se convaincre que l'influence de ce type de défaut est notablement plus grande que celle qu'ils introduisent par leur défaut de masse, il suffit de comparer les énergies d'interaction correspondant respectivement à ces deux mécanismes. Dans le cas des fluctuations de masse l'énergie d'interaction est :

où AM est l'écart de masse et u le déplacement des atomes du cristal. Pour une onde sinusoïdale pure de nombre d'onde q et de pulsation w, l'énergie U , s'écrit :

U ,

=

A M V ~ E ~ (23) où V = w/q est la vitesse de propagation de l'onde, et E = qu la dilatation.

Dans le cas de la diffusion des phonons par les atomes d'impureté, l'énergie d'interaction est de la forme :

U z E z ~ G ~ / A . (24)

où A représente la différence d'énergie entre le niveau singulet et le niveau triplet.

(8)

potentiel de déformation E. Il est alors aisé de vérifier, pour le germanium dopé à l'antimoine, que :

Cette valeur apporte une confirmation à l'hypothèse selon laquelle les centres donneurs dans le germanium sont des diffuseurs très efficaces pour les phonons. Signalons aussi que, par compensation d'un germa- nium de type N, Goff [15] a montré qu'il est possible d'augmenter la conductivité thermique. Quelques résultats obtenus par cet auteur sont représentés sur les figures 5 et 6.

T ° K '

I I I I , , I l *

1 IO IO

*

103

FIG. 5.

-

Conductivité thermique du germanium dopé à l'antimoine et non compensé (d'après J. F. Goff).

Une diminution de la conductivité thermique a été observée par Vook [16] en illuminant un échantillon de germanium dans lequel les défauts avaient été créés par bombardement aux électrons.

Ces deux résultats confirment le modèle de Keyes puisque le premier correspond à une diminution du nombre de centres non ionisés, alors que le second résulte d'une augmentation.

2.4.2 Dzfusion des phonons acoustiques par les phonons optiques : En remarquant que les composés ternaires du type A"B'~C: dérivés par substitution des composés A1"Bv ont une conductivité thermique

----

Non compensé

1 IO 102 103

FIG. 6. - Conductivité thermique du germanium dopé

à l'antimoine et compensé au gallium (d'après J. F. Goff).

de réseau notablement plus faible que celle des com- posés binaires correspondants, Leroux Hugon [17] proposa de tenir compte de la diffusion des phonons acoustiques par les phonons optiques.

Dans l'hypothèse d'un spectre de Debye pour les phonons acoustiques et d'un spectre d'Einstein pour les phonons optiques, la théorie développée par Leroux Hugon fournit un assez bon accord avec les résultats expérimentaux relatifs àCd SnAs, et CdZnAs, dans une large gamme de température (100 - 600 OK). Notons que ce mécanisme de diffusion avait déjà été suggéré par Holland [Il] pour les composés binaires III-V.

2.4.3 Influence de l'ionicité des liaisons interatomiques Les travaux de Leroux Hugon 1181 et Suchet 1191 montrèrent que l'ionicité des Iiaisons interatomiques doit jouer un rôle important dans la détermination de la conductivité thermique de réseau. Plus récemment Ioffe [20] arriva à la même conclusion en étudiant systé- matiquement la corrélation que l'on peut établir pour un grand nombre de matériaux entre la conduc- tivité thermique et l'ionicité des liaisons.

(9)

SUR QUELQUES PROBLÈMES GÉNÉRAUX DE LA CONDUCTION THERMIQUE C l - 4 7 est assurée par deux électrons dans des états définis

à partir des fonctions d'onde du type Heitler-London construites sur la base des orbitales 1 s et 2 p.

La qualité des résultats obtenus est très encoura- geante et il serait très intéressant de reprendre cette étude sur un modèle plus évolué.

2.4. Dz~usion résonante des phononspar des atomes interstitiels ou substitutionnels. - Brice [22] a dévelop- pé un calcul sur la diffusion des phonons par des atomes interstitiels dans le germanium et le silicium. L'élaboration d'une théorie de ce mécanisme est justifiée et facilitée grâce à la perturbation de symétrie négligeable, apportée par les atomes interstitiels, et à

leur faible énergie de liaison.

Il n'en serait pas de même dans l'étude de la diEu- sion des phonons engendrée par des lacunes.

Brice pense que les minima observés par Goff [15] et Vook [16], dans les variations de la conductivité thermique du germanium en fonction de la tempéra- ture, peuvent provenir du mécanisme proposé.

D'autre part l'existence de minima avait aussi été prévue par Wagner [23] dans le cas de la diffusion résonante par des atomes en sites substitutionnels. Les observations faites par Walker [24] semblent confirmer ces résultats.

Nous pensons que la confirmation des prévisions théoriques relatives à ces mécanismes par les résultats expérimentaux doit être considérée avec réserve. Il semble que, par exemple, des mesures d'absorption infrarouge seraient beaucoup mieux adaptées à l'étude de ces phénomènes.

3. Théorie proposée par Erdos

-

Dans la théorie qu'il propose, Erdos [IO] aborde le problème d'une manière tout à fait originale dans laquelle il élimine l'hypothèse de l'équilibre thermique local pour le gaz de phonons sans interaction. Cette idée avait déjà été introduite par Landauer [25] en 1958 mais c'est à

Erdos que nous devons son épanouissement. Aucune hypothèse n'est faite sur la température existant en un point de l'échantillon, seules les tempé- ratures imposées sur les surfaces limites sont suppo- sées connues.

Il en résulte que, dans un cristal parfait (pas de diffusion des phonons), on est amené à définir l'état de régime stationnaire en présence d'un gradient de température par une fonction de répartition de phonons qui est notablement différente de celle correspondant à l'équilibre thermodynamique local. Afin de résumer la théorie proposée pas Erdos nous considérons un échantillon unidimensionnel maintenu, en ses extrémités, aux températures Tl et

T2

par deux thermostats situés respectivement aux abscisses

+

a et

-

a. En supposant que les thermostats se comportent comme des corps noirs, c'est-à-dire qu'ils imposent à l'extrémité de l'échantillon avec laquelle ils sont en contact une répartition de Planck pour les phonons, le problème du cristal parfait est analogue à celui de l'échange d'énergie par rayon- nement. La fonction de répartition des phonons est alors :

NO(q, s ; x) = No(q, s ;

Tl)

si q, > O

~ ~ ( q , s ; x ) = N ~ ( q , s ; T , ) s i q , < O (26) où N,,(q, s ; T) est la fonction de Planck

No(q, s ; T) =

[

exp -c-

-

En chaque point de l'échantillon, il faut faire intervenir deux températures différentes pour décrire la répartition des phonons alors que, dans les théories précédentes, une seule température était nécessaire. L'échange de chaleur qui s'effectue à travers l'échan- tillon parfait se calcule aisément (annexe 3). Le flux de chaleur est :

En définissant « formellement » un gradient de température par AT12 a, le coefficient de conductivité thermique correspondant est

Ce résultat montre que la conductivité thermique d'un cristal parfait est finie alors que les théories du paragraphe 2 conduisent à une valeur infinie.

Notons encore que, d'une part, la fonction de répar- tition (26) peut s'écrire :

avec

O(q,) = 1 si q,

> O

= - 1 s i q , < O

D'autre part, cette fonction peut être représentée sous la forme d'une fonction de Planck « déplacée »

(10)

Si l'on admet que les deux fonctions de réparti- tion (30) et (31) fournissent les mêmes valeurs pour la (( quantité de mouvement )) et l'énergie, il est aisé

de montrer (annexe 4) qu'au premier ordre par rapport à ATIT on a :

3 AT-

1 = - - V 4 T

où la vitesse moyenne

7

est définie par A . 17. Dans le cadre des hypothèses utilisées par Callaway, ce résultat s'identifie avec (19) si :

Ce résultat, physiquement très intéressant, montre que la fonction de Planck (( déplacée » équivalente,

au sens défini ci-dessus, à la fonction de répartition (30) correspond au cas où le libre parcours moyen des phonons imposé par les processus

-

U est de l'ordre de la longueur de l'échantillon.

Cette conclusion est en parfait accord avec les hypothèses formulées par Erdos. Insistons sur le fait que l'équivalence que nous venons de définir n'est valable que pour les deux premiers moments de la fonction de répartition et pour les valeurs de ATIT très petites devant l'unité.

3.1 INFLUENCE DE LA DIFFUSION PAR LES DÉFAUTS

PONCTUELS : Erdos utilise l'équation de Boltzmann

pour déterminer la fonction de répartition des phonons N(q, s ; x) en posant:

l'équation de Boltzmann (36) se réduit à

âN1 AT ôNo

A,(q) -- cos a = - - O(a)

+

ax 2 aT

+

[

N' -

-

3,

IV1(q, a', s, X) sin a' dd] (38)

est le libre parcours moyen des phonons (q, s).

71:

O(a) =

+

1 pour O < a

<

- 2

-

71:

- - 1 pour - < a < 7 1 : . 2

Cette équation doit être résolue en tenant compte des conditions aux limites :

exprimant l'équilibre thermique imposé par les thermostats.

Dans une première étape, Erdos résoud (37) dans l'approximation

A

1

cos a

1

a % 1

En appelant C l'opérateur de collision et en remar- quant que :

l'équation de Boltzmann s'écrit :

Au premiei: ordre par rapport à AT, N1 est donc une fonction de Planck correspondant à la tempéra- ture :

(nous supprimons l'indice s) pour trouver :

avec

AT x%(a)

+

a

~ T ( x ) =

-

2 A cos a

où a est l'angle entre le vecteur d'onde q et l'axe Ox. Dans l'hypothèse où les interactions des phonons avec les défauts ponctuels peuvent se décrire par une probabilité de transition de la forme :

n AT pour ~ < a < - T(x) = Tl - - ---- 2 A cos a 2 AT a - x 71: (41) T(x) = T,

+

-

pour -

< a

< 71: 2 A ( c o s a

1

2

(11)

SUR QUELQUES PROBLÈMES GÉNÉRAUX DE LA CONDUCTION THERMIQUE C l - 4 9 de celle trouvée par Callaway dans le cas où seuls

interviennent : les processus-N, l'influence des dimensions de l'échantillon et les défauts ponctuels. Ce résultat est tout à fait logique puisque nous avions remarqué (33) que la fonction de Planck déplacée », équivalente à la fonction de distribution proposée par Erdos pour le cristal parfait, représen- tait l'équilibre des phonons sous l'influence des processus-N et des processus-U tels que :

Dans une seconde étape, Erdos recherche une solution de l'équation (38) valable à tous les ordres par rapport à l'interaction, contenue dans A.

Pour ce faire, il utilise une démonstration qui ne nous semble pas justifiée et trouve le résultat suivant :

avec aû(a)

+

x A cos a qui pour AI cos a l a % 1 se réduit à (40).

A titre indicatif, nous donnons, sur la figure 7, les variations, en fonction de x, des températures définis- sant la répartition des phonons.

FIG. 7.

-

Température intervenant dans la formule de répartition et d é h i e par :

N(q, s, x ) = N(q, s, T(x))

-

Cristal parfait

---

Formule (41)

1

influence des défauts ponctuels

-

.

- Formule (42)

Nous ne nous étendons pas sur cette partie et nous nous contentons de montrer en annexe 5 quelle est la solution de l'équation (38).

La solution A.21 ne vérifie pas les conditions aux limites (39). Par suite, il n'existe pas de solution de l'équation (35) vérifiant les conditions (39).

Nous pensons que cette difficulté a pris naissance dans les simplifications apportées au terme de collision. Une formulation précise de ce problème serait inté- ressante pour juger de la validité de la solution (42) qui semble physiquement acceptable.

Bien que le modèle proposé par Erdos n'ait pas encore livré tous ses (( secrets », il semble très satis-

faisant. D'une part, il élimine la divergence de l'inté- grale de conductivité thermique, qui est causée par la croissance trop rapide du libre parcours moyen avec la longueur d'onde des phonons. D'autre part, aucune hypothèse n'est faite sur la répartition de la température ; il n'est même pas utile de définir une température en chaque point de l'échantillon. Nous avons donné une valeur de la température définie par l'intermédiaire de la fonction de répartition des phonons, mais il ne faut pas oublier que cette défini- tion est entièrement arbitraire.

4. Conclusions.

-

Etant donnée l'envergure du sujet abordé, nous tenons à insister sur le fait que la présentation que nous avons donnée des principales contributions récentes à la théorie de la conduction thermique de réseau ne peut pas être complète.

Par exemple, il aurait été intéressant de discuter les théories quantiques [26] [27], l'influence des défauts créés par bombardement [16] [28][ 291, le transfert de chaleur par les magnons 1301 1311 [32], la limitation imposée par la diffusion magnon-phonon [32], etc

...

Dans la bibliographie, nous nous sommes attachés

à donner, dans la mesure du possible, les références les plus récentes qui doivent permettre au lecteur désireux d'approfondir le problème, de retrouver rapidement un grand nombre de publications.

En conclusion nous pensons pouvoir affirmer que la plupart des mécanismes limitant la conduction thermique de réseau sont maintenant bien compris ;

mais, étant donné leur grand nombre, il en résulte que la détermination explicite du coefficient de conduc- tivité thermique est extrêmement complexe. De plus les difficultés d'ordre expérimental inhérentes aux mesures thermiques entraînent très souvent une grande incertitude sur sa valeur ; ce qui ne facilite pas les confrontations théorie-expérience.

(12)

phonons de grande longueur d'onde et ne fait aucune hypothèse sur la répartition de température. Ces deux conditions, très importantes du point de vue théorique méritent une extension et des développements plus détaillés afin de s'assurer de son contenu.

Annexe 1 : Calcul de

Par définition :

Un développement limité du terme dN,/aT par rapport à Â (paramètre qui doit s'annuler avec le gradient de température) conduit à :

-1

dt dif = - h ~ j d 3 q ( Y S . g r a d ~ ) q

En tenant compte de la symétrie sphérique dans l'espace des q imposée par le modèle de Debye, il vient :

do]

=-!CgradT+O(,l2) (A.3)

d i f 3

où C est la chaleur spécifique définie par :

Annexe 2 : Calcul de -

:Id,

Par définition nous avons :

g]

dt coi1 = A s

1

d3qq

%]

COU

( A . 3

En supposant que l'introduction d'un temps de relaxation permette d'écrire :

d 3 ]

=

-

NA

-

No

dt coll rs(q) (A. 6 )

et en tenant compte de la symétrie il vient :

Or pour des gradients de température suffisamment petits il est possible de développer

NA

par rapport à Â. :

et en reportant cette valeur dans (A.7) on obtient :

En utilisant la relation

(9,

en définissant le libre parcours moyen des phonons (q, s) par :

et en tenant compte de la symétrie, (A.9) s'écrit :

Annexe 3 : Calcul du flux d'énergie.

Le flux d'énergie échangé par les deux thermostats est :

En remarquant que ~ , ( q ) et No (q, s ; T) sont des fonctions paires de q,, il vient :

Dans le cas où la différence de température entre les deux thermostats est suffisamment petite pour rendre légitime le développement de I'intégrant, le Aux s'écrit :

(13)

SUR QUELQUES PROBLÈMES GÉNÉRAUX DE LA CONDUCTION THERMIQUE C i - 5 1 Par intégration sur les coordonnées angulaires,

on obtient :

(A. 13)

est la contribution des phonons de polarisation s à

la chaleur spécifique.

(q, est le nombre d'onde limitant la zone de Bril- louin.)

Annexe 4 : Identification de la fonction de Planck « déplacée B.

En admettant que les fonctions de répartition (30) et (31) doivent fournir la même quantité de mouvement » P et la même énergie E, on est amené à écrire :

=

5

d 3 q ~ ' ( g , s ; T') q (A. 14 a)

=

5

_{d 3 q ~ ' ( p ,}_s_;_{T') es(q)}

.

_{( A . 14 b)} Ces deux conditions sont suffisantes pour déter- miner T' et 1. Dans l'hypothèse où A est beaucoup plus petit que la vitesse des phonons (cas d'une petite différence de température), N' peut être pris sous la forme :

N'(q, s ; T') = No(q, s ; T')

+

Les relations d'équivalence (A. 14) deviennent :

=

%

T'

z

j

d3q ôNo(q, s ; Tt) q2 ( A . 16 a )

3 s aT' ~s(4)

=

1

5

d3qN0(q, s ; Ti)

.

(A. 16 b)

La seconde est évidemment vérifiée pour T = T' et la première conduit à la valeur suivante pour Ax :

3 A T -

A

= - - v

" 4 T avec Cs(q)

-

_v=-

Iqm

_Odq q2

-

v,

( A . 17) CS(4)

1"

dq q2 - ' O

v,"

Annexe 5 : Solution de l'équation (38). Cette équation est de la forme :

af

cos a = AB(^)

+

ax

où A et B sont des constantes et a E [O, TC].

L'équation (A. 18) possède la solution particulière

évidente :

La solution générale est donc de la forme :

où

f,

(x, a) est la solution générale de l'équation homogène :

fg(x, d ) sin

d

da'] (A. 20) Le développement en série de Fourier

f 02

f,(x, a) =

z

eZina n = - C u

reporté dans (A. 20) montre que : Cn = O quel que soit n. Il en résulte que la seule solution de l'équation (A. 18) qui admet un développement en série de Fourier est :

A

(14)

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