Solution de quelques problèmes curieux d'arithmétique

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

A ^LEXANDRE A ^LLEGRET

Solution de quelques problèmes curieux d’arithmétique

Nouvelles annales de mathématiques 1

série, tome 16

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SOLUTION DE QUELQUES PROBLÈMES CURIEUX D'ARITHMÉTIQUE;

PAR M. ALEXANDRE ALLEGRET, Professeur à Paris.

On trouve dans le premier livre de Y Arithmétique de Dioph aille quelques énoncés de problèmes susceptibles d'une grande extension et qui, modifiés légèrement, con- duisent à d'autres problèmes linéaires que la sagacité de Leonardo Pisano {voir le Bulletin, i855-56) s'est ap- pliquée à résoudre. Je m'occuperai spécialement dans cet article des propositions XXV, XXVI, XXVII et XXVIII, Dioph., liv. r% qui rentrent comme cas particuliers dans les deux problèmes d'arithmétique suivants.

Problème I. On range un certain nombre de personnes en cercle, et on donne à chacune une certaine somme dont elle est chargée de remettre une fraction déterminée d'avance à la personne qui se trouve placée à sa droite.

Chaque personne reçoit alois de la main gauche une somme, en même temps qu'elle en remet une autre de la main droite. On demande de déterminer quelle somme il faudrait donner primilhenient à chacune de ces per- sonnes pour qu'après tous les échanges effectués comme il vient d'être dit, elles se trouvent toutes en possession d'une même somme.

Solution. Ce problème est susceptible d'une solution uniforme, indépendante du nombre des personnes qui entrent chns l'énoncé. Pour fixer les idées, je me bornerai à traiter Je cas où il s'agit de cinq personnes; on verra facilement qui' la méthode est générale.

( '37 ) Soient

les cinq fractions données d'avance , et posons, pour plus de simplicité,

l l i l

, b, =

a{ H- i a2 - h i «j 4-

O U

ax ~=.

on aura, d'après les conditions du problème, cette suite d'cquatioiiî»

jrb~\- « , J ; , = r,-f- <7j.r2 = r J"2-f- ^ j . r} = . rd- j - «f4 -»*, = ^, -f- a JT ,

les cinq inconnues de la question étant représentées par

1~

et xⁿ x², x³, x^k et x^s étant cinq autres inconnues auxi- liaires qu'il s'agit de déterminer.

Remarquons que, comme il ne peut être question que de la recherche du rapport de ces diverses inconnues, on pourra poser

' I O O O I

i a2 o o o i i a o o

I O I <7, O ] i o c ) f a

( i38 )

Pour toute autre inconnue, xz par exemple, on aura

o o a2

i

o o

o o o a,

i i 0

o

0

= I

O I o o

o o o o ab o

et plus généralement, i ou son résidu suivant le module 5 désignant l'un quelconque des indices i, 2, 3, 4 o u 5 . on aura

I I I I ,

o al+

i

o o

o

« o at i

o o o

-f-2 O

I I

o o

1-3 O

a

= a,+l

i

i i

o o

i O

I

o

0 2 0

a

i

Faisant passer la dernière ligne du dernier déterminant à la première place , ce qui revient à multiplier le détermi- nant par (— i)3, on aura

+i aH

o at i

o

0 4-1 O

at+ i

i

o

2 O

<7l4->

Or ce déterminant est susceptible d'une réduction ana- logue à la précédente et on est ainsi conduit à la formule suivante d'une remarquable simplicité :

i i

T.

'=T.

al+x at

n,+x rtl+7 — at+i •+• i

supplication. Supposons qu'on donne

4

on aura

«, = i , Ö2 = 2 , « 3 = 3 , â r4= 4 , a3 = 5 e t

xx = 2 . 3 . 4 - 5 — 2 . 3 . 4 + 2- 3 — 2 4 - 1 = 1 o 1, JT2 = 3 . 4 - 5 . i — 3 . 4 5 H- 3 5 — 3 - h 1 = 1 0 , . ^ = 4 . 5 1.2 — 4 * 5 . 1 - f - 4 - 4 — 4 + l ==37 >

.r4 = 5 . 1 . 2 . 3 — 5 . 1 . 2 + 5 . 1 — 5 4 - 1 = 2 1 ,

# 5 = 1 . 2 . 3 . 4 — 1 . 2 . 3 - 4 - 1 . 2 — J + I = 2 O .

Les cinq inconnues seront donc proportionnelles aux cinq nombres suivants :

202, 3o, 148, io5 et 120,

ce qu'on peut vérifier immédiatement.

La suite prochainement.